19　等腰三角形与直角三角形 课件2025年中考数学一轮专题复习（福建）

复习19　等腰三角形与直角三角形 知识点1 等腰三角形 1．性质 (1)边 (ⅰ)等腰三角形的两腰相等； (ⅱ)底边上“三线合一”：等腰三角形顶角平分线、底边上的 中线、底边上的高互相_____． 重合 (2)角：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角． (3)对称性：等腰三角形是_______图形，一般有_____对称轴． 2．判定 (1)定义：___________的三角形是等腰三角形． (2)定理：___________的三角形是等腰三角形(简写成“等角 对等边”)． 轴对称 一条 有两边相等 有两角相等 知识点2 等边三角形 1．性质 (1)边：等边三角形的三边相等，每边上三线合一． (2)角：等边三角形的三个角都相等且每个角都等于_____. (3)对称性：等边三角形是_______图形，有_____对称轴． 60° 轴对称 三条 2．判定 (1)_______________三角形是等边三角形． (2)_______________三角形是等边三角形． (3)___________________________是等边三角形． 三条边都相等的 三个角都相等的 有一个角是60°的等腰三角形 知识点3 直角三角形 1．性质 (1)两锐角之和等于_____，即∠A＋∠C＝90°. (2)斜边上的中线等于___________，即BD＝ . (3)30°角所对的直角边等于___________，即BC＝ ． (4)勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c， 则有__________． 90° 斜边的一半 斜边的一半 a2＋b2＝c2 2．判定 (1)有一个角为_____的三角形是直角三角形． (2)勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于___________ ___，那么这个三角形是直角三角形．如图所示，即∵________ __，∴△ABC是直角三角形． (3)有两个角互余的三角形是直角三角形． 90° 第三边的平 方 a2＋b2＝ c2 知识点4 等腰直角三角形 1．性质 (1)具有直角三角形的所有性质． (2)两直角边相等，即AC＝BC. (3)两锐角相等且都等于_____． 45° 2．判定 (1)顶角为_____的等腰三角形是等腰直角三角形． (2)有两个角为_____的三角形是等腰直角三角形． (3)有一个角为45°的_____三角形是等腰直角三角形． (4)_________相等的直角三角形是等腰直角三角形． 90° 45° 直角 两直角边 知识点5 线段的垂直平分线、角的平分线的性质与判定 1．角的平分线 (1)性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离_____． 符号语言：如图所示，∵OP平分∠AOB， 且PE⊥OA，PF⊥OB，∴_______． PF＝PE 相等 (2)判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的_____ ___上． 符号语言：如图所示，∵PE⊥OA，PF⊥OB，且PF＝PE， ∴OP平分∠AOB. (3)三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形 三条边的距离相等，这个点叫做三角形的内心． 平分 线 2．线段的垂直平分线 (1)定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条 线段的垂直平分线． (2)性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距 离_____． 如图所示，直线l是线段AB的垂直平分线， 且点P在l上，则AP___BP. 相等 ＝ (3)判定定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的___ _________上． (4)三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一个点与三 个顶点的距离相等，这个点叫做三角形的外心. 垂 直平分线 考点1 等腰三角形的性质和判定 突破3 [2024·江西]追本溯源： 题(1)来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2)． (1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由； 方法应用： (2)如图2，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G. ①图中一定是等腰三角形的有( 　 ) A．3个 B.4个 C．5个 D.6个 ②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长． 解：(1)△BDE是等腰三角形．