清单03 中心对称图形—平行四边形（7个考点清单+19种题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（苏科版）

清单03 中心对称图形—平行四边形 （7个考点梳理+19种题型解读+提升训练） 清单01 旋转的相关概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 旋转图形的画法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 清单02 中心对称与中心对称图形 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.作图步骤： (1) 连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 (2) 将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (3) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 5.中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 清单03 平行四边形的判定与性质 1：平行四边形的性质 边的性质：两组对边分别平行且相等； 角的性质：两组对角分别相等； 对角线的性质：对角线互相平分。 2：平行四边形的判定 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 清单04 矩形的判定与性质 1：矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 2：矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 清单05 菱形的判定与性质 1：菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 2：菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 3：菱形的判定 菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 清单06 正方形的判定与性质 1：正方形的概念与性质 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 2：正方形的判定 ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 清单07 三角形的中位线 1：三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【考点题型一 旋转的相关概念】（） 【例1】（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，绕着点O逆时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（    ） A．点O， B．点O， C．点O， D．点B， 【答案】A 【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义和性质解答即可，熟练掌握旋转的定义及性质是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：绕着点O逆时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是点O，， 故选：A． 【变式1-1】（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（   ） A．旋转中心是O，旋转角是 B．旋转中心是O，旋转角是 C．旋转中心是C，旋转角是 D．旋转中心是C，旋转角是 【答案】A 【分析】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握网格的特征和旋转的性质．观察图形，根据网格的特征可得答案． 【详解】解：由图可知，点B绕点O逆时针旋转90°可得点C，点A绕点O逆时针旋转可得点D， ∴旋转中心是点O，旋转角是； 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点，连接，点恰好落在线段上，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由旋转得，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， ∵ ∴， 故选：A． 【变式1-3】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若，，则图中的旋转角的度数是 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质旋转角为，结合，即可解决问题． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到， ∴旋转角为， ∵， ∴，即旋转角的度数是， 故答案为：． 【变式1-4】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在边长为的正方形网格中，的顶点都在格点上，将绕点逆时针旋转一定角度后，点落在格点处． (1)旋转角为______ ； (2)在图中画出旋转后的，其中、分别是、的对应点； (3)点到直线的距离是______ ． 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查作图旋转变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）连接、，利用网格特点推导出旋转角； （2）依次找出、的对应点、，连接即可； （3）利用等腰三角形的性质，在等腰直角三角形计算即可． 【详解】（1）解：连接、，，交格点， 网格为正方形， ，， 旋转角， 故答案为：； （2）解：旋转后的如图所示： （3）解：如图，作，点到直线的距离为的长， 在等腰直角三角形中，， ∴． 故答案为：． 【考点题型二 旋转的点坐标特征】（） 【例2】（23-24八年级下·江苏常州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，绕点旋转得到，已知点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，两点中点坐标计算，根据旋转的性质得到点C为的中点，设，利用两点中点坐标计算公式求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵绕点旋转得到， ∴，即点C为的中点， 设， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，将先向右平移3个单位长度得到，再绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握图形平移，旋转的性质是解题的关键． 根据图形的平移规律画出，再根据旋转的性质画出，图形结合即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下： 由图可知，坐标为， 故选：． 【变式2-2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点绕原点顺时针旋转度后得到点 ，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】画出图形，根据勾股定理运算即可． 【详解】如图，过作轴于点，则， ∵， ∴，    由题意得，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴点， 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转变换，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 【变式2-3】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第一象限内，且轴，现将点A、B绕点O同时逆时针匀速旋转，当点A绕点O旋转90°到达y轴上的点C时，点B刚好绕点O旋转了45°到达y轴上的点D处．则当点A旋转一周回到时，点B所在的位置坐标为 ． 【答案】 【分析】由题意，是等腰直角三角形，判断出点B的位置，可得结论． 【详解】解：∵当点A绕点O旋转90°到达y轴上的点C时，点B刚好绕点O旋转了45°到达y轴上的点D处， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵当点A旋转一周回到时，点B绕点O旋转180度， ∴此时点B所在的位置的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形变化—旋转，坐标确定位置，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式2-4】（23-24·八年级下·江苏南京·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． (1)将绕点E逆时针旋转得到，画出． (2)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为　　． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）分别作出点D、F绕点E逆时针旋转得到的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据旋转变换的性质可确定旋转中心，即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：根据旋转的性质可得，旋转中心为和垂直平分线的交点, 如图所示，交点P即为旋转中心，根据点P在平面直角坐标系的位置可得坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图−旋转变换和旋转的性质及平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【考点题型三 中心对称的相关概念】（） 【例3】（23-24·八年级下·江苏泰州·期中）下列图案中，是轴对称的图形但不是中心对称的图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式3-1】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 【变式3-2】（24-25八年级下·江苏无锡·单元测试）如图，把标有序号中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形，那么该小正方形的序号是 ． 【答案】①或⑥ 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，中心对称图形的定义，根据沿着某条直线折叠，两边的图形能够重合的图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形；据此进行逐项判断即可 【详解】解：结合上图，把标有序号①或⑥的小正方形涂上阴影，可以与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形； 把标有序号②的小正方形涂上阴影，是中心对称图形也是轴对称图形； 把标有序号③或④或⑤的小正方形涂上阴影，是轴对称图形； 则满足题意，该小正方形的序号是①或⑥， 故答案为：①或⑥． 【变式3-3】（2024·江苏泰州·期中）如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的有 个．    【答案】2 【分析】本题考查了中心对称的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行作图，即可作答． 【详解】解：如图所示：       则这样的有个 故答案为：2． 【变式3-4】（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在如图所示的正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂灰，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，这样的涂法有 种．    【答案】1 【分析】本题考查了中心对称图形即将图形绕某点旋转180°后与原图形完全重合，正确理解定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：根据中心对称图形的定义，可得如下涂法，且只有一种，    故答案为：1． 【考点题型四 中心对称的点坐标特征】（） 【例4】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）在平面直角坐标系中，点绕原点O旋转后的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，因为点绕原点O旋转，故所得的点与原来的点是关于原点对称，即该点的坐标是，即可作答． 【详解】解：∵点绕原点O旋转， ∴所得的点与原来的点是关于原点对称， 即该点的坐标是， 故答案为：． 【变式4-1】（23-24八年级下·江苏镇江·期中）将点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，Q与B关于原点对称，则点B的坐标是 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移及关于点对称．根据点的平移规则：左减右加，上加下减确定，然后进行求解即可． 【详解】解：点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q， ∴，即：； ∵Q与B关于原点对称， ∴点B的坐标是 故答案为：． 【变式4-2】（2024八年级下·全国·专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化--旋转问题，解题的关键是推出点的横坐标、纵坐标规律．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，即可求出的坐标． 【详解】解：是边长为的等边三角形， 的坐标为，的坐标为， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， …， ，，，，…， 的横坐标是，当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是， 故答案为 【变式4-3】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于原点成中心对称的图形，并写出点，的坐标． (2)若是由绕着某点旋转得到的，且，，的对应点分别为，，，则这点的坐标为______． 【答案】(1)作图见解析，点， (2) 【分析】本题考查作图中心对称，旋转的性质． （1）作出、、关于原点对称的的对应点、、，顺次连接即可，根据坐标系写出点的坐标，即可求解； （2）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 点， （2）解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； ∴旋转中心在线段、的中垂线上，即为图中点； 由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 【变式4-4】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知 的三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于坐标原点O成中心对称的； (2)将绕坐标原点O顺时针旋转，画出对应的， (3)若以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出在第四象限中的坐标 ． (4)在y轴上找一点p，使得的周长最小，则点P坐标为 ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) (4) 【分析】（1）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答； （2）根据网格结构找出点、、关于原点对称的点的坐标，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标； （3）根据平行四边形的对边平行且相等解答； （4）作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点． 本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示： 在第四象限中的坐标为， 故答案为：； （4）解：点坐标为， 故答案为：． 