第2单元 圆柱和圆锥高频易错培优(讲义)-2024-2025学年六年级下册数学苏教版

圆柱和圆锥 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 第一部分 思维导图 第二部分 典型例题 例题1：一个圆锥形沙堆，底面半径2米，高1.2米，用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米的路面，能铺多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】先利用圆锥的体积计算公式求出这堆沙的体积，再据沙子的体积不变，代入长方体的体积公式即可求出所铺沙子的长度． 【解答】解：2厘米＝0.02米 沙堆的体积：3.14×22×1.2 ＝3.14×4×0.4 ＝5.024（立方米） 所铺沙子的长度：5.024÷（10×0.02） ＝5.024÷0.2 ＝25.12（米） 答：能铺25.12米长． 【点评】此题主要考查圆锥和长方体的体积计算方法，关键是明白：沙子的体积不变． 例题2：一个圆锥形麦堆，量得底面周长是15.7米，高是1.2米．如果每立方米小麦约重700千克，那么这堆小麦重多少千克？ 【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据圆锥的体积公式：vsh，求出麦堆的体积，然后用小麦的体积乘每立方米小麦的质量即可． 【解答】解：3.14×（15.7÷3.14÷2）2×1.2×700 3.14×2.52×1.2×700 3.14×6.25×1.2×700 ＝7.85×700 ＝5495（千克）， 答：这堆小麦重5495千克． 【点评】此题主要考查圆锥的体积公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式． 例题3：小强用橡皮泥做了一个圆锥形学具，圆锥的底面周长是12.56厘米，高是9厘米。他又做一个长方体纸盒，正好能把圆锥形橡皮泥装进去。 ①橡皮泥学具的体积是多少立方厘米？ ②做这个纸盒至少用了多少平方厘米硬纸？ 【答案】①37.68立方厘米； ②176平方厘米。 【分析】①根据圆锥的体积公式：Vπr2h，把数据代入公式解答。 ②这个纸盒的底面边长等于圆锥的底面直径，纸盒的高等于圆锥的高，根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答。 【解答】解：①3.14×（12.56÷3.14÷2）2×9 3.14×4×9 ＝37.68（立方厘米） 答：橡皮泥学具的体积是37.68立方厘米。 ②12.56÷3.14＝4（厘米） 4×4×2+4×9×4 ＝16×2+36×4 ＝32+144 ＝176（平方厘米） 答：做这个纸盒至少原来176平方厘米的硬纸。 【点评】此题主要考查圆锥的体积公式、长方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 例题4：一个圆锥形的沙堆，底面周长是31.4m，高是1.2m。把这堆沙铺在宽5m的路上，平均铺4cm厚，能铺多少米？ 【答案】157米。 【分析】根据体积的意义可知，把这堆沙铺在长方形路面上，沙的体积不变，根据圆锥的体积公式：Vπr2h，长方体的体积公式：V＝abh，那么a＝V÷（bh），把数据代入公式解答。 【解答】解：4厘米＝0.04米 3.14×（31.4÷3.14÷2）2×1.2÷（5×0.04） 3.14×25×1.2÷0.2 ＝31.4÷0.2 ＝157（米） 答：能铺157米。 【点评】此题主要考查圆锥的体积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 例题5：在一个直径是20厘米的圆柱形容器里，放入一个底面半径2厘米的圆锥形铁块，全部浸没在水中，这时水面上升了0.3厘米。这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】22.5厘米。 【分析】根据题意，这个圆锥形铁块的体积就是上升0.3厘米的水的体积，由此可以求出这个圆锥的体积，再利用圆锥的体积公式VSh即可求出这个圆锥的高。 【解答】解：3.14×（20÷2）2×0.3×3÷（3.14×22） ＝314×0.9÷12.56 ＝282.6÷12.56 ＝22.5（厘米） 答：圆锥形铁块的高是22.5厘米。 【点评】此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的灵活应用，这里根据上升的水的体积求得圆锥铁块的体积是本题的关键。 第三部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 1．圆锥的特征 圆锥是由一个底面和一个侧面两部分组成的，它的底面是一个圆，侧面是一个曲面． 2．圆柱的展开图 圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高． 3．圆柱的侧面积和表面积 圆柱的表面积＝侧面积+2个底面积 圆柱的侧面积＝底面的周长×高，用字母表示： S侧＝Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高），或S侧＝2πrh 圆柱的底面积＝πr2 圆柱的表面积＝侧面积+两个底面积，用字母表示： S表＝2πr2+2πrh 圆柱的体积＝底面积×高，用字母表示： 4．圆柱的体积 若一个圆柱底面半径为r，高为h，则圆柱的体积为V＝πr2h 5．圆锥的体积 圆锥体积＝×底面积×高，用字母表示： V＝Sh＝πr2h，（S表示底面积，h表示高） 第四部分 高频真题 1．如图，用一张长方形的纸剪去两个圆后，与剩下的小长方形正好可以组成一个圆柱．已知一个圆的面积是50.24平方厘米，问：这个圆柱的表面积是多少平方厘米？（π取3.14） 2．一个圆锥形沙堆，底面积是9.42平方米，高0.9米，把这堆沙子铺入长4.5米、宽2米的沙坑里，可以铺多厚？ 3．沿着圆柱体的直径自上而下锯成2部分，表面积增加36平方厘米，高与底面直径的比是2：1，这个圆柱的体积是多少？ 4．一个底面周长是6.28分米，高是20厘米的圆柱。 （1）沿底面直径垂直切开成两部分，表面积增加多少平方厘米？ （2）这个圆柱的体积是多少？ 5．向阳村要建一个圆柱形储水池．底面半径10米，深3米 （1）这个蓄水池的占地面积多少平方米？ （2）如果给这个蓄水池的四周和池底抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （3）这个蓄水池能蓄水多少立方米？ 6．一个圆锥形零件，底面积是170平方厘米，高是12厘米。这个零件的体积是多少立方厘米？ 7．王大妈家有一堆晒干的圆锥形稻谷，底面周长25.12米，高0.9米。如果把这堆稻谷装进底面半径是2米的圆柱形粮仓，仓内稻谷高多少米？ 8．一个无盖的圆柱形铁皮水桶，水桶内存有一些水，水面高度正好是桶高的，淘气将一块体积为628立方厘米的铁块放入水中，完全浸没。这时水面上升了2厘米，水桶正好装满。 （1）这个水桶的高是多少厘米？ （2）做这个水桶需要铁皮多少平方厘米？（铁皮的厚度和接口处忽略不计） 9．一个近似圆锥形的沙堆，测得它的底面直径是10米，高是2米。如果每立方米沙子重1.5吨，这堆沙子大约重多少吨？ 10．一个圆锥形的沙堆，底面周长是25.12m，高是3m，每立方米沙重1.7t，这堆沙重多少吨？（得数保留整吨数） 11．一个高为4分米的圆柱，把底面分成若干个相等的扇形，再竖直切开拼成一个近似的长方体，表面积增加了16平方分米，圆柱的体积是多少立方分米？（结果保留π） 12．一个长12厘米，宽3厘米，高6.28厘米的长方体实心铁块，将它熔成一个底面半径是3厘米的实心圆柱铁块，这个圆柱体铁块的表面积是多少平方厘米？ 13．蒙古包是闻名于世的一种建筑形式也称“毡包”，蒙古语把它叫作“哈那”，是蒙古传统民居，如图所示蒙古包是由一个圆柱体和一个圆锥体组成。（计算过程中π均取值为3） （1）这个蒙古包至少占地多少？ （2）这个蒙古包至少占了多大的空间？ 14．在一个直径是20cm的圆柱形容器里，放入一个底面半径是3cm的圆锥形铁块，全部浸设在水中，这时水面上升0.3cm。 （1）圆锥形铁块的体积是多少cm3？ （2）圆锥形铁块的高是多少dm？ 15．如图，用一张长165.6厘米的铁皮，剪下一个最大的圆作为圆柱的底面，剩下的部分围在底面上做成一个无盖的铁皮水桶，算一算这个铁皮水桶的容积是多少？（铁皮厚度不计，π取3.14） 16．把一个底面直径20厘米的圆柱切拼成一个近似的长方体，长方体表面积比圆柱表面积多400平方厘米。圆柱的体积是多少立方厘米？ 17．一个圆锥形小麦堆，底面周长是12.56米，高3米，每立方米小麦重0.75吨．这堆小麦的占地面积是多少？这堆小麦约重多少吨？ 18．一辆货车车厢是一个长方体，它的长是6米，宽是1.5米，高是3米．装满一车沙子，卸下后沙子堆成一个高是2米的圆锥体，这个沙堆的底面积是多少平方米？ 19．小明把一个底面半径是3厘米的铁圆锥，放在从里面量半径是5厘米的圆柱形透明的玻璃容器内。小明把一瓶装有550毫升的纯净水倒入容器，这时水深正好与圆锥的高相等。圆锥的体积是多少？ 20．一个圆锥形小麦堆，底面半径是2米，高1.2米，如果每立方米小麦重750千克，小麦的出粉率是85%，这堆小麦能磨出面粉多少千克？ 21．一个圆锥形的沙堆，底面周长是18.84米，高是1米，把它均匀铺在宽为10米的公路上，厚度为2厘米，可以铺多少米？ 22．如图，有一个高9厘米，容积为630毫升的圆柱形容器A，里面装满了水。现在把长15厘米的圆柱B垂直放入，使B的底面和A的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把B从A中拿走后，A中的水的高度只有6厘米，求圆柱B的体积。 23．一个底面半径为6cm的圆柱形容器中装了部分水，水中完全浸没着一个高6cm的圆锥形铅锤，当把铅锤从水中拿出后，水面下降了5mm，这个圆锥形铅锤的底面半径是多少？ 24．在一个棱长为4厘米的正方体的前后．左右、上下各面的中心位置挖去一个底面半径为1厘米、高为1厘米的圆柱，则挖去后物体的表面积为多少？（圆周率取3.14计算） 25．一个圆柱形的汽油桶底面直径是8分米，高5分米．现装满汽油，如果每升汽油重0.85千克，这个油桶的汽油共多少千克？ 26．有一个圆柱，它的底面积与侧面积正好相等，如果这个圆柱的底面积不变，高增加3厘米，它的表面积就增加113.04平方厘米，求原来圆柱的表面积。 27．挖一个圆柱形蓄水池，要使它的容积是188.4立方米，水池的半径是3米，应挖多少米深？ 28．一个高为8分米的圆柱形木桶里，装了半桶水，把水倒出12升后，剩下的水恰好占水桶容积．这个水桶的底面积是多少平方分米？ 29．一段长4米的圆柱形木头，如果把它锯成3段，表面积增加20平方厘米，原来木头的体积是多少立方厘米？ 30．两块棱长比是1：3的正方体木料，大正方体木料削成最大的圆锥，小正方体木料削成最大的圆柱。削成的圆锥和圆柱的体积比是多少？ 31．把一个底面积是16dm2，高是6dm的圆柱形钢材熔铸成一个底面积是18dm2的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？ 32．学校科技小组制作一个上面是圆锥形、下面是圆柱形的火箭模型。量得圆锥的高是4厘米，圆柱的高是20厘米，它们的底面直径都是6厘米。这个火箭模型的体积是多少立方厘米？ 33．爷爷把收获的麦子堆成了一个底面积为25.12m2，高1.8m的圆锥形，现准备把这堆小麦装入一个底面周长为12.56m，高为2.5m的圆柱形粮囤里。装完后，小麦距离粮囤口还有多少米？ 34．一个圆柱体的侧面积是1cm2，体积是2cm3，它的底面积是多少平方厘米？ 35．如图，一个圆柱高10厘米，如果它的高增加4厘米，那么它的表面积将增加50.24平方厘米，求原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 36．灯笼的侧面和下底都粘红绸，做这对灯笼至少要用红绸多少平方厘米？（图中单位：cm） 37．童童把一块橡皮泥揉成圆柱形。如果把圆柱形橡皮泥切成3块（如图1），表面积将增加50.24平方厘米；如果切成4块（如图2），表面积将增加80平方厘米。圆柱形橡皮泥的体积是多少立方厘米？ 38．将一个底面半径是4厘米，高是9厘米的实心圆柱形铁块，锻造成一个底面半径是8厘米的实心圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 39．一个圆锥形沙堆，底面积28.26平方米，高3米。用这堆沙在10米宽的公路上铺5厘米厚的路面，能铺多少米？ 40．在一节数学活动课上，同学们进行实践操作。先往一个长方体的容器中注水，水深4.4厘米，如图（1），然后将一根圆柱形冰柱垂直放入其中，水的高度上升到5.5厘米，这时刚好有冰柱浸没在水中，如图（2）。 （1）整根冰柱的体积是多少立方厘米？ （2）已知冰化成水，体积会减少，这根冰柱融化后将变成多少毫升的水？ 41．下图是两个茶叶盒，一个是长方体形（底面为正方形），一个是圆柱形．计算一下它们的表面积和容积（纸板厚度不计）？哪一个表面积大？哪一个容积大？通过计算你有什么发现？ 42．把一根长5分米的圆钢截成4段后，表面积的总和比原来增加了113.04平方分米．求原来的圆钢的体积． 43．把一个圆柱底面平均分成若干个扇形，沿高切开拼成一个近似长方体，这个长方体的宽是5厘米，高是7厘米，圆柱的体积是多少立方厘米？ 44．一个长方形模型的周长是24厘米，长与宽的比是3：1，以这个长方形的长边为中心轴，把这个长方形旋转周，得到的形体的体积是多少？ 45．芳芳在一个底面半径是6cm，高是15cm的圆柱形玻璃杯内装入10cm高的水，然后放入一个底面直径是8cm的圆锥形铅锤（完全浸没），水面上升到11.6cm，这个铅锤的高是多少厘米？ 46．一根圆柱形铁棒，底面周长是12.56厘米，长是100厘米，它的体积是多少立方厘米？ 47．一个圆锥体铁块，底面半径是5厘米，高比底面直径少，将这个圆锥体铁块放入到装有水的圆柱形容器中，完全浸没且没有水溢出，已知圆柱从里面量直径是20厘米，铁块放入后水面会上升多少厘米？ 48．古希腊著名的数学家阿基米德是历史上最杰出的数学家之一，在他众多的科学发现中，他自己最为满意的是：“圆柱容球定理”。如图，把一个球正好放在一个圆柱形容器中，球的直径与圆柱的高和底面直径相等，此时，球的体积正好是圆柱体积的，球的表面积也正好是圆柱表面积的。请你提一个富有挑战性的问题，并解答（请把此“圆柱容球”图片再画一下） 49．如图是一个无盖的长方体玻璃容器，水面的高度是8cm。把一个底面半径是4cm的圆锥形铅锤完全浸入水中，水面上升了0.628cm，这个铅锤的高是多少厘米？ 50．如图，把一个圆柱等分成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积增加了300平方厘米、已知长方体的高是20厘米。长方体的体积是多少？ 51．一个近似圆锥形的沙堆，高3米，底面周长25.12米，已知沙子每立方米重1.5吨，如果用一辆载重6吨的汽车运输，多少次可以运完？ 52．某建筑工地且个圆锥形沙堆，底面周长是12.56米，高是1.5米，每立方米沙重1.45吨，这堆沙约重多少吨？（得数保留整吨） 参考答案与试题解析 1．如图，用一张长方形的纸剪去两个圆后，与剩下的小长方形正好可以组成一个圆柱．已知一个圆的面积是50.24平方厘米，问：这个圆柱的表面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】见试题解答内容 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，由图形可知：圆柱的高等于圆柱的底面直径，已知一个圆的面积是50.24平方厘米，根据圆的面积公式：S＝πr2，据此可以求出圆柱的底面半径，然后根据圆柱的表面积＝侧面积+底面积×2，把数据代入公式解答． 【解答】解：圆柱的底面半径： 50.24÷3.14＝16， 因为4 的平方是16，所以圆柱的底面半径是4厘米， 则圆柱的底面直径：4×2＝8（厘米）， 3.14×8×8+50.24×2 ＝25.12×8+100.48 ＝200.96+100.48 ＝301.44（平方厘米）， 答：这个圆柱的表面积是301.44平方厘米． 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱展开图的特征，以及圆柱表面积公式的灵活运用．