理由如下： ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵DE∥BC， ∴∠BDE＝∠CBD， ∴∠BDE＝∠ABD， ∴EB＝ED， ∴△BDE是等腰三角形； (2)①∵在▱ABCD中， ∴AE∥BC，AB∥CD， 同(1)∠ABE＝∠CBE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∵AF⊥BE， ∴∠BAF＝∠EAF， ∵AE∥BC，AB∥CD， ∴∠BGA＝∠EAF，∠BAF＝∠F， ∵∠BGA＝∠CGF， ∴∠BGA＝∠BAG，∠DAF＝∠F，∠CGF＝∠F， ∴AB＝BG，DA＝DF，CG＝CF， 即△ABE，△ABG，△ADF，△CGF是等腰三角形，共有四个，故答案为：B； ②∵在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5， ∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝5， 由①得DA＝DF， ∴CF＝DF－CD＝5－3＝2. 考点2 等腰三角形的分类讨论 突破1 [2023·河北]四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为( ) A．2 B.3 C．4 D.5 【名师点拨】 本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，当等腰三角形的边不确定时，需分类讨论，同时要关注三角形的三边关系定理． 突破2 [2024·宿迁二模]若等腰三角形有一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角是( ) A．20° B.50° C．80°或20° D.80°或50° 突破3 [2023·泰州]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°， 射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角(0°<α<75°)，与 射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′ 与射线AB相交于点E.若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 _____________________． 22.5°或45°或67.5° 考点3 等边三角形的性质和判定 突破1 [2023·凉山州]如图，边长为2的等边△ABC的两个顶 点A，B分别在两条射线OM，ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最 大值是_______. 突破2 [2024·湖北]△DEF为等边三角形，分别延长FD，DE，EF 到点A，B，C，使DA＝EB＝FC，连接AB，AC，BC，连接BF并延长 交AC于点G.若AD＝DF＝2，则∠DBF＝_____，FG＝_____． 30° 考点4 直角三角形的性质和判定 突破4 [2024·甘孜州]如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8， BC＝4，折叠△ABC，使点A与点B重合，折痕DE与AB交于点D， 与AC交于点E，则CE的长为__． 3 考点5 角平分线的性质和判定 突破1 [2024·青海]如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是( ) A．4 B.3 C．2 D.1 突破3 [2024·西安模拟]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点 I到Rt△ABC三边的距离相等，则∠AIB的度数为______． 135° 突破4 [2024·陕西]如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一 点，连接CE，在BC右侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF.若AC＝13， BC＝10，则四边形EBFC的面积为___． 60 考点6 垂直平分线的性质和判定 突破2 在△ABC中，AB＝AC，OB＝OC，点A到BC的距离是6，O到 BC的距离是4，则AO等于______． 2或10 1.[福建中考]如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于( ) A.10 B.5 C.4 D.3 2.[2024·厦门二模]如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在∠BAC 的平分线上，∠ABD＝60°，将点B绕点D顺时针旋转90°，点B 的对应点E恰好落在AC上，则∠CBD的度数为_____. 15° 3.[2021·福建]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上. (1)求证：∠ADE＝∠DFC； (2)求证：CD＝BF. 