期中考前满分冲刺之解答题（42题）（十七种覆盖训练）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练 思维导图 覆盖训练01:平移作图 1．如图，由小正方形组成的网格中点，，，均在网格线的交点处． (1)将三角形向下平移2格后得到三角形，请在网格中画出三角形． (2)将三角形平移后得到三角形，点移动到处，请补全三角形． (3)在（2）的基础上，连接和，则与的位置关系为______，数量关系为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行，相等 【分析】本题考查图形的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键， （1）根据题中平移规律，平移后即可得到答案； （2）点移动到处，平移规律为：从右平移4个单位，再向下平多1个单位，再将点，点，都按照此平移规律平移，得到，依次连接，即可得到三角形； （3）连接和，根据平移的性质可得答案． 【详解】（1）解：将三角形向下平移2格后得到三角形，如图所示： （2）解：∵点移动到，平移规律为：向右平移4个单位，再向下平多1个单位， ∴将点，点，都按照此平移规律平移，得到，依次连接，得到三角形，如图所示： （3）解：∵一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行且相等， ∴，， 故答案为：平行，相等． 2．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点均为格点，位置如图所示，将三角形先向右平移4个单位长度得到三角形，再向上平移3个单位长度得到三角形． (1)画出平移后的三角形及三角形； (2)平移过程中，线段扫过的面积是___________． 【答案】(1)见解析 (2)28 【分析】本题考查作图-平移变换，平行四边形的面积等知识． （1）利用平移变换的性质，先分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接，再作出对应点，，并顺次连接即可． （2）平移中线段扫过部分的面积是两个平行四边形的面积之和． 【详解】（1）解：如图，三角形和三角形即为所求； （2）解：平移中线段扫过部分的面积是． 故答案为：28． 3． 如图， 在 的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点C的对应点C． (1)画出平移以后的； (2)连接，，则这两条线段的关系是 ； (3)求线段在平移过程中扫过区域的面积？ 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3)32 【分析】本题考查作图平移变换，平移的性质，图形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质可得答案； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由平移的性质得，， ∴这两条线段的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． （3）解：如图所示，连接 ∴线段在平移过程中扫过区域的面积为． 覆盖训练02:平行的性质与判定 4．如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连结． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，互余，平行线的判定： （1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 5．（1）如图，直线与相交于点，平分，若，求的度数．    （2）如图，已知，，求证：．    【答案】（1）；（2）见解析． 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，角平分线的性质，平行线的性质及判定定理，解题的关键是数量掌握并运用各个性质进行求解． （1）利用对顶角的性质和角平分线的性质即可求解； （2）利用平行线的性质定理和判定定理即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分． ∴． （2）证明：∵． ∴． ∵， ∴， ∴． 6．如图，在中，过点作直线为上一点，连接交于点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质定理． （1）根据得到，结合，得到即可． （2）先求得，结合，可得，根据即得． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． 覆盖训练03:尺规作图 7．如图，在一条直线上： (1)尺规作图，以为顶点，以射线为一边，作（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或，理由见解析 【分析】此题主要考查了基本作图，关键是注意理解题意，分类讨论画出图形． （1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）如图1，根据同位角相等两直线平行可得；如图2，根据三角形内角和为可推出． 【详解】（1）如1图所示： （2）如图1，， ， ； 如图2，， 反向延长交于点， ， ， ． 8．如图，点，在直线外，于点，于点，连接，平分． (1)依据题意，补充完整图形．（注：画出正确图形即可，不需要尺规作图） (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的性质． （1）作到的垂线，垂足为，作到的垂线，垂足为，连接，过作射线平分； （2）因为，，可得，因为同位角相等两直线平行，所以，因为两直线平行同旁内角互补，所以，已知，可得，因为射线平分，所以，等量代换，得，因为内错角相等两直线平行，即证． 【详解】（1）补充完整图形，如图所示． （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵BP平分∠DBF， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 9．如图，、分别平分、，，． (1)尺规作图：在射线上作，并连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知， 求证：． 证明：平分（已知） ① （角平分线的定义） （已知） ② （两直线平行，内错角相等） 又平分（已知） ③ （角平分线的定义） 又（已知） ④ （等量代换） （ ⑤ ） 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④；⑤内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定与性质； （1）以为圆心，为半径画圆，与交点即为点； （2）先由角平分线得到，再由得到，继续由角平分线得到，进而由得到，最后得到． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）平分（已知） （角平分线的定义） （已知） （两直线平行，内错角相等） 又平分（已知） （角平分线的定义） 又（已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） 故答案为：①；②；③；④；⑤内错角相等，两直线平行． 覆盖训练04:折叠问题 10．如图，已知四边形纸片的边，是边上任意一点，沿折叠，点落在点的位置．    (1)观察发现：如图①所示：，，则______． (2)拓展探究：如图②，点落在四边形的内部，探究，，之间的数量关系，并证明； (3)迁移应用：如图③，点落在边的上方，则（2）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)不成立，数量关系应为：，证明见解析 【分析】（1）根据已知条件，结合平行线的性质，算出，再结合折叠、四边形内角和，算出，最后根据计算即可； （2）过点作，交于点，交于点，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到，再结合折叠的性质可得数量关系； （3）过点作，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到得，再结合折叠的性质可得数量关系． 【详解】（1）解：，沿折叠，点落在点的位置，，， ，（两直线平行，同旁内角互补） ， ， ，（四边形内角和为） ， 故答案为： （2）解：如下图，过点作，交于点，交于点    则， ， ， ， ， 由折叠的性质得，， （全等三角形对应角相等） （3）解：如下图，过点作，则，   ， ， ， 由折叠的性质得，， （全等三角形对应角相等） ，即 【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、平行公理的推论．掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键． 11．