关键是熟记公式． 2．一个圆锥形沙堆，底面积是9.42平方米，高0.9米，把这堆沙子铺入长4.5米、宽2米的沙坑里，可以铺多厚？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，把圆锥形沙堆铺成长方体似的沙坑，沙子的体积没有变化，因此根据圆锥的体积公式Vsh可计算出沙子的体积，然后再用沙子的体积除以沙坑的底面积即可得到沙子铺的厚度，列式解答即可得到答案． 【解答】解：（9.42×0.9）÷（4.5×2） ＝2.826÷9 ＝0.314（米） 答：这些沙子可以铺0.314米厚． 【点评】解答此题的关键是确定沙子的体积没有变化，然后再根据圆锥的体积和长方体的体积公式进行计算即可． 3．沿着圆柱体的直径自上而下锯成2部分，表面积增加36平方厘米，高与底面直径的比是2：1，这个圆柱的体积是多少？ 【答案】42.39立方厘米。 【分析】根据题意可知，把这个圆柱沿底面直径锯成两个半圆柱，表面积增加的两个截面的面积，每个截面的长等于圆柱的高，每个截面的宽等于圆柱的底面直径，已知高与底面直径的比是2：1，据此可以求出高和底面直径，然后根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【解答】解：36÷2＝18（平方厘米） 18＝6×3 所以圆柱的高是6厘米，底面直径是3厘米， 3.14×（3÷2）2×6 ＝3.14×2.25×6 ＝7.065×6 ＝42.39（立方厘米） 答：这个圆柱的体积是42.39立方厘米。 【点评】此题主要考查长方形的面积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点求出圆柱的高和底面直径。 4．一个底面周长是6.28分米，高是20厘米的圆柱。 （1）沿底面直径垂直切开成两部分，表面积增加多少平方厘米？ （2）这个圆柱的体积是多少？ 【答案】（1）800平方厘米； （2）6280立方厘米。 【分析】（1）通过观察图形可知，把这个圆柱沿底面直径垂直切开成两部分，表面积增加两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面直径，根据圆的周长公式：C＝πd，那么d＝C÷π，据此求出底面直径，再根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。 （2）根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1）6.28分米＝62.8厘米 62.8÷3.14＝20（厘米） 20×20×2 ＝400×2 ＝800（平方厘米） 答：表面积增加800平方厘米。 （2）3.14×（62.8÷3.14÷2）2×20 ＝3.14×100×20 ＝314×20 ＝6280（立方厘米） 答：这个圆柱的体积是6280立方厘米。 【点评】此题主要考查圆柱的表面积公式、圆柱的体积公式、圆的周长公式、长方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 5．向阳村要建一个圆柱形储水池．底面半径10米，深3米 （1）这个蓄水池的占地面积多少平方米？ （2）如果给这个蓄水池的四周和池底抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （3）这个蓄水池能蓄水多少立方米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）求这个蓄水池的占地面积也就是求蓄水池的底面积，根据圆的面积公式解答； （2）抹水泥的面积＝圆柱的侧面积+底面积，又因圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆柱的底面周长和高已知，则可以求出侧面积，底面积已求，于是可以求出抹水泥的面积． （3）这个蓄水池能蓄水多少立方米，也就是求它容积，根据圆柱的容积公式解答． 【解答】解：（1）3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方米） 答：蓄水池占地314平方米． （2）3.14×10×2×3+314 ＝188.4+314 ＝502.4（平方米） 答：抹水泥的面积是502.4平方米． （3）314×3＝942（立方米） 答：这个蓄水池能蓄水942立方米． 【点评】解答此题主要分清所求物体的形状，转化为求有关图形的体积或面积的问题，把实际问题转化为数学问题，再运用数学知识解决． 6．一个圆锥形零件，底面积是170平方厘米，高是12厘米。这个零件的体积是多少立方厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据圆锥的体积公式：vsh，把数据代入公式解答即可． 【解答】解：170×12＝680（立方厘米）， 答：这个零件的体积是680立方厘米． 【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 7．王大妈家有一堆晒干的圆锥形稻谷，底面周长25.12米，高0.9米。如果把这堆稻谷装进底面半径是2米的圆柱形粮仓，仓内稻谷高多少米？ 【答案】1.2米。 【分析】根据圆锥的体积公式，即可求出圆锥形稻谷的体积，由于稻谷的体积不变，所以再根据圆柱的体积公式，即可求出圆柱体内稻谷的高度。 【解答】解：3.14×（25.12÷3.14÷2）2×0.9÷（3.14×22） ＝3.14×16×0.3÷12.56 ＝15.072÷12.56 ＝1.2（米） 答：仓内稻谷高1.2米。 【点评】解答此题的关键是：弄清思路，找出数量关系，确定运算顺序，列式解答即可。 8．一个无盖的圆柱形铁皮水桶，水桶内存有一些水，水面高度正好是桶高的，淘气将一块体积为628立方厘米的铁块放入水中，完全浸没。这时水面上升了2厘米，水桶正好装满。 （1）这个水桶的高是多少厘米？ （2）做这个水桶需要铁皮多少平方厘米？（铁皮的厚度和接口处忽略不计） 【答案】（1）20厘米； （2）1570平方厘米。 【分析】（1）把水桶的高看作单位“1”，由题意可知，2厘米相当于水桶高的（1），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。 （2）根据圆柱的体积公式：V＝Sh，那么S＝V÷h，据此可以求出水桶的底面积，进而求出水桶的底面半径，再根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1）2÷（1） ＝2×10 ＝20（厘米） 答：这个水桶的高是20厘米。 （2）水桶的底面积：628÷2＝314（平方厘米） 314÷3.14＝100（平方厘米） 因为10的平方是100，所以水桶的底面半径是10厘米， 2×3.14×10×20+314 ＝62.8×20+314 ＝1256+314 ＝1570（平方厘米） 答：做这个水桶需要铁皮1570平方厘米。 【点评】此题主要考查圆柱的体积公式、圆柱的侧面积公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 9．一个近似圆锥形的沙堆，测得它的底面直径是10米，高是2米。如果每立方米沙子重1.5吨，这堆沙子大约重多少吨？ 【答案】78.5吨。 【分析】要求这堆沙子的重量，先求得沙堆的体积，沙堆的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积计算公式求得体积，进一步再求沙堆的重量，问题得解。 【解答】解：沙堆的体积： 3.14×（10÷2）2×2 3.14×25×2 3.14×50 （立方米） 沙堆的重量： 1.578.5（吨） 答：这堆沙子大约重78.5吨。 【点评】此题主要考查圆锥的体积计算公式Vπr2h，运用公式计算时不要漏乘。 10．一个圆锥形的沙堆，底面周长是25.12m，高是3m，每立方米沙重1.7t，这堆沙重多少吨？（得数保留整吨数） 【答案】85吨。 【分析】先利用圆的周长公式求出底面半径，进而可以求出圆锥的体积；每立方米的沙重已知，乘总体积数就是这堆沙的总重量。 【解答】解：底面半径：25.12÷（2×3.14） ＝25.12÷6.28 ＝4（米） 沙的总重量：3.14×42×3×1.7 ＝3.14×16×1.7 ＝85.408（吨） ≈85（吨） 答：这堆沙子重85吨。 