证明：(1)在等腰直角三角形EDF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠ADF＝90°. ∵∠ACB＝90°， ∴∠DFC＋∠ADF＝∠ACB＝90°， ∴∠ADE＝∠DFC； (2)连接AE. 由平移的性质得AE∥BF，AE＝BF. ∴∠EAD＝∠ACB＝90°， ∵∠DCF＝180°－∠ACB＝90°， ∴∠EAD＝∠DCF. ∵△EDF是等腰直角三角形， ∴DE＝DF. 由(1)得∠ADE＝∠DFC， ∴△AED≌△CDF(AAS)， ∴AE＝CD， ∴CD＝BF. 4.[2023·龙岩模拟]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是 AB边的中点. (1)求作⊙O，使圆心O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于 点E；(不写作法，保留作图痕迹) (2)若BC＝6，sinB＝ ，求OD的长. 解：(1)如图1所示，⊙O即为所求作； (2)如图2，连接OD， ∵sin∠ABC＝ ，∠ACB＝90°， ∴ 设AC＝4x，则AB＝5x， ∵BC＝6， 在Rt△ABC中，BC ＝3x＝6， ∴x＝2，∴AC＝8，AB＝10， 设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r， OA＝AC－OC＝8－r， ∵∠OEA＝∠ACB＝90°， ∠OAE＝∠BAC， ∴△OAE∽△BAC， 5.[2024·福建]如图，已知直线l1∥l2. (1)在l1，l2所在的平面内求作直线l，使得l∥l1∥l2，且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若l1与l2间的距离为2，点A，B，C分别在l，l1，l2上，且△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积. 解：(1)如图1，直线l即为所求作的直线； (2)①当∠BAC＝90°，AB＝AC时，如图2， ∵l∥l1∥l2，直线l1与l2间的距离为2，且l与l1间的距离等于l与l2间的距离， 根据图形的对称性可知BC＝2， ∴AB＝AC＝ ， ∴S△ABC＝ AB·AC＝1； ②当∠ABC＝90°，BA＝BC时， 如图3，分别过点A，C作直线l1的垂线，垂足为M，N， ∴∠AMB＝∠BNC＝90°， ∵l∥l1∥l2，直线l1与l2间的距离为2，且l与l1间的距离等于l与l2间的距离， ∴CN＝2，AM＝1， ∵∠MAB＋∠ABM＝90°，∠NBC＋∠ABM＝90°， ∴∠MAB＝∠NBC， ∴△AMB≌△BNC(AAS)， ∴BM＝CN＝2， ③当∠ACB＝90°，CA＝CB时，同理②可得， S△ABC＝ . 综上所述，△ABC的面积为1或 . 6.[2024·福建二模](1)【问题提出】 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D为边BC上一点，过D作DE⊥AB于E点，连接AD，F为AD的中点，连接CE，CF，EF，则△CEF的形状是______. (2)【问题探究】 如图2，将图1中的△DEB绕点B按逆时针方向旋转，使点D落在AB边上，试判断CE，CF，EF的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 若BE＝m， ，将△DEB绕点B按逆时针方向旋转，当点D在线段AE上时，直接写出线段CF的长___(用含m的式子表示). 解：(1)∵∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴∠ACB＝∠DEA＝90°， ∵点F为AD的中点， ∴AF＝CF＝EF＝ AD， ∴∠CAF＝∠ACF，∠FAE＝∠FEA， ∴∠CFD＝∠CAF＋∠ACF＝2∠CAF，∠DFE＝∠FAE＋∠FEA＝2∠FAE， ∴∠CFE＝∠CFD＋∠DFE＝2∠CAF＋2∠FAE＝2∠BAC， ∵∠BAC＝30°， ∴∠CFE＝60°， ∵CF＝EF， ∴△CEF是等边三角形； (2)CE＝CF＝EF. 理由：如图1，延长EF到点G，使GF＝EF，连接AG，CG. ∵点F为AD的中点， ∴FA＝FD. ∵∠GFA＝∠EFD， ∴△GAF≌△EDF(SAS)， ∴AG＝DE，∠GAF＝∠EDF. ∵∠ACB＝∠BED＝90°，∠CAB＝30°， ∴∠CBA＝∠DBE＝60°， (3)如图2，当点D在线段AE上时，延长EF到点N，使NF＝EF，连接CN， ∵∠CAN＝180°－∠BAC－∠BAE＝180°－30°－∠BAE＝150°－∠BAE， ∠CBE＝∠ABC＋∠ABE＝60°＋(90°－∠BAE)＝150°－∠BAE， ∴∠CAN＝∠CBE， ∴△NAC∽△EBC， ∴∠NCA＝∠ECB， ∴∠NCA＋∠ACE＝∠ECB＋∠ACE，即∠NCE＝∠ACB＝90°. 3．面积：S＝eq \f(1,2)ah(其中a为底边，h为底边上的高)． 3．面积：S＝ ＝eq \f(\r(3),4)a2(其中a为任意一边的长，h为任意一条边上的高)． 3．