第三节 光线与圆面结合-2024-2025学年高二下学期物理专项训练

第三节 光线与圆面结合 需要掌握的内容 1.光与曲面结合题目的特点。 当光源发出光线打到介质分界面时，重要的是在射入位置做出法线，找到入射角，判断是否到达临界角，与曲面结合时法线是过圆心的直线，再根据折射率以及全反射公式进行求解，。 在靠近圆弧中间位置附近入射角比较小，两边的光线入射角逐渐变大，当达到临界角时就发生全反射了。 数学中解三角形的算法包括勾股定理，正弦余弦定理，二倍角公式以及相似都可以用作解题方法。 经典习题 单选题1．如图所示，半径为R的玻璃半圆柱体，圆心为O，两条平行单色红光射向圆柱面，方向与底面垂直，光线l的入射点A为圆柱面的顶点，光线2的入射点为B，∠A0B=60°。已知该玻璃对红光的折射率n =，两条光线经柱面和底面折射后的交点与O点的距离d为（  ） A． B． C． D． 单选题2．如图所示，空气中有一折射率为的玻璃柱体，其横截面是圆心角为90o、半径为R的扇形OAB、一束平行光平行于横截面，以45o入射角射到OA上，OB不透光，若考虑首次入射到圆弧 上的光，则上有光透出的部分的弧长为（　　）   A． B． C． D． 多选题3．现有光束沿图示方向平行直径AB射入球形液滴，经两次折射和一次反射后离开液滴，其中出射光线与直径AB成42°，c为真空中光速，R为液滴半径，下列正确的是（    ）    A．此光束在液滴中的折射率为 B．此光束在液滴中经历的时间为 C．出射光的能量可能大于入射光的能量 D．此光束在液滴内发生了全反射 单选题4．如图所示是一块扇形玻璃棱镜的竖直截面，其圆心角为90°，OC边沿水平方向，OD边沿竖直方向。由a、b两单色光组成的入射光从OC边的A点入射，入射角=60°，a光从圆弧边的B点竖直向下出射，其中BC弧长占整个CD弧长的，b光从圆弧边向左下方出射则（　　） A．a光在棱镜中的折射率为 B．b光在棱镜中的折射率为 C．b光的频率比a光小 D．b光在棱镜中的传播时间比a光长 多选题5．半径为R、长为L的半圆柱型玻璃砖置于水平桌面上，玻璃砖的上表面水平，柱面与桌面相切。O为半圆形截面的圆心，一单色平行光束从半圆柱体的矩形上表面射入，该光束平行于半圆形截面并与上表面成45°，如图所示。已知半圆型玻璃砖的折射率为，光在真空中传播速度为c，不考虑光线在玻璃砖内的多次反射，下列说法正确的是（　　） A．从O点正下方射出玻璃砖的光线在玻璃砖中传播的时间为 B．从O点正下方射出玻璃砖的光线在玻璃砖中传播的时间为 C．该光束射入玻璃砖后，从部分柱面有光线射出，该部分柱面的面积为 D．该光束射入玻璃砖后，从部分柱面有光线射出，该部分柱面的面积为 多选题6．如图所示，为半圆柱体玻璃的横截面，为直径，一束由蓝光和黄光组成的复色光沿方向从真空射入玻璃，分两束分别射到圆柱面的B、C两点。只考虑第一次射向圆弧的光线，下列说法正确的是（  ）    A．射到B、C两点的光分别是黄光、蓝光 B．光从O传到B与光从O传到C的时间相等 C．若从圆弧面只有一处光线射出，则一定是从C点射出 D．若仅将复色光的入射点从O平移到D的过程中，可能出现从圆弧射出的两束光线平行 单选题7．如图所示，有一个长为12cm的线光源AB，其表面可以朝各个方向发光，现将AB封装在一个半球形透明介质的底部，AB中点与球心O重合。半球形介质的折射率为1.5，为使AB发出的所有光都能射出球面，不考虑二次反射，则球半径R至少为（　　） A． B．6cm C． D．9cm 8．半径为R的半圆柱形玻璃砖的截面如图所示，O为圆心。单色光A沿半径方向从a处射入玻璃砖后，恰在O点发生全反射，∠AOM=45°。平行于A的同种单色光B从最高点b射入玻璃砖后，折射到MN上的一点D（D点在图中未画出），光在真空中传播的速度为c，求： （1）玻璃砖的折射率； （2）光线B在玻璃中由b点传播至D点的时间。 9．如图所示，一透明玻璃半球竖直放置，为其对称轴，O为球心，球半径为R，半球左侧为圆面，右侧为半球面。现有一束平行红光从其左侧垂直于圆面射向玻璃半球，玻璃半球对红光的折射率为，真空中的光速为c，不考虑光在玻璃中的多次反射。 （1）从左侧圆形截面的某一面积内入射的光线，能从右侧半球面直接射出。求此面积和左侧圆形截面面积的比值； （2）某条光线从距O点处垂直左侧圆面射入，从右侧半球面射出后与相交于D点（未画出）。