【点评】解答此题的关键是：先求出底面半径，从而求出这堆沙的体积和重量。 11．一个高为4分米的圆柱，把底面分成若干个相等的扇形，再竖直切开拼成一个近似的长方体，表面积增加了16平方分米，圆柱的体积是多少立方分米？（结果保留π） 【答案】16π立方分米。 【分析】根据圆柱体积公式的推导过程可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体后，体积不变，拼成的近似长方体的表面积把圆柱的表面积增加了两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径，已知表面积增加了16平方分米，据此可以求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【解答】解：底面半径： 16÷2÷4 ＝8÷4 ＝2（分米） 体积： π×22×4 ＝π×4×4 ＝16π（立方分米） 答：圆柱的体积是16π立方分米。 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱体积公式的推导过程及应用，长方体的表面积、圆柱的表面积的意义及应用。 12．一个长12厘米，宽3厘米，高6.28厘米的长方体实心铁块，将它熔成一个底面半径是3厘米的实心圆柱铁块，这个圆柱体铁块的表面积是多少平方厘米？ 【答案】207.24平方厘米。 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出铁块的体积，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，用铁块的体积除以圆柱的底面积求出圆柱的高，然后根据圆柱的表面积＝侧面积+底面积×2，把数据代入公式求出圆柱的表面积。 【解答】解：12×3×6.28÷（3.14×32） ＝36×6.28÷（3.14×9） ＝226.08÷28.26 ＝8（厘米） 2×3.14×3×8+3.14×32×2 ＝18.84×8+3.14×9×2 ＝150.72+56.52 ＝207.24（平方厘米） 答：这个圆柱的表面积是207.24平方厘米。 【点评】此题主要考查长方体的体积公式、圆柱的体积公式、圆柱的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 13．蒙古包是闻名于世的一种建筑形式也称“毡包”，蒙古语把它叫作“哈那”，是蒙古传统民居，如图所示蒙古包是由一个圆柱体和一个圆锥体组成。（计算过程中π均取值为3） （1）这个蒙古包至少占地多少？ （2）这个蒙古包至少占了多大的空间？ 【答案】（1）48平方米； （2）115.2立方米。 【分析】（1）根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 （2）根据圆锥的体积公式：Vπr2h，圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出它们的体积和即可。 【解答】解：（1）3×（8÷2）2 ＝3×16 ＝48（平方米） 答：这个蒙古包至少占地48平方米。 （2）3×（8÷2）2×1.2+3×（8÷2）2×2 3×16×1.2+3×16×2 ＝19.2+96 ＝115.2（立方米） 答：这个蒙古包至少占了115.2立方米的空间。 【点评】此题主要考查圆的面积公式、圆锥的体积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 14．在一个直径是20cm的圆柱形容器里，放入一个底面半径是3cm的圆锥形铁块，全部浸设在水中，这时水面上升0.3cm。 （1）圆锥形铁块的体积是多少cm3？ （2）圆锥形铁块的高是多少dm？ 【答案】（1）94.2立方厘米； （2）1分米。 【分析】（1）根据题意可知，把圆锥放入圆柱形容器中，上升部分水的体积就等于圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 （2）根据圆锥的体积公式：Vπr2h，那么h＝Vπr2，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1）3.14×（20÷2）2×0.3 ＝3.14×100×0.3 ＝94.2（立方厘米） 答：圆锥形铁块的体积是94.2立方厘米。 （2）94.2（3.14×32） ＝94.2×3÷（3.14×9） ＝282.6÷28.26 ＝10（厘米） 10厘米＝1分米 答：圆锥形铁块的高是1分米。 【点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 15．如图，用一张长165.6厘米的铁皮，剪下一个最大的圆作为圆柱的底面，剩下的部分围在底面上做成一个无盖的铁皮水桶，算一算这个铁皮水桶的容积是多少？（铁皮厚度不计，π取3.14） 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知：铁皮的长等于圆柱的底面周长加上直径，设圆柱的底面直径为x厘米，由题意得：3.14x+x＝165.6，解此方程求出圆柱的底面直径，圆柱的高等于底面直径，再根据圆柱的容积（体积）公式：V＝sh，把数据代入公式解答． 【解答】解：设圆柱的底面直径为x厘米，由题意得： 3.14x+x＝165.6 4.14x＝165.6 4.14x÷4.14＝165.6÷4.14 x＝40． 3.14×（40÷2）2×40 ＝3.14×400×40 ＝1256×40 ＝50240（立方厘米）， 答：这个铁皮水桶的容积是50240立方厘米． 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱展开图的特征，以及圆柱的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式． 16．把一个底面直径20厘米的圆柱切拼成一个近似的长方体，长方体表面积比圆柱表面积多400平方厘米。圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】6280立方厘米。 【分析】根据圆柱体积公式的推导方法可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，拼成的近似长方体的底面积等于圆柱的底面积，拼成的近似长方体的高等于圆柱的高，拼成的近似长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径，已知拼成的近似长方体的表面积比圆柱的表面积增加了400平方厘米，据此可以求出圆柱的高，然后根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【解答】解：20÷2＝10（厘米） 400÷2÷10 ＝200÷10 ＝20（厘米） 3.14×102×20 ＝3.14×100×20 ＝314×20 ＝6280（立方厘米） 答：圆柱的体积是6280立方厘米。 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱体积公式的推导方法及应用。 17．一个圆锥形小麦堆，底面周长是12.56米，高3米，每立方米小麦重0.75吨．这堆小麦的占地面积是多少？这堆小麦约重多少吨？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题干，要求小麦的重量，应先求出这堆小麦的体积，也就是求这个圆锥体的体积，利用C＝2πr和VSh即可解决问题． 【解答】解：12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米）； 3.14×22＝12.56（平方米）， 12.56×3＝12.56（立方米）； 12.56×0.75＝9.42（吨）． 答：这堆小麦的占地面积是12.56平方米，这堆小麦约重9.42吨． 【点评】此题考查了圆的面积公式和圆锥的体积公式在实际问题中的综合应用． 18．一辆货车车厢是一个长方体，它的长是6米，宽是1.5米，高是3米．