第三章圆 课时练 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

第三章　圆 1　圆 1.已知AB是半径为6的圆的一条弦，则AB的长度的最大值是（ C ） A.8 B.10 C.12 D.14 2.　如图，AB是半径为2的☉O的弦，C是☉O上的一个动点，若M，N分别是AB，BC的中点，则MN的长度的最大值是　2　. 3.（2024·延安校级月考）如图，已知☉O及其所在平面内的4个点，若☉O的半径为6，则到圆心O的距离为5的点可能是（ C ） A.点M B.点N C.点P D.点Q 4.　 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tan A＝2，以点A为圆心，半径为8的圆记作☉A，那么下列说法正确的是（ A ） A.点C在☉A内，点B在☉A外 B.点C在☉A上，点B在☉A外 C.点C，B都在☉A内 D.点C，B都在☉A外 5. 在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2.下列说法不正确的是（ C ） A.当a＝－1时，点B在☉A上 B.当a＜－1时，点B在☉A外 C.当a＜1时，点B在☉A内 D.当－1＜a＜3时，点B在☉A内 6.如图，在半圆O中，AB是直径，CD是一条弦，若AB＝10，则△COD面积的最大值是　12.5　. 答案图 解析：如图，过点D作DH⊥CO交CO的延长线于点H，则S△COD＝OC·DH. ∵DH≤OD，OC＝AB＝5，∴当DH＝OD时，△COD的面积最大，此时△COD是等腰直角三角形，∠COD＝90°，此时△COD面积的最大值为×5×5＝12.5.故答案为12.5. 2　圆的对称性 1.（2022·西安期末）如图，已知☉O的半径为2 cm，AB是☉O的直径，C，D是☉O上的两点，且 ＝＝，则四边形ABCD的周长为（ B ） A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.16 cm 变式1图 变式2图 变式3图 2.（2024·西安碑林区模拟）如图，AB，CD是☉O的弦，且AB＝CD.若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（ D ） A.42° B.44° C.46° D.48° 3.如图，在半径为5的☉A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距为（ B ） A.4 B.3 C. D. 提示： 解法1：如图，延长CA交☉A于点F，连接BF，过点A作AH⊥BC，交BC于点H. 易知BF＝DE＝6，AH为△CBF的中位线，∴AH＝BF＝3. 解法1图 解法2图 解法2：如图，过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥DE于点N. 证明△ABM≌△DAN，所以AM＝DN＝DE＝3. 4.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，BO＝2，C为BO的中点，D 为 上的一点，且2＝，连接AC，DC，在OC绕点O旋转的过程中，当CD取最小值时，△ACO的周长为　3＋　. 提示：在OC旋转的过程中，O，C，D三点共线时，CD最短，得出此时△AOD是等边三角形，由勾股定理求出，此时AC＝，即可解决问题. 3　垂径定理 1.（2024·咸阳模拟）如图，AB是☉O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝1，BP＝5，∠APC＝45°，则CD的长为（ C ） A.3 B.2 C.2 D. 1图 2图 3图 2.（2024·牡丹江）如图，在☉O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为　3　. 3.（2023·西安未央区期末）如图，AB为☉O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是　9.6　. 4.（2022·渭南合阳期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的☉O与BD交于点M，N，则MN的最大值为　8　. 解析：如图，过点A作AH⊥BD于点H，连接OM. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°. 在Rt△ABD中，BD＝＝＝25. ∵AH·BD＝AD·AB，∴AH＝＝12. ∵☉O的直径为16，∴☉O的半径为8. 过点O作OG⊥MN，连接AO.