求这束光从射入半球到D点的传播时间。    10．2021年12月9日，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为青少年带来了一场精彩纷呈的太空科普课。王亚平在水膜上注水，得到了一个晶莹剔透的水球，接着又在水球中央注入一个气泡，形成了两个同心的球，如图所示。是通过球心O的一条直线，并与球右表面交于C点。一单色细光束平行于从B点射入球体，当没有气泡时，光线从C点射出。已知水球半径为R，光线距的距离为，光在真空中传播的速度为c，求： （1）水对此单色光的折射率n； （2）水球半径及入射光线与的距离均不变，当球内存在气泡时，光线经过气泡全反射后，仍沿原方向射出水球，光线通过水球的时间t。 11．如图所示，一玻璃砖的截面由半圆柱和等腰直角三角形柱ABC组成，AC是半圆的直径，O点为圆心，AC长为2R，光屏MN距圆心O的距离为。一束与AB等宽的平行光垂直AB面射入玻璃砖，发现从半圆弧上D点出射的光线恰好落在光屏上的F点，FO连线沿半圆的半径方向且垂直于AC，OD与OF夹角为（忽略未发生全反射光线的二次反射），光在真空中的传播速度为c，求： （1）该玻璃砖的折射率； （2）半圆弧上有一点E，OE与OF夹角为，求射到E点的光线在玻璃砖中的传播时间。 12．如图甲所示，真空中的半圆形透明介质，半径为R，圆心为O，其对称轴为OA，一束单色光沿平行于对称轴的方向射到圆弧面上。光线到对称轴的距离为，经两次折射后由右侧直径面离开介质。已知该光线的入射角和出射角相等，真空中的光速为c。求： （1）透明介质的折射率n； （2）单色光在介质中传播的时间t； （3）如图乙所示，将透明介质截取下半部分OAB，用黑纸覆盖OB。用该单色光平行于横截面，与界面OA成30°角入射，若只考虑首次入射到圆弧AB上的光，求圆弧AB上有光射出的弧长L。（取） 13．2022年2月4日举办的北京冬奥会开幕式令世界沸腾。在这场感觉、听觉、视觉交织融合的饕盛宴背后，最大的“功臣”非LED显示技术莫属。发光二极管（LED）可高效地将电能转化为光能，在照明、平板显示、医疗器件等领域具有广泛的用途。有一种发光二极管，它由半径为R的半球体介质ABC和发光管芯组成，管芯发光区域是半径为r的圆面PQ，其圆心与半球体的球心O重合，过球心的横截面如图所示。图中发光圆面发出的某条光线射向D点，入射角为30°，折射角为45°。 （1）求半球体介质对光的折射率及光从该介质射入空气中的临界角； （2）为使从发光圆面PQ射向半球面上所有的光都不会发生全反射，管芯发光区域面积最大值为多少？ 14．“跳棋”游戏中的棋子是用玻璃材料做的一种球形器材，有位同学想测定棋子的折射率。如图所示为其过球心的横截面，设玻璃棋子半径为R，直线EF为过球心的水平线，一束光线平行于EF射到棋子表面N点处，光线从Q点射出，并与EF交于P点。若棋子内无其他介质，入射光线与EF相距，入射光线从N点进入棋子后的折射角为，真空中光速为c。 （i）作出光线的光路图并求出棋子的折射率； （ii）求光线从进入棋子到第一次射出棋子所用的时间。 15．如图所示，半圆形玻璃砖的半径为R，AB边竖直，O为圆心，一纸面内的单色光束从玻璃砖的某一定点P点射入，入射光线可以从P点法线左右两侧射入并且入射角θ可以任意变化，现要求只考虑能从AB边折射的情况（不考虑从AB上反射后的情况），已知：α=60°，玻璃砖对该单色光的折射率n=，光在真空中的速度为C，则求：（） （1）光在玻璃砖中传播的最短时间多少？ （2）AB面上有光线射出的区域最大长度是多少？ 16．处于真空中的圆柱形玻璃的横截面如图所示，AB为水平直径，玻璃砖的半径为R，O为圆心，P为圆柱形玻璃砖上的一点，与水平直径AB相距，单色光平行于水平直径AB射向该玻璃砖。已知沿直径AB射入的单色光透过玻璃的时间为t，光在真空中的传播速度为c，不考虑二次反射，求： （1）该圆柱形玻璃砖的折射率n； （2）从P点水平射入的单色光透过玻璃砖的时间。 17.如图所示，有一透明玻璃砖的截面，其上面的部分是半径为R的半圆，下面是边长为2R的正方形，在玻璃砖的两侧面距离R处，分别放置和侧面平行的足够大的光屏，已知玻璃砖的折射率n=，一束光线按图示方向从左侧光屏的P点射出，过M点射入玻璃砖，恰好经过半圆部分的圆心O，且∠MOA=45°，光在真空中的传播速度为c。