装满一车沙子，卸下后沙子堆成一个高是2米的圆锥体，这个沙堆的底面积是多少平方米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】这些沙子不论装在车呈长方体还是卸下后堆成圆锥体，体积不变．根据长方体体积计算公式“V＝abh”求出这些沙子的体积，再根据圆锥体积计算公式“VSh”妈可求出沙堆的底面积． 【解答】解：6×1.5×3 ＝9×3 ＝27（立方米） 272 ＝81÷2 ＝40.5（平方米） 答：这个沙堆的底面积是40.5平方米． 【点评】解答此题的关键一是明白这些沙子不论堆成什么形状体积不变；二是长方体、圆锥的体积计算公式的灵活运用． 19．小明把一个底面半径是3厘米的铁圆锥，放在从里面量半径是5厘米的圆柱形透明的玻璃容器内。小明把一瓶装有550毫升的纯净水倒入容器，这时水深正好与圆锥的高相等。圆锥的体积是多少？ 【答案】75立方厘米。 【分析】根据圆锥的体积公式：Vπr2h，圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积+水的体积＝圆柱容器内水高等于圆锥高的体积，设圆锥的高为h厘米，据此列方程求出圆锥的高，然后把数据代入公式求出圆锥的体积。 【解答】解：设圆锥的高为h厘米， 550毫升＝550立方厘米 π×32×h+550＝π×52h 3πh+550＝25πh 25πh﹣3πh＝550 22πh＝550 h π×3275（立方厘米） 答：圆锥的体积是75立方厘米。 【点评】此题主要考查圆锥的体积公式、圆柱的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是求出圆锥的高。 20．一个圆锥形小麦堆，底面半径是2米，高1.2米，如果每立方米小麦重750千克，小麦的出粉率是85%，这堆小麦能磨出面粉多少千克？ 【答案】3202.8千克。 【分析】根据圆锥的体积公式：Vπr2h，把数据代入公式求出这堆小麦的体积，然后用这堆小麦的体积乘每立方米小麦的质量求出这堆有多少千克，把这堆小麦的质量看作单位“1”，再根据求一个数的百分之几是多少，用乘法解答。 【解答】解：3.14×22×1.2×750×85% 3.14×4×1.2×750×0.85 ＝5.024×750×0.85 ＝3768×0.85 ＝3202.8（千克） 答：这堆小麦能磨出面粉3202.8千克。 【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，一个求乘百分数的意义及应用，关键是熟记公式。 21．一个圆锥形的沙堆，底面周长是18.84米，高是1米，把它均匀铺在宽为10米的公路上，厚度为2厘米，可以铺多少米？ 【答案】47.1米。 【分析】先利用圆锥的体积计算公式求出这堆沙的体积，再据沙子的体积不变，代入长方体的体积公式即可求出所铺沙子的长度。 【解答】解：2厘米＝0.02米 沙堆的底面半径： 18.84÷（2×3.14） ＝18.84÷6.28 ＝3（米） 沙堆的体积： 3.14×32×1 ＝3.14×3 ＝9.42（立方米） 所铺沙子的长度： 9.42÷（10×0.02） ＝9.42÷0.2 ＝47.1（米） 答：所铺沙子的长度为47.1米。 【点评】此题主要考查圆锥和长方体的体积计算方法，关键是明白：沙子的体积不变。 22．如图，有一个高9厘米，容积为630毫升的圆柱形容器A，里面装满了水。现在把长15厘米的圆柱B垂直放入，使B的底面和A的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把B从A中拿走后，A中的水的高度只有6厘米，求圆柱B的体积。 【答案】350立方厘米。 【分析】当把长15厘米的圆柱B垂直放入容器A时，从容器中溢出的水的体积，就是放入容器A的高为9厘米的圆柱B的体积，根据圆柱的体积公式：V＝Sh，那么S＝V÷h，把数据代入公式求出容器A的底面积，进而求出溢出水的体积，然后再求出整个圆柱体B的体积。 【解答】解：圆形容器A的底面积： 630÷9＝70（平方厘米） 溢出水的体积，即放入容器A的圆柱B的体积： 70×（9﹣6） ＝70×3 ＝210（毫升） 圆柱体B的体积是： 210÷9×15 ＝350（立方厘米） 答：圆柱B的体积350立方厘米。 【点评】此题主要考查圆柱的体积（容积）公式的灵活运用，根据是熟记公式。 23．一个底面半径为6cm的圆柱形容器中装了部分水，水中完全浸没着一个高6cm的圆锥形铅锤，当把铅锤从水中拿出后，水面下降了5mm，这个圆锥形铅锤的底面半径是多少？ 【答案】3cm。 【分析】圆柱形容器中下降部分水的体积正好等于这个个圆锥形铅锤的体积，根据圆柱的体积公式：V＝Sh，可以计算出这个圆锥的体积。再用圆锥的体积乘3，再除以圆锥的高，可以计算出圆锥的底面积，用圆锥的底面积除以3.14，可以计算出圆锥底面半径的平方，最后求出这个圆锥形铅锤的底面半径是多少。 【解答】解：5mm＝0.5cm 3.14×62×0.5×3÷6 ＝3.14×36×0.5×3÷6 ＝113.04×0.5×3÷6 ＝56.52×3÷6 ＝169.56÷6 ＝28.26（cm2） 28.26÷3.14＝9（cm2） 9＝32 答：这个圆锥形铅锤的底面半径是3cm。 【点评】本题解题关键是理解：圆柱形容器中下降部分水的体积正好等于这个个圆锥形铅锤的体积，再根据圆柱的体积公式：V＝Sh，圆锥的体积公式：VSh，列式计算。 24．在一个棱长为4厘米的正方体的前后．左右、上下各面的中心位置挖去一个底面半径为1厘米、高为1厘米的圆柱，则挖去后物体的表面积为多少？（圆周率取3.14计算） 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知，把这个正方体从前后．左右、上下各面的中心位置挖去一个底面半径为1厘米、高为1厘米的圆柱，挖去后物体的表面积比原来正方体的表面积增加了6个底面半径为1厘米、高为1厘米的圆柱的侧面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，圆柱的侧面积公式：S＝2πrh，把数据分别代入公式解答． 【解答】解：4×4×6+2×3.14×1×1×6 ＝96+6.28× ＝96+37.68 ＝133.68（平方厘米） 答：挖去后物体的表面积为133.68平方厘米． 【点评】此题主要考查正方体的表面积公式、圆柱的侧面积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 25．一个圆柱形的汽油桶底面直径是8分米，高5分米．现装满汽油，如果每升汽油重0.85千克，这个油桶的汽油共多少千克？ 【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据圆柱的体积公式：v＝sh，把数据代入公式求出油桶内汽油的体积，然后用汽油的体积乘每升油的质量即可． 【解答】解：1升＝1立方分米， 3.14×（8÷2）2×5×0.85 ＝3.14×16×5×0.85 ＝50.24×5×0.85 ＝251.2×0.85 ＝213.52（千克）， 答：这个油桶的汽油共213.52千克． 【点评】此题主要考查圆柱的体积公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式．注意：容积单位与体积单位之间的换算． 26．有一个圆柱，它的底面积与侧面积正好相等，如果这个圆柱的底面积不变，高增加3厘米，它的表面积就增加113.04平方厘米，求原来圆柱的表面积。 【答案】339.12平方厘米。 【分析】根据题意可知，如果圆柱的高增加3厘米，它的表面积就增加113.04平方厘米，表面积增加的部分是高为3厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝Ch，那么C＝S÷h，据此可以求出圆柱的底面周长，根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，据此求出圆柱的底面半径，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式求出圆柱的底面积，已知它的底面积与侧面积正好相等，所以这个圆柱的表面积相当于底面积的（2+1）倍，据此解答即可。 