广东省汕头市潮阳区棉城中学2025届高三下学期数学周练（6）

棉城中学2025届高三第二学期数学周练（6） 命题人：张桂伟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 有四张卡片，每张卡片的一面上写着英文字母，则另外一面上写着数字.现在规定：当牌的一面写着数字7时，另外一面必须写着字母.你的任务是：为了检验下面4张卡牌是否有违反规定的写法，你需要翻看哪些牌？（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ④③ 4. 若正实数满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步恰好走完，则第二步走两级台阶的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，则“”是“在方向上的投影向量为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆截直线所得弦的长度小于6，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数， 若及其导函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为 10. 某校高三年级选考生物科的学生共1000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分的分数转换区间为，若等级分，则（ ） 参考数据：；；. A. 这次考试等级分的标准差为25 B. 这次考试等级分超过80分的约有450人 C. 这次考试等级分在内的人数约为997 D. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. f（x）无最大值 B. f（x）有唯一零点 C. f（x）在（0，＋∞）单调递增 D. f（0）为f（x）的一个极小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则 ______ 13. 已知经过椭圆的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为，则的离心率为________． 14. 已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时，________，最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. （1）求函数的解析表达式； （2）求函数的极值. 16. 记锐角内角，，的对边分别为，，，且. （1）证明：； （2）求的最大值. 17. 已知等比数列的公比，且，． Ⅰ求数列的通项公式； Ⅱ设，求数列的前n项和. 18. 在四棱锥中，，，平面平面，，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 19. Deepseek席卷全球引发了AI浪潮.某中学为丰富学生个性化学习生活，组织成立Deepseek应用学生社团组织，成立数据运用、模型设计、场景分析、迁移学习等四个学生社团并计划招募成员，由于报名人数超过计划数，将采用随机抽取的方法确定最终成员.下表记录了四个社团的招募计划人数及报名人数. 社团 计划人数 报名人数 数据运用 50 100 模型设计 60 场景分析 160 迁移学习 160 200 甲同学报名参加这四个学生社团，记为甲同学最终被招募的社团个数，已知，. （1）求甲同学至多获得三个社团招募的概率； （2）求甲同学最终被招募的社团个数的期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 棉城中学2025届高三第二学期数学周练（6） 命题人：张桂伟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【详解】因为， 又因为集合， 则. 故选：B. 2. 复数，则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【详解】因为，则， 所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B. 3. 有四张卡片，每张卡片的一面上写着英文字母，则另外一面上写着数字.现在规定：当牌的一面写着数字7时，另外一面必须写着字母.你的任务是：为了检验下面4张卡牌是否有违反规定的写法，你需要翻看哪些牌？（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ④③ 【详解】根据题意可知：数字7后面一定是字母H，H后面可以不是数字7， 即M后面是数字7就违反规则， 所以只用看7和M，其他卡牌无此顾虑. 故选：B. 4. 若正实数满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【详解】正实数满足，又，则，当且仅当时取等号， 设则，代入整理可得，解得或， 因，故，故当时，取得最小值为2. 故选：B. 5. 某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步恰好走完，则第二步走两级台阶的概率为（ ） A. B. C. D. 