求： （1）光在玻璃砖中发生全反射的临界角 （2）光从P点发出到第一次传播到光屏上所用的时间 答案 1．C 【详解】如图所示，光线1通过玻璃砖后不偏折．光线2入射角 i=60°，由 得 解得 r=30° 由几何知识得 i′=60°-r=30° 由 得 sinr′=nsini′= 解得 r′=60° 由正弦定理，得 OC=R 则 d=OC•tan 30°=R 故选C。 2．B 【详解】根据折射定律有： 可得光进入玻璃后光线与竖直方向的夹角为30°。过O的光线垂直入射到AB界面上点C射出，C到B之间没有光线射出；越接近A的光线入射到AB界面上时的入射角越大，发生全反射的可能性越大．根据临界角公式： 得临界角为45°，如果AB界面上的临界点为D，此光线在AO界面上点E入射，在三角形ODE中可求得OD与水平方向的夹角为： 180°-（120°+45°）=15° 所以A到D之间没有光线射出．由此可得没有光线射出的圆弧对应圆心角为： 90°-（30°+15°）=45° 所以有光透出的部分的弧长为。 故选B。 3．AB 【详解】A．根据题意画出光路图，如下图所示：    设第一次进入雨滴的折射光线的折射角为，根据 OP=OE=R 可知 ∠OEP= PE光线在E点发生反射，则可知 ∠PEO=∠OEF= 根据 OF=OE=R 可知 ∠OFE= 根据光路可逆，可知出射光线的折射角等于53°，设法线OF与水平方向的夹角为，由图可知 =180°-42°-53°=85° ∠OMF=90° 所以 ∠MOF=90°-=5° 由图可知 ∠POE=∠FOE=180°-2 则 ∠POE+∠FOE+53°+∠MOF=270° 即 180°-2+180°-2+53°+5°=270° 可得 =37° 根据折射定律可得 故A正确； B．光束在雨滴中传播的速度 光束在雨滴中传播的距离 光束在雨滴中经历的时间 故B正确； CD．设光束的临界角为C，则有 可知临界角 C＞45° =37°＜C 可知光束在雨滴内没有发生全反射，在E点发生折射，有光线从E点射出雨滴，根据能量守恒，出射光的能量小于入射光的能量，故CD错误。 故选AB。 4．C 【详解】A．由于弧长占整个弧长的，如图所示 故，设A处折射角为，则折射率 B处的折射角为60°，则有 联立可得 则 故A错误； BC．由题意可得b光的出射点在之间，由折射率表达式可知 折射率越大频率越高，所以b光的频率比a光小，故B错误，C正确； D．由 可知 而 所以b光在棱镜中的传播时间比a光短，故D错误。 故选C。 5．BC 【详解】AB．由临界角公式 所以临界角为45°，由折射定律 所以 又因为 联立解得 A错误，B正确； CD．如图 设折射光线PM在半圆截面刚好发生全反射，由上述分析可知：临界角 OM与水平方向的夹角为 所以ON与竖直方向的夹角为15°，有光透出的部分为MN圆弧对应的圆心角为 则ABCD面上有光透出部分面积为 C正确，D错误。 故选BC。 6．BCD 【详解】A．同一介质对不同频率的光具有不同的折射率，折射率随频率的增大而增大，即玻璃对蓝光的折射率大。由于光束OB的偏转程度大于OC，可知光束OB为蓝光，光束OC为黄光，从B、C两点射出的光分别是蓝光、黄光，故A错误； B．设OD长度为d，折射角分别为、，连接BD、CD，如下图 根据 解得 光在玻璃中传播时间为 可解得 故B正确； C．由 又 黄光的临界角大于蓝光的临界角。又蓝光与法线（过B点的法线）的夹角大于黄光与法线（过C点的法线）的夹角，若从圆弧面只有一处光线射出，则一定是从C点射出，故C正确； D．设复色光的入射点从O平移到D的过程中，从圆弧射出的两束光线入射角和折射角分别为：、、、，如图所示 由数学关系可知，存在从圆弧射出的两束光线平行且满足 故D正确。 故选BCD。 7．D 【详解】如图所示 在半球面上任选一点P，根据几何关系可知，若此时线状光源B点发出的光能够射出P点，则线状光源其他点发出的光也一定能够射出P点，所以只要B点发出的所有光线能够射出球面，则光源发出的所有光均能射出球面，在中，根据正弦定理有 解得 当时，有最大值 为使光线一定能从P点射出，根据全反射应有 所以 故选D。 8．