∵AO＋OG≤AH，∴点O在AH上时，OG最短. ∵GM＝，∴此时GM有最大值，OG＝AH－OA＝4，则最大值为＝4. ∵OG⊥MN，∴MN＝2MH，∴MN的最大值为2×4＝8. 故答案为8. 4　圆周角和圆心角的关系 第1课时　圆周角定理及其推论1 1.（2024·临夏州）如图，AB是☉O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝（ D ） A.80° B.100° C.120° D.110° 1图 2图 3图 2.（2024·咸阳三模）如图，在☉O中，AB是直径，BC是弦，∠ABC＝36°，过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，则∠EDO的度数是（ A ） A.18° B.20° C.36° D.72° 3.（2024·连云港）如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝　90　°. 4.以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片如图所示，点C在☉O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在☉O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD.设CD与直径AB交于点E.若AD＝ED，则∠DAE＝　72　°，的值等于　　. 解析：由折叠的性质知∠BCO＝∠DCO.设∠BCO＝∠DCO＝α，则∠BCD＝∠A＝2α. ∵OB＝OC，＝，∴∠B＝∠BCO＝∠D＝α. ∵AD＝ED，∴∠DEA＝∠A＝2α. 在△ADE中，α＋2α＋2α＝180°，解得α＝36°，∴∠DAE＝2×36°＝72°. 设☉O的半径为r.∵∠BEC＝∠DEA＝72°＝∠BCE，∠DCO＝∠B＝36°， ∴△BCE∽△CEO，∴＝.∵∠COE＝2∠B＝72°＝∠CEO＝∠BCD， ∴CE＝OC＝r，BC＝BE＝OB＋OE＝r＋OE，∴＝， 解得OE＝r（负值舍去）.∵△DAE∽△BCE，∴＝. ∵＝＝1－＝，∴＝.故答案为72，. 第2课时　圆周角定理的推论2，3 1.（2024·广元）如图，已知四边形ABCD是☉O的内接四边形，E为AD延长线上的一点，∠AOC＝128°，则∠CDE等于（ A ） A.64° B.60° C.54° D.52° 1图 2图 2.（2024·咸阳三模）如图，四边形ABCD内接于☉O，连接OB，OC，OD.若∠BCD＝105°，∠BOC＝2∠COD，则∠OCD的度数为（ A ） A.65° B.60° C.55° D.50° 3.（2023·渭南澄城一模）如图，BC是☉O的直径，A是☉O外一点，连接AC交☉O于点E，连接AB并延长，交☉O于点D.若∠A＝33°，则∠DOE的度数是（ A ） A.114° B.116° C.118° D.120° 3图 4图 4.　如图，在圆内接六边形ABCDEF中，∠A＋∠E＝230°，则∠C的度数为　130°　. 5.（2024·榆林榆阳模拟）如图，△ACD内接于☉O，点B在☉O上，连接BC，BC⊥AC，若AC＝6，∠ADC＝30°，则☉O的直径为（ A ） A.12 B.6 C.6 D.3 5图 6图 6.（2024·西安新城区模拟）如图，在☉O中，AB是直径，点C，D均在☉O上，连接CD，AD，AC，BC，且∠BAC＝∠D.若☉O的半径为3，则AC的长为（ C ） A.3 B.3 C.6 D.6 7 如图，△ABC内接于☉O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交☉O于点D.若AC＝6，BD＝4，则BC的长为　2　. 8.（2024·西安长安区一模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D为AB上的一点，E为BC上的一点.若∠CDE＝90°，则CE的最小值为　16－8　. 解析：如图，以CE的中点O为圆心，以CE的长为半径作圆. ∵∠CDE＝90°，∴点D在☉O上，当CE的值最小时，即☉O的直径最小， ∴当OD⊥AB时，☉O的直径最小，即CE的值最小. 设CE＝x，则OC＝OD＝x.∵∠A＝90°，AB＝AC＝4，∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B＝45°，BC＝＝＝4，∴OB＝BC－OC＝4－x. ∵OD⊥AB，∠B＝45°，∴△BDO是等腰直角三角形，∴OB＝OD＝×x＝x， ∴4－x＝x，解得x＝16－8，∴CE的最小值为16－8. 故答案为16－8. 5　确定圆的条件 1.