【详解】10级台阶要用7步走完，则4步是上一级，三步是上两级， 共种走法， 若第二步走两级台阶，则其余6步中有两步是上两级， 共， 所以第二步走两级台阶的概率为. 故选：C 6. 已知平面向量，则“”是“在方向上的投影向量为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【详解】由于在方向上的投影向量， 若，则，故， 若，则， 故选：C. 7. 已知函数，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【详解】因为，所以函数的定义域为， 则定义域关于原点对称，且， 所以为偶函数， 又时，是单调递增函数，而是单调递减函数， 所以是单调递减函数， 根据对称性知时，所以是单调递增函数， 函数中，， 由得，解得或. 故选：D. 8. 已知圆截直线所得弦的长度小于6，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【详解】因为圆，可化为， 则其圆心为，半径为，且，即， 圆心到直线的距离为， 因为直线与圆相交，且所得弦的长度小于6， 所以，解得， 综上，，即. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 9. 已知函数，若及其导函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为 【详解】因为，所以，根据图象可知，当时，，所以单调递增，故，从而． 又，所以，由得， 故，． 选项A：的最小正周期为，故，A正确． 选项B：令，解得， 故函数在上单调递减，B正确． 选项C：由于，， 故的图象不关于点中心对称，故C错误． 选项D：， 其中为锐角，且，（辅助角公式的应用）,所以的最大值为，D错误． 故选：AB 10. 某校高三年级选考生物科的学生共1000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分的分数转换区间为，若等级分，则（ ） 参考数据：；；. A. 这次考试等级分的标准差为25 B. 这次考试等级分超过80分的约有450人 C. 这次考试等级分在内的人数约为997 D. 【详解】对于A，由题设，均值，方差，所以标准差为5，故A错误； 对于B，，所以人，故B错误； 对于C，， 则人，故C正确； 对于D， 故D正确． 故选：CD. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. f（x）无最大值 B. f（x）有唯一零点 C. f（x）在（0，＋∞）单调递增 D. f（0）为f（x）的一个极小值 【详解】，记 因为，且，在区间上显然递增， 所以记为的零点，则有 所以当时，，在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，， 所以当时，有极小值，D正确； 由上可知，在上单调递增，且当x趋近于正无穷时，也趋于正无穷，故AC正确； 易知，故B错误 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则 ______ 【详解】因为，且是定义在R上的偶函数， 所以， 令，则， 所以，即， 所以函数的周期为2， 所以. 13. 已知经过椭圆的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为，则的离心率为________． 【详解】椭圆的左顶点和上顶点的坐标分别为， 由题意可得，解得， 所以，则， 所以的离心率. 故答案为：. 14. 已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时，________，最小值为________． 【详解】由可得，，即， 所以函数，互为反函数，图象关于直线对称， 因直线互相垂直， 所以问题可转化为求上点到直线距离的最小值的2倍， 因为， 令， 则，当时，， 当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，有最小值3， 此时， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. （1）求函数的解析表达式； （2）求函数的极值. 【小问1详解】 根据题意，，则， 解得， . 【小问2详解】 由（1）， 令，解得或， 令，解得， 所以当或时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，取得极大值，极大值为， 当时，取得极小值，极小值为. 16. 记锐角内角，，的对边分别为，，，且. （1）证明：； （2）求的最大值. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 则， 而，则，于是， 整理得，因此， 所以. 【小问2详解】 在锐角中，由（1）知，，则， 而，则 ，当且仅当时取等号， 因此，，所以的最大值为1. 17. 已知等比数列的公比，且，． Ⅰ求数列的通项公式； Ⅱ设，求数列的前n项和. （Ⅰ）设数列的公比为，则， ∴ ∵，∴，∴数列的通项公式为． （Ⅱ）解： ∴ ∴ ∴= 18. 在四棱锥中，，，平面平面，，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 【小问1详解】 在四棱锥中，由，，得，连接， 而，则为等边三角形，取中点，连接，则， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，而平面，则， 又，与相交，平面， 所以平面. 