【考点题型五 平行四边形的判定】（） 【例5】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在四边形中，，添加一个条件不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判断方法，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、添加，能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、添加，能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、因为，所以，添加，则，此时，能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、添加，不能判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D 【变式5-1】（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）在四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法，由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、，，四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故该选项符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； D、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式5-2】（24-25八年级下·福建泉州·期中）在四边形中，若分别给出四个条件：①，②，③，④．现以其中的两个为一组，能判定四边形为平行四边形的条件是 （只填序号，填上一组即可，不必考虑所有可能情况）． 【答案】①④（答案为唯一） 【分析】根据平行四边形的判定定理即可进行组合判断． 【详解】解：①④组合，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形能判定四边形是平行四边形； ①②组合，不能判定四边形判定平行四边形； ①③组合，∵，∴， ∵， ∴， ∴， 从而利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形能判定四边形是平行四边形； ②④组合，利用两组对边分别相等的四边形能判定四边形是平行四边形； ③④组合不能判定四边形判定平行四边形； 故答案为：①④（答案为唯一）． 【点睛】此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 【变式5-3】（23-24·八年级下湖南岳阳·期中）已知四边形中，，，相交于点，将两端延长，使，连结，，，，添加下列条件之一①，②，③，使四边形为平行四边形．    (1)你添加的条件是：______；（填序号） (2)添加条件后求证四边形ABCD为平行四边形． 【答案】(1)① (2)见解析． 【分析】（1）根据已知条件可知，再添加即可证明，进而可证得，根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可； （2）证明，进而可证得，根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可． 【详解】（1）解：添加的条件是①：； 而②，③，根据已有条件无法证明三角形全等，无法判断四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：①． （2）证明：在和中， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和三角形全等判定和性质，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 【变式5-4】（24-25八年级下·江苏·期中）如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转90°得到． (1)线段的长是______，的度数是______°； (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)2；135 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质和平行四边形的判定，掌握旋转前后的图形对应边相等，对应顶点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题关键． （1）利用旋转可以直接求出，再利用即可求解； （2）利用旋转得出，，即可求证． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 由旋转可得，， ∴； 故答案分别为：2；135； （2）证明：由旋转可得，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【考点题型六 平行四边形的性质】（） 【例6】（2024·江苏泰州·期中）如图，中，，E，F分别为，的中点，将沿直线折叠，点C落在边上点G处，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的判定以及性质，折叠的性质，根据平行四边形的性质可得出，，得出，求出，由题意可得出，再利用平行线的性质得出，由折叠的性质可得出，最后利用平角的定义即可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵ ∴， ∵E，F分别为，的中点， ∴， ∴， 由折叠的性质可得出， ∴， 故选：D． 【变式6-1】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是（    ） A．10 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形对角线互相平分和勾股定理是解题的关键．可求得，，由求，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， ， 故选：C． 【变式6-2】（24-25八年级下·江苏泰州·开学考试）如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理的运用，理解并掌握平行四边形的性质，勾股勾股定理的计算是解题的关键． 根据平行四边形的性质，角平分线的定义得到,，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，, ∴, ∴, ∵的平分线和的平分线交于上一点， ∴, ∴, ∴， ∴, ∴, ∴, ∵, ∴， 故选：A． 【变式6-3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，点A到的距离为4，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，利用三角形全等，把阴影面积转化为的面积计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：15． 【变式6-4】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图所示，在平行四边形中，于E，于F，，，， (1)求的度数； (2)求平行四边形的周长． 【答案】(1) (2)20 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，直角三角形的性质： （1）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由，，可得，即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得，在和中，根据直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中，， ∴， ∵，， ∴， ∴平行四边形的周长为． 【考点题型七 平行四边形的动点问题】（） 【例7】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形ABCD中，，AD＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向D运动，同时，点Q从点C以相同的速度向B运动．当点P运动到点D时，点Q随之停止运动．若设运动的时间为t秒，以点A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据题意计算AP、PD、BQ、CQ，再根据平行四边形的判定方法进行逐一判定即可． 【详解】解：A．t＝2时，AP＝2cm，PD＝3cm，CQ＝2cm，BQ＝8cm，因AD∥BC，此时构成一个平行四边形APCQ，不符合题意； B．t＝3时，AP＝3cm，PD＝2cm，CQ＝3cm，BQ＝7cm，因AD∥BC，此时构成一个平行四边形APCQ，不符合题意； C．t＝4时，AP＝4cm，PD＝1cm，CQ＝4cm，BQ＝6cm，因AD∥BC，此时只构成一个平行四边形APCQ，不符合题意． D．t＝5时，AP＝5cm，CQ＝5cm，BQ＝5cm，则CQ＝BQ＝AD，因AD∥BC，此时有2个平行四边形：平行四边形ADCQ和平行四边形ADQB，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟记平行四边形的判定方法． 【变式7-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，，点C在x轴上，以A、B、C、D为顶点的平行四边形的顶点C的横坐标是 ． 【答案】1或5或 【分析】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．分两种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解． 【详解】解：设点C为， 若为边，则， ∴， ∴， ∴点， ∴， ∴， ∴或5； 当为对角线，则与互相平分， ∴， ∴， ∴点， ∴， ∴， 故答案为：1或5或． 【变式7-2】（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵平行四边形是平行四边形， ∴，， ∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴只需， ∵点从点到点需要，点从到需要， 分为以下情况： 当时，即点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； ②当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：； ③当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； 综上所述，． 【变式7-3】（24-25八年级下·江苏南通·期末）综合与实践 如图所示，在四边形中，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为． (1)直接写出：____________；（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据的值和点Q的速度是，点P的速度是，直接用t表示出的值； （2）四边形是平行四边形，则需，可得方程，再解方程即可； 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， 故答案为： ，； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了列代数式，平行四边形的性质，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 【变式7-4】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，平行四边形中，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动），当 时，四边形为平行四边形． 【答案】或或 【分析】根据平行四边形的判定可得当时，以点、、、为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 此题考查了平行四边形的判定．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 【详解】解：设经过秒，以点、、、为顶点组成平行四边形， 以点、、、为顶点组成平行四边形， ， 分为以下情况： ①点的运动路线是，方程为， 此时方程，此时不符合题意； ②点的运动路线是，方程为， 解得：； ③点的运动路线是，方程为， 解得：； ④点的运动路线是，方程为， 解得：； 综上所述，或或时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形， 故答案为：或或 【考点题型八 反证法】（） 【例8】（23-24八年级下江苏苏州·阶段练习）用反证法证明“已知：中，，求证：．”时，第一步应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【详解】解：用反证法证明：“已知在中，，求证：．”时， 第一步应假设：， 故选：D 【变式8-1】（2024八年级下·江苏·专题练习）用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应当先假设这个三角形中 ． 【答案】三角形中每一个内角都小于 【分析】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案． 【详解】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”时，应先假设三角形中每一个内角都小于． 故答案为：三角形中每一个内角都小于． 【变式8-2】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，这个命题用反证法证明应假设 ． 【答案】假设对角线不互相平分的四边形是平行四边形 【分析】反证法即假设结论的反面成立，即可得出答案． 【详解】解：根据用反证法证明应首先从命题的反面出发，假设在原命题条件下， 结论不成立即：假设对角线不互相平分的四边形是平行四边形， 故答案为：假设对角线不互相平分的四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了反证法的证明的第一步，注意从结论的反面出发假设是解题关键． 【变式8-3】（24-25八年级下·全国·期中）小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 【答案】（3）（4）（1）（2） 【分析】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设， 那么，由，得，即， 所以，这与三角形内角和定理相矛盾， 所以， 所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2）， 故答案为：（3）（4）（1）（2）． 【变式8-4】（2023八年级下·江苏·专题练习）已知中，，求证：．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以，这与三角形内角和为矛盾； ②因此假设不成立，所以； ③假设在中，； ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是 ．（填序号） 【答案】③④①② 【分析】反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： 1、假设在中，； 2、由，得，即， 3、所以，这与三角形内角和为矛盾； 4、因此假设不成立，所以． 故答案为：③④①②． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及反证法的应用，理解并掌握反证法的一般步骤是解题关键． 【考点题型九 矩形的判定】（） 【例9】（2024·江苏盐城·三模）如图，已知平行四边形的对角线，相交于点，下列选项能使平行四边形成为矩形的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质、矩形的判定和菱形的判定是解题的关键． 根据菱形的判定方法和矩形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，故此项不符合题意； B、由四边形是平行四边形，，不能判定平行四边形为矩形，故此项不符合题意； C、四边形是平行四边形，，平行四边形是矩形，故此项符合题意； D、四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式9-1】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，于点E，点在边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形是矩形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，再证，得四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ，， 四边形是矩形，故A不符合题意； ， ， ∵，， 四边形是矩形，故B不符合题意； ， ， 即， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形是矩形，故C不符合题意； ， ，故四边形不能判定是矩形，故D符合题意； 故选：D． 【变式9-2】（24-25八年级下·江苏南京·期末）在四边形中，，请再添加一个条件，使四边形是矩形，添加的条件不能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， A． 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故该选项错误，符合题意； B． 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； C． 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； D． 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定、平行四边形的判定与性质，是解题的关键． 【变式9-3】（2023·八年级下江苏南通·期中）如图，在中，相交于点O，点E、F在上，，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形是矩形，则该条件可以是 .