定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径. （1）如图1，在损矩形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段　AC　. （2）在（1）中的线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以点P为圆心的同一个圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请利用尺规作出这个圆.（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （3）如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作菱形ACEF，D为菱形ACEF两条对角线的交点，连接BD，则当BD平分∠ABC时，四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由.若此时AB＝3，BD＝4，求BC的长. 解：（2）如图所示. （3）∵四边形ACEF是菱形，∴∠ADC＝90°，AE＝2AD，CF＝2CD， ∴四边形ABCD为损矩形，∴由（2）可知，点A，B，C，D在同一个圆上. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴＝，∴AD＝CD，∴四边形ACEF为正方形. ∵BD平分∠ABC，BD＝4，∴点D到AB，BC的距离h为4， ∴S△ABD＝AB·h＝2AB＝6，S△ABC＝AB·BC＝BC， S△BCD＝BC·h＝2BC，S△ADC＝＝AC2＝（BC2＋9）. ∵＝S△ABC＋S△ADC＝S△ABD＋S△BCD，∴BC＋（BC2＋9）＝6＋2BC， ∴BC＝5或BC＝－3（舍去），即BC的长为5. 6　直线和圆的位置关系 第1课时　直线和圆的位置关系及切线的性质 1.（2024·咸阳武功模拟）如图，AB是☉O的直径，弦CD与AB相交，连接BD，过点C作☉O的切线，交AB的延长线于点P，若∠P＝45°，则∠BDC的度数为（ D ） A.45° B.30° C.15° D.22.5° 1图 2图 3图 2.（2024·西安二模）如图，AB是☉O的直径，点E，C在☉O上，A是的中点，过点A作☉O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC，AC.若∠ADB＝58°，则∠ACE的度数为（ B ） A.29° B.32° C.58° D.42° 3.　如图，△ABC的边BC与☉O相切于点B，点A在☉O上，AC经过圆心O，且∠C＝40°，P为劣弧上的一个动点，连接AP，BP，则∠P的度数为　115°　. 4.（2024·渭南二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好与BC相切于点D，连接AD.若∠BAC＝60°，OB＝6，则AC的长为（ B ） A.6 B.4.5 C.3 D.2 4图 5图 5.（2024·渭南二模）如图，点A，B，C均在☉O上，连接OA，OB，AB，BC，过点C作☉O的切线，交AB的延长线于点D，且OB∥CD.若∠D＝60°，AB＝1，则BC的长为（ A ） A. B.1 C.2 D.2 6.（2024·商洛二模）如图，正方形ABCD的边长为8，☉O经过A，B两点，且与边DC相切于点M，若M为DC的中点，则☉O的半径为（ D ） A. B.3 C.3 D.5 7.（2024·西安校级模拟）如图，☉O是△ABC的外接圆，AC是☉O的直径，D是☉O上的一点，连接AD，BD，过点D作☉O的切线交CA的延长线于点E. （1）求证：∠EDA＝∠ABD. （2）若AD＝6，sin∠ABD＝，求AE的长. 解：（1）证明：如图，连接OD，CD，则∠ABD＝∠ACD. ∵AC是☉O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠OAD＋∠ACD＝90°. ∵DE是☉O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠EDA＋∠ODA＝90°. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠EDA＝∠ACD，∴∠EDA＝∠ABD. （2）∵∠ACD＝∠ABD，∴sin∠ACD＝sin∠ABD＝＝. ∵AD＝6，∴AC＝10，∴CD＝＝8，OC＝OA＝5. ∵∠E＝∠E，∠ADE＝∠ACD，∴△ADE∽△DCE，∴＝＝. 设DE＝3x，CE＝4x，∴OE＝4x－5. 在Rt△DEO中，DE2＋OD2＝OE2，∴（3x）2＋52＝（4x－5）2， 解得x＝或x＝0（不合题意，舍去），∴OE＝， ∴AE＝OE－OA＝. 