17　三角形与全等三角形 2025年中考数学一轮专题复习（福建）

第五章　 三角形 复习17　三角形与全等三角形 知识点1 三角形的概念和分类 1．定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形． 2．分类 (1)按边分 等边三角形 等腰三角形 (2)按角分 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 知识点2 三角形边角关系 1．内外角关系 (1)三角形内角和定理：三角形的三个内角和为______． (2)推论：三角形任意一个外角等于和它___________________ ___． (3)三角形的任意一个外角_____任何一个与它不相邻的内角． 180° 不相邻的两个内角之 和 大于 2．边角间关系：同一个三角形中，_____对等边、_____对大边． 3．三边关系：三角形任意两边之和_____第三边，任意两边之 差_____第三边． 等角 大角 大于 小于 【名师点拨】 (1)已知两边可确定第三边的取值范围，即两边之差<第三边<两 边之和． (2)三边关系可用于判断三条线段能否构成三角形． 知识点3 三角形中的重要线段 1．三角形的角平分线 (1)定义：三角形一个角的平分线和对边相交，这个角的顶点 和交点间的线段叫三角形的角平分线． (2)性质：如图1所示， (ⅰ)∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1＝∠2＝ ．(或∠BAC＝2∠1＝2∠2) (ⅱ)三角形的角平分线都在三角形的___部且交于一点，这点是 三角形的___心． 内 内 2．三角形的中线 (1)定义：连接三角形的一个顶点和对边中点的线段叫三角形 的中线． (2)性质：如图2所示， (ⅰ)点D是BC的中点，则BD＝DC＝ ，S△ABD＝S△ACD＝ . (ⅱ)三角形的三条中线都在三角形___部且交于一点，这个点是 三角形的重心． 内 3．三角形的中位线 (1)定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线． (2)性质：如图3所示， 点D，E分别是AB，AC的中点，则___∥BC且DE＝ BC. DE 4．三角形的高线 (1)定义：自三角形的一个顶点向对边作垂线，这个角的顶点和 垂足间的线段叫三角形的高线，简称三角形的高． (2)性质：如图4所示， (ⅰ)AD是BC边上的高，则AD⊥___，∠ADB＝∠ADC＝90°. (ⅱ)不同三角形三条高线交点的位置不同，锐角三角形的三条 高线交于三角形_____，直角三角形的三条高线交于直角_____， 钝角三角形的三条高线所在直线交于三角形的_____． BC 内部 顶点 外部 知识点4 全等三角形的概念和性质 1．概念：能够完全_____的两个三角形叫做全等三角形． 2．性质 (1)全等三角形的对应边_____，对应角_____． (2)全等三角形的周长相等，面积_____． (3)全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等． 重合 相等 相等 相等 知识点5 全等三角形的判定 1．判定方法 考点1 三角形的内外角关系 突破1 [2023·杭州]如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC 上，且DE∥BC，点F在线段BC的延长线上.若∠ADE＝28°， ∠ACF＝118°，则∠A＝_____. 90° 突破2 [2023·徐州]如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC， ∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝___°. 55 考点2 三角形的三边关系 突破1 [2023·衡阳]下列长度的各组线段能组成一个三角形的是( ) A．1 cm，2 cm，3 cm B.3 cm，8 cm，5 cm C．4 cm，5 cm，10 cm D.4 cm，5 cm，6 cm 突破2 [2022·宿迁]若等腰三角形的两边长分别是3 cm和 5 cm，则这个等腰三角形的周长是( ) A.8 cm B.13 cm C.8 cm或13 cm D.11 cm或13 cm 考点3 三角形中的重要线段关系 突破1 [2024·凉山州]如图，△ABC中，∠BCD＝30°， ∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线， 则∠AEB的度数是______. 100° 突破2 [2023·辽宁]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D 为BC的中点，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，若AC＝4， CE＝5，则CD的长为___． 突破3 [2023·锦州]如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC 于点D，交AB于点E，连接CE.若CE＝CA，∠ACE＝40°，则∠B 的度数为_____． 35° 考点4 全等三角形的性质和判定 突破1 [2024·安徽]在凸五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，F是CD的中点.下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是( ) A.∠ABC＝∠AED B.∠BAF＝∠EAF C.∠BCF＝∠EDF D.