（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，由矩形的判定可得出答案，熟记矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：添加使得四边形是矩形． 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 故答案为：． 【变式9-4】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，正方形中，是对角线上一个动点，连结，过作，，、分别为垂足，连接 (1)求证：； (2)当，时，______． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）连接，证出四边形是矩形，得出，由证明，得出，故可得结论； （2）设，则，由勾股定理得出方程求出或，再分情况讨论，由勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴； 设，则， 由勾股定理得：， ∴或 当时， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， 故答案为：或 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 【考点题型十 矩形的性质】（） 【例10】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，连接，由矩形的性质可得四边形是矩形， 即得，可知要求的最小值，就是要求的最小值，当时，取最小值，由勾股定理得，再根据三角形的面积求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴.， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴要求的最小值，就是要求的最小值， 当时，取最小值， 在中，，，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式10-1】（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，P是正方形的对角线上的一点，于点E，连接，若，，则点D到的距离为 ． 【答案】 【分析】如图所示，连接，过点P作交于点F，由勾股定理求出，然后得到，，证明出四边形是矩形，得到，设点D到的距离为h，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点P作交于点F， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴； 设点D到的距离为h， ∴， ∴， ∴， ∴点D到的距离为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式10-2】（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，，，M为斜边上一动点，过M作于点D，过M作于点E，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法等知识点，连接,先证明四边形是矩形，得出,当时最短，再由三角形的面积关系求出的最小值，即可得出结果，熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 【详解】解：连接,如图所示： , , , 四边形是矩形， , ,,, ， 当时，最短，此时的面积, 的最小值, 线段的最小值为， 故答案为：． 【变式10-3】（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，矩形中，，，点E、F分别为、边上的动点，且，M为的中点，直线分别交边、于点G、H，连接、，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．先推导出点是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，得到当共线时，的值最小，利用勾股定理计算，从而得出的最小值． 【详解】解：连接， ∵矩形，直线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，M为的中点， ∴， ∴点是以为圆心，以为半径的圆弧上的点， 作关于的对称点，连接，， ∵， ∴当共线时，的值最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为9， 故答案为：9． 【变式10-4】（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，轴，轴，垂足分别为点C，D．点P从O点出发以3个单位长度/秒的速度沿折线运动，点Q同时从B点出发以1个单位长度/秒的速度沿运动，当其中一个点到达点C时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，点P的坐标为______，______； (2)当点P在线段上时，求点P的坐标和的面积（均用含t的式子表示）； (3)在两点运动过程中，是否存在t的值，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，1 (2)， (3)或3 【分析】（1）根据题意可得，当时，，，即可求解； （2）证明四边形是矩形，可得，，从而可得，即可求得点P坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）由题意得，，求得，分类讨论：当点P在上；当点P在上；当点P在上，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， ∴， 故答案为：，1； （2）解：∵轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，； （3）解：由题意得，， ∵，，， ∴， 当点P在上，， ∵， ∴， 解得， 当点P在上，由（2）可得，， ∵， ∴， 解得， 当点P在上时，， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）， 综上所述，或3，． 【点睛】本题考查坐标与图形、矩形的判定与性质、列代数式、解一元一次方程及动点问题，运用数形结合思想进行分类讨论是解题的关键． 【考点题型十一 矩形中的折叠问题】（） 【例11】（23-24八年级下·重庆江津·期中）如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】根据矩形的性质可知，所以可证，根据角平分线的性质可证，从而可证，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证结论成立； 根据勾股定理可求，设，则，利用勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值，即为，可知，利用平行四边形的面积公式可求结果． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， 根据折叠的性质可知，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：，， ， 设，则， ，， ， 在中，， ， 解得：， ， ， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、角平分线的性质、平行四边形的面积公式． 【变式11-1】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，矩形中，，，M是边上一点，将沿直线翻折，得到． (1)当平分时，求的长； (2)连接，当时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了矩形与折叠性质，全等三角形性质，勾股定理，掌握全等三角形的性质及勾股定理是解决此题关键． (1)由折叠的性质得，根据全等三角形性质及角平分线概念得，再由矩形性质可得答案； (2)延长交的延长线于点，由矩形性质及折叠性质可得，设，则，根据勾股定理及三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）解：由折叠的性质得， ， 平分， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ； （2）解：延长交的延长线于点， 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得，， ，，， ， ， 设，则， ， ， 在中，， 即， ， ，， ， ， ， ． 【变式11-2】（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点坐标为，若把图形按如图所示折叠，使、两点重合，折痕为． (1)求三角形面积； (2)求的函数表达式． 【答案】(1)6； (2)． 【分析】（1）设点的坐标为，根据勾股定理求出，得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）根据勾股定理得到点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出解析式． 【详解】（1）解：点的坐标为，四边形为矩形， ，， 设点的坐标为， ， ，， 在中，， ， 解得：， ， ， 三角形面积； （2）解：由题意可知，，，， 设点的坐标为，则，， 在中，， 即， 解得：， ， 设直线的解析式为， 将，代入得， ， 解得：， 直线的解析式为． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，矩形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质与折叠问题是解题的关键． 【变式11-3】（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）已知矩形中，，是边上一点，连接，将沿着直线折叠得到． (1)如图1，若点在边上，的长为_______； (2)当三点在同一直线上时，求的长； (3)当点在边上运动时，连接，求线段的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形，折叠的性质可证四边形是正方形，即可求解； （2）根据折叠得到，在中运用勾股定理得到，设，则，，在中运用勾股定理得到，即可求解； （3）根据题意可得，点在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆弧上运动，当点三点共线时，的值最小，如图所示，在中运用勾股定理得到，由即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿着直线折叠得到，点在边上， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，且， ∴矩形是正方形， ∴， 故答案为：； （2）解：∵折叠，点三点在同一直线上， ∴， ∴，，， ∴， 在中，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，， ∴的长为； （3）解：∵折叠， ∴， ∴，， ∴点在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆弧上运动， ∴当点三点共线时，的值最小，如图所示， 在中，， ∴， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理求线段长，最短路径的计算方法，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 【变式11-4】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）同学们，我们经常用翻折的方法验证两个图形是否是轴对称，并研究其相关性质，请你用翻折的性质解决下列问题： (1)如图1，将沿着翻折到，则______，______； (2)如图2，将长方形对折，使得边、边重合，折痕与边、边交于点E、点F，，，点P是边上一点，将沿着折叠得到，线段、线段分别交边于点N、点 ①当M、N重合时，线段的长是多少？ ②当点P与点A重合时，点H是边上一点，将沿着线段折叠，使得点C落在边上的点G，线段的长是多少？ 【答案】(1)， (2)①的长为；② 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的判定，结合题意，画出正确的图形是解题关键． （1）根据折叠的性质即可得出答案； （2）①由折叠可知：，，，，设，则，在中，由勾股定理可求得，即得PB的长； ②由折叠可知，，，，结合，可判定设，则，在中，由勾股定理有，解得，在中，由勾股定理可得，最后 【详解】（1）解：根据折叠的性质可知，，， 故答案为：，CB； （2）解：①如图1所示， 由折叠可知：，， 由勾股定理可得：， ， 设， 则， 在中，由勾股定理有： ， 解得：， 故当M、N重合时，的长为 ②如图2所示： 将沿着线段折叠，使得点C落在边AD上的点G， ， 由（1）同理可得： 由折叠可得：，， 又∵， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理有： ， 解得： 在中，由勾股定理可得， 故 【考点题型十二 矩形中的动点问题】（） 【例12】（23-24八年级下·广东揭阳·期中）在矩形中，，，点P是线段上一个动点，若将沿折叠，使点B落在点E处，连结、，若P、E、D三点在同一条直线上，则的长度是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．0.5 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，根据矩形的性质和折叠的性质得到，利用勾股定理算出，设，则，，在中，根据勾股定理建立方程求解，即可解题． 【详解】解：当P、E、D三点在同一条直线上，如图所示： 在矩形中，，，， 根据折叠的性质，可得，，， ， 在中，根据勾股定理，得， 设，则，， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ， 故选：C． 【变式12-1】（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，，，点为边上的动点，将沿折叠到，则在点的运动过程中，的最小值是（　　）    A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先判断出时，最小，最后用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图，由折叠知，，，    当时，最小， 即， ∵， ∴， ∴点，，在同一条直线上时，最小， 由折叠知，， 在中，，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，熟记折叠的性质是解题的关键． 【变式12-2】（2023·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，动点M从点A出发沿边向点D匀速运动，动点N从点B出发沿边向点C匀速运动，连接．动点M，N同时出发，点M运动的速度为每秒1个单位长度，点N运动的速度为每秒3个单位长度．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与点D重合，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形及折叠的性质可得，然后可得，则有，设运动时间为t，则有，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设运动时间为t，则有， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质及勾股定理是解题的关键． 【变式12-3】（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）在矩形中，，，点是的中点，点为上一动点，将线段沿着折叠得到对应线段，取的中点，连接，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，两点之间，线段最短，折叠的性质，熟练掌握勾股定理及矩形的性质是解题的关键．连接，，由矩形的性质得，，由折叠的性质得，，进而根据中点得，，从而求出，，再利用两点之间，线段最短得，即可得解． 【详解】解：如图，连接，，    ∵在矩形中，，， ∴，， ∵将线段沿着折叠得到对应线段， ∴，， ∵点是的中点，取的中点， ∴，， ∵ ∴，， ∵由两点之间，线段最短得，，当、、三点共线时，最小 ∴的最小值 故答案为∶． 【变式12-4】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在长方形中，厘米，厘米，点在边上且，动点从A点出发，先以每秒1厘米的速度沿运动，然后以每秒2厘米的速度沿运动，再以每秒1厘米的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间是秒，那么当为多少时，三角形的面积等于6平方厘米． 【答案】或或 【分析】本题主要考查矩形的性质，三角形的面积，对点的位置进行分类讨论是解题的关键．分①当点在边上时，②当点在边上，且在点左侧时，③当点在边上，且在点右侧时，④当点在边上四种情况进行讨论，根据三角形的面积等于6平方厘米列出方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ①如图，当点在边上时，， ， 解得； ②如图，当点在边上，且在点左侧时， ， ， 解得； ③如图，当点在边上，且在点右侧时， ， ， 解得； 不符合题意，舍去； ④如图，当点在边上， ， ， ， ， ， 则， ， 综上，当或或时，角形的面积等于6平方厘米． 