19.2.1 第1课时 正比例函数的概念 教学设计-2024-2025学年人教版数学八年级下册

课题名称 19.2.1 第1课时 正比例函数的概念 教学设计 学科 数学 授课班级 授课时数 １ 执教者 授课日期 教材分析 本节课是2012年人教版八年级下册第十九章一次函数 19.2.1正比例函数，内容包括:第1课时正比例函数的概念. 本节课是在学习函数概念的基础上，进一步讨论正比例函数，函数是初中数学学习的重要内容，而正比例函数是最简单的函数。通过学习正比例函数，培养学生利用函数解决生活中的实际问题，培养学生函数的数学思想，培养学生体会“数学来源于生活，同时也为生活服务”的数学意识. 学情分析 正比例函数是在学习了函数的概念与函数的图象之后学习的第一种具体函数模型，学生已能够判断两个变量是否存在函数关系.在第二学段(小学)学生学习了正比例关系，知道两个量成正比例的条件是它们的比始终是一个固定不变的量(常量)，经历了通过列表探索成正比例关系的两个量之间的关系,通过方格纸画过成正比例关系的两个量之间关系的图象的过程.学生对匀速直线运动模型中的数量关系也并不陌生，为本节课的学习打下基础. 教学目标 1.理解正比例函数的概念； 2.会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题. 教学 重难点 重点：理解正比例函数的概念； 重难点：会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题. 课前准备 利用情境引入、幻灯片，提供丰富的学习内容。 教学方法 自主学习法、问答法、启发讲授法、讲解法、 教学过程 一、复习引入 1. 画函数图像的步骤有哪些？ 答：列表、描点、连线 2.函数的表示方法有哪些？ 答：图像法、列表法、解析式法 2、 自主学习 思考：正比例函数的概念是什么？如何求正比例函数的解析式？ （学生自学） 3、 释疑 问题1 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式 (1) 圆的周长 l 随半径 r 的变化而变化． (2) 铁的密度为 7.8 g/cm3,铁块的质量 m (单位：g) 随它的体积V(单位：cm3) 的变化而变化 (3) 每个练习本的厚度为 0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h(单位：cm) 随习本的本数 n 的变化而变化． (4) 冷冻一个 0 ℃ 的物体，使它每分钟下降 2℃，物体温度 T(单位：℃) 随冷冻时间 t (单位：min)的变化而变化． 答： (3) h = 0.5n. (4) T = -2t. 问题2 认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是函数、常量和自变量． 问：这些函数解析式有什么共同点？ 答：这些函数解析式都是常数与自变量的乘积的形式！ 即：函数=常数×自变量 知识要点： 一般地，形如 y = kx ( k 是常数，k ≠ 0)的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数． 注: 正比例函数 y = kx (k ≠ 0)的结构特征 ① k ≠ 0； ② x 的次数是 1. 试一试 1. 判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？ 2.回答下列问题： (1)若 y = (m - 1)x 是正比例函数，m 取值范围是___________ ； (2)当 n__________时，y = 2xn 是正比例函数； (3)当 k____________时，y = 3x + k 是正比例函数. 典例精析 例1 已知函数是正比例函数，求 m 的值. 解：∵函数 是正比例函数， ∴ m - 1 ≠ 0， m2 = 1， 即 m ≠ 1， m =±1， ∴ m = -1. 例2 若正比例函数的自变量 x 等于 -4 时，函数 y的值等于 2. （1）求正比例函数的解析式； （2）求当 x = 6 时函数 y 的值. 解：（1）设正比例函数解析式是 y = kx， 把 x = -4， y =2 代入上式，得2 = -4k， 解得 k = ∴所求的正比例函数解析式是 . （2）当 x = 6 时，y = -3. 归纳总结： 求正比例函数的解析式步骤：①设：解析式 ②代：把（x，y）代入 ③求：出k ④写：出解析式 问题3 2011年开始运营的京沪高速铁路全长 1318 千米. 设列车的平均速度为 300 千米/时. 考虑以下问题： （1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时（保留一位小数）？ （2）京沪高铁的行程 y（单位：千米）与时间t（单位：时）之间有何数量关系？ （3）从北京南站出发 2.5 小时后，是否已过了距始发站 1100 千米的南京南站？ 答：(1)1318÷300≈4.4（小时） (2)y=300t（0≤t＜4.4） (3)y = 300×2.5 = 750（千米） 答：这时列车尚未到达距始发站 1100 千米的南京南站. 典例精析 例3 已知某种小汽车的耗油量是每 100 km 耗油 15 L. 所使用的汽油为 5 元/ L. (1)写出汽车行驶途中所耗油费 y (元) 与行程 x (km) 之间的函数关系式，并指出 y 是 x 的什么函数； (2)计算该汽车行驶 220 km所需油费是多少？ 解：(1) y = 5×15x÷100，即 y 是 x 的正比例函数. (2) 当 x = 220 时， 答：该汽车行驶 220 km 所需油费是 165 元． 四、巩固练习 1. 若 是正比例函数，则 m = ___________； 2.若 是正比例函数，则 m =_________ ； 3.已知 y 与 x 成正比例，当 x 等于 3 时，y 等于 -1.则当 x = 6 时，y 的值为 _________ . 4.列式表示下列问题中 y 与 x 的函数关系，并指出哪些是正比例函数．(P87练习2) (1) 正方形的边长为 x cm，周长为 y cm. 答：y = 4x，是正比例函数 (2) 某人一年内的月平均收入为 x 元，他这年 (12个月)的总收入为 y 元． 答：y = 12x，是正比例函数 (3) 一个长方体的长为 2 cm，宽为 1.5 cm，高为 x cm ，体积为 y cm3. 答：y = 3x，是正比例函数 五、评议 今天这节课主要学习了什么？ 六、布置作业 　同步 板书设计 教学反思 5 学科网（北京）股份有限公司 $$