2025年九年级中考数学冲刺练习圆的证明与计算

2025年九年级中考数学冲刺练习 圆的证明与计算 1．如图，是的直径，点在上，为外一点，且，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 2．如图，中，，D为中点，，，是的外接圆． (1)求证：是的切线； (2)求的长和的半径． 3．如图，在中，，的平分线交于点，以点为圆心，长为半径的圆与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 4．如图，为的外接圆，为的直径，的外角平分线交于点D，过点D作垂直，交的延长线于点E，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 5．如图，在以为直径的中，点为上一点，连接，，延长至点、使得、过点作交的延长线于点，交于点． (1)求证：为的切线； (2)若点是的中点，，求的长． 6．如图，为⊙的直径，点C在⊙上，的平分线交⊙于点D，过点D作，交的延长线于点E．    (1)求证：是⊙的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 7．如图，是的直径，点C，E在上，，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F，连接，平分． (1)求证：是的切线； (2)若E为的中点，连接，的半径为2，求的长． 8．如图，是的直径，，过点作交于点，垂足为，连接并延长与的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的值． 9．如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若． ①求的长； ②求的半径． 10．如图，在中，，以为直径的交于点D，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若．．求的长． 11．如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径． 12．如图，以线段上一点为圆心，为半径画圆，交于点，点是异于点，的上一点，过点作，交延长线于点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径； (3)若，如图，以为圆心，为半径画弧交射线于点（与不重合），为的中点，判断点是否在一个圆上？如果在，请求出这个圆的半径；如果不在，请说明理由． 13．如图，是的直径，直线经过上的点E，于点C，交于D，平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的长． 14．如图，点在以为直径的上，平分，且于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 15．已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为2，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级中考数学冲刺练习圆的证明与计算》参考答案 1．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得：，得到，推出，得到，结合，可推出，即可得证； （2）连接，证明是等边三角形，得到，，推出，得到，，求出，，最后根据面积的和差即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ，                                                                                        ， ， 又， ， 即， 又是的半径， 直线是的切线； （2）解： 如图，连接， ， ， 又， 是等边三角形， ，， ， 在中， ， ，， ，， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理，平行线的判定与性质，扇形的面积公式，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 2．(1)见解析 (2)，的半径为 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，证明，即可得证； （2）易证，得到，求出的长；过点A作，垂足为E，连接，并延长交于F，连接，在中，通过解直角三角形得到，，由得到．设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求得，，由得到，根据正弦的定义即可求解． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接， 则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：，， ． ，即； ，D为中点， ， ∴， ． 过点A作，垂足为E，连接，并延长交于F，连接， 在中，． 又， ． ∴在中，． ， ． 设，则，． ∵在中，， ，即， 解得，（舍去）． ，． ∵， ． ∵为的直径， ． ． ，即的半径为． 【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，圆周角定理．构造适当的辅助线是解题的关键． 3．(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】（）过点作于点，根据角平分线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （）根据切线的性质得到，在中，设，根据和勾股定理列方程即可得到结论； 本题考查了切线的判定，切线长定理，角平分线的性质定理，勾股定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的半径，， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴与相切， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴，， 在中，设， 则，即， 解得：， ∴， ∴， ∴的长为． 4．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，矩形的性质与判定，等腰三角形的性质、勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）连接，利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可推导出，利用切线的判定即可证明结论； （2）延长交于点F，证明四边形是矩形，则由垂径定理可得，设，则，则，在中，由勾股定理可得，解方程可求出，再证明，可由勾股定理得到，求出，则由勾股定理可得答案． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ∴， 平分， ， ， ， ， ，即， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：延长交于点F， 是的直径， ， 由（1）知：， 四边形是矩形， ， ， 在矩形中，设， ， ， ， 在中，，， ∴， 解得：（舍去），； ， 是的直径，且， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， 在中，， ， 的长为． 5．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角为可得出，再根据等量代换得出，然后根据等边对等角可推出，从而得证； （2）根据垂直于同一条直线的两条直线平行，得出，再根据平行线的性质及等边对等角得出，然后根据等角所对的弧相等得出，易得出，设半径为，根据余弦可求出的值，最后根据弧长公式即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接， 是直径， ， ， ， ． ， ， ， ． ， 是的切线． （2），， ， ， ， ， ， ． 点是的中点， ， ． 