【考点题型十三 菱形的判定】（） 【例13】（24-25八年级下·广东汕头·期末）从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形是菱形，则这个条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据菱形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形．不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形．符合题意； C、邻边相等的平行四边形是菱形．不符合题意； D、邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意； 故选：B． 【变式13-1】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在□ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA．添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件可以是（    ） A． B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND 【答案】C 【变式13-2】（23-24八年级下·江苏南通·期中）在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分的形状是 ． 【答案】菱形 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定，证明是解题的关键．过点作于点，于点，先证四边形是平行四边形．再由平行四边形面积得，然后由菱形的判定即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，于点， 两条纸条宽度相同， ． ，， 四边形是平行四边形． ． 又． ， 平行四边形是菱形． 故答案为：菱形 【变式13-3】（2023·吉林·期中）如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了菱形的判定与性质．利用基本作图得到，则可判断四边形为菱形，根据菱形的性质得到，，，接着利用勾股定理计算出的长，然后根据菱形的面积公式计算． 【详解】解：连接交于点，如图， 由作法， 四边形为菱形， ，，， 在中，， ， 四边形的面积． 故答案为：． 【变式13-4】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，将矩形折叠，使点重合，折痕分别与相交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若矩形的边，，求菱形的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由折叠可得，进而利用矩形的性质可证四边形为平行四边形，进而由即可求证； （）设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 在矩形中，，设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的边长为． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，掌握矩形的性质和菱形的判定是解题的关键． 【考点题型十四 菱形的性质】（） 【例14】（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，且对角线，，则纸条的宽度是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，菱形面积的两种计算方式，掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 作，垂足为，作，垂足为，设与相交于点，根据菱形的判定与性质可知、，最后利用菱形面积的两种表示方法即可解答． 【详解】解：作，垂足为，作，垂足为，设与相交于点， ∵两张等宽的纸条，，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是菱形， ， ， ， ， 故纸条的宽是； 故选：C． 【变式14-1】（23-24八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，把正方形向左偏移，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，坐标与图形，由题意可得，，，再由勾股定理求出即可求解，利用勾股定理求出是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∴，四边形为菱形， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：． 【变式14-2】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线相交于点．过点作于点，则的长 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理逆定理，菱形的判断和性质，根据平行四边形的对角线互相平分结合勾股定理逆定理，得到，进而得到四边形为菱形，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴四边形的面积， 即：， ∴； 故答案为：． 【变式14-3】（2024·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，，点E为的中点，射线交的延长线于点F，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先证明得，再证明四边形菱形，由菱形的性质得，则，再由勾股定理求出的长，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵， ， ∵点为的中点， ， 在与中， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； ， ， ， ， ， 即的长为． 故答案为：． 【变式14-4】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交、于E、F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)20 【分析】（1）先由矩形性质得，可以通过证明，再通过对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可作答． （2）结合菱形性质，得，再根据勾股定理列式代入数值，即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ 已知 ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形 ∴ ∵四边形是菱形 ∴ 设菱形的边长为， 则， 在中 即 解得 ∴菱形的周长为20． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质、菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【考点题型十五 正方形的判定与性质】（） 【例15】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（    ）    A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴和互相平分， ∵， ∴四边形是菱形， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法：对角线相等的菱形是正方形，邻边相等的矩形是正方形，是解题的关键． 【变式15-1】（23-124八年级下·福建泉州·期末）如图，已知的对角线交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A．当时，它是菱形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是菱形 D．当时，它是正方形 【答案】D 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定逐一进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，原结论正确，不符合题意，选项错误； B、对角线相等的平行四边形是矩形，原结论正确，不符合题意，选项错误； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原结论正确，不符合题意，选项错误； D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原结论不一定正确，符合题意，选项正确， 故选D． 【点睛】本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题关键． 【变式15-2】（24-25八年级下·甘肃天水·期末）如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件即可． 【详解】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答： （1）有一组邻边相等的矩形是正方形， （2）对角线互相垂直的矩形是正方形． ∴添加，能使矩形成为正方形． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键． 【变式15-3】（23-24八年级下·山东菏泽·期中）在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 【答案】正方形 【分析】由三角形中位线的性质，可判断，，可得四边形是菱形，四边形的对角线，满足，且，四边形是正方形．本题考查了中点四边形的性质，中位线的定理，解题中需要理清思路，属于中档题． 【详解】解：如图所示： 在中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，，． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 设与交于点，与交于点， 在中，，分别是，的中点， ∴，同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形 【变式15-4】（23-24八年级下·山东淄博·期末）小刚在学习了正方形之后，给同桌小宇提出了一个问题. 如图，在中，连接对角线，，请从下列四个条件：①；②；③；④中选两个作为补充条件，使为正方形，并给予证明 请你完成小刚给小宇提出的这个问题 (1)你选择的两个补充条件是______（只填写一种所选两个补充条件的序号）； (2)请用（1）中你所选的两个补充条件作为已知条件，证明为正方形 【答案】(1)①②（答案不唯一） (2)见详解 【分析】此题主要考查了正方形的判定以及平行四边形的性质、菱形的判定方法，正确掌握正方形的判定方法是解题关键． （1）依题意：选择的两个补充条件是①②； （2）先证明平行四边形是菱形，结合，即可作答． 【详解】（1）解：依题意：选择的两个补充条件是①②；（答案不唯一） （2）解： 四边形是平行四边形， ∵ ∴平行四边形是菱形， ∵ ∴菱形是正方形， 【考点题型十六 中点四边形的性质】（） 【例16】（23-24八年级下·内蒙古包头·阶段练习）如图，在任意四边形中，M，N，P，Q分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：连接交于点O， ∵M，N，P，Q是各边中点， ， ， ∴四边一定为平行四边形，④说法正确； 时，四边形不一定为正方形，①说法错误； 时， 四边形为菱形，②说法正确； 时，， 四边形为矩形，③说法正确； 故选：C． 【变式16-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形的两条对角线一定（    ） A．互相平分 B．互相垂直 C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定，熟练掌握三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定是解题的关键．由题意作出图形，然后根据正方形的判定定理可进行排除选项． 【详解】解：如图所示，点、、、分别是四边形边、、、的中点， ， 四边形是平行四边形， A、对角线互相平分，四边形仍是平行四边形，故不符合题意； B、对角线互相垂直，则有，可推出四边形是矩形，故不符合题意； C、对角线互相平分且相等，则有，可推出四边形是菱形，故不符合题意； D、对角线互相垂直且相等，则有，，可推出四边形是正方形，故符合题意； 故选D． 【变式16-2】（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，已知第1个矩形的面积为，依次连接第1个矩形各边中点得到1个菱形，再依次连接菱形各边中点得到第2个矩形，按此方法继续下去，则第个矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形、菱形的性质．中点四边形的性质，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．第二个矩形的面积为第一个矩形面积的，第三个矩形的面积为第一个矩形面积的，依此类推，第n个矩形的面积为第一个矩形面积的． 【详解】解：如图， 由轴对称的性质可得： 第一个菱形的面积为：， 第二个矩形的面积为第一个矩形面积的； 第三个矩形的面积是第一个矩形面积的； … 故第n个矩形的面积为第一个矩形面积的． ∴第n个矩形的面积为． 故答案为． 【变式16-3】（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是 形．如果，，那么四边形的周长等于 cm． 【答案】 平行四边形 56 【分析】此题主要考查了中点四边形．直接利用三角形中位线定理得出，，得到四边形是平行四边形；由三角形中位线定理得出，，即可得出答案． 【详解】解：连接，， ，，，分别是，，，边的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ，，，分别是，，，边的中点， 同理，， ∴四边形的周长是：． 故答案为：平行四边形；56． 【变式16-4】（23-24八年级下·全国·专题练习）如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形． （1）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形． 在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． 【答案】平行四边形；（1）AC＝BD，理由见解析；（2）AC⊥BD，理由见解析；（3）AC＝BD且AC⊥BD，理由见解析； 【分析】连接AC，BD，可以根据E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，得到线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线，由中位线定理可以证明四边形EFGH为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案. 【详解】解：四边形EFGH为平行四边形； 连接AC，BD ∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点 ∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线 ∴，，，， ∴， ∴四边形EFGH为平行四边形； （1）AC＝BD， 理由：如图①四边形ABCD的对角线AC＝BD， ∵四边形EFGH为平行四边形，且，， ∴EH＝GH， ∴平行四边形EFGH为菱形． （2）AC⊥BD， 理由：如图②四边形ABCD的对角线互相垂直， ∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点 ∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线 ∴，， ∵AC⊥BD， ∴EF⊥HE， ∵四边形EFGH为平行四边形． ∴四边形EFGH为矩形． （3）AC＝BD且AC⊥BD， 理由：如图③四边形ABCD的对角线相等且互相垂直， 综合（1）（2）可得四边形EFGH为正方形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【考点题型十七 三角形的中位线】（） 【例17】（24-25八年级下·河南新乡·期中）如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点，若，则的长为（   ） A．16 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中位线的性质， 熟练掌握中位线的性质是解题的关键； 根据中位线的性质求出长度，再依据矩形的性质进行求解问题． 【详解】解：、分别为、的中点， ． ∵四边形是矩形， ． 故选：A 【变式17-1】（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在四边形中，分别是的中点，若，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线定理．熟练掌握中位线定理，是解题的关键．利用中位线定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，分别是的中点， ∴，， ∴四边形的周长为； 故答案为：． 