如图，延时课上，梅梅将一张长方形纸条（上、下两边平行）沿直线折叠，为折痕． (1)请依据所学知识判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，根据平行线的性质可得，由此即可得； （2）先根据（1）的结论可得，再根据折叠的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 12．【问题情境】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习了平行线后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，张明是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的1—3，虚线部分表示折痕）． (1)张明同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在纸上画出一条直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平．则＝_______°； ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时张明说，就是的平行线．张明的说法正确吗？请写出过程予以证明； (2)李强同学在张明同学折纸的基础上，补充了条件：如图4，连接交于点G，连，并在上找一点H，使得，试判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)①②张明的说法正确，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质和平行线的判定及性质，牢记折叠的性质和平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质可知，可求得的度数，进而求得的度数，同理可求得的度数，根据角之间的等量关系，可判断与的位置关系． （2）根据已知条件可知，进而可得，即可判断与的位置关系． 【详解】（1）解：根据折叠的性质可知， 又， ∴． ∴． 故答案为：． 张明的说法正确． 理由如下： 根据折叠的性质可知， 又， ∴． ∴． ∴． （2）． 理由如下： ∵， ∴． 又， ∴． ∴． 覆盖训练05:新定义运算 13．对于实数a、b，定义关于“”的一种运算：，例如． (1)求的值； (2)若，，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题借助新定义题型考查了二元一次方程组的解法，求一个数的平方根．新定义题型就按照题目的意思来进行计算即可，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的解法． （1）利用题目中的新定义进行计算即可； （2）根据新定义，对式子进行化简后得到二元一次方程，求解该方程组即可得到x，y的值，进而根据平方根的定义求解． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： ； （2）解：根据题中的新定义得：， 解得， ∴ ， ∴的平方根为． 14．对有理数a、b、c、d定义新运算“”， 规定，请你根据新定义规定解答下列问题： (1)计算； (2)当时，求上式的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查新定义，整式化简求值，理解新定义和掌握整式混合运算法则是解题的关键. （1）根据新定义，得到原式，再根据整式混合运算法则计算即可； （2）把代入（1）所得的化简式，计算即可. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：当时， 15．我们定义：一个整数能表示（a，b是整数）的形式，则这个数为“和谐数”，例如：8是“和谐数”，理由：因为，所以8是“和谐数”． (1)请判断18________“和谐数”（填“是”或“不是”）； (2)当整数m，n满足时，求“和谐数”的值； (3)若实数x，y满足，求的最小值． 【答案】(1)是 (2)12或14 (3)12 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，再代入，即可求解； （3）根据，可得，再代入把原式变形为，即可求解． 本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，理解“和谐数”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， 是“和谐数”； 故答案为：是； （2）解：， ， ， 解得：， 当时，， 当时，， 综上所述，“和谐数” 的值为12或14； （3）解：， ， ， ， ， 即， 的最小值为12． 覆盖训练06:二元一次方程组的应用 16．某中学准备去采购A、B两种实验器材，下面是销售人员呈现的两次销售记录（每次销售这两种实验器材的单价都不变），如表： A（件） B（件） 金额（元） 第一次 20 10 1100 第二次 25 20 1750 (1)求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？ (2)此中学打算同时采购A、B两种实验器材，预算为600元，请问共有几种采购方案？ 【答案】(1)型实验器材的单价为30元，型实验器材的单价为50元 (2)共有3种采购方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出二元一次方程． （1）设型实验器材的单价为元，型实验器材的单价为元，根据两次采购A、B两种实验器材的金额列出方程组求解即可； （2）设购买种器材台，种器材台，根据预算为600元，列出方程，再结合为正整数求解即可． 【详解】（1）解：设型实验器材的单价为元，型实验器材的单价为元， 依题意，得， 解得， 答：型实验器材的单价为30元，型实验器材的单价为50元； （2）解：设购买种器材台，种器材台． 由题意，得， 为正整数， 当时，； 当时，； 当时，， 答：共有3种采购方案． 17．某商场用6600元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台，已知A品牌取暖器每台进价为60元，售价为80元；B品牌取暖器每台进价为70元，售价为100元． (1)两种取暖器各购进多少台？ (2)在将两种取暖器从厂家运往商场的过程中，A品牌取暖器损坏了5台（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而B品牌取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利，已知B品牌取暖器在原售价基础上提高，问A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ 【答案】(1)A品牌取暖器购进40台，B品牌取暖器购进60台 (2)A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多4元 【分析】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台，根据“用6600元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台”，列出方程组，解之即可得出结论； （2）设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元，根据＂这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利＂，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台． 由题意得：， 解得： 答：A品牌取暖器购进40台，B品牌取暖器购进60台． （2）解：设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元， 由题意得： 解得： 答：A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多4元． 18．闻喜花馍是山西省运城市闻喜县的传统名点，是第二批国家级非物质文化遗产．春节到来之际，某电商平台推出，两种型号的闻喜花馍礼盒，第一天售出礼盒10个、礼盒5个，总计收入1600元，第二天售出礼盒5个、礼盒10个，总计收入2700元； (1)，两种型号的闻喜花馍礼盒每盒的售价分别是多少元？ (2)李叔叔计划同时购买这两种礼盒，预算为1300元．请你帮助他设计预算资金恰好用完时的购买方案．（直接回答即可） 【答案】(1)型号礼盒每盒100元，型号礼盒每盒120元 (2)型号礼盒购买7个，型号礼盒购买5个或型号礼盒购买1个，型号礼盒购买10个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． （1）设型号礼盒每盒元，型号礼盒每盒元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设购买型号礼盒购买个，型号礼盒购买个，根据题意列出二元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设型号礼盒每盒元，型号礼盒每盒元， 根据题意，得， 解得， 答：型号礼盒每盒100元，型号礼盒每盒120元； （2）解：设购买型号礼盒购买个，型号礼盒购买个， 由题意可得：， ∵、为非负整数， ∴，或，， ∴有两种方案：型号礼盒购买7个，型号礼盒购买5个或型号礼盒购买1个，型号礼盒购买10个． 