天津市南开区南开大学附属中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

南开大学附中24-25学年下学期第一次阶段检测 高二数学学科试卷 姓名： 班级： 考号： 一、单选题(共9小题，每小题5分，共45分) 1.下列选项正确的是( ) C. [(2x+1)(2x-1)]'=8x 2. 已知集合 则= ( ) A.{1,2,3} B. {2,3,4} C. {3,4,8} D. {2,4,8} 3.在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有( ) A. 25种 B. 150种 C. 300种 D. 50种 4. 是“方程 表示焦点在轴上的双曲线”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设随机变量,若 则D(Y)= ( ) A. B. C. D. 6.用数字0，1，2，3，4组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为( ) A. 60 B. 30 C. 36 D. 21 7. 若 的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中x²的系数是( ) A. 32 B. 64 C. 80 D. 16 8.已知函数的导函数为，且满足 则 的值为( ) A. 9.公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊5人以并列第一的得分在选拔中脱颖而出.现在人事部、财务部与科研部要分别选择1人担任部门总监，其余2人随机分别调到2个部门中担任项目经理，设事件A={甲、乙两人不在同一部门}，事件B={甲担任财务部部门总监}，则P(A|B)=( ) A. B. C. D. 二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分) 10. 已知随机变量X~N(5,σ²), 且P(X<3)=0.3, 则P(3≤X≤7)= . 11. 若 则 z= . 12. 已知函数 则的最小值为 . 13.3名男生和3名女生随机站成一排，每名女生至少与一名男生相邻，则不同的排法种数为 . 14. 已知 的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为 . 15.若函数 有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为 . 三、解答题(共5小题，每小题15分，共75分) 16.已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响.设能正常工作的设备数为X. (1)求X的分布列； (2)求E(X)和D(X); (3)求计算机网络不会断掉的概率. 17.如图，在四棱锥. 中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SB⊥底面ABCD, 点M是棱SC的中点. (1)求证: BM⊥平面SCD; (2)求直线SA与平面SCD所成角的正弦值； (3)求平面SAB与平面SCD夹角的大小. 18. 已知函数 (1)当时, 求 在点处的切线方程; (2)若a>0, 试讨论 的单调性. 19. 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 其中O为坐标原点. (1)求椭圆C₁的方程； (2)过椭圆C₁的右顶点作直线与抛物线 相交于A，B两点； ①求证:OA血OB; ②设射线OA，OB分别与椭圆C₁相交于点 M，N，求O到直线MN的距离. 20. 数列 满足： (1)求数列 的通项公式； (2)设 为数列 的前n项和，若 恒成立， 求实数m的取值范围. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$