【解答】解：113.04÷3＝37.68（厘米） 37.68÷3.14÷2＝6（厘米） 3.14×62×（2+1） ＝3.14×36×3 ＝113.04×3 ＝339.12（平方厘米） 答：原来圆柱的表面积是339.12平方厘米。 【点评】此题主要考查圆柱的表面积公式、侧面积公式、圆的周长公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 27．挖一个圆柱形蓄水池，要使它的容积是188.4立方米，水池的半径是3米，应挖多少米深？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由圆柱的体积公式V＝Sh可得：h＝V÷S，水池的半径是3米，据此可求出底面积，然后代入数据即可求解． 【解答】解：3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 188.4÷28.26（米） 答：这个蓄水池有米深． 【点评】此题主要考查圆柱的体积（容积）公式的灵活运用，熟记公式是解答本题的关键． 28．一个高为8分米的圆柱形木桶里，装了半桶水，把水倒出12升后，剩下的水恰好占水桶容积．这个水桶的底面积是多少平方分米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】把水桶的容积看作单位“1”，已知装有半桶水（桶），把水倒出12升后，剩下的水恰好占水桶容积．那么倒出的12升占容积的（），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出水桶的容积（水的体积），然后用水的体积除以水桶的高即可． 【解答】解：12升＝12立方分米， 12÷（） ＝40（立方分米）， 40÷8＝5（平方分米）， 答：这个水桶的底面积是5平方分米． 【点评】此题主要考查圆柱的体积（容积）公式的灵活运用，重点是根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出水桶的容积（水的体积），注意：容积单位与体积单位之间的换算． 29．一段长4米的圆柱形木头，如果把它锯成3段，表面积增加20平方厘米，原来木头的体积是多少立方厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】截成相等的3段后，表面积就增加了4个长方体的底面的面积，根据题干中增加的表面积20平方厘米，先求出长方体的底面积，再利用长方体的体积公式即可解决问题． 【解答】解：4米＝400厘米 20÷4×400 ＝5×400 ＝2000（立方厘米） 答：这块木料原来的体积是2000立方厘米． 【点评】抓住长方体的切割特点，根据增加的表面积求出长方体的底面积，是解决此类问题的关键． 30．两块棱长比是1：3的正方体木料，大正方体木料削成最大的圆锥，小正方体木料削成最大的圆柱。削成的圆锥和圆柱的体积比是多少？ 【答案】9：1。 【分析】根据题意，设小正方体的棱长为1，则大正方体的棱长为3，根据圆锥的体积公式：Vπr2h，圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出分别削成的圆锥、圆柱的体积，进而求出它们体积的比。 【解答】解：设小正方体的棱长为1，则大正方体的棱长为3。 [π×（3÷2）2×3]：[π×（1÷2）2×1] ＝[π×2.25×3]：[π×0.25×1] ＝2.25π：0.25π ＝9：1 答：削成的圆锥和圆柱的体积比是9：1。 【点评】此题主要考查圆锥、圆柱体积公式的灵活运用，比的意义及应用，关键是熟记公式。 31．把一个底面积是16dm2，高是6dm的圆柱形钢材熔铸成一个底面积是18dm2的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知：把圆柱形钢材铸成圆锥体，只是形状变了，但体积不变，首先根据圆柱的体积公式：V＝Sh，求出圆柱形钢材的体积，再根据圆锥的体积公式：VSh，那么h＝3V÷S，把数据代入公式解答即可． 【解答】解：16×6×3÷18 ＝288÷18 ＝16（dm） 答：这个圆锥的高是16分米． 【点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 32．学校科技小组制作一个上面是圆锥形、下面是圆柱形的火箭模型。量得圆锥的高是4厘米，圆柱的高是20厘米，它们的底面直径都是6厘米。这个火箭模型的体积是多少立方厘米？ 【答案】602.88立方厘米。 【分析】根据圆锥的体积公式：Vπr2h，圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出它们的体积和即可。 【解答】解：3.14×（6÷2）2×4+3.14×（6÷2）2×20 3.14×9×4+3.14×9×20 ＝37.68+565.2 ＝602.88（立方厘米） 答：这个火箭模型的体积是602.88立方厘米。 【点评】此题主要考查圆锥、圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 33．爷爷把收获的麦子堆成了一个底面积为25.12m2，高1.8m的圆锥形，现准备把这堆小麦装入一个底面周长为12.56m，高为2.5m的圆柱形粮囤里。装完后，小麦距离粮囤口还有多少米？ 【答案】1.3米。 【分析】根据圆锥的体积公式，求出圆锥形小麦的体积；再根据圆柱的体积公式的变形，求出囤里小麦的高度即可得解。 【解答】解：12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 25.12×1.8÷（3.14×22） ＝25.12×0.6÷（3.14×4） ＝15.072÷12.56 ＝1.2（米） 2.5﹣1.2＝1.3（米） 答：小麦距离粮屯口还有1.3米。 【点评】此题主要考查了圆锥的体积公式与圆柱的体积公式的灵活运用。 34．一个圆柱体的侧面积是1cm2，体积是2cm3，它的底面积是多少平方厘米？ 【答案】50.24平方厘米。 【分析】设底面半径为r，高为h，再根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，圆柱的体积公式：V＝πr2h，列出来两个方程求出半径和高，然后即可得出底面积。 【解答】解：设底面半径为r，高为h r＝4 3.14×4×4＝50.24（平方厘米） 答：它的底面积是50.24平方厘米。 【点评】本题考查学生对圆柱表面积和体积公式的掌握和运用。 35．如图，一个圆柱高10厘米，如果它的高增加4厘米，那么它的表面积将增加50.24平方厘米，求原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】125.6立方厘米。 【分析】用增加的表面积除以增加的高可得到原来圆柱的底面周长，然后再利用圆的周长公式计算出圆柱的底面半径，最后再利用圆柱的体积公式V＝Sh计算出圆柱的体积即可。 【解答】解：原来圆柱的底面周长为：50.24÷4＝12.56（厘米） 原来圆柱的底面半径为： 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 原来圆柱的体积为： 3.14×22×10 ＝12.56×10 ＝125.6（立方厘米） 答：原来圆柱的体积是125.6立方厘米。 【点评】解答此题的关键是确定圆柱的底面半径，然后再利用圆柱的体积公式进行计算即可。 36．灯笼的侧面和下底都粘红绸，做这对灯笼至少要用红绸多少平方厘米？（图中单位：cm） 【答案】5652平方厘米。 【分析】根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式求出作一个这样的灯笼需要红绸的面积，然后再乘2即可。 【解答】解：[3.14×20×40+3.14×（20÷2）2]×2 ＝[62.8×40+3.14×100]×2 ＝[2512+314]×2 ＝2826×2 ＝5652（平方厘米） 答：做这对灯笼至少要用红绸5652平方厘米。 【点评】此题主要考查圆柱的侧面积公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 37．童童把一块橡皮泥揉成圆柱形。