【小问2详解】 取的中点，连接，，，， 由平面，平面，得，即两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得， ，显然为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值是. 19. Deepseek席卷全球引发了AI浪潮.某中学为丰富学生个性化学习生活，组织成立Deepseek应用学生社团组织，成立数据运用、模型设计、场景分析、迁移学习等四个学生社团并计划招募成员，由于报名人数超过计划数，将采用随机抽取的方法确定最终成员.下表记录了四个社团的招募计划人数及报名人数. 社团 计划人数 报名人数 数据运用 50 100 模型设计 60 场景分析 160 迁移学习 160 200 甲同学报名参加这四个学生社团，记为甲同学最终被招募的社团个数，已知，. （1）求甲同学至多获得三个社团招募的概率； （2）求甲同学最终被招募的社团个数的期望. 【小问1详解】 由于事件“甲同学至多获得三个社团招募”与事件“”是对立的， 所以甲同学至多获得三个社团招莫的概率是 【小问2详解】 解法1：设甲同学被数据运用，模型设计，场景分析，迁移学习等各社团招䓪依次记作事件.由题意可知， ， ， 又，解得，则 , ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 . 解法2：设甲同学被数据运用，模型设计，场景分析，迁移学习等各社团招募依次记作事件.由题意可知， ， ， 又，解得. 设甲同学报名数据运用，模型设计，场景分析3个社团，最终被招募的社团个数，由于其被招募的概率均为，所以服从二项分布，故；甲同学被迁移学习社团招募的概率为，最终被迁移学习社团招募的个数为，则也服从二项分布，，从而， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 棉城中学 2025届高三第二学期数学周练（6） 命题人：张桂伟 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知集合 {1,2}A  ，   2R log 1 1B x x    ，则 A B  （ ） A. {1} B. {2} C. {1,2} D.  2. 复数 3 4i 1 2i z   ，则 z在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 有四张卡片，每张卡片的一面上写着英文字母，则另外一面上写着数字.现在规定：当牌的一面写着数字 7 时，另外一面必须写着字母H .你的任务是：为了检验下面 4张卡牌是否有违反规定的写法，你需要翻看哪 些牌？（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ④③ 4. 若正实数 ,x y满足 3xy x y   ，则 x y 的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 某教学楼从二楼到三楼的楼梯共 10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼 准备用 7步恰好走完，则第二步走两级台阶的概率为（ ） A. 3 10 B. 7 10 C. 3 7 D. 4 7 6. 已知平面向量  , , 1, 1a b b      ，则“ 1a b    ”是“ a在 b  方向上的投影向量为 1 1, 2 2       ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数    21 2 log 3f x x  ，且    2log 2f m f ，则实数m的取值范围为（ ） A.  4, B. 10, 4       C. 1 ,4 4       D.  10, 4, 4       8. 已知圆 2 2 2 2 0x y x y a     截直线 4 0x y   所得弦的长度小于 6，则实数 a的取值范围为（ ） A.  2 17,2 17  B.  2 17,2 C.  15,  D.  15, 6  二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符 合题目要求的.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9. 已知函数      sin 0, 0,0 πf x A x A         ， 若  f x 及其导函数  f x 的部分图象如图所示，则（ ） A.    πf x f x  B. 函数  f x 在 π 7π, 12 12       上单调递减 C.  f x 的图象关于点 π ,0 6      中心对称 D.    f x f x 的最大值为 5 2 第 2页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 10. 某校高三年级选考生物科的学生共 1000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分 X 的分数转换区间为 30,100 ，若等级分  80,25X N ，则（ ） 参考数据：   0.6827P X        ；  2 2 0.9545P X        ；  3 3 0.9973P X        . A. 