第2课时　切线的判定与三角形的内切圆 1.　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，☉O是△ABC的内切圆，连接BO并延长交AC于点D，则∠AOD的度数为（ B ） A.30° B.45° C.60° D.65° 1图 2图 3图 2.（2023·宝鸡一模）如图，△ABC内接于☉O，点M为△ABC的内心.若∠C＝80°，则∠MAN的度数是（ A ） A.50° B.55° C.60° D.80° 3.　如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA.若∠OBC＝20°，则∠CAI的度数为（ D ） A.20° B.25° C.30° D.35° 4.如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上的一点，且BE＝2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上的一个动点，连接PE，PC，则PE＋PC的最小值为　2　. 答案图 解析：如图，在AB上取点F，使 BF＝BE＝2，连接PF，CF，过点F作FH⊥BC于点H. ∵点I是△ABC 的内心，∴BI平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD. ∵BP＝BP，∴△BFP≌△BEP（SAS），∴PF＝PE，∴PE＋PC＝PF＋PC≥CF. 当C，P，F三点共线时，PE＋PC的值最小，最小值为CF的长. ∵FH⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BFH＝30°，∴BH＝BF＝1， ∴FH＝＝，CH＝BC－BH＝7，∴CF＝＝2， ∴PE＋PC 的最小值为2.故答案为2. 7　切线长定理 1.（2024·西安碑林区期末）如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，AC是☉O的直径，若∠P＝26°，则∠BAC的度数为　13°　. 1图 2图 2. 如图，△ABC是☉O的内接三角形，过☉O外一点P作☉O的两条切线PA和PB，A，B为切点.点D在AB上，点E在PB上，点F在PA上，且AD＝BE，BD＝AF.若∠ACB＝75°，则∠EDF＝　75　°. 3.（2024·渭南二模）如图，点D在☉O外，过点D作☉O的切线DA，DC，A，C为切点，点B在☉O上，连接OB，AB，连接AO并延长，交☉O于点F. （1）求证：∠AOB＝2∠BAD； （2）连接OC，若AB∥OC，AF＝10，AB＝6，求AD的长. 答案图 解：（1）证明：如图，过点O作OH⊥AB于点H，则∠OHA＝90°，∴∠AOH＋∠OAH＝90°. ∵DA是☉O的切线，∴OA⊥AD，∴∠OAH＋∠BAD＝90°，∴∠AOH＝∠BAD. ∵OA＝OB，OH⊥AB，∴∠AOB＝2∠AOH，∴∠AOB＝2∠BAD. （2）如图，延长AB交CD于点E. ∵DC是☉O的切线，∴OC⊥CD.∵AF＝10，∴OA＝OF＝OB＝OC＝5. ∵AB∥OC，OC⊥CD，∴AE⊥CD，∴∠HEC＝∠OCD＝∠OHE＝90°， ∴四边形OCEH是矩形，∴OH＝CE，HE＝OC＝5. ∵OH⊥AB，OA＝OB，∴AH＝BH＝AB＝3，∴OH＝＝4，AE＝AH＋HE＝8. 由（1），知∠AOH＝∠EAD， ∴cos∠AOH＝cos∠EAD，∴＝，即＝，∴AD＝10. 8　圆内接正多边形 1.如图，正六边形ABCDEF是半径为1的☉O的内接六边形，连接OA并延长到点M，过点M作MN∥AB，交OB的延长线于点N. （1）△OMN是　等边　（填“直角”“等腰”或“等边”）三角形. （2）当OM＝　　时，直线MN与☉O相切. （3）已知P是☉O上的动点（点P不与点A，B重合）. ①连接AP，BP，求∠APB的度数； ②已知ON＝4，过点P作☉O的切线，当切线与直线MN交于点Q时，求出PQ长度的最小值. 解：（3）①根据题意，得∠AOB＝60°.当点P在优弧上时，∠APB＝∠AOB＝30°； 当点P在劣弧上时，∠APB＝180°－30°＝150°. 综上所述，∠APB的度数为30°或150°. ②∵PQ与☉O相切，∴∠OPQ＝90°，∴OP2＋PQ2＝OQ2. ∵OP＝1，∴当OQ的长度最短时，PQ的长度取得最小值， ∴当OQ⊥MN时，PQ的长度取得最小值，如图所示. ∵△OMN为等边三角形，∴MN＝ON＝OM＝4. ∵OQ⊥MN，∴MQ＝NQ＝MN＝2，∴OQ＝＝＝2， ∴PQ＝＝＝，即PQ长度的最小值为. 9　弧长及扇形的面积 1.