覆盖训练07:阴影面积问题 19．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个边长为b的小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、． (2)若，，求的值． (3)当时，求出图3中阴影部分的面积S3． 【答案】(1)， (2)34 (3)20 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算． （1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含、的代数式分别表示、； （2）根据，将，代入进行计算即可； （3）根据，，即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图可得，， ； （2）解：， ，， ； （3）解：由图可得，， ， ． 20．请认真观察图形，解答下列问题：    (1)根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积和：(只需表示，不必化简) (2)由（1）你能得到怎样的等量关系？请用等式表示； (3)如果图中的满足求的值． 【答案】(1)方法一：；方法二： (2) (3)9 【分析】（1）根据阴影部分的面积与空白部分的面积关系即可求出结果； （2）根据阴影部分的面积相等即可求出结果； （3）根据与已知条件即可求出对应值． 【详解】（1）解：方法一：∵图中阴影部分的面积由两部分组成，第一部分的面积为，第二部分的面积为： ； ∴阴影部分的面积的第一种表示方法为． 方法二：∵大正方形的面积为；空白部分的面积为， ∴阴影部分的面积为：； （2）解：由（1）可知阴影部分的面积相等， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ 21．如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，且．若图①中阴影部分的面积为3，图②中四边形的面积为5，求图②中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算与图形的面积、正方形的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由题意可得、两式相加得．再根据图①可得，进而得到，最后根据图②中四边形的面积为5列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 两式相加得． ∵图①中阴影部分的面积为3， ∴． ∵， ∴． ∵图②中四边形的面积为5， ∴图②中阴影部分的面积为． 覆盖训练08:规律问题 22．我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．如；． …… …… …… …… … … (1)请你写出和的展开式； (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期________． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； (4)你能在（3）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程． 【答案】(1)； (2)三 (3) (4) 【分析】本题考查了数字类变化规律，读懂题意并根据所给的式子找到规律是解题的关键． （1）根据规律即可求解； （2）通过变形得到，根据规律即可得解； （3）由题意可得，即可解答； （4）令则，与（3）中所给的式子相加可得，即可解答． 【详解】（1）解：； ； （2）解：， 故除以余1， 则今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期三， 故答案为：三； （3）解：令则， 令则， ； （4）解：令则， ， 23．“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； (1)请用此方法拆分． (2)请你用上面的方法归纳一般结论，列出第n个等式（n为正整数），并借助运算证明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了数字规律型问题，还考查了整式的混合运算和乘法公式．熟练掌握等式所反映的规律，是解题的关键． （1）依据材料中等式的规律解答即可； （2）根据依据材料中发现等式的规律写出含 n的等式证明成立即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第2024个等式： （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 则含n的等式是． 理由：∵右边， 左边， ∴左边右边， ∴成立． 24．观察下列各式： ； ； …… 根据你发现的规律解答下列问题： (1)直接写出结果： (2)若n是正整数，且，则 (3)根据你发现的规律，计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式乘除综合，熟练掌握整式乘除相关规律是解题的关键， （1）根据题意找整式运算的规律，即可得到答案； （2）根据题意找整式运算的规律，即可得到答案； （3）根据（2）中整式运算规律的逆运算计算，即可得到答案； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： 故答案为：； （3）解： ． 覆盖训练09:配方法求最值 25．请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法，求代数式的最小值． ， ∵，∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)，则________，________； (2)求证：无论x取何值，代数式的值都是负数； (3)若代数式的最小值为3，求k的值． 【答案】(1)3，1 (2)见解析 (3)2或 【分析】本题考查了完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）利用完全平方公式进行配方即可得； （2）先利用完全平方公式进行配方可得，再根据偶次方的非负性即可得证； （3）先利用完全平方公式进行配方可得，再根据最小值可得，利用平方根解方程即可得． 【详解】（1）解： ， 所以， 故答案为：3，1． （2）证明： ， ∵， ∴， ∴， 即无论取何值，代数式的值都是负数． （3）解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为， 又∵代数式的最小值为3， ∴， 解得或． 26．阅读理解：我们一起来探究代数式的值， 探究一：当时，代数式的值为______， 当时，代数式的值为______， 可见，代数式的值随x的改变而改变． 探究二：把代数式进行变形，如：， 可得：当______时，代数式取得最小值，最小值为______． 请回答下列问题： (1)请补充完成探究一、探究二，直接在横线处填空； (2)当x取何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ (3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，长方形花园的面积取得最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)探究一：6，11；探究二：，2； (2)当时，取得最小值，最小值为； (3)当米时，长方形花园的面积取得最大值，最大值是200平方米． 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是明确题意，列出关系式． （1）将、的值分别代入计算即可，再根据非负数的性质可得探究二中代数式的最值情况； （2）将代数式配方成，再根据非负数的性质可得答案； （3）设米，根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后配方即可求得结果，注意求出的边长要符合题意． 【详解】（1）探究一：当时，代数式， 当时，代数式， 探究二：∵， ∴当时，代数式取得最小值，最小值为2， 故答案为：6、11、、2； （2） 当时，取得最小值，最小值为； （3）设米，则米 长方形花园的面积为 ∴当米时，长方形花园的面积取得最大值，最大值是200平方米． 覆盖训练10:探索完成任务 27．根据以下素材，探索完成任务． 探究平行线在一副三角尺中的运用 素材背景 亲爱的同学们，学习数学要求我们“用数学的眼光观察现实世界”．一副三角尺为我们观察世界提供一个小小的窗口，学完平行线性质，可探究三角尺摆放位置不同涉及的数学问题． 素材 如图1是一副三角尺，． 问题解决 任务图 任务1 如图2，将两个三角尺如图摆放，使点A与点重合，点在上，与相交于点，则______度．（提示：过点作） 任务2 如图3，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于，则与有怎样的数量关系？说明理由． 