这次考试等级分的标准差为 25 B. 这次考试等级分超过 80分的约有 450人 C. 这次考试等级分在  65,95 内的人数约为 997 D.  70 75 0.1359P X   11. 已知函数      1 e 1xf x x x    ，则下列说法正确的有（ ） A. f（x）无最大值 B. f（x）有唯一零点 C. f（x）在（0，＋∞）单调递增 D. f（0）为 f（x）的一个极小值 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12. 函数  f x 是定义在 R上的偶函数，且    1 1f x f x   ，若  0,1x ，   2xf x  ，则  2023f  ______ 13. 已知经过椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yC a b a b     的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为  2,1 ，则C的离心率为 ________． 14. 已知直线 y x b   与函数 ln 2y x  ， 2exy  的图象分别交于A， B两点，则 AB 取最小值时， b  ________，最小值为________． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数   3 21 2 3 3 f x x ax x   （ a为常数），曲线  y f x 在点   1, 1A f  处的切线平行于直线 8 7 0x y   . （1）求函数  f x 的解析表达式； （2）求函数  f x 的极值. 第 3页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 16. 记锐角 ABCV 内角A， B，C的对边分别为 a，b， c，且 cos cos 2 cosa A b B c C  . （1）证明： sin sin 4sin cos cos A B C B A   ； （2）求 2 tan tan tan A B C 的最大值. 17. 已知等比数列 na 的公比q 1 ，且 1 3 20a a  ， 2 8a  ． (Ⅰ )求数列 na 的通项公式； (Ⅱ )设 n n nb a  ，求数列 nb 的前 n 项和 nS . 第 4页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 18. 在四棱锥 P ABCD 中， / /BC AD， PA AD ，平面 PAB 平面 ABCD， 120BAD  ，且 1 2 2 PA AB BC AD    . （1）求证： PA 平面 ABCD； （2）求直线 PB与平面PAD所成角的正弦值； 19. Deepseek席卷全球引发了 AI浪潮.某中学为丰富学生个性化学习生活，组织成立 Deepseek应用学生社团 组织，成立数据运用、模型设计、场景分析、迁移学习等四个学生社团并计划招募成员，由于报名人数超过 计划数，将采用随机抽取的方法确定最终成员.下表记录了四个社团的招募计划人数及报名人数. 社团 计划人数 报名人数 数据运用 50 100 模型设计 60 m 场景分析 n 160 迁移学习 160 200 甲同学报名参加这四个学生社团，记为甲同学最终被招募的社团个数，已知   10 40 P    ，   1 10 4P    . （1）求甲同学至多获得三个社团招募的概率； （2）求甲同学最终被招募的社团个数的期望. 第 1页/共 12页 学科网（北京）股份有限公司 棉城中学 2025届高三第二学期数学周练（6） 命题人：张桂伟 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知集合 {1,2}A  ，   2R log 1 1B x x    ，则 A B  （ ） A. {1} B. {2} C. {1,2} D.  【详解】因为       12R log 1 1 R|0< 1 2 R|1< 3B x x x x x x           ， 又因为集合 {1,2}A  ， 则  2A B  . 故选：B. 2. 复数 3 4i 1 2i z   ，则 z在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【详解】因为         3 4i 1 2i3 4i 5 10i 1 2i 1 2i 1 2i 1 2i 5 z              ，则 1 2iz    ， 所以，复数 z在复平面内对应的点的坐标为  1,2 ，位于第二象限. 故选：B. 3. 有四张卡片，每张卡片的一面上写着英文字母，则另外一面上写着数字.现在规定：当牌的一面写着数字 7 时，另外一面必须写着字母H .你的任务是：为了检验下面 4张卡牌是否有违反规定的写法，你需要翻看哪 些牌？（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ④③ 【详解】根据题意可知：数字 7后面一定是字母 H，H后面可以不是数字 7， 即 M后面是数字 7就违反规则， 所以只用看 7和 M，其他卡牌无此顾虑. 