设半径为，则， ， ， 在中，， 即 解得：， 的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，弧长公式，弦、弧、圆周角的关系，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 6．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由圆周角定理可证，进而可证，由平行线的性质可证，可得是⊙的切线； （2）求出得，在中，由勾股定理求出，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：连接，   是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 直线是的切线； （2），， ， ， 在中，，即， 解得：， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理、圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角、扇形面积公式、切线的判定以及平行线的性质，熟练掌握圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角以及切线的判定是解题的关键． 7．(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，等腰三角形的性质以及平行线的性质和判定，得出即可； （2）连接，，证明是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 则， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图2，连接，， 则． 由（1）知， ∴， ∴． ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质、圆周角定理是解题的关键． 8．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据全等三角形的性质得到，求得，于是得证； （2）连接，证明得，求得，，由勾股定理得，，，证明得，即可求的值． 【详解】（1）证明：连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：连接， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 9．(1)证明见解析； (2)①；②． 【分析】（）连接，则，可得，由可得，进而由等腰三角形的性质可得，得到，即可求证； （）①证明得到，据此即可求解；②由①可得，进而得，，利用勾股定理得，再证明，得到，即可得，求出即可求解． 【详解】（1）证明：连接，则， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：①∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质和判定，余角性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 10．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，利用圆周角定理和直角三角形性质得到，进而推出，利用等腰三角形性质得到，根据，结合等量代换得到，即可证明是的切线； （2）根据题意证明为等边三角形，进而得到，利用三角函数，建立关于的等式求解，即可解题． 【详解】（1）证明：连接，， 为的直径， ， ， E为的中点， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ，． ， 解得． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，等边三角形性质和判定，锐角三角函数，解题的关键在于合理添加辅助线解决问题． 11．(1)见解析 (2)8 【分析】（1）连接，证明，得到，即可得证． （2）连接，，证明，求得、的长，半径即可得解． 【详解】（1）如图，连接， 平分， ； ， ； ， ， ， ， 是的切线． （2）如图，连接，， 是直径，是圆的切线， ， ； ， ； ， ， ， ， ，， ， 解得， ， 圆的半径为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 12．(1)证明见解析 (2) (3)点在一个圆上，这个圆的半径为 【分析】（）连接，可得，即得，由得到，进而得到，即可求证； （）由，可得，进而得到，连接，可得，得到，再根据勾股定理得到，进而即可求解； （）连接，由垂径定理的推论可得，即得，由得，进而可得，得到，进而得到，即可得到点在一个圆上；由，可得，，得到，再根据三角形面积可得，得到，由三线合一得到，即可得，，，，由得到，可得，得到，最后由勾股定理得到，由可知为点所在圆的直径，据此即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴的半径为； （3）解：点在一个圆上，理由如下： 连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点四点共圆， 即点在一个圆上； ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴为点所在圆的直径， ∴这个圆的半径为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直接三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，四点共圆，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 13．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的判定定理，结合已知即可求证； （２）连接，根据圆内接四边形的性质，结合已知条件，易证,继而求得，根据相似三角形对应边成比例，列式代入即可求解． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 平分， ， ， ， ， ， 直线是的切线． （2）连接，则， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ， , ， ， 即， 解得, 所以或（舍去）， 所以的长是． 【点睛】本题考查了切线的判定定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定定理及性质定理，熟练掌握这些性质和定理，是解题的关键． 14．(1)见解析； (2)的半径为． 【分析】（）连接，由，则，又平分，故有，从而得到，然后根据平行线的性质和切线的判定即可求证； （）过点作于点，得四边形是矩形，然后利用勾股定理即可求出半径的长即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴的半径为． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】对于（1），连接，根据同弧所对的圆周角相等得，再根据等边对等角得，然后根据圆周角定理得，最后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），先根据垂径定理得，再根据直角三角形的性质得，然后根据勾股定理得，最后根据得出答案． 【详解】（1）连接， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵所对的圆周角是，圆心角是， ∴， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）∵是的直径，，垂足为M，的半径是2， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理得， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，直角三角形的性质，连接圆心和圆上的点是证明切线的作辅助线的基本思路． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$