任务3 将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合，当点A在直线的下方时，探究这两块三角尺一组边互相平行的情况，请直接写出角度所有可能的值（如图4提供了其中一种情况）． 【答案】任务一：；任务二：，理由见解析；任务三：的度数分别为，，，或 【分析】任务1：过点G作，根据平行线的性的性质进行求解即可； 任务2：过点D作，根据，得出，根据平行线的性质进行求解即可； 任务3：分五种情况进行讨论：当，当，当，当当，分别画出图形求出结果即可． 【详解】任务1：解：过点G作， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 任务2：，理由如下： 过点D作，如图3所示， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴． 任务3：的度数分别为，，，或． 详解：如图4，∵，， ∴， ∴； 如图5，∵，， ∴， ∴； 如图6，∵，， ∴ 如图7，∵，， ∴， ∴， ∴ 如图8，设与交于点T， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，三角板中角度的计算，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 28．根据以下素材，探索完成任务. 校园实践基地土地分割方案 素材1 学校有一块总面积为的长方形空 地，现将这块空地用于建造实践基地．    素材2 将长方形空地分割为以下三种类型土地： 型土地是的正方形， 型土地是的正方形， 型土地是的长方形． （，都是正整数）        问题解决 任务一 学校原计划将长方形空地分割成1块型土地、2块型土地、3块型 土地（如图），请你用两种不同的方式表示出长方形空地的面积（用含，的式子表示）． ①______； ②______．   任务二 学校现决定将长方形空地分割成1块型土地、6块型土地、5块型 土地，请你在虚线框中画出长方形空地的分割示意图，并写出一个关于，的等式． 等式：______．   任务三 根据任务二的分割方案，求出，的值． 【答案】任务一：①；② 任务二：见详解， 任务三： 【分析】本题主要考查了列代数式、整式运算的应用、解二元一次方程组等知识，正确理解题意是解题关键． （1）根据长方形的面积公式以及分割后各块土地面积和，分别列式即可； （2）根据题意对长方形空地进行分割，然后列出等式即可； （3）根据，都是正整数，易知该长方形的长和宽也为正整数，可设长方形的长和宽分别为和，然后列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：任务一：根据题意，可得列代数式，． 故答案为：①；②； 任务二：长方形空地的分割示意图如下图所示，    根据示意图，可得等式：． 故答案为：； 任务三：根据题意，长方形空地的面积为，且，都是正整数， ∴该长方形的长和宽也为正整数， 则长方形的宽和长只能分别为和， 根据任务二中的分割方案， 可得， 解得． 覆盖训练11:二元一次方程的新定义应用 29．规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”. (1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____． (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可，解方程组即可； （2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”． 本题主要考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得方程的“共轭二元一次方程”为， 由题意，得， 解得， 故答案为：，． （2）解：由二元一次方程组为“共轭方程组”， 得， 解得， 故， 故此“共轭方程组”的共轭系数为． 30．我们把关于x，y的二元一次方程，叫作数对的“伴随方程”；若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则称数对是数对的“伴随数对”． (1)已知数对，在数对中，是数对的“伴随数对”的是 ； (2)若数对是数对和数对的“伴随数对”，求数对的“伴随方程”； (3)若是n个不同的数对，满足前一个数对是后面所有数对的“伴随数对”，且n的最大值是t，如果关于x的不等式组恰好有2024个整数解，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，方程的解，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确理解新定义是解题的关键． （1）由题意得“伴随方程”为：，将分别代入验证即可； （2）由题意得，，解得：，故数对的“伴随方程”为：； （3）解不等式组得：，由n的最大值是t， 得到，则，则，确定这2024个整数解为， 故，解得：． 【详解】（1）解：由题意得：“伴随方程”为： 将点代入得， 将点代入得， 将点代入得， 将点代入得， ∴点，是数对的“伴随数对”， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 解得：， ∴数对的“伴随方程”为：； （3）解：解不等式组， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为： ∵n的最大值是t， ∴，则， ∴， ∵关于x的不等式组恰好有2024个整数解， ∴这2024个整数解为， ∴， 解得：． 覆盖训练12:光线问题 31．【习题再现】（1）苏科版初中数学教材七上第194第10题：如图1，，点在，之间．写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【迁移思考】（2）小明在完成第10题的探究后，对该页的第5题又作了探究与变式思考： ①如图2，在长方体盒底部有一面平面镜，点处有一个光源，光线的入射角等于反射角，法线与平面镜垂直，即，垂足为，入射光线经过镜面发射后，恰好经过点．小明认为，图中，请帮小明说明理由； ②如图3，在长方体盒子里放置4块平面镜，其中，若光线从上的处射出，在平面镜上经点反射后，到达上的点，其传播路径为请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2）①理由见解析；②，理由见解析 【分析】此题主要考查了平行的性质，垂线的概念． （1）过点E作，则，由平分线的性质得，，则，据此即可得出，，之间的数量关系； （2）①根据得，则，再根据光线的入射角等于反射角得，据此即可得出结论； ②由①的结论得，，则，再由（1）的结论得，，由此即可得出与的数量关系． 【详解】解：（1），，之间的数量关系是：，理由如下： 过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）①理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵光线的入射角等于反射角， ∴， ∴； ②与的数量关系是：，理由如下： 由①的结论得：，， ∴， ∵， 由（1）的结论得：，， ∴． 32．【原理探究】如图①，根据光的反射原理，反射角等于入射角，即反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角（法线为经过入射点A且与平面镜l垂直的直线），由此可得，理由为__________． 【实际应用】 请用【原理探究】获得的结论解决以下问题： 如图②，平面镜相对放置，光线经过两次反射，为反射光线． （1）若平面镜互相平行，那么入射光线与反射光线平行吗？为什么？ （2）若，调整平面镜的位置，使得，请在备用图中画出相应的平面镜和反射光线，并求此时的度数． 【答案】原理探究：等角的余角相等；实际应用：（1）入射光线与反射光线平行，理由见解答；（2）平面镜和反射光线见解答；或或或 【分析】本题考查了作图的应用和设计，平行线的性质，掌握平面镜原理和平行线的性质是解题的关键． 原理探究：根据互余的性质求解； 实际应用：（1）根据平面镜原理和平行线的判定定理求解；（2）根据平面镜原理和平行线的性质定理求解． 【详解】解：原理探究：∵反射角等于入射角，， （等角的余角相等）， 故答案为：等角的余角相等； 实际应用：（1）入射光线与反射光线平行， 理由：由平面镜原理得：， ， ， ， ， ； （2）平面镜和反射光线如下图③和图④所示： 当反射光线向右时：延长到F， ， 由平面镜原理得：， ， ， ， 当M和N互换位置时，； 当反射光线向左时：如下图④所示： ， ， 由平面镜原理得：，平分，， ， ， 当M和N互换位置时，． 覆盖训练13:拼图问题 33．有足够多的如图所示的正方形和长方形的卡片． (1)选取1号、2号、3号卡片若干张，拼成一个正方形（不重叠无缝隙），并能运用拼图前后面积之间的关系，说明，，之间的数量关系成立，请画出这个正方形．小涵说简单，他很快的画出这个正方形． 解：如图1所示，正方形即为所求．设大正方形的面积为S，则面积S有两种不同的表示法：______，______．利用这一图形，我们可以发现，，之间的数量关系式是______． (2)小明想用类似（1）的方法解释多项式乘法，那么用2号卡片______张，3号卡片______张． (3)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）． ①请画出这个长方形的草图． ②并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义，这个长方形的代数意义是______（写出一个你认为正确的等式）． (4)根据（1）中的数量关系，解决如下问题：已知，，求的值． 