故选：B. 第 2页/共 12页 学科网（北京）股份有限公司 4. 若正实数 ,x y满足 3xy x y   ，则 x y 的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【详解】正实数 ,x y满足 3xy x y   ，又 2( ) 2 x yxy  ，则 2( )3 ( ) 4 x yxy x y     ，当且仅当 x y 时取等号， 设 ,x y t  则 0t  ，代入整理可得 2 4 12 0t t   ，解得 6t   或 2t  ， 因 0t  ，故 2t  ，故当 1x y  时， x y 取得最小值为 2. 故选：B. 5. 某教学楼从二楼到三楼的楼梯共 10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼 准备用 7步恰好走完，则第二步走两级台阶的概率为（ ） A. 3 10 B. 7 10 C. 3 7 D. 4 7 【详解】10级台阶要用 7步走完，则 4步是上一级，三步是上两级， 共 3 7 7 6 5 35 3 2 C     种走法， 若第二步走两级台阶，则其余 6步中有两步是上两级， 共 2 6 6 5C 15 2    ， 所以第二步走两级台阶的概率为 15 3 35 7  . 故选：C 6. 已知平面向量  , , 1, 1a b b      ，则“ 1a b    ”是“ a在 b  方向上的投影向量为 1 1, 2 2       ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【详解】由于 2,b a   在 b  方向上的投影向量 2 ,2 2| | a b a b a bb b                 ， 若 2 1 1, 2 2| | a b b b           ，则 1 2 2 a b    ，故 1a b    ， 若 1a b    ，则 2 1 1, 2 2| | a b b b           ， 故选：C. 第 3页/共 12页 学科网（北京）股份有限公司 7. 已知函数    21 2 log 3f x x  ，且    2log 2f m f ，则实数m的取值范围为（ ） A.  4, B. 10, 4       C. 1 ,4 4       D.  10, 4, 4       【详解】因为 2 3 3x   ，所以函数    21 2 log 3f x x  的定义域为 xR ， 则定义域关于原点对称，且      21 2 log 3   f x x f x ， 所以  f x 为偶函数， 又 0x  时， 2 3u x 是单调递增函数，而 1 2 logy u 是单调递减函数， 所以    21 2 log 3f x x  是单调递减函数， 根据对称性知 0x  时，所以    21 2 log 3f x x  是单调递增函数， 函数 2logy m 中， 0m  ， 由    2log 2f m f 得 2log 2m  ，解得 10 4 m  或 4m  . 故选：D. 8. 已知圆 2 2 2 2 0x y x y a     截直线 4 0x y   所得弦的长度小于 6，则实数 a的取值范围为（ ） A.  2 17,2 17  B.  2 17,2 C.  15,  D.  15, 6  【详解】因为圆 2 2 2 2 0x y x y a     ，可化为    2 21 1 2x y a     ， 则其圆心为  1, 1 ，半径为 2 a ，且 2 0a  ，即 2a  ， 圆心到直线 4 0x y   的距离为 1 1 4 2 2 2 d     ， 因为直线 4 0x y   与圆 2 2 2 2 0x y x y a     相交，且所得弦的长度小于 6， 所以 2 2 2 2 2 8 6 a a        ，解得 15 6a    ， 综上， 15 6a    ，即  15, 6a   . 故选：D. 第 4页/共 12页 学科网（北京）股份有限公司 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符 合题目要求的.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9. 9. 已知函数      sin 0, 0,0 πf x A x A         ，若  f x 及其导函数  f x 的部分图象如图所 示，则（ ） A.    πf x f x  B. 函数  f x 在 π 7π, 12 12       上单调递减 C.  f x 的图象关于点 π ,0 6      中心对称 D.    f x f x 的最大值为 5 2 【详解】因为    sinf x A x   ，所以    cosf x A x    ，根据图象可知，当 π0, 12 x      时，   0f x  ，所以  f x 单调递增，故 1 2 A     ，从而 1 2 A     ． 又 π 1 12 f       ，所以 πsin 1 6       ，由0 π  得 π 3   ， 故   πsin 2 3 f x x      ，   π2cos 2 3 f x x       ． 选项 A：   πsin 2 3 f x x      的最小正周期为 2π π 2  ，故    πf x f x  ，A正确． 