【变式17-2】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在矩形中，，，R和P分别是，上的点，E和F分别是，的中点，当点P在上从点B向点C移动，时，线段的长是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．连接，根据勾股定理可求出，再根据中位线定理即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，    在矩形中，， ， ， 在中，， ∵点分别是的中点， ∴， 故答案为：． 【变式17-3】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点E，F，G，H分别是的中点． (1)判断四边形的形状，并证明你的结论． (2)当满足什么条件时，四边形是正方形． 【答案】(1)平行四边形，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、正方形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形中位线定理得出，且，再由平行四边形的判定定理即可得证； （2）由得出，则四边形为矩形，再由得到，继而即可得证． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形． 证明：∵分别是边的中点， ∴，且， 同理：，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是正方形， 由（1）可得：四边形是平行四边形， 同上可得：， ， ∴， ， 四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形． 【变式17-4】（24-25八年级下·山西朔州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，点，分别是对角线，的中点，平分，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线的性质，含的直角三角形的性质，平行线的判定及性质等知识点，取、边上的中点、，连接，，，根据中位线的性质可知，，，，，进而可得，，再结合含的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：取、边上的中点、，连接，，， ∵点，分别是对角线，的中点， ∴，，，，， 则，， ∴， ∵，则， ∴、、在同一直线上，则， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型十八 平行四边形中的最值问题】（） 【例18】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿着向点D移动，若过点P作，垂足分别为E、F，连接，则的长最小为（   ） A． B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，利用面积法即可得解． 【详解】解：如图，连接、，   ，， ． 四边形是矩形， ． 四边形为矩形． ． 要求的最小值就是要求的最小值． 点从点沿着往点移动， 当时，取最小值． 在中， ，，， ． ， ． 的长度最小为：． 故选：B． 【变式18-1】（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，正方形的面积为9，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查的是正方形的性质、轴对称-最短路径问题，等边三角形的性质；连接．由正方形的对称性可知，则，依据两点之间线段最短可知当点在一条直线上时，有最小值，最小值为长，然后依据正方形和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接． ∵四边形是正方形 ∴点B与D关于对称， ∴， ∴． ∴由两点之间线段最短可知当点在一条直线上时，有最小值，最小值为长． ∵正方形的面积为9， ∴． 又∵是等边三角形， ∴． ∴的最小值为3． 故答案为：3． 【变式18-2】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点D是中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B 运动．设动点P运动时间为t秒．    （1）当t为 时，四边形是平行四边形． （2）若M为线段上一点，且，当P运动 秒时，四边形的周长最小，它的最小值为 ． 【答案】 12 【分析】（1）先求出，进而求出，再根据平行四边形对边相等列出方程求解即可； （2）如图所示，作点O关于的对称点E，过点E作，连接，则，四边形是平行四边形，，推出当A、M、F三点共线时，最小，即此时四边形的周长最小，由勾股定理得，则四边形的周长最小的最小值为12，求出直线解析式为，则当时，，建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，， ∴， ∵点D是中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形； 故答案为：； （2）如图所示，作点O关于的对称点E，过点E作，连接， ∴，四边形是平行四边形，， ∴， ∴四边形的周长， ∴当A、M、F三点共线时，最小，即此时四边形的周长最小， 由勾股定理得， ∴四边形的周长最小的最小值为12， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 当时，， ∴此时， ∴， 解得， ∴当秒时，四边形的周长最小，它的最小值为12， 故答案为：，12．    【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题等等，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式18-3】（2024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题 材料一：数形结合是一种重要的数学思想如可看做是图一中的长，可看做是的长． 材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在中有一点使得的值最小．著名法学家费马给出的证明方法如下： 将绕点向外旋转得到，并连接易得是等边三角形、，则，则，所以的值最小为． 请结合以上两材料求出的最小值    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，将原式转化为，构造直角三角形，，，以为坐标原点构造直角坐标系，设为，进而得到，，，将绕点点逆时针旋转得到，并做，根据旋转的性质，含30度角的性质，求出的长，根据，进行求解即可． 【详解】解：原式 可看做下图中的，其中为 则，， 将绕点点逆时针旋转得到，并做 ，，，，， ，为等边三角形， ，，， 又 ， ∵， ∴， ∴的最小值为； 的最小值为．    【变式18-4】（23-24八年级下·江西南昌·期中）请你认真阅读思考下面的材料，完成相关问题． 【数学模型】 如图①，A，B是直线l同旁的两个定点，在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且 【模型应用】 (1)如图②，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．在l上确定一点P，则的最短路径长为______米； (2)如图③，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上一个动点，求的最小值； (3)如图④，在平面直角坐标系中，点，．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【答案】(1)1500 (2) (3)P点坐标为；的最小值为 【分析】本题考查了轴对称-最短问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键． （1）作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交线于点M，根据对称的性质得出米，米，米，再由勾股定理求解即可； （2）连接，设与交于点P，根据正方形的性质及轴对称得出P在与的交点上时，最小，为的长度，利用勾股定理求解即可； （3）作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求，利用轴对称的性质得出，则，的值最小，然后确定一次函数解析式即可得出结果，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交线于点M， ∴米， 在中，米，米， （米）， ∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米， 故答案为：1500； （2）如图，连接， 设与交于点P， ∵四边形是正方形， ∴点B与D关于对称， ∴， ∴最小． 即P在与的交点上时，最小，为的长度． ∵直角中，， ∴． ∴的最小值为． （3）如图，作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求： 利用对称的性质得到，则，的值最小； A点关于x轴对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 把代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴P点坐标为； 的最小值为：． 【考点题型十九 平行四边形综合】（） 【例19】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）平面直角坐标系不仅可以研究函数，还可以研究并解决很多图形以及图形变换问题． (1)如图①，在菱形中，若点，则点坐标为　　　； (2)如图②，线段、关于点对称，若点、、，则点的坐标为　　　； (3)如图③，在直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点、分别是轴、轴上的点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且为边时，则点的横坐标为　　　； (4)如图④，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、交于点，，求长． 【答案】(1) (2) (3)或或 (4) 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）求出，由菱形的性质得出，，则可得出答案； （2）由点B、D关于点P对称，先求出P点的坐标，再根据关于某点对称的点的特点，求出点C的坐标； （3）分三种情况，由平行的四边形的性质得出答案； （4）以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系，得出，，，，，再根据待定系数法分别求出直线解析式和直线解析式，然后联立即可得出点的坐标，最后根据两点间的距离公式即可得出答案． 【详解】（1）∵， ， ∵四边形AOBC为菱形， ∴，， ∴点B坐标为， 故答案为：； （2）∵、关于点P对称， ，， ∴点P的坐标为． 设点， ∵， ，， ∴，． ∴． 故答案为：； （3）当平行且等于时，四边形是平行四边形， ∵，N在y轴上， ∴M的横坐标为； 当平行且等于时，四边形是平行四边形， ∵，N在y轴上， ∴M的横坐标为； 当为对角线时，四边形是平行四边形， ∵，， ∴M的横坐标为； 故符合题意的有3个点，点M的横坐标分别为，4，． 故答案为：或4或； （4）以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系， 正方形的边长为，， ，，，，， 设直线解析式为，设直线解析式为，则 ，， 解得：，， 直线解析式为，直线解析式为， 联立， 解得：， 点P的坐标为， ． 【变式19-1】（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）（1）如图1，点为矩形对角线的中点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，则________； （2）如图2，点为矩形对角线上一点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，求的值． （3）如图3，点为内一点（点不在上），过点作，，与各边分别相交于点、、、．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），求的面积（用含、的代数式表示）．    【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质与判定条件． （1）过点作，根据从而得到，进而得到与的关系，从而求出结果； （2）同（1）的方法进行求解即可； （3）根据平行四边形的性质得出，，可得，再由的关系，即可求解． 【详解】（1）如图，过点作，    依题意，四边形都是矩形； ∵ 又∵ ∴ ∴； （2）如图，过点作，    ∵ 又∵ ∴ ∴； （3）解：点为平行四边形内一点，，， 四边形，四边形都是平行四边形， ，． ∵四边形的面积为，四边形的面积为（其中）， ， ． 【变式19-2】（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）在正方形中，E是边上一点（点E不与点C，D重合），连接    (1)【感知】如图①，过点A作交于点F．则与的数量关系是____________． (2)【探究】如图②，取的中点M，过点M作交于点F，交于点G． ①求证：． ②连接．若，求的长． 【答案】(1) (2)①证明过程见详解； ②2 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． （1）利用同角的余角相等判断出，证明即可得出结论； （2）①同（1）的方法判断出，即可得出结论；②利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 故答案为：； （2）①证明：过点作于，   ， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； ②解：由①知，，连接， ，点是的中点， ， ． 【变式19-3】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿翻折至，延长交边于点G，连接、． (1)求证：； (2)求证：点G是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用． （1）由折叠得，进而得出，，得出，，根据就可以判断． （2）由条件可以求出ED的值，设，则，，，由勾股定理可以求出x的值，从而可以求出和的值，得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵沿对折至， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点G是的中点． 【变式19-4】（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，点从向终点以的速度运动．点从点向终点以的速度运动．，两点同时出发，有一点到达终点停止后另一点也停止运动，直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)当运动秒时，线段______cm，______cm（用含有的代数式表示）； (2)直线运动多少秒后将四边形截得两个四边形中一个四边形为平行四边形？ (3)直线运动多少秒后将四边形截得两个面积相等的四边形？ 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，利用分类讨论是解题的关键． （1）用含t的代数式分别表示和的长； （2）分两种情况，①若四边形是平行四边形，则,进而求出t的值；②若四边形是平行四边形，则，进而求出t的值； （3）根据梯形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：运动t秒时，， 故答案为：t；． （2）由（1）可得：，， 当四边形为平行四边形时， ∵， ∴， 即， 解得； 当四边形为平行四边形时， ∵， ∴， 即， 解得； 综上所述：为12或9时，所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形， 故答案为：12或9． （3）解：由（1）可得：，，， 设边上的高为，依题意得， ∴ 解得： 答：直线运动秒后将四边形截得两个面积相等的四边形． 1．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）两条对角线互相垂直的四边形的四边中点依次连接得到（   ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形 【答案】C 【分析】本题考查的是中点四边形、三角形中位线定理、矩形的判定定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，，，，根据矩形的判定定理得到答案． 【详解】解：根据题意可设、分别为各边的中点，如图： ，，，， ∴ 四边形是平行四边形， ，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，由三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可得出， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（23-24八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，菱形的周长为40，面积为80，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则的值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．