【答案】(1)，， (2)3，5 (3)①见解析，② (4) 【分析】本题考查了代数式，完全平方公式的应用，掌握矩形的面积公式和整式乘法法则是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式求解； （2）根据矩形的面积公式求解； （3）①根据整式的乘法法则求解；②由①中图形即可解答； （4）根据完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴； （2）解∵， ∴用2号卡片3张，3号卡片5张； （3） 解：①这个长方形为： ②该大长方形的长为，宽为，面积为：， 这个长方形的代数意义是：； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴． 34．数学课上，张老师准备了图①中、、三种型号的卡片做拼图游戏，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形． (1)选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应选取_____张B型卡片，才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形边长为_____（用含a，b的代数式表示）； (2)选取4张B型卡片，按图②的方式拼图，则中间正方形作为第四种D型卡片，由此可验证的等量关系为_____． (3)现有A，B，C型号卡片各8张，且，从中选取张拼正方形，每种卡片至少选一张，当所拼正方形边长最大时，的最大值为_____； (4)选取1张图②中的D型卡片，3张B型卡片，不重叠的放在长方形内（如图③），当的长度不变，的长度变化时，两块阴影部分（均为长方形）的面积差S始终为定值，探索a与b的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)21 (4)，见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握完全平方公式． （1）根据多项式与多项式相乘的法则即可进行计算； （2）根据正方形的性质即可解决问题； （3）利用正方形的面积即可解决问题； （4）设，根据题意可得，根据，列出等式，整理后得，进而可以解决问题．． 【详解】（1）解：； 1张型卡片，4张型卡片，则应选取4张型卡片，才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形边长为， 故答案为：； （2）根据题意可知：， 故答案为：； （3）1张型卡片的面积为张型卡片的面积为张型卡片的面积为，因此这张卡片的面积为， 而， 因此可以拼成一个边长为的正方形，而卡片一共只有， ， 至少选7张型卡片，要使最大，则8张型卡全用上， ， 因此的值为， 故答案为：21； （4）设，根据题意，得， ， ∵根据， ， ， ， ， ， ， 或， ∴与的关系为． 覆盖训练14:平行线的折线模型 35．如图1，，过点作，可得．利用平行线的性质，可得：与，之间的数量关系是 　 　， 　 　． 利用上面的发现，解决下列问题： （1）如图2，，点是和平分线的交点，，求的度数； （2）如图3，，平分，，平分，若比大，则的度数是 　 　． 【答案】，；（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质，难点是类比思想、方程思想在解题中的应用． （1）由已知得，根据平行线的性质得，，据此可得出与，之间的数量关系；先由得，，据此可得出的度数； （2）设，，则，，由（1）的结论得，，进而得，据此可得的度数； （3）设，则，，，由（1）的结论及得，进而得，再由（1）的结论得，然后根据比大得，据此可求出的度数． 【详解】解：与，之间的数量关系是：． 理由如下： ，， ， ，， ， 即：； ，理由如下： ， ，， ， 即：， 故答案为：，； （2）平分，平分， 设，， ，， 由（1）的结论得： ， ， 又， ， ， ； （3）设， 平分， ， ， ， 由（1）的结论得： ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 比大， ， 即：， 解得：， ． 故答案为：． 36．【感知】（1）如图①，，求的度数． 小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程． 解：如图①，过点P作， 【探究】（2）如图②，，求的度数； 【应用】（3）如图③，在以上【探究】条件下，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． （4）已知直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上（点C在点D的左侧），连接，的平分线与的平分线所在的直线交于点E，设，请画出图形并求出的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1）；推理过程见解析；（2）；（3）；（4）的度数为或或或或． 【详解】本题主要考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）根据平行线的性质与判定可求解； （2）过点P作，根据平行的性质求出，，由即可求解； （3）依据题意，根据的平分线和的平分线交于点G，可得的度数； （4）画出图形，分点A在点B左侧和点A在点B右侧，两种情况，分别求解． 解：（1）如图①所示，过点P作， （ 两直线平行，内错角相等）， ， （平行于同一直线的两条直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， ，即； （2）如图②，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴； （3）如图③所示， 是的平分线，是的平分线， ， ， 过点G作， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （平行于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ； （4）当点A在B左侧时，如图，过点E作，则， ， 平分平分， ， ， ． 当点A在B右侧时，点E在上方时，如图，过点E作，则， ， 平分平分， ， ， ． 当点A在B右侧时，点E在和外时，点E在下方时， 同理可求． 当点A在B右侧时，点E在和内时， 过点E作，则， ， 平分平分， ， ， ， ，或， 综上，的度数为或或或或． 覆盖训练15:三角板旋转平行求t或角度 37．如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的条件下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为15秒或45秒或60秒 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质，注意分情况讨论是解题的关键． （1）过G作，由平行线的性质得出，再由计算即可得出答案； （2）过F作．由平行线的性质得出，再由计算即可得出答案； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别利用平行线的性质建立方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过G作， ，， ， ， ； （2）解：如图，F作， ，， ， ， ； （3）解：分三种情况： 当时，如图： ，， ， ， ， 解得； 当时，如图： ，， ， ， 解得； 当时，过F作， ，， ， ，， ； ， 解得； 综上，三角板旋转的时间为15秒或45秒或60秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． 38．综合与探究 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一副三角板的摆放”为主题展开活动．    (1)如图1，将两块三角板的一直角边重合，含有角的直角三角板的斜边与重合，含角的直角三角板的一个顶点在直线上，已知，求的度数． (2)如图2，在图1的基础上，直角三角板固定不动，让直角三角板绕着点逆时针方向旋转，使得点恰好在上，边与交于点，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)在图1的基础上，如图3，仍然让直角三角板固定不动，直角三角板绕着点逆时针旋转（旋转度数小于），设边（或的延长线）与相交于点，当斜边与另一直角三角板的某一边平行时，直接写出（即）的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算； （1）过点作，则，，根据，进而根据平行线的性质，即可求解； （2）过点作，得出，根据，即可求解； （3）分三种情况讨论，分别画出图形，，，，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，    ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴ （2），理由如下， 过点作，    ∵， ∴ ∴，， ∴ 即， ∵， ∴，即， ∴， ∴， （3）解：如图所示，当时，则    ∵ ∴ ∴ ∴； 当时，如图所示，延长交于点，过点作    ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， 当时如图所示，    此时旋转度数大于，不合题意 综上所述，或 覆盖训练16:平方差公式与几何图形 39．