选项 B：令 π π 3π2 π 2 2 π, 2 3 2      Zk x k k ，解得 π 7ππ π, 12 12 k x k k    Z， 第 5页/共 12页 学科网（北京）股份有限公司 故函数  f x 在 π 7π, 12 12       上单调递减，B正确． 选项 C：由于   π2cos 2 3 f x x       ， π π π2cos 2 6 3 3 f                 ， 故  f x 的图象不关于点 π ,0 6      中心对称，故 C错误． 选项 D：     π π πsin 2 2cos 2 5sin 2 3 3 3 f x f x x x x                         ， 其中 为锐角，且 tan 2  ，（辅助角公式的应用）,所以    f x f x 的最大值为 5 ，D错误． 故选：AB 10. 某校高三年级选考生物科的学生共 1000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分 X 的分数转换区间为 30,100 ，若等级分  80,25X N ，则（ ） 参考数据：   0.6827P X        ；  2 2 0.9545P X        ；  3 3 0.9973P X        . A. 这次考试等级分的标准差为 25 B. 这次考试等级分超过 80分的约有 450人 C. 这次考试等级分在  65,95 内的人数约为 997 D.  70 75 0.1359P X   【详解】对于 A，由题设，均值 80  ，方差 2 25  ，所以标准差为 5，故 A错误； 对于 B， ( 80) 0.5P X   ，所以1000 0.5 500  人，故 B错误； 对于 C， (65 95) ( 3 3 ) 0.9973P X P X           ， 则1000 0.9973 997  人，故 C正确； 对于 D， ( 2 2 ) ( )(70 75) 0.1359 2 P X P XP X                    故 D正确． 故选：CD. 11. 已知函数      1 e 1xf x x x    ，则下列说法正确的有（ ） A. f（x）无最大值 B. f（x）有唯一零点 第 6页/共 12页 学科网（北京）股份有限公司 C. f（x）在（0，＋∞）单调递增 D. f（0）为 f（x）的一个极小值 【详解】 ( ) ( 2)e 2( 1)xf x x x     ，记 ( ) ( 2)e 2( 1)xg x x x    因为 ( ) ( 3)e 2xg x x    ，且 (0) 1g   ， ( )g x 在区间 ( 3, )  上显然递增， 所以记m为 ( ) ( 3)e 2xg x x    的零点，则有 3 0m   所以当 x m 时， ( ) 0g x  ， ( )g x 在 ( , )m  上单调递增， 又因为 (0) 0g  ，所以当 ( ,0)x m 时， ( ) 0f x  ，当 (0, )x  时， ( ) 0f x  ， 所以当 0x  时，  f x 有极小值，D正确； 由上可知，  f x 在 (0, ) 上单调递增，且当 x趋近于正无穷时，  f x 也趋于正无穷，故 AC正确； 易知 (0) 0, ( 1) 0f f   ，故 B错误 故选：ACD 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12. 函数  f x 是定义在 R上的偶函数，且    1 1f x f x   ，若  0,1x ，   2xf x  ，则  2023f  ______ 【详解】因为    1 1f x f x   ，且 ( )f x 是定义在 R上的偶函数， 所以    1 1f x f x   ， 令 1t x  ，则 1x t  ， 所以 ( 2) ( )f t f t  ，即 ( ) ( 2)f x f x  ， 所以函数 ( )f x 的周期为 2， 所以   (1011 2 1) (12023 ) 2f f f     . 13. 已知经过椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yC a b a b     的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为  2,1 ，则C的离心率为 ________． 【详解】椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yC a b a b     的左顶点和上顶点的坐标分别为    , 0 , 0,a b ， 第 7页/共 12页 学科网（北京）股份有限公司 由题意可得 0 2 2 0 1 2 a b         ，解得 4, 2a b  ， 所以 2 2 2 12c a b   ，则 2 3c  ， 所以C的离心率 3 2 ce a   . 故答案为： 3 2 . 14. 已知直线 y x b   与函数 ln 2y x  ， 2exy  的图象分别交于A， B两点，则 AB 取最小值时， b  ________，最小值为________． 