面积：S＝eq \f(1,2)ab＝ (a，b分别为两条直角边的长，c为斜边的长，h为斜边c上的高)． 【特别提醒】AB＝eq \r(2)AC＝eq \r(2)BC. 3．面积：S＝ ＝eq \f(1,2)ch＝eq \f(1,4)c2＝eq \f(\r(2),2)ah(a为直角边的长，h为斜边c上的高)． 突破1 [2024·云南]已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为( ) A.eq \f(3,2) B.2 C.3 D.eq \f(7,2) 突破2 [2024·广州]如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为( ) A．18 B.9eq \r(2) C．9 D.6eq \r(2) eq \f(4,5) eq \r(3) 突破1 [2024·青海]如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC＝60°，AC＝6，则BC的长是( ) A．3 B.6 C.eq \r(3) D.3eq \r(3) 突破2 [2024·安徽]如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线上，且CD＝AB，则BD的长是( ) A. eq \r(10)－eq \r(2) B.eq \r(6)－eq \r(2) C．2eq \r(2)－2 D.2eq \r(2)－eq \r(6) 突破3 [2024·广元]如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝3，BC＝1，则AD的长为( ) A.eq \r(5) B.eq \r(10) C．2 D.2eq \r(2) 突破2 [2024·南充]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为( ) A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D.3 突破1 [2024·眉山]如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点A，点B为圆心，大于eq \f(1,2)AB的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为( ) A．7 B.8 C．10 D.12 eq \f(4,5) eq \f(4,5) eq \f(AC,AB)＝eq \f(4,5)， ＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r((5x)2－(4x)2) ∴eq \f(OE,BC)＝eq \f(OA,AB)，∴eq \f(r,6)＝eq \f(8－r,10)， ∴r＝3，∴OA＝5， ∴AE＝eq \r(OA2－OE2)＝4， ∵D是AB的中点，∴AD＝5，∴DE＝1， ∴OD＝eq \r(OE2＋DE2)＝eq \r(10). eq \r(2) eq \f(1,2) 在Rt△ABM中，由勾股定理得AB2＝AM2＋BM2＝12＋22＝5， ∴AB＝eq \r(5)， ∴S△ABC＝eq \f(1,2)AB·BC＝eq \f(5,2)； eq \f(5,2) eq \f(5,2) eq \f(BD,BC)＝eq \f(4,5) eq \f(1,2) ∴AC＝eq \r(3)BC，DE＝eq \r(3)BE， ∴AG＝eq \r(3)BE，∠CBE＝∠ABC＋∠DBE＝120°， ∴eq \f(AC,BC)＝eq \f(AG,BE)＝eq \r(3)， ∵∠GAF＝∠EDF＝∠DEB＋∠DBE＝90°＋60°＝150°， ∴∠CAG＝∠GAF－∠BAC＝120°， ∴∠CBE＝∠CAG， ∴△GAC∽△EBC， ∴∠GCA＝∠ECB，eq \f(CG,CE)＝eq \f(AG,BE)＝eq \r(3)， ∴∠GCA＋∠ACE＝∠ECB＋∠ACE， 即∠GCE＝∠ACB＝90°， ∴CF＝EF＝eq \f(1,2)EG. 在Rt△CGE中，tan∠CEG＝eq \f(CG,CE)＝eq \r(3)， ∴∠CEG＝60°，∴△CEF为等边三角形，即CE＝CF＝EF； 在Rt△DEB中， ∵∠BDE＝30°，BE＝m， ∴BD＝2m，DE＝eq \r(3)m. ∵eq \f(BD,BC)＝eq \f(4,5)，∴BC＝eq \f(5,2)m， 在Rt△ABC中， ∵∠BAC＝30°，BC＝eq \f(5,2)m， ∴AC＝eq \r(3)BC＝eq \f(5 \r(3)m,2)，AB＝2BC＝5m， ∴在Rt△AEB中，AE＝eq \r(AB2－BE2)＝eq \r((5m)2－m2)＝2 eq \r(6)m. ∵FN＝FE，F为AD的中点， ∴AF＝DF，AN＝DE＝eq \r(3)m， ∴eq \f(AC,BC)＝eq \f(AG,BE)＝eq \r(3)， ∵EN＝AE＋AN＝(2 eq \r(6)＋eq \r(3))m， ∴CF＝eq \f(1,2)EN＝eq \f(1,2)×(2 eq \r(6)m＋eq \r(3)m)＝(eq \r(6)＋eq \f(\r(3),2))m. $$