（2024·延安富县期末）问题提出 （1）如图1，☉O的半径为2 cm，弦AB＝2 cm，C是弦AB所对的优弧上的一个动点，求图中阴影部分的面积之和的最小值. 问题解决 （2）某市的一个占地面积为36π m2的圆形宾馆的示意图如图2所示，点O为圆心，宾馆设计图纸中有一个四边形区域ABDC，连接BC，AD，其中等边三角形ABC为接待区域，△BCD为休息区域，当点D在的什么位置上时，四边形区域ABDC的面积最大？请求出最大值. 解：（1）如图，连接OA.设P为弦AB所对优弧的中点，连接PO并延长，交AB于点E，则PE⊥AB，此时点P到AB的距离最大，△ABP的面积最大，即当点C与点P重合时，阴影部分的面积之和最小，∴AE＝BE＝ cm. ∵☉O的半径为2 cm，AE＝ cm，∠AEO＝90°， ∴OE＝＝＝1（cm），∴PE＝2＋1＝3（cm）， ∴图中阴影部分的面积之和的最小值为π×22－×2×3＝（4π－3）cm2. （2）如图2，连接OC，OB.当D为的中点时，△CBD的面积最大，此时四边形区域ABDC的面积也最大. 设☉O的半径为r.∵πr2＝36π m2，∴r＝6 m，∴OC＝OB＝6 m. ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠ADC＝∠ABC＝60°. ∵D为的中点，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，CD＝BD，∴∠ACD＝90°， ∴AD是☉O的直径，∴CD＝AD＝6 m，∴AC＝CD＝6 m， ∴＝2S△ACD＝2××6×6＝36（m2）. 章末综合提升 1.（2024·西安模拟）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠C＝45°，点O为△ABC的内心，连接BO并延长，交AC于点D，过点A作AE⊥BD于点E，交BC于点F，则CF＝（ C ） A. B.1 C.－1 D. 第1题图 　第2题图　　　　　第2题答案图 2.（2024·西安阎良三模）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝8，AD＝12.E是线段AD上的一个动点，连接CE，F为线段CE上的一点，连接BF，DF.若∠CBF＋∠CED＝90°，则DF的最小值为　4　. 解析：如图，作BC的中点O，连接OD.在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠BCE＝∠CED. ∵∠CBF＋∠CED＝90°，∴∠CBF＋∠BCF＝90°，∴∠BFC＝90°， ∴当点E移动时，点F在以BC为直径的圆弧上移动，当点F在OD上时，DF有最小值. ∵OD2＝CD2＋OC2，∴OD＝＝10，∴DF的最小值为10－6＝4. 3. （2024·西安模拟）如图，AB是☉O的直径，点C在☉O上，若弦CD平分∠ACB，交AB于点E，过点C作☉O的切线CF，交AB的延长线于点F. （1）求证：FC＝FE； （2）连接BD，若tan∠CDB＝，BF＝2，求☉O的半径. 解：（1）证明：如图，连接OD，OC. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝. ∵AB是☉O的直径，＝，∴∠AOD＝∠BOD＝90°， ∴∠ODE＋∠OED＝90°. ∵CF是☉O的切线，∴∠OCF＝∠OCE＋∠FCE＝90°. ∵OD＝OC，∴∠ODE＝∠OCE，∴∠OED＝∠FCE. ∵∠OED＝∠FEC，∴∠FCE＝∠FEC，∴FC＝FE. （2）设☉O的半径为r. 由题意，得∠A＝∠CDB，即tan∠CDB＝tan A＝＝. ∵∠FCB＋∠BCO＝∠ACO＋∠BCO，∴∠FCB＝∠ACO. ∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠FCB＝∠A. ∵∠F＝∠F，∴△FCB∽△FAC，∴＝＝＝，即＝，∴CF＝r＋1. 在Rt△COF中，CO2＋CF2＝FO2，∴r2＋（r＋1）2＝（r＋2）2， 解得r＝3或r＝－1（舍去），∴☉O的半径为3. 4.（2024·西安校级模拟）（1）问题提出：如图1，AB为☉O的直径，AC是☉O的切线.P为☉O上的任意一点，连接CP，且AB＝6，AC＝4，则CP的最小值为　2　. （2）问题探究：如图2，AB⊥BC，AB＝8，BC＝12，D为∠ABC内部的一点，且满足∠BDC＝90°.当AD取最小值时，求CD的长. （3）问题解决：图3是某学校为艺术节设计的矩形活动区域ABCD，已知AB＝30米，BC＝60米，EC＝20米，其中表演舞台设计在BE处，观众席在BE上方，摄影师在点M处.为了方便摄影师录像，需要满足∠BME＝90°.