某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，分别构造了以下四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有___________；（填序号） (2)【应用】利用“平方差公式”计算； (3)【拓展】计算：． 【答案】(1)①③ (2)1 (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，平方差公式的运用，有理数的混合运算，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）利用平方差公式将原式化为计算即可． 【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，因此面积为， 所以有，因此图①可以验证平方差公式； 图②中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为，不可验证平方差公式； 图③中，左侧阴影部分的面积为，右侧阴影部分是2个梯形面积，即， ∴，可验证平方差公式； 图④中，左侧阴影部分的面积，右侧阴影部分的面积为，无法验证平方差公式； 故答案为：①③ （2） ； （3） ． 40．【知识生成】 （1）用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，图1是用长为x，宽为y（）的四个完全相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到三者之间的等量关系式：__________． 【知识迁移】 （2）图2的大正方体是由若干个小正方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大正方体的体积，我们也可以得到一个等式：__________． 【成果运用】利用上面所得到的结论解答下列问题： （3）已知，求的值． （4）已知，则_________． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景及其应用，用两种方法表示同一个图形面积或体积是求解本题的关键． （1）用两种方法表示同一个图形面积即可． （2）用两种方法表示同一个几何体体积即可． （3）利用前面得到的关系变形计算． （4）先利用绝对值和平方的非负性求出、的关系，再利用前面得到的关系变形计算． 【详解】解：（1）图1的阴影部分的面积可表示为，还可以用表示， ∴． 故答案为：． （2）图2的体积可表示为，还可以用小正方体和长方体的体积加起来表示为； ∴； 故答案为：． （3）∵， ∴由（1）可知， 又∵， ∴． （4）∵， 又∵，， ∴，， ∴，， 又由（3）可知， ∴． 故答案为：． 覆盖训练17:完全平方公式与几何图形 41．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）： 图1表示：________；图2表示：________； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②请直接写出下列问题答案： 若，，则　　； 若，则　　． (3)如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，求四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】(1)， (2)①；②；； (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键． （1）由图1可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积可得；由图2可知，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积可得； （2）①把两边平方后，再代入，即可求出的值； ②根据将原式变形求解即可； （3）首先根据题意得到，然后利用长方形的面积是200，结合完全平方公式代入求值即可． 【详解】（1）解：图1中，由图可知，，也可以表示为， ∴，即， 故答案为：； 图2中，由图可知，，也可以表示为， ∴， 故答案为：； （2）解：①， ， ，， ； ②由图2可得， ，， ， ， ． 故答案为：；若，则 设，，则，， ∵，∴，解得，∴，∴ ． 故答案为：； （3）解：，， ，， ， 长方形的面积是200， ， ， 令，， ，， ， ， 四边形的面积． 42．数形结合是数学学习中一种很重要的思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，利用图1中图形面积的两种不同表示方式可以得到等式． 【解决问题】 （1）如图2，用四个全等的长方形（为两条邻边长，且）拼成一个大正方形，内含一个小正方形．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则下列三个关系式中，正确的是_____．（只填序号） ①；②；③． （2）用四个全等的直角三角形（是直角边，是斜边）和一个边长为的正方形拼接成一个大正方形如图3所示．根据此图形，可以得到一个关于的等式，请你写出这个等式． 【创新设计】 （3）如图4，A型是边长为的正方形，B型是长为、宽为的长方形，C型是边长为的正方形，其中A型、B型、C型都有若干个．请你用A型、B型、C型拼出一个长方形或正方形（A型、B型、C型至少使用一次，拼接时不可有重叠、不可有缝隙），并根据你的拼图写出一个关于的等式． 【答案】（1）①②③；（2）；（3）图见解析，写出的关于的等式是： 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据拼图得出大正方形、小正方形以及长方形的边长之间的关系、面积之间的关系，逐项进行判断即可； （2）用代数式表示图形中大、小正方形面积，长方形的面积由面积之间的和差关系可得答案； （3）画出相应的拼图，再根据面积之间的和差关系即可得出答案． 【详解】解：（1）图2中，大正方形的边长，因此①正确； 图2中大正方形的边长，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，4个小长方形的面积为，由拼图可知，即，因此②正确； 由拼图可知，，所以，即，因此③正确； 故答案为：①②③； （2），理由如下： 图3中大正方形的面积为，小正方形的面积为，4个直角三角形的面积和为， 因此有，即； （3）画图：如图所示（画图不唯一）， 根据拼图，可得关于，的等式是：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练 思维导图 覆盖训练01:平移作图 1．如图，由小正方形组成的网格中点，，，均在网格线的交点处． (1)将三角形向下平移2格后得到三角形，请在网格中画出三角形． (2)将三角形平移后得到三角形，点移动到处，请补全三角形． (3)在（2）的基础上，连接和，则与的位置关系为______，数量关系为______． 2．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点均为格点，位置如图所示，将三角形先向右平移4个单位长度得到三角形，再向上平移3个单位长度得到三角形． (1)画出平移后的三角形及三角形； (2)平移过程中，线段扫过的面积是___________． 3． 如图， 在 的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点C的对应点C． (1)画出平移以后的； (2)连接，，则这两条线段的关系是 ； (3)求线段在平移过程中扫过区域的面积？ 覆盖训练02:平行的性质与判定 4．如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连结． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 5．（1）如图，直线与相交于点，平分，若，求的度数．    （2）如图，已知，，求证：．    6．如图，在中，过点作直线为上一点，连接交于点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 覆盖训练03:尺规作图 7．如图，在一条直线上： (1)尺规作图，以为顶点，以射线为一边，作（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 8．如图，点，在直线外，于点，于点，连接，平分． (1)依据题意，补充完整图形．（注：画出正确图形即可，不需要尺规作图） (2)若，求证：． 9．如图，、分别平分、，，． (1)尺规作图：在射线上作，并连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知， 求证：． 