∠ABD＝∠AEC 突破2 [2024·重庆]如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF.交CD于点M.若BE＝DF＝1，则DM的长度为( ) 突破3 [2024·重庆三模]如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD， BC＝DC，CE⊥AD于点E，AD＝12，AB＝7，则DE的长为 ． 突破4 [2023·湖北]如图，△BAC，△DEB和△AEF都是等腰直角 三角形，∠BAC＝∠DEB＝∠AEF＝90°，点E在△ABC内，BE＞AE， 连接DF交AE于点G，DE交AB于点H，连接CF.给出下列四个结论： ①∠DBA＝∠EBC　②∠BHE＝∠EGF ③AB＝DF　④AD＝CF.其中 所有正确结论的序号是_______． ①③④ 突破5 [2024·盐城]已知：如图，点A，B，C，D在同一条直线 上，AE∥BF，AE＝BF.若______，则AB＝CD.请从①CE∥DF　 ②CE＝DF　③∠E＝∠F这3个选项中选择一个作为条件(写序号)， 使结论成立，并说明理由． 解：选择①CE∥DF： ∵AE∥BF，CE∥DF， ∴∠A＝∠FBD，∠D＝∠ECA， ∵AE＝BF， ∴△AEC≌△BFD(AAS)，∴AC＝BD， ∴AC－BC＝BD－BC，即AB＝CD； 选择②CE＝DF： 无法证明△AEC≌△BFD， 无法得出AB＝CD； 选择③∠E＝∠F： ∵AE∥BF，∴∠A＝∠FBD， ∵AE＝BF，∠E＝∠F，∴△AEC≌△BFD(ASA)， ∴AC＝BD， ∴AC－BC＝BD－BC，即AB＝CD. 故答案为：①(或③，答案不唯一) 1.[2023·福建]若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是( ) A.1 B.5 C.7 D.9 2.[2020·福建]如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是( ) 3.[2021·福建]如图，AD是△ABC的角平分线.若∠B＝90°， BD＝ ，则点D到AC的距离是____. 4.[2022·福建]如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点. 若BC＝12，则DE的长为__. 6 5.[2023·福建]如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB.求证：AB＝CD. 证明：∵∠AOD＝∠COB， ∴∠AOD－∠BOD＝∠COB－∠BOD， 即∠AOB＝∠COD. 在△AOB和△COD中， ∴△AOB≌△COD(SAS)， ∴AB＝CD. 6.[2022·福建]如图，点C，F在BE上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E.求证：∠A＝∠D. 证明：∵BF＝CE， ∴BC＝EF， 又∵AB＝DE，∠B＝∠E， ∴△ABC≌△DEF(SAS)， ∴∠A＝∠D. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(三条边都不相等,　　　　　　　　\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(底边和腰不相等的,等腰三角形,　　　　　　　　：,三条边都相等)))) eq \b\lc\{(\a\vs10\al\co1(　　　　　　：有一个角是90°,\a\vs10\al(斜三,角形)\b\lc\{(\a\vs10\al\co1(　　　　　　：三个角都是锐角,　　　　　　：有一个角是钝角)))) 2.判定思路 (1)已知两边 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(找夹角→SAS,找直角（非夹角）→HL（仅适用于直角三角形）,找第三边→SSS)) (2)已知一边和一角 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(边为角的对边→找另一角→AAS,边为角的邻边\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(找夹角的另一边→SAS,找夹边的另一角→ASA,找边的对角→AAS)))) (3)已知两角eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(找夹边→ASA,找其中一角的对边→AAS)) 突破3 [2024·达州]如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB， 外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝eq \f(1,3)∠CAB，∠E1BD＝eq \f(1,3)∠CBD， 在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB，外角∠E1BD的三等分线． 且∠E2AD＝eq \f(1,3)∠E1AB，∠E2BD＝eq \f(1,3)∠E1BD，…，以此规律作下去． 若∠C＝m°.则∠En＝ 度． eq \f(1,3n)m A．2 B.eq \r(5) C.eq \r(6) D.eq \f(12,5) A.1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4) eq \r(3) eq \r(3) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OC，,∠AOB＝∠COD，,OB＝OD，)) $$