点N处设置休息处，表演结束后表演者从点C处离开.现需要修建小路MN，NC，已知修建小路的费用为每米260元，求修建小路的最少费用.（结果取整数，参考数据：≈3.61） 解：（2）如图，以BC为直径作☉O，连接AO，交☉O于点D时，满足∠BDC＝90°，且此时AD最短，作DF⊥BC于点F. ∵BC＝12，∴OB＝6.∵AB＝8，∴OA＝＝10. ∵AB⊥BC，∴DF∥AB，∴∠ODF＝∠OAB，∠OFD＝∠OBA， ∴△ODF∽△OAB，∴DF∶AB＝OD∶OA＝OF∶OB， 即DF∶8＝6∶10＝OF∶6， ∴DF＝，OF＝，∴CF＝OF＋OC＝， ∴DC＝＝. （3）如图，以BE为直径作☉O，作点C关于AD的对称点H，连接OH，交AD于点N，交☉O于点M， 此时满足∠BME＝90°，且HM最短. ∵点C与点H关于AD对称，∴NH＝NC，∴MN＋NC最短. ∵EC＝20米，BC＝60米，∴BE＝40米， ∴OE＝20米，∴OC＝40米. ∵CD＝30米，∴CH＝60米，∴OH＝＝20米. ∵OM＝20米，∴HM＝（20－20）米， 即MN＋NC＝20－20≈52.2（米）. ∵52.2×260＝13 572（元），∴修建小路的最少费用约为13 572元. 5.（2024·西安模拟）问题提出 （1）如图1，半圆O的直径AB＝10，C是的中点，点D在上，且＝2，P是AB上的动点，试求PC＋PD的最小值. 问题解决 （2）如图2，扇形花坛AOB的半径为20 m，∠AOB＝45°.根据工程需要，现想在上选点P，在边OA上选点E，在边OB上选点F，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个△PEF，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目.为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带PE＋EF＋FP的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的△PEF为等腰三角形，试求PE＋EF＋FP的值最小时的等腰三角形PEF的面积.（安装损耗忽略不计） 解：（1）如图，作点C关于AB的对称点C'，连接DC'交AB于点P，连接PC，OD，则PC＝PC'， ∴PC＋PD＝PC'＋PD＝DC'. 由两点之间，线段最短，可知此时PC＋PD的值最小. 根据圆的对称性质，知点C'在☉O上，且CC'为☉O的直径，∴∠CDC'＝90°. ∵AB是直径，C是的中点，则＝，∴OC⊥AB，∴∠COB＝90°. ∵＝2，∴∠COD＝60°. ∵OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴OC＝OD＝CD＝5，∠C'CD＝60°， ∴在Rt△CDC'中，DC'＝CD·tan 60°＝5，∴PC＋PD的最小值为5. （2）如图，连接OP，作点P关于OA的对称点M，点P关于OB的对称点N，连接MN交OA于点E，交OB于点F，连接PE，PF，OM，ON，则OM＝ON＝OP＝20 m. 由两点之间，线段最短，可知此时△PEF的周长最小. ∵∠AOP＝∠AOM，∠BOP＝∠BON，∠AOB＝45°， ∴∠MON＝90°，∴MN＝20 m，∠OME＝∠ONF＝45°. 由轴对称可知，∠OME＝∠OPE＝45°，∠OPF＝∠ONF＝45°， ∴∠OPE＋∠OPF＝90°，即∠EPF＝90°. 当△PEF是等腰三角形时，则△PEF是等腰直角三角形，∴PE＝PF. 设PE＝PF＝x m，则EF＝x m，∴x＋x＋x＝20， 解得x＝＝20（－1）， ∴S△PEF＝PE·PF＝×＝（600－400）m2. 6. （2024·陕西）问题提出 （1）如图1，在△ABC中，AB＝15，∠C＝30°，作△ABC的外接圆☉O，则的长为　25π　.（结果保留π） 问题解决 （2）如图2所示，道路AB的一侧是湿地.某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段AD，AC和BC为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在AC上，且AE＝EC，∠DAB＝60°，∠ABC＝120°，AB＝1 200 m，AD＝BC＝900 m，现要在湿地上修建一个新观测点P，使∠DPC＝60°.再在线段AB上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道PF，PD，PC，使新步道PF经过观测点E，并将五边形ABCPD的面积平分.请问：是否存在满足要求的点P和点F？若存在，请求出此时PF的长；若不存在，请说明理由.