如果把圆柱形橡皮泥切成3块（如图1），表面积将增加50.24平方厘米；如果切成4块（如图2），表面积将增加80平方厘米。圆柱形橡皮泥的体积是多少立方厘米？ 【答案】62.8立方厘米。 【分析】通过观察图形可知，把这个圆柱横截为3个小圆柱，表面积增加50.24平方厘米，表面积增加4个截面的面积，级才可以求出已经截面的面积，进而求出底面半径；把这个圆柱沿底面直径纵切两次，表面积增加80平方厘米，表面积增加4个切面的面积，据此可以求出一个切面的面积，进而求出圆柱的高，然后根据圆柱的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。 【解答】解：设圆柱的底面半径为r厘米。 3.14r2＝50.24÷4 3.14r2＝12.56 r2＝4 r＝2 80÷4÷（2×2） ＝20÷4 ＝5（厘米） 50.24÷4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方厘米） 答：圆柱形橡皮泥的体积是62.8立方厘米。 【点评】此题主要考查圆柱的表面积公式、体积公式、圆的面积公式、长方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 38．将一个底面半径是4厘米，高是9厘米的实心圆柱形铁块，锻造成一个底面半径是8厘米的实心圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】6.75厘米。 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，求出铁块的体积，再根据圆锥的体积公式：Vπr2h，那么h＝Vπr2，把数据代入公式解答。 【解答】解：3.14×42×9（3.14×82） ＝3.14×16×9×3÷（3.14×64） ＝452.16×3÷200.96 ＝1356.48÷200.96 ＝6.75（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高是6.75厘米。 【点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 39．一个圆锥形沙堆，底面积28.26平方米，高3米。用这堆沙在10米宽的公路上铺5厘米厚的路面，能铺多少米？ 【答案】56.52米。 【分析】要求能铺多少米，首先根据圆锥的体积公式：Vsh，求出沙堆的体积，把这堆沙铺在长方形的路面上就相当于一个长方体，只是形状改变了，但沙的体积没有变，因此，用沙的体积除以长方体的长再除以高就是所铺的长度，由此列式解答。 【解答】解：5厘米＝0.05米 28.26×3÷（10×0.05） ＝28.26÷0.5 ＝56.52（米） 答：能铺56.52米。 【点评】此题属于圆锥和长方体的体积的实际应用，解答时首先明确沙堆原来的形状是圆锥形，铺在长方形的路面上，体积不变，所以根据圆锥的体积公式求出沙的体积，用体积除以长方体的底面积问题就得到解决。 40．在一节数学活动课上，同学们进行实践操作。先往一个长方体的容器中注水，水深4.4厘米，如图（1），然后将一根圆柱形冰柱垂直放入其中，水的高度上升到5.5厘米，这时刚好有冰柱浸没在水中，如图（2）。 （1）整根冰柱的体积是多少立方厘米？ （2）已知冰化成水，体积会减少，这根冰柱融化后将变成多少毫升的水？ 【答案】（1）330立方厘米； （2）297毫升。 【分析】（1）原来水柱只有4.4厘米，因为“水面上升到5.5厘米处”说明了冰柱插入水中水面上升了（5.5﹣4.4）厘米，用底面积乘以上升的水1.1厘米的高度，就是冰柱的体积，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。 （2）根据冰化成水，体积减少，把冰柱的体积看作单位“1”，化成水的体积相当于冰柱体积的（1），再根据求一个数的几分之几是多少用乘法解答。 【解答】解：（1）10×10×（5.5﹣4.4） ＝100×1.1 ＝110×3 ＝330（立方厘米） 答：整根冰柱的体积是330立方厘米。 （2）330×（1） ＝330 ＝297（立方厘米） 297立方厘米＝297毫升 答：这根冰柱融化后将变成297毫升的水。 【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是利用物体排开水的体积等于浸入水的物体的体积，先求出浸入水中的冰柱体积，然后根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出整个冰柱的体积，进而求出冰柱化成水的体积。 41．下图是两个茶叶盒，一个是长方体形（底面为正方形），一个是圆柱形．计算一下它们的表面积和容积（纸板厚度不计）？哪一个表面积大？哪一个容积大？通过计算你有什么发现？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据长方体的容积（体积）公式：V＝abh，表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2；圆柱的容积（体积）公式：V＝πr2h，表面积公式：S表＝S侧+S底×2；把数据分别代入公式求出它们的表面积、容积，然后进行比较即可． 【解答】解：（10×10+10×20+10×20）×2 ＝（100+200+200）×2 ＝500×2 ＝1000（平方厘米）； 10×10×20＝2000立方厘米）； 3.14×12×20+3.14×（12÷2）2×2 ＝37.68×20+3.14×36×2 ＝753.6+226.08 ＝979.68（平方厘米）； 3.14×（12÷2）2×20 ＝3.14×36×20 ＝113.04×20 ＝2260.8（立方厘米）； 1000平方厘米＞979.68平方厘米， 2260.8立方厘米＞2000立方厘米， 答：表面积长方体的大，容积圆柱的大． 通过计算发现：虽然长方体的表面积比圆柱的表面积，但是长方体的容积比圆柱的容积小．也就是当长方体和圆柱体的高相等时，底面积大的容积就大． 【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、容积公式、圆柱的表面积公式、容积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 42．把一根长5分米的圆钢截成4段后，表面积的总和比原来增加了113.04平方分米．求原来的圆钢的体积． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先要明确的是：将这根圆钢锯成4段小圆柱后，增加了6个底面，增加的面积已知，于是就可以求出这根圆钢的底面积，从而利用圆柱的体积V＝Sh，即可求出这根圆钢的体积． 【解答】解：113.04÷6＝18.84（平方分米）， 18.84×5＝94.2（立方分米）． 答：原来的圆钢的体积是94.2立方分米． 【点评】解答此题的关键是明白：将这根圆钢锯成4段小圆柱后，增加了6个底面，求出圆钢的底面积，即可利用圆柱的体积公式求解． 43．把一个圆柱底面平均分成若干个扇形，沿高切开拼成一个近似长方体，这个长方体的宽是5厘米，高是7厘米，圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据圆柱体积公式的推导过程可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，这个近似长方体的长等于圆柱底面周长的一半，宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【解答】解：3.14×52×7 ＝3.14×25×7 ＝78.5×7 ＝549.5（立方厘米） 答：圆柱的体积是549.5立方厘米。 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱体积公式的推导过程的应用。 44．