证明：平分（已知） ① （角平分线的定义） （已知） ② （两直线平行，内错角相等） 又平分（已知） ③ （角平分线的定义） 又（已知） ④ （等量代换） （ ⑤ ） 覆盖训练04:折叠问题 10．如图，已知四边形纸片的边，是边上任意一点，沿折叠，点落在点的位置．    (1)观察发现：如图①所示：，，则______． (2)拓展探究：如图②，点落在四边形的内部，探究，，之间的数量关系，并证明； (3)迁移应用：如图③，点落在边的上方，则（2）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们的数量关系并证明． 11．如图，延时课上，梅梅将一张长方形纸条（上、下两边平行）沿直线折叠，为折痕． (1)请依据所学知识判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 12．【问题情境】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习了平行线后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，张明是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的1—3，虚线部分表示折痕）． (1)张明同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在纸上画出一条直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平．则＝_______°； ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时张明说，就是的平行线．张明的说法正确吗？请写出过程予以证明； (2)李强同学在张明同学折纸的基础上，补充了条件：如图4，连接交于点G，连，并在上找一点H，使得，试判断线段与的位置关系，并说明理由． 覆盖训练05:新定义运算 13．对于实数a、b，定义关于“”的一种运算：，例如． (1)求的值； (2)若，，求的平方根． 14．对有理数a、b、c、d定义新运算“”， 规定，请你根据新定义规定解答下列问题： (1)计算； (2)当时，求上式的值． 15．我们定义：一个整数能表示（a，b是整数）的形式，则这个数为“和谐数”，例如：8是“和谐数”，理由：因为，所以8是“和谐数”． (1)请判断18________“和谐数”（填“是”或“不是”）； (2)当整数m，n满足时，求“和谐数”的值； (3)若实数x，y满足，求的最小值． 覆盖训练06:二元一次方程组的应用 16．某中学准备去采购A、B两种实验器材，下面是销售人员呈现的两次销售记录（每次销售这两种实验器材的单价都不变），如表： A（件） B（件） 金额（元） 第一次 20 10 1100 第二次 25 20 1750 (1)求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？ (2)此中学打算同时采购A、B两种实验器材，预算为600元，请问共有几种采购方案？ 17．某商场用6600元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台，已知A品牌取暖器每台进价为60元，售价为80元；B品牌取暖器每台进价为70元，售价为100元． (1)两种取暖器各购进多少台？ (2)在将两种取暖器从厂家运往商场的过程中，A品牌取暖器损坏了5台（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而B品牌取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利，已知B品牌取暖器在原售价基础上提高，问A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ 18．闻喜花馍是山西省运城市闻喜县的传统名点，是第二批国家级非物质文化遗产．春节到来之际，某电商平台推出，两种型号的闻喜花馍礼盒，第一天售出礼盒10个、礼盒5个，总计收入1600元，第二天售出礼盒5个、礼盒10个，总计收入2700元； (1)，两种型号的闻喜花馍礼盒每盒的售价分别是多少元？ (2)李叔叔计划同时购买这两种礼盒，预算为1300元．请你帮助他设计预算资金恰好用完时的购买方案．（直接回答即可） 覆盖训练07:阴影面积问题 19．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个边长为b的小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、． (2)若，，求的值． (3)当时，求出图3中阴影部分的面积S3． 20．请认真观察图形，解答下列问题：    (1)根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积和：(只需表示，不必化简) (2)由（1）你能得到怎样的等量关系？请用等式表示； (3)如果图中的满足求的值． 21．如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，且．若图①中阴影部分的面积为3，图②中四边形的面积为5，求图②中阴影部分的面积． 覆盖训练08:规律问题 22．我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．如；． …… …… …… …… … … (1)请你写出和的展开式； (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期________． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； (4)你能在（3）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程． 23．“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； (1)请用此方法拆分． (2)请你用上面的方法归纳一般结论，列出第n个等式（n为正整数），并借助运算证明这个结论是正确的． 24．观察下列各式： ； ； …… 根据你发现的规律解答下列问题： (1)直接写出结果： (2)若n是正整数，且，则 (3)根据你发现的规律，计算的值． 覆盖训练09:配方法求最值 25．请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法，求代数式的最小值． ， ∵，∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)，则________，________； (2)求证：无论x取何值，代数式的值都是负数； (3)若代数式的最小值为3，求k的值． 26．阅读理解：我们一起来探究代数式的值， 探究一：当时，代数式的值为______， 当时，代数式的值为______， 可见，代数式的值随x的改变而改变． 探究二：把代数式进行变形，如：， 可得：当______时，代数式取得最小值，最小值为______． 请回答下列问题： (1)请补充完成探究一、探究二，直接在横线处填空； (2)当x取何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ (3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，长方形花园的面积取得最大值，最大值是多少？ 覆盖训练10:探索完成任务 27．根据以下素材，探索完成任务． 探究平行线在一副三角尺中的运用 素材背景 亲爱的同学们，学习数学要求我们“用数学的眼光观察现实世界”．一副三角尺为我们观察世界提供一个小小的窗口，学完平行线性质，可探究三角尺摆放位置不同涉及的数学问题． 素材 如图1是一副三角尺，． 问题解决 任务图 任务1 如图2，将两个三角尺如图摆放，使点A与点重合，点在上，与相交于点，则______度．（提示：过点作） 任务2 如图3，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于，则与有怎样的数量关系？说明理由． 任务3 将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合，当点A在直线的下方时，探究这两块三角尺一组边互相平行的情况，请直接写出角度所有可能的值（如图4提供了其中一种情况）． 28．根据以下素材，探索完成任务. 校园实践基地土地分割方案 素材1 学校有一块总面积为的长方形空 地，现将这块空地用于建造实践基地．    素材2 将长方形空地分割为以下三种类型土地： 型土地是的正方形， 型土地是的正方形， 型土地是的长方形． （，都是正整数）        问题解决 任务一 学校原计划将长方形空地分割成1块型土地、2块型土地、3块型 土地（如图），请你用两种不同的方式表示出长方形空地的面积（用含，的式子表示）． ①______； ②______．   任务二 学校现决定将长方形空地分割成1块型土地、6块型土地、5块型 土地，请你在虚线框中画出长方形空地的分割示意图，并写出一个关于，的等式． 等式：______．   任务三 根据任务二的分割方案，求出，的值． 