【详解】由 ln 2y x  可得， 2e yx  ，即 2exy  ， 所以函数 ln 2y x  ， 2exy  互为反函数，图象关于直线 y x 对称， 因直线 ,y x y x b    互相垂直， 所以问题可转化为求 ln 2y x  上点  0 0, ln 2A x x  到直线 y x 距离的最小值的 2倍， 因为  0 0 0 0 2 ln 2 2 2 ln 2 2 x x AB d x x        ， 令 0 0 0 0( ) ln 2, 0f x x x x    ， 则 0 0 0 0 11( ) 1 xf x x x     ，当 00 1x  时， 0( ) 0f x  ， 当 0 1x  时， 0( ) 0f x  ，所以函数在  0,1 上单调递减，在  1, 上单调递增， 故当 0 1x  时， 0( )f x 有最小值 3， 此时 0 0ln 2 1b x x     ， min 3 2AB  故答案为： 1,3 2 第 8页/共 12页 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数   3 21 2 3 3 f x x ax x   （ a为常数），曲线  y f x 在点   1, 1A f  处的切线平行于直线 8 7 0x y   . （1）求函数  f x 的解析表达式； （2）求函数  f x 的极值. 【小问 1详解】 根据题意，   2 4 3f x x ax   ，则  1 4 4 8f a    ， 解得 1a  ，   3 21 2 3 3 f x x x x    . 【小问 2详解】 由（1）     2 4 3 1 3f x x x x x      ， 令   0f x  ，解得 1x  或 3x  ， 令   0f x  ，解得1 3x  ， 所以当 1x  或 3x  时，  f x 单调递增，当1 3x  时，  f x 单调递减， 所以当 1x  时，  f x 取得极大值，极大值为   41 3 f  ， 当 3x  时，  f x 取得极小值，极小值为  3 0f  . 16. 记锐角 ABCV 内角A， B，C的对边分别为 a，b， c，且 cos cos 2 cosa A b B c C  . （1）证明： sin sin 4sin cos cos A B C B A   ； （2）求 2 tan tan tan A B C 的最大值. 【小问 1详解】 在 ABCV 中，由 cos cos 2 cosa A b B c C  及正弦定理，得 sin cos sin cos 2sin cosA A B B C C  ， 则 4sin cos sin 2 sin 2 2sin( ) cos( ) 2sin cos( )C C A B A B A B C A B       ， 而 sin 0C  ，则 2cos cos( )C A B  ，于是 2cos( ) cos( )A B A B    ， 整理得 sin sin 3cos cosA B A B ，因此 cos cos( ) cos cos sin sin 2cos cosC A B A B A B A B       ， 第 9页/共 12页 学科网（北京）股份有限公司 所以 sin sin sin cos sin cos 2sin cos 4sin1cos cos cos cos cos 2 A B A A B B C C C B A A B C      . 【小问 2详解】 在锐角 ABCV 中，由（1）知， sin sin 3cos cosA B A B ，则 tan tan 3A B  ， 而 tan 0, tan 0A B  ，则 tan tan tan tantan tan( ) 1 tan tan 2 A B A BC A B A B          tan tan 3A B  ，当且仅当 tan tan 3A B  时取等号， 因此 2tan 3C  ， 2 tan tan 1 tan A B C  ，所以 2 tan tan tan A B C 的最大值为 1. 17. 已知等比数列 na 的公比q 1 ，且 1 3 20a a  ， 2 8a  ． (Ⅰ )求数列 na 的通项公式； (Ⅱ )设 n n nb a  ，求数列 nb 的前 n 项和 nS . （Ⅰ）设数列 na 的公比为 q，则  21 1 1 20 { 8 a q a q    ， ∴ 22 5 2 0q q   ∵ 1q  ，∴ 1 4 { 2 a q   ，∴数列 na 的通项公式为 12nna  ． （Ⅱ）解： 12n n nb  ∴ 2 3 4 1 1 2 3 2 2 2 2n n nS      1 2 n S  3 4 1 2 1 2 1 2 2 2 2n n n n        ∴ 2 3 4 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2n n n nS        ∴ 1 2 3 1 1 1 1 1+ 2 2 2 2 2n n n nS     = 1 1 1 1 1 22 2 11 2 2 2 n n n n n        第 10页/共 12页 学科网（北京）股份有限公司 18. 