（1）；（2） 【详解】（1）依题意，临界角C=45°，由公式可得 （2）由折射定律有 可得 ，r=30° 根据几何关系可知，光在玻璃中传播的路程s，有 该单色光在玻璃中的传播速度v，有 故传播时间t，有 可得 9．（1）；（2） 【详解】（1）从左侧圆面垂直入射，不偏折，考虑截面，从左侧的A点入射，光在右侧半球面刚好发生全反射，则由折射定律有 则有 从左侧射入能从右侧射出的光束是以O为圆心，OA长为半径的圆，其面积 而左侧入射面的面积 解得 （2）设距O点的入射点为B，射到半球面上的C点。如图所示    入射角为i，折射角为r，在中由几何关系有 ， 考虑在C点折射，由折射定律有 解得 设从C点的出射光线交轴于D点，由图知，在中，，，由几何关系可得 ∠CDO=15° 则和差公式得 解得 光在玻璃中传播速度 光从B点传播到D点的时间 解得 10．（1）；（2） 【详解】（1）无气泡时，光路如图 由几何关系可知 得光束在B点的入射角和折射角分别为 i=60°，r=30° 由折射定律得 （2）当有气泡时，光路图如图所示 由几何关系可知 在中 解得 光速为，则时间为 得 11．（1）；（2） 【详解】（1）由于忽略非全反射光线的二次反射，因此能到达点的光线只能是面上发生反射的结果，三角形柱ABC为等腰直角三角形，则经反射后光线平行于AB边，光路图如图所示。 由几何关系得，与法线夹角为60°，经BC边反射后光线与OD夹角为，由折射定律 解得 （2）由于折射率，可知到达E点的光线发生全反射。射到点的光线在玻璃砖中的光路如上图所示。 由几何关系可知，其在中的光程总长为，而在半圆形部分的光程长为。光在玻璃砖中的传播速度为 因此在玻璃砖中的总传播时间为 12．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设第一次折射的入射角和折射角分别为i1和r1，第二次折射的入射角和折射角分别为i2和r2，由于光线到对称轴的距离为，则有 由几何知识知 解得 则透明介质的折射率 （2）光在介质中传播速度 光在介质中传播距离 由可得 （3）光线从O点照射到透明介质，光线照射到圆弧的C点，如图 则 解得 设从D点入射的光线经折射后到达E点时，刚好发生全反射，则 解得 由几何知识解得 则圆弧AB上有光射出的是，弧长为 13．（1），；（2） 【详解】（1）根据折射定律得 解得 根据 解得临界角 （2）如图，由正弦定理可知，从P或Q点垂直于圆面发出的光射到球面时的入射角最大，设为，由几何关系有 设光发生全反射的临界角为C，则有 为使从发光圆面PQ射向半球面上所有的光都不发生全反射，应满足 解得 管芯发光区域面积应满足 所以管芯发光区域面积最大值为。 14．（i），；（ii） 【详解】（i）根据题意可作出光路图，如图所示 根据几何关系有 故 i=60° 根据光的折射定律有 （ii）根据几何知识有 NQ=2Rcosγ=R 光在棋子中传播的速度为 光在棋子中传播的时间为 15．（1）t=；（2） 【详解】 （1）光在玻璃砖中传播的最短距离 x=Rsin 解得 x= 光在玻璃砖中传播速度 v= 所以最短时间为 t== （2）临界角为C，则 即C=故从AB边有光线射出区域的边界光线如图所示 由几何关系可知 由正弦定理可得 和 即 故有光射出区域长度 L=‍‍ 16．（1）；（2）。 【详解】（1）沿AB入射的光将从B点射出，设光在玻璃内的速度为v，则： v＝ 又： 2R＝vt 联立可得： n＝ （2）过P做入射光的法线，过P做AB的垂线，垂足为C，如图：因，所以∠POC＝30° 由几何关系可知该光的入射角为30° 由折射定律：n＝可得： 由几何关系： PD＝2R•cosr 从P入射的光到达D所用的时间： 联立可得： t′＝ 17．(1)37°；(2) 【详解】①设玻璃砖的临界角为C，则∶ 解得∶ C=37° ②由于光射到玻璃砖的平面上时的入射角均为i = 45°>C=37°则射到平面上的光线发生全反射，其光路图如图所示。 由几何知识可得，光在玻璃砖和光屏之间传播的距离 传播的时间 光在玻璃砖内传播的距离∶x2=4R+2R 光在玻璃砖内传播的速度为 光在玻璃砖内传播的时间 光从P点发出到第一次传播到光屏上所用的时间： 综上所述本题答案是：(1)37°(2) 点睛：本题的关键是要掌握全反射临界角公式，以及全反射的条件，解题时，要做出光路图，利用几何关系帮助解答。 学科网（北京）股份有限公司 $$