连接，由菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接， 菱形， ， 菱形的周长为40， ， ， 菱形的面积， ， 故选B． 4．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平．第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解得出，再得出，利用等面积法求出点到的距离，进而即可得出到的距离 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得：，，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴ 则， 则点到的距离为：， 则点到的距离为：． 故选：C． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在坐标系中放置一菱形，已知，点在轴上，．将菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转次，点的落点依次为，，，…，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键； 发现“每翻转次，图形向右平移”是解决本题的关键．连接，根据条件可以求出，画出第次、第次、第次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转次，图形向右平移．由于，因此点向右平移 (即)到点，根据点的坐标即可求解． 【详解】解：连接，如图所示． 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 画出第次、第次、第次翻转后的图形，如图所示； 由图可知：每翻转次，图形向右平移； ， 点向右平移 (即)到点， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为； 故选：C 6．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：连接，，延长到J，使得，连接． 由翻折变换的性质可知垂直平分线段，， ， ，G，N三点共线， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查胡不归问题，矩形的性质，勾股定理，翻折变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题． 7．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在长方形中，，．点Q从点C出发，以的速度沿边向点D运动，到达点D停止；同时点P从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止．规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为 时，与全等． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【详解】解：设点Q从点C出发，同时点P从点B出发， ①当，时，， ， ， ， ∵点Q从点C出发，以的速度沿边向点D运动， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当，时，， ， ， ， ， ， 解得：， 综上所述，当或时，与全等， 故答案为：2或 8．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正方形中，点E，F分别在边上，与交于点G．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明是解本题的关键．利用正方形的性质证明得，再利用勾股定理得出，得出，根据等面积可得的长，进而可得结论． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）在直角坐标系中，点A的坐标是，点B在坐标轴上，点B绕点A顺时针旋转落在直线上，则点B的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数上点的坐标，分为点B在x轴上和点B在y轴上两种情况，画图证明，，求出点M的坐标，代入直线解析式即可解题． 【详解】解：令点B旋转后的对应点为 当点B在x轴上时， 令点B坐标为， 则 由旋转可知， ，， 所以点M坐标可表示为 将点M坐标代入得， ， 解得， 所以点B的坐标为， 当点B在y轴上时，过点M作x轴的垂线，垂足为N， 令点B坐标为， 由旋转可知， ， 所以， 所以 在和中， ， 所以， 所以， 因为点A坐标为，点B坐标为， 所以，， 所以， 则点M坐标为， 将点M坐标代入得， ， 解得， 所以点B的坐标为 综上所述：点B的坐标为或， 故答案为：或． 10．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质以及勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于且与的距离为1的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解． 【详解】解：过点作，交、于、，过点作垂足为， 四边形是矩形， ， ， 四边形和是矩形， ， 由旋转的性质得，， ， ， ， 点在平行于，且与的距离为1的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 此时周长取得最小值，最小值为， ，， ， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，点是等边三角形内一点，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理及其逆定理，作等边三角形，连接，作交的延长线于点N，证明得证明是直角三角形，得由勾股定理求出即可． 【详解】解：作等边三角形，连接，作交的延长线于点N， ∵为等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ 又 ∴, ∴是直角三角形，且 ∴ 在中， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∵ 故答案为：． 12．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交H于点I，K．若，则四边形的面积是 ． 【答案】320 【分析】本题考查勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交的延长线于点M，作于点N，依次证明，，，，设，根据全等三角形的性质表示出相关线段的长度，最后用勾股定理解求出x的值，即可求解． 【详解】解：如图，作交的延长线于点M，作于点N， ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，； 同理，可证， ，， ， 在和中， ， ， ，； 在和中， ， ， ； 设，则， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， 四边形的面积， 故答案为：320． 13．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，解答下列问题： (1)将先向右平移5个单位，再向下平移5个单位得到，作出并写出三个顶点的坐标； (2)将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，在图中作出该点并写出旋转中心的坐标 ； (4)若以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为 ． 【答案】(1)见解析，，， (2)见解析 (3)见解析， (4)或或， 【分析】本题考查作图-旋转变换，作图-平移变换，点的坐标，平行四边形的性质，熟练掌握旋转和平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，可得出答案； （2）根据旋转的性质作图，可得出答案； （3）连接，，再分别作出线段，的垂直平分线，交点P即为所求的旋转中心，可得出答案． （4）结合平行四边形的性质，分别作出满足条件的点D，再读取坐标，即可作答． 【详解】（1）解：如图1即为所求； 由图可知，，，； （2）解：绕点O按顺时针方向旋转得到，如图即为所求； （3）解：如图，连接，，再分别作出线段，的垂直平分线，点P即为所求的旋转中心， ∴旋转中心的坐标为， 故答案为：． （4）解：依题意，如图所示： ∵以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形， ∴点D的坐标为或或， 故答案为：或或，． 14．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图1，中，，，的外角平分线交于点A，过点A分别作的延长线于，的延长线于． (1)填空：的度数______； (2)求证：； (3)若，求的长； (4)如图2，在中，，高，，求的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）过A点作于G，利用角平分线定义求出，可得，，得再证明四边形是矩形．得，得； （2）根据角平分线性质得，，即得． （3）根据（1）（2）小题结论得四边形是正方形，得，根据全等三角形得，设，，根据，得，解得，即得； （4）把和分别沿翻折，得到和，延长交于点N，可得四边形是正方形，得，得，，根据，即得． 【详解】（1）证明：过A点作于G， ∴， ∵中，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵分别是两个外角的平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：；    （2）解：过A点作于G， ∵分别是两个外角的平分线，，， ∴， ∴；    （3）解：∵， ∴， 由（1）（2）知，四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴；    （4）解：把和分别沿翻折，得到和，延长交于点N， ∴，，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴中，， ∴．    【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握角平分线定义和性质．全等三角形的判定和性质，矩形和正方形判定和性质，勾股定理，轴对称性质，作辅助线，是解题关键． 15．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点从开始沿边以每秒的速度向运动；动点从点开始沿边以每秒的速度向运动，如果、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． 则： (1)当秒时，四边形的面积是______ (2)当为几秒时，四边形为矩形？ 【答案】(1)46 (2)当t为4时，四边形APQD是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的性质及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）先分别计算出的长，再计算四边形的面积； （2）根据矩形的对边相等得到，再列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当秒时，， ， 四边形的面积是， 故答案为：46； （2）解：由题意得，， ∵四边形是矩形， ∴． ∴． 当四边形是矩形时，则有， ∴ 解得． ∴当t为4时，四边形是矩形． 16．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，使得点落在边上，的延长线交于，连接，． (1)求证：平分； (2)求证：与互相平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键． （1）首先利用矩形的性质可以得到，然后利用旋转的性质和等腰三角形的性质可以证明结论． （2）连接，利用矩形的性质与旋转的性质证明，然后利用全等三角形的性质证明四边形为平行四边形即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ． ， ， ， 平分． （2）证明：连接， 四边形为矩形， ， ． ，， ， ． ， ． ． 四边形为平行四边形， 与互相平分． 17．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图①，在中，，，边上的高为4．求作菱形，使点在边上，点，在边上． 小明的作法1．如图②，在边上取一点． 2．以点为圆心，长为半径画弧，交于点． 3．在上截取，连接，则四边形为所求作的菱形． (1)证明小明所作的四边形是菱形． (2)若点与点重合，则的长为__________． (3)小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点的位置变化而变化．请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的的长的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)①当时，菱形的个数为0；②当时，菱形的个数为1；③当时，菱形菱形的个数为2；④当时，菱形的个数为1；⑤当时，菱形的个数为0． 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，再由作图方法可知，，据此可证明结论； （2）如图，当重合时，连接，过作于，求解，，设，再利用勾股定理求解即可； （3）结合（2）的结论，根据能构成菱形则要保证以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与有交点，并且要满足且点F在上，据此画图求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：如图，当重合时，连接，过作于， ∵，，边上的高为4． ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴设， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：由（2）得：当重合时，， ①当时，以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与没有交点，如图， ∴此时菱形的个数为0； ②当时，以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与有1个交点，如图， ∴此时菱形的个数为1； ③当时，以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与有2个交点， ∴此时菱形菱形的个数为2； ④当时，以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与有1个交点， 如图， ∴此时菱形的个数为1； ⑤当时，以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与有1个交点，但是此时在的右边找不到点F使得，如图， ∴此时菱形的个数为0． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，线段的尺规作图，清晰的分类讨论是解本题的关键． 18．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，点E是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． (3)连接，若，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【分析】（1）证明即可； （2）连接交于点P，得到，则，由勾股定理得，再由勾股定理求得，即； （3）设，由勾股定理得，由，结合菱形性质得到，那么，则，则，而，则，化简得到，而，则，即可求解面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵是菱形，是菱形， ∴， ∴， ∴； （2）解：在菱形中，连接交于点P，则， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， ∴ ∴； （3）解：如图： 设 ∵， ∴， ∴ ∵菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∵ ∴， ∴，而 ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，解题的关键是合理利用菱形的性质． 120 / 129 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 中心对称图形—平行四边形 （7个考点梳理+19种题型解读+提升训练） 清单01 旋转的相关概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 旋转图形的画法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 清单02 中心对称与中心对称图形 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.作图步骤： (1) 连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 (2) 将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (3) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 5.