覆盖训练11:二元一次方程的新定义应用 29．规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”. (1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____． (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 30．我们把关于x，y的二元一次方程，叫作数对的“伴随方程”；若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则称数对是数对的“伴随数对”． (1)已知数对，在数对中，是数对的“伴随数对”的是 ； (2)若数对是数对和数对的“伴随数对”，求数对的“伴随方程”； (3)若是n个不同的数对，满足前一个数对是后面所有数对的“伴随数对”，且n的最大值是t，如果关于x的不等式组恰好有2024个整数解，直接写出m的取值范围． 覆盖训练12:光线问题 31．【习题再现】（1）苏科版初中数学教材七上第194第10题：如图1，，点在，之间．写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【迁移思考】（2）小明在完成第10题的探究后，对该页的第5题又作了探究与变式思考： ①如图2，在长方体盒底部有一面平面镜，点处有一个光源，光线的入射角等于反射角，法线与平面镜垂直，即，垂足为，入射光线经过镜面发射后，恰好经过点．小明认为，图中，请帮小明说明理由； ②如图3，在长方体盒子里放置4块平面镜，其中，若光线从上的处射出，在平面镜上经点反射后，到达上的点，其传播路径为请判断与的数量关系，并说明理由． 32．【原理探究】如图①，根据光的反射原理，反射角等于入射角，即反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角（法线为经过入射点A且与平面镜l垂直的直线），由此可得，理由为__________． 【实际应用】 请用【原理探究】获得的结论解决以下问题： 如图②，平面镜相对放置，光线经过两次反射，为反射光线． （1）若平面镜互相平行，那么入射光线与反射光线平行吗？为什么？ （2）若，调整平面镜的位置，使得，请在备用图中画出相应的平面镜和反射光线，并求此时的度数． 覆盖训练13:拼图问题 33．有足够多的如图所示的正方形和长方形的卡片． (1)选取1号、2号、3号卡片若干张，拼成一个正方形（不重叠无缝隙），并能运用拼图前后面积之间的关系，说明，，之间的数量关系成立，请画出这个正方形．小涵说简单，他很快的画出这个正方形． 解：如图1所示，正方形即为所求．设大正方形的面积为S，则面积S有两种不同的表示法：______，______．利用这一图形，我们可以发现，，之间的数量关系式是______． (2)小明想用类似（1）的方法解释多项式乘法，那么用2号卡片______张，3号卡片______张． (3)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）． ①请画出这个长方形的草图． ②并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义，这个长方形的代数意义是______（写出一个你认为正确的等式）． (4)根据（1）中的数量关系，解决如下问题：已知，，求的值． 34．数学课上，张老师准备了图①中、、三种型号的卡片做拼图游戏，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形． (1)选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应选取_____张B型卡片，才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形边长为_____（用含a，b的代数式表示）； (2)选取4张B型卡片，按图②的方式拼图，则中间正方形作为第四种D型卡片，由此可验证的等量关系为_____． (3)现有A，B，C型号卡片各8张，且，从中选取张拼正方形，每种卡片至少选一张，当所拼正方形边长最大时，的最大值为_____； (4)选取1张图②中的D型卡片，3张B型卡片，不重叠的放在长方形内（如图③），当的长度不变，的长度变化时，两块阴影部分（均为长方形）的面积差S始终为定值，探索a与b的关系，并说明理由． 覆盖训练14:平行线的折线模型 35．如图1，，过点作，可得．利用平行线的性质，可得：与，之间的数量关系是 　 　， 　 　． 利用上面的发现，解决下列问题： （1）如图2，，点是和平分线的交点，，求的度数； （2）如图3，，平分，，平分，若比大，则的度数是 　 　． 36．【感知】（1）如图①，，求的度数． 小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程． 解：如图①，过点P作， 【探究】（2）如图②，，求的度数； 【应用】（3）如图③，在以上【探究】条件下，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． （4）已知直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上（点C在点D的左侧），连接，的平分线与的平分线所在的直线交于点E，设，请画出图形并求出的度数（用含的式子表示）． 覆盖训练15:三角板旋转平行求t或角度 37．如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的条件下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 38．综合与探究 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一副三角板的摆放”为主题展开活动．    (1)如图1，将两块三角板的一直角边重合，含有角的直角三角板的斜边与重合，含角的直角三角板的一个顶点在直线上，已知，求的度数． (2)如图2，在图1的基础上，直角三角板固定不动，让直角三角板绕着点逆时针方向旋转，使得点恰好在上，边与交于点，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)在图1的基础上，如图3，仍然让直角三角板固定不动，直角三角板绕着点逆时针旋转（旋转度数小于），设边（或的延长线）与相交于点，当斜边与另一直角三角板的某一边平行时，直接写出（即）的度数． 覆盖训练16:平方差公式与几何图形 39．某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，分别构造了以下四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有___________；（填序号） (2)【应用】利用“平方差公式”计算； (3)【拓展】计算：． 40．【知识生成】 （1）用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，图1是用长为x，宽为y（）的四个完全相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到三者之间的等量关系式：__________． 【知识迁移】 （2）图2的大正方体是由若干个小正方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大正方体的体积，我们也可以得到一个等式：__________． 【成果运用】利用上面所得到的结论解答下列问题： （3）已知，求的值． （4）已知，则_________． 覆盖训练17:完全平方公式与几何图形 41．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）： 图1表示：________；图2表示：________； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②请直接写出下列问题答案： 若，，则　　； 若，则　　． (3)如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，求四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值） 42．数形结合是数学学习中一种很重要的思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，利用图1中图形面积的两种不同表示方式可以得到等式． 【解决问题】 （1）如图2，用四个全等的长方形（为两条邻边长，且）拼成一个大正方形，内含一个小正方形．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则下列三个关系式中，正确的是_____．（只填序号） ①；②；③． （2）用四个全等的直角三角形（是直角边，是斜边）和一个边长为的正方形拼接成一个大正方形如图3所示．根据此图形，可以得到一个关于的等式，请你写出这个等式． 【创新设计】 （3）如图4，A型是边长为的正方形，B型是长为、宽为的长方形，C型是边长为的正方形，其中A型、B型、C型都有若干个．请你用A型、B型、C型拼出一个长方形或正方形（A型、B型、C型至少使用一次，拼接时不可有重叠、不可有缝隙），并根据你的拼图写出一个关于的等式． 学科网（北京）股份有限公司 $$