在四棱锥 P ABCD 中， / /BC AD， PA AD ，平面 PAB 平面 ABCD， 120BAD  ，且 1 2 2 PA AB BC AD    . （1）求证： PA 平面 ABCD； （2）求直线 PB与平面PAD所成角的正弦值； 【小问 1详解】 在四棱锥 P ABCD 中，由 / /BC AD， 120BAD  ，得 60ABC  ，连接 AC， 而 AB BC ，则 ABCV 为等边三角形，取 AB中点 E，连接CE，则CE AB ， 由平面 PAB 平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCD AB ，CE 平面 ABCD， 得CE 平面 PAB，而PA平面 PAB，则CE PA ， 又 PA AD ，CE与 AD相交， ,CE AD 平面 ABCD， 所以 PA 平面 ABCD . 【小问 2详解】 取 BC的中点 F ，连接 AF ， 3, 1AF BF CF   ， AF BC ， AF AD ， 由 PA 平面 ABCD， AF 平面 ABCD，得 PA AF ，即 , ,AF AD AP两两垂直， 以A为原点，直线 , ,AF AD AP分别为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系， 由 1 2 2 PA AB BC AD    ，得 (0,0,0), ( 3,0,0), ( 3, 1,0), (0,0, 2)A F B P ， ( 3, 1, 2), ( 3,0,0)PB AF      ，显然 AF  为平面 PAD的一个法向量， 第 11页/共 12页 学科网（北京）股份有限公司 设直线 PB与平面 PAD所成角为 ，则 3 6sin | cos , | 4|| || | 2 3 | 2 PB AFPB AF PB AF              ， 所以直线 PB与平面 PAD所成角的正弦值是 6 4 . 19. Deepseek席卷全球引发了 AI浪潮.某中学为丰富学生个性化学习生活，组织成立 Deepseek应用学生社团 组织，成立数据运用、模型设计、场景分析、迁移学习等四个学生社团并计划招募成员，由于报名人数超过 计划数，将采用随机抽取的方法确定最终成员.下表记录了四个社团的招募计划人数及报名人数. 社团 计划人数 报名人数 数据运用 50 100 模型设计 60 m 场景分析 n 160 迁移学习 160 200 甲同学报名参加这四个学生社团，记为甲同学最终被招募的社团个数，已知   10 40 P    ，   1 10 4P    . （1）求甲同学至多获得三个社团招募的概率； （2）求甲同学最终被招募的社团个数的期望. 【小问 1详解】 由于事件“甲同学至多获得三个社团招募”与事件“ 4  ”是对立的， 所以甲同学至多获得三个社团招莫的概率是   1 91 4 1 . 10 10 P      【小问 2详解】 解法 1：设甲同学被数据运用，模型设计，场景分析，迁移学习等各社团招䓪依次记作事件 , , ,A B C D .由题 意可知， 50 60 160 1( 0) ( ) 1 1 1 1 100 160 200 40 nP P ABCD m                                   ， 第 12页/共 12页 学科网（北京）股份有限公司     50 60 160 14 100 160 200 10 nP P ABCD m         ， 又 60, 160m n  ，解得 120, 80m n  ，则 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 2 2 5 2 2 2 5 2 2 2 5 2 2 5 7 2 4 P P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD                       , ( 3) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 4 2 2 2 5 2 2 2 5 2 2 2 2 1 5 2 3 42 5 P P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD                       ， 3( 2) 1 ( 0) ( 1) ( 3) ( 4) 8 P P P P P               ， 所以的分布列为：  0 1 2 3 4 P 1 40 7 40 3 8 13 40 1 10   1 7 3 13 10 1 2 3 4 2.3 40 40 8 40 10 E             . 解法 2：设甲同学被数据运用，模型设计，场景分析，迁移学习等各社团招募依次记作事件 , , ,A B C D .由题 意可知， 50 60 160 1( 0) ( ) 1 1 1 1 100 160 200 40 nP P ABCD m                                   ，     50 60 160 14 100 160 200 10 nP P ABCD m         ， 又 60, 160m n  ，解得 120, 80m n  . 设甲同学报名数据运用，模型设计，场景分析 3个社团，最终被招募的社团个数 X ，由于其被招募的概率均 为 1 2 ，所以 X 服从二项分布，故 13, 2 X B       ；甲同学被迁移学习社团招募的概率为 4 5 ，最终被迁移学习 社团招募的个数为Y ，则Y也服从二项分布， 4~ 1, 5 Y B      ，从而 X Y   ， 故         1 43 1 2.3 2 5 E E X Y E X E Y          .