中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 清单03 平行四边形的判定与性质 1：平行四边形的性质 边的性质：两组对边分别平行且相等； 角的性质：两组对角分别相等； 对角线的性质：对角线互相平分。 2：平行四边形的判定 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 清单04 矩形的判定与性质 1：矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 2：矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 清单05 菱形的判定与性质 1：菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 2：菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 3：菱形的判定 菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 清单06 正方形的判定与性质 1：正方形的概念与性质 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 2：正方形的判定 ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 清单07 三角形的中位线 1：三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【考点题型一 旋转的相关概念】（） 【例1】（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，绕着点O逆时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（    ） A．点O， B．点O， C．点O， D．点B， 【变式1-1】（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（   ） A．旋转中心是O，旋转角是 B．旋转中心是O，旋转角是 C．旋转中心是C，旋转角是 D．旋转中心是C，旋转角是 【变式1-2】（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点，连接，点恰好落在线段上，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若，，则图中的旋转角的度数是 ． 【变式1-4】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在边长为的正方形网格中，的顶点都在格点上，将绕点逆时针旋转一定角度后，点落在格点处． (1)旋转角为______ ； (2)在图中画出旋转后的，其中、分别是、的对应点； (3)点到直线的距离是______ ． 【考点题型二 旋转的点坐标特征】（） 【例2】（23-24八年级下·江苏常州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，绕点旋转得到，已知点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，将先向右平移3个单位长度得到，再绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点绕原点顺时针旋转度后得到点 ，则点坐标为 ． 【变式2-3】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第一象限内，且轴，现将点A、B绕点O同时逆时针匀速旋转，当点A绕点O旋转90°到达y轴上的点C时，点B刚好绕点O旋转了45°到达y轴上的点D处．则当点A旋转一周回到时，点B所在的位置坐标为 ． 【变式2-4】（23-24·八年级下·江苏南京·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． (1)将绕点E逆时针旋转得到，画出． (2)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为　　． 【考点题型三 中心对称的相关概念】（） 【例3】（23-24·八年级下·江苏泰州·期中）下列图案中，是轴对称的图形但不是中心对称的图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级下·江苏无锡·单元测试）如图，把标有序号中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形，那么该小正方形的序号是 ． 【变式3-3】（2024·江苏泰州·期中）如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的有 个．    【变式3-4】（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在如图所示的正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂灰，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，这样的涂法有 种．    【考点题型四 中心对称的点坐标特征】（） 【例4】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）在平面直角坐标系中，点绕原点O旋转后的坐标为 ． 【变式4-1】（23-24八年级下·江苏镇江·期中）将点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，Q与B关于原点对称，则点B的坐标是 【变式4-2】（2024八年级下·全国·专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 【变式4-3】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)画出关于原点成中心对称的图形，并写出点，的坐标． (2)若是由绕着某点旋转得到的，且，，的对应点分别为，，，则这点的坐标为______． 【变式4-4】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知 的三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于坐标原点O成中心对称的； (2)将绕坐标原点O顺时针旋转，画出对应的， (3)若以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出在第四象限中的坐标 ． (4)在y轴上找一点p，使得的周长最小，则点P坐标为 ． 【考点题型五 平行四边形的判定】（） 【例5】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在四边形中，，添加一个条件不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）在四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25八年级下·福建泉州·期中）在四边形中，若分别给出四个条件：①，②，③，④．现以其中的两个为一组，能判定四边形为平行四边形的条件是 （只填序号，填上一组即可，不必考虑所有可能情况）． 【变式5-3】（23-24·八年级下湖南岳阳·期中）已知四边形中，，，相交于点，将两端延长，使，连结，，，，添加下列条件之一①，②，③，使四边形为平行四边形．    (1)你添加的条件是：______；（填序号） (2)添加条件后求证四边形ABCD为平行四边形． 【变式5-4】（24-25八年级下·江苏·期中）如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转90°得到． (1)线段的长是______，的度数是______°； (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【考点题型六 平行四边形的性质】（） 【例6】（2024·江苏泰州·期中）如图，中，，E，F分别为，的中点，将沿直线折叠，点C落在边上点G处，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是（    ） A．10 B．18 C．20 D．22 【变式6-2】（24-25八年级下·江苏泰州·开学考试）如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 【变式6-3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，点A到的距离为4，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式6-4】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图所示，在平行四边形中，于E，于F，，，， (1)求的度数； (2)求平行四边形的周长． 【考点题型七 平行四边形的动点问题】（） 【例7】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形ABCD中，，AD＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向D运动，同时，点Q从点C以相同的速度向B运动．当点P运动到点D时，点Q随之停止运动．若设运动的时间为t秒，以点A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，，点C在x轴上，以A、B、C、D为顶点的平行四边形的顶点C的横坐标是 ． 【变式7-2】（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【变式7-3】（24-25八年级下·江苏南通·期末）综合与实践 如图所示，在四边形中，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为． (1)直接写出：____________；（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，四边形为平行四边形？ 【变式7-4】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，平行四边形中，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动），当 时，四边形为平行四边形． 【考点题型八 反证法】（） 【例8】（23-24八年级下江苏苏州·阶段练习）用反证法证明“已知：中，，求证：．”时，第一步应假设（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2024八年级下·江苏·专题练习）用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应当先假设这个三角形中 ． 【变式8-2】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，这个命题用反证法证明应假设 ． 【变式8-3】（24-25八年级下·全国·期中）小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 【变式8-4】（2023八年级下·江苏·专题练习）已知中，，求证：．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以，这与三角形内角和为矛盾； ②因此假设不成立，所以； ③假设在中，； ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是 ．（填序号） 【考点题型九 矩形的判定】（） 【例9】（2024·江苏盐城·三模）如图，已知平行四边形的对角线，相交于点，下列选项能使平行四边形成为矩形的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，于点E，点在边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形是矩形的是（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25八年级下·江苏南京·期末）在四边形中，，请再添加一个条件，使四边形是矩形，添加的条件不能是（　　） A． B． C． D． 【变式9-3】（2023·八年级下江苏南通·期中）如图，在中，相交于点O，点E、F在上，，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形是矩形，则该条件可以是 .（填一个即可） 【变式9-4】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，正方形中，是对角线上一个动点，连结，过作，，、分别为垂足，连接 (1)求证：； (2)当，时，______． 【考点题型十 矩形的性质】（） 【例10】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接，则的最小值为 ． 【变式10-1】（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，P是正方形的对角线上的一点，于点E，连接，若，，则点D到的距离为 ． 【变式10-2】（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，，，M为斜边上一动点，过M作于点D，过M作于点E，则线段的最小值为 ． 【变式10-3】（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，矩形中，，，点E、F分别为、边上的动点，且，M为的中点，直线分别交边、于点G、H，连接、，则的最小值为 ． 【变式10-4】（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，轴，轴，垂足分别为点C，D．点P从O点出发以3个单位长度/秒的速度沿折线运动，点Q同时从B点出发以1个单位长度/秒的速度沿运动，当其中一个点到达点C时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，点P的坐标为______，______； (2)当点P在线段上时，求点P的坐标和的面积（均用含t的式子表示）； (3)在两点运动过程中，是否存在t的值，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【考点题型十一 矩形中的折叠问题】（） 【例11】（23-24八年级下·重庆江津·期中）如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【变式11-1】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，矩形中，，，M是边上一点，将沿直线翻折，得到． (1)当平分时，求的长； (2)连接，当时，求的面积． 【变式11-2】（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点坐标为，若把图形按如图所示折叠，使、两点重合，折痕为． (1)求三角形面积； (2)求的函数表达式． 【变式11-3】（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）已知矩形中，，是边上一点，连接，将沿着直线折叠得到． (1)如图1，若点在边上，的长为_______； (2)当三点在同一直线上时，求的长； (3)当点在边上运动时，连接，求线段的最小值． 【变式11-4】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）同学们，我们经常用翻折的方法验证两个图形是否是轴对称，并研究其相关性质，请你用翻折的性质解决下列问题： (1)如图1，将沿着翻折到，则______，______； (2)如图2，将长方形对折，使得边、边重合，折痕与边、边交于点E、点F，，，点P是边上一点，将沿着折叠得到，线段、线段分别交边于点N、点 ①当M、N重合时，线段的长是多少？ ②当点P与点A重合时，点H是边上一点，将沿着线段折叠，使得点C落在边上的点G，线段的长是多少？ 【考点题型十二 矩形中的动点问题】（） 【例12】（23-24八年级下·广东揭阳·期中）在矩形中，，，点P是线段上一个动点，若将沿折叠，使点B落在点E处，连结、，若P、E、D三点在同一条直线上，则的长度是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．0.5 【变式12-1】（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，，，点为边上的动点，将沿折叠到，则在点的运动过程中，的最小值是（　　）    A． B． C． D．无法确定 【变式12-2】（2023·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，动点M从点A出发沿边向点D匀速运动，动点N从点B出发沿边向点C匀速运动，连接．动点M，N同时出发，点M运动的速度为每秒1个单位长度，点N运动的速度为每秒3个单位长度．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与点D重合，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式12-3】（24-25八年级下·江苏镇江·阶段练习）在矩形中，，，点是的中点，点为上一动点，将线段沿着折叠得到对应线段，取的中点，连接，则的最小值为 ．    