一个长方形模型的周长是24厘米，长与宽的比是3：1，以这个长方形的长边为中心轴，把这个长方形旋转周，得到的形体的体积是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】长方形的周长除以2求出长与宽的和，再利用按比例分配的方法求出长和宽，以这个长方形的长边为中心轴，把这个长方形旋转一周，得到一个底面半径等于长方形的宽，高等于长方形的长的圆柱体，然后根据圆柱的体积公式：V＝sh，把数据代入公式解答， 【解答】解：3+1＝4 24÷2＝12（厘米） 12（厘米） 123（厘米） 3.14×32×9 ＝3.14×9×9 ＝28.26×9 ＝254.34（立方厘米）， 答：得到的两条图形的体积是254.34立方厘米． 【点评】此题主要考查长方形的周长公式、圆柱的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 45．芳芳在一个底面半径是6cm，高是15cm的圆柱形玻璃杯内装入10cm高的水，然后放入一个底面直径是8cm的圆锥形铅锤（完全浸没），水面上升到11.6cm，这个铅锤的高是多少厘米？ 【答案】10.8厘米。 【分析】根据题意可知，把圆锥放入容器中（完全浸没），上升部分水的体积等于这个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：Vπr2h，那么h＝Vπr2，把数据代入公式解答。 【解答】解：3.14×62×（11.6﹣10）[3.14×（8÷2）2] ＝3.14×36×1.6×3÷[3.14×16] ＝180.864×3÷50.24 ＝542.592÷50.24 ＝10.8（厘米） 答：这个铅锤的高是10.8厘米。 【点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 46．一根圆柱形铁棒，底面周长是12.56厘米，长是100厘米，它的体积是多少立方厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据圆的周长公式求出圆柱形铁棒的底面半径，继而求出圆的面积，再根据圆柱的体积公式V＝sh求出它的体积． 【解答】解：12.56÷3.14÷2， ＝4÷2， ＝2（厘米）； 3.14×22×100， ＝3.14×4×100， ＝3.14×400， ＝1256（立方厘米）． 答：它的体积是1256立方厘米． 【点评】此题是考查圆柱的体积计算，在利用体积公式V＝sh求体积的过程中注意求得圆柱形铁棒的底面半径，从而得到圆柱形铁棒的体积． 47．一个圆锥体铁块，底面半径是5厘米，高比底面直径少，将这个圆锥体铁块放入到装有水的圆柱形容器中，完全浸没且没有水溢出，已知圆柱从里面量直径是20厘米，铁块放入后水面会上升多少厘米？ 【答案】0.5厘米。 【分析】把圆锥的底面半径看作单位“1”，高比底面直径少，也就是高相当于底面直径的（1），根据一个数乘分数的意义，用乘法求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式：Vr2h，求出圆锥铁块的体积，然后根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，用圆锥铁块的体积除以圆柱形容器的底面积就是水面上升的高度。 【解答】解：圆锥的高： 5×2×（1） ＝10 ＝6（厘米） 3.14×52×6÷[3.14×（20÷2）2] 3.14×25×6÷[3.14×100] ＝157÷314 ＝0.5（厘米） 答：铁块放入后水面会上升0.5厘米。 【点评】此题主要考查圆锥、圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是求出圆锥的高。 48．古希腊著名的数学家阿基米德是历史上最杰出的数学家之一，在他众多的科学发现中，他自己最为满意的是：“圆柱容球定理”。如图，把一个球正好放在一个圆柱形容器中，球的直径与圆柱的高和底面直径相等，此时，球的体积正好是圆柱体积的，球的表面积也正好是圆柱表面积的。请你提一个富有挑战性的问题，并解答（请把此“圆柱容球”图片再画一下） 【答案】球的体积是多少立方厘米？113.04立方厘米。 【分析】先画出图形中圆柱的高，提出问题：球的体积是多少立方厘米？再根据球的直径与圆柱的高和底面直径相等，此时球的体积正好是圆柱体积的，利用圆柱的体积公式：V＝πr2h，计算圆柱的体积，进而求出球的体积即可。 【解答】解：球的体积是多少立方厘米？ 如图： 3.14×（6÷2）2×6 ＝3.14×9×6 ＝113.04（立方厘米） 答：图中球的体积是113.04立方厘米。 【点评】本题主要考查球的体积的计算，解题的关键是利用球和圆柱的关系，求出球的体积。 49．如图是一个无盖的长方体玻璃容器，水面的高度是8cm。把一个底面半径是4cm的圆锥形铅锤完全浸入水中，水面上升了0.628cm，这个铅锤的高是多少厘米？ 【答案】6厘米。 【分析】根据题意可知，把这个圆锥形铅锤放入长方体容器中，上升部分水的体积就等于这个铅锤的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，圆锥的体积公式：Vπr2h，那么h＝V（πr2），把数据代入公式解答。 【解答】解：16×10×0.628（3.14×42） ＝160×0.628×3÷（3.14×16） ＝100.48×3÷50.24 ＝301.44÷50.24 ＝6（厘米） 答：这个铅锤的高是6厘米。 【点评】此题主要考查长方体的体积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 50．如图，把一个圆柱等分成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积增加了300平方厘米、已知长方体的高是20厘米。长方体的体积是多少？ 【答案】3532.5立方厘米。 【分析】根据圆柱体积公式的推导过程可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，拼成的长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个截面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径，已知表面积增加了300平方厘米，据此可以求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【解答】解：300÷2÷20 ＝150÷20 ＝7.5（厘米） 3.14×7.52×20 ＝3.14×56.25×20 ＝176.625×20 ＝3532.5（立方厘米） 答：长方体的体积是3532.5立方厘米。 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱体积公式的推导过程及应用，关键是求出圆柱的底面半径。 51．一个近似圆锥形的沙堆，高3米，底面周长25.12米，已知沙子每立方米重1.5吨，如果用一辆载重6吨的汽车运输，多少次可以运完？ 【答案】见试题解答内容 【分析】要求这堆沙子的重量，先求得沙堆的体积，沙堆的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积计算公式Vπr2h求得体积，进一步再求沙堆的重量；再用这堆沙的重量除以6即可得出至少需要载重6的汽车几次运完． 【解答】解：3.14×（25.12÷3.14÷2）2×3 ＝3.14×42 ＝50.24（立方厘米） 50.24×1.5÷6 ＝75.36÷6 ≈13（次） 答：如果用一辆载重6吨的汽车运输，大约13次可以运完． 【点评】此题主要考查学生对圆锥的体积计算公式Vπr2h的掌握与运用情况．最后求近似数要用“进一法”． 52．某建筑工地且个圆锥形沙堆，底面周长是12.56米，高是1.5米，每立方米沙重1.45吨，这堆沙约重多少吨？（得数保留整吨） 【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据圆锥的体积公式：vπr2h，求出沙堆的体积，然后用沙堆的体积除以每立方米沙的质量即可．据此解答． 【解答】解：3.14×（12.56÷3.14÷2）2×1.5×1.45 3.14×22×1.5×1.45 ＝50.083（吨） ≈50（吨） 答：这堆沙约重50吨． 【点评】此题主要考查的是圆锥体积公式的灵活应用． 学科网（北京）股份有限公司 $$