【变式12-4】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在长方形中，厘米，厘米，点在边上且，动点从A点出发，先以每秒1厘米的速度沿运动，然后以每秒2厘米的速度沿运动，再以每秒1厘米的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间是秒，那么当为多少时，三角形的面积等于6平方厘米． 【考点题型十三 菱形的判定】（） 【例13】（24-25八年级下·广东汕头·期末）从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形是菱形，则这个条件是（ ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在□ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA．添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件可以是（    ） A． B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND 【变式13-2】（23-24八年级下·江苏南通·期中）在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分的形状是 ． 【变式13-3】（2023·吉林·期中）如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接，，，，则四边形的面积为 ． 【变式13-4】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，将矩形折叠，使点重合，折痕分别与相交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若矩形的边，，求菱形的边长． 【考点题型十四 菱形的性质】（） 【例14】（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，且对角线，，则纸条的宽度是（    ） A． B．5 C． D． 【变式14-1】（23-24八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，把正方形向左偏移，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线相交于点．过点作于点，则的长 ． 【变式14-3】（2024·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，，点E为的中点，射线交的延长线于点F，连接．若，则的长为 ． 【变式14-4】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交、于E、F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【考点题型十五 正方形的判定与性质】（） 【例15】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（    ）    A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 【变式15-1】（23-124八年级下·福建泉州·期末）如图，已知的对角线交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A．当时，它是菱形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是菱形 D．当时，它是正方形 【变式15-2】（24-25八年级下·甘肃天水·期末）如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（　　） A． B． C． D． 【变式15-3】（23-24八年级下·山东菏泽·期中）在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 【变式15-4】（23-24八年级下·山东淄博·期末）小刚在学习了正方形之后，给同桌小宇提出了一个问题. 如图，在中，连接对角线，，请从下列四个条件：①；②；③；④中选两个作为补充条件，使为正方形，并给予证明 请你完成小刚给小宇提出的这个问题 (1)你选择的两个补充条件是______（只填写一种所选两个补充条件的序号）； (2)请用（1）中你所选的两个补充条件作为已知条件，证明为正方形 【考点题型十六 中点四边形的性质】（） 【例16】（23-24八年级下·内蒙古包头·阶段练习）如图，在任意四边形中，M，N，P，Q分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式16-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形的两条对角线一定（    ） A．互相平分 B．互相垂直 C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等 【变式16-2】（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，已知第1个矩形的面积为，依次连接第1个矩形各边中点得到1个菱形，再依次连接菱形各边中点得到第2个矩形，按此方法继续下去，则第个矩形的面积为 ． 【变式16-3】（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是 形．如果，，那么四边形的周长等于 cm． 【变式16-4】（23-24八年级下·全国·专题练习）如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形． （1）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形． 在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． 【考点题型十七 三角形的中位线】（） 【例17】（24-25八年级下·河南新乡·期中）如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点，若，则的长为（   ） A．16 B． C． D． 【变式17-1】（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在四边形中，分别是的中点，若，则四边形的周长为 ． 【变式17-2】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在矩形中，，，R和P分别是，上的点，E和F分别是，的中点，当点P在上从点B向点C移动，时，线段的长是 ．    【变式17-3】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点E，F，G，H分别是的中点． (1)判断四边形的形状，并证明你的结论． (2)当满足什么条件时，四边形是正方形． 【变式17-4】（24-25八年级下·山西朔州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，点，分别是对角线，的中点，平分，则的长为 ． 【考点题型十八 平行四边形中的最值问题】（） 【例18】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿着向点D移动，若过点P作，垂足分别为E、F，连接，则的长最小为（   ） A． B． C．5 D．7 【变式18-1】（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，正方形的面积为9，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为 ． 【变式18-2】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点D是中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B 运动．设动点P运动时间为t秒．    （1）当t为 时，四边形是平行四边形． （2）若M为线段上一点，且，当P运动 秒时，四边形的周长最小，它的最小值为 ． 【变式18-3】（2024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题 材料一：数形结合是一种重要的数学思想如可看做是图一中的长，可看做是的长． 材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在中有一点使得的值最小．著名法学家费马给出的证明方法如下： 将绕点向外旋转得到，并连接易得是等边三角形、，则，则，所以的值最小为． 请结合以上两材料求出的最小值    【变式18-4】（23-24八年级下·江西南昌·期中）请你认真阅读思考下面的材料，完成相关问题． 【数学模型】 如图①，A，B是直线l同旁的两个定点，在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且 【模型应用】 (1)如图②，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．在l上确定一点P，则的最短路径长为______米； (2)如图③，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上一个动点，求的最小值； (3)如图④，在平面直角坐标系中，点，．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【考点题型十九 平行四边形综合】（） 【例19】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）平面直角坐标系不仅可以研究函数，还可以研究并解决很多图形以及图形变换问题． (1)如图①，在菱形中，若点，则点坐标为　　　； (2)如图②，线段、关于点对称，若点、、，则点的坐标为　　　； (3)如图③，在直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点、分别是轴、轴上的点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且为边时，则点的横坐标为　　　； (4)如图④，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、交于点，，求长． 【变式19-1】（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）（1）如图1，点为矩形对角线的中点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，则________； （2）如图2，点为矩形对角线上一点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，求的值． （3）如图3，点为内一点（点不在上），过点作，，与各边分别相交于点、、、．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），求的面积（用含、的代数式表示）．    【变式19-2】（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）在正方形中，E是边上一点（点E不与点C，D重合），连接    (1)【感知】如图①，过点A作交于点F．则与的数量关系是____________． (2)【探究】如图②，取的中点M，过点M作交于点F，交于点G． ①求证：． ②连接．若，求的长． 【变式19-3】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿翻折至，延长交边于点G，连接、． (1)求证：； (2)求证：点G是的中点． 【变式19-4】（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，点从向终点以的速度运动．点从点向终点以的速度运动．，两点同时出发，有一点到达终点停止后另一点也停止运动，直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)当运动秒时，线段______cm，______cm（用含有的代数式表示）； (2)直线运动多少秒后将四边形截得两个四边形中一个四边形为平行四边形？ (3)直线运动多少秒后将四边形截得两个面积相等的四边形？ 1．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）两条对角线互相垂直的四边形的四边中点依次连接得到（   ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，菱形的周长为40，面积为80，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则的值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 4．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平．第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点E，则到的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在坐标系中放置一菱形，已知，点在轴上，．将菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转次，点的落点依次为，，，…，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 7．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在长方形中，，．点Q从点C出发，以的速度沿边向点D运动，到达点D停止；同时点P从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止．规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为 时，与全等． 8．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正方形中，点E，F分别在边上，与交于点G．若，，则的长为 ． 9．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）在直角坐标系中，点A的坐标是，点B在坐标轴上，点B绕点A顺时针旋转落在直线上，则点B的坐标是 ． 10．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为 ． 11．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，点是等边三角形内一点，若，，，则 ． 12．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，连接．过点C作的垂线，垂足为J，分别交H于点I，K．若，则四边形的面积是 ． 13．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，解答下列问题： (1)将先向右平移5个单位，再向下平移5个单位得到，作出并写出三个顶点的坐标； (2)将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，在图中作出该点并写出旋转中心的坐标 ； (4)若以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为 ． 14．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图1，中，，，的外角平分线交于点A，过点A分别作的延长线于，的延长线于． (1)填空：的度数______； (2)求证：； (3)若，求的长； (4)如图2，在中，，高，，求的长度． 15．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点从开始沿边以每秒的速度向运动；动点从点开始沿边以每秒的速度向运动，如果、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． 则： (1)当秒时，四边形的面积是______ (2)当为几秒时，四边形为矩形？ 16．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，使得点落在边上，的延长线交于，连接，． (1)求证：平分； (2)求证：与互相平分． 17．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图①，在中，，，边上的高为4．求作菱形，使点在边上，点，在边上． 小明的作法1．如图②，在边上取一点． 2．以点为圆心，长为半径画弧，交于点． 3．在上截取，连接，则四边形为所求作的菱形． (1)证明小明所作的四边形是菱形． (2)若点与点重合，则的长为__________． (3)小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点的位置变化而变化．请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的的长的取值范围． 18．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，点E是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． (3)连接，若，，，求的面积． 37 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$