（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路AB与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 　　 解：（2）存在满足要求的点P和点F，此时PF的长为（300＋1 200）m. ∵∠DAB＝60°，∠ABC＝120°，∴∠DAB＋∠ABC＝180°，∴AD∥BC. ∵AD＝BC＝900 m，∴四边形ABCD是平行四边形. ∵要在湿地上修建一个新观测点P，使∠DPC＝60°， ∴点P在以O为圆心，CD为弦，圆心角为120°的圆上， 如图所示.∵AE＝EC，∴经过点E的直线都平分四边形ABCD的面积. ∵新步道PF经过观测点E，并将五边形ABCPD的面积平分， ∴直线PF必经过CD的中点M， ∴ME是△CAD的中位线，∴ME∥AD. ∵MF∥AD，DM∥AF，∴四边形AFMD是平行四边形，∴FM＝AD＝900 m. 如图，作CN⊥PF于点N. ∵四边形AFMD是平行四边形，∠DAB＝60°，∴∠PMC＝∠DMF＝∠DAB＝60°. ∵CM＝CD＝AB＝×1 200＝600（m），∴MN＝CM·cos 60°＝600×＝300（m），CN＝CM·sin 60°＝600×＝300（m）. ∵∠PMC＝∠DPC＝60°，∠PCM＝∠DCP， ∴△PMC∽△DPC，∴＝，即＝，∴PC2＝720 000. 在Rt△PCN中，PN＝＝＝300（m）， ∴PF＝300＋300＋900＝（300＋1 200）m. 7.（2023·陕西A卷）（1）如图1，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，AB＝24.若☉O的半径为4，点P在☉O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值. （2）如图2，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽.已知∠A＝∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝AE＝10 000 m，BC＝DE＝6 000 m.根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30 m的圆形环道☉O.过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，OM与☉O交于点N，连接BN，点P在☉O上，连接EP.其中，线段BN，EP及MN是要修的三条道路，要在所修道路BN，EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道☉O的圆心O到AB的距离OM的长. 解：（1）如图1，连接OP，OM，过点O作OM'⊥AB，垂足为M'， 则OP＋PM≥OM.∵☉O的半径为4，∴PM≥OM－4≥OM'－4. ∵OA＝OB，∠AOB＝120°，OM'⊥AB，∴∠A＝30°，AM'＝M'B＝AB＝12， ∴OM'＝AM'·tan 30°＝12tan 30°＝4，∴OM'－4＝4－4， ∴PM≥4－4，∴线段PM的最小值为4－4. （2）如图2，分别在BC，AE上作BB'＝AA'＝r＝30 m， 连接A'B'，B'O，OP，OE，B'E.∵OM⊥AB，BB'⊥AB，∴OM∥BB'. ∵ON＝BB'，∴四边形BB'ON是平行四边形，∴BN＝B'O. ∵B'O＋OP＋PE≥B'O＋OE≥B'E， ∴BN＋PE≥B'E－r，∴当点O在B'E上时，BN＋PE取得最小值. 作☉O'，使圆心O'在B'E上，半径r＝30 m，作O'M'⊥AB，垂足为M'，并与A'B'交于点H，则O'H∥A'E， ∴∠B'O'H＝∠B'EA'，∠B'HO'＝∠B'A'E， ∴△B'O'H∽△B'EA'，∴＝. ∵☉O'在矩形AFDE区域内（含边界）， ∴当☉O'与FD相切时，B'H最短，即B'H＝10 000－6 000＋30＝4 030（m）. 此时，O'H也最短.∵M'N'＝O'H，∴M'N'也最短. ∵O'H＝＝＝4 017.91（m）， ∴O'M'＝O'H＋HM'＝4 047.91 m， ∴此时环道☉O的圆心O到AB的距离OM的长为4 047.91 m. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章　圆 1　圆 1.已知AB是半径为6的圆的一条弦，则AB的长度的最大值是（ ） A.8 B.10 C.12 D.14 2.　如图，AB是半径为2的☉O的弦，C是☉O上的一个动点，若M，N分别是AB，BC的中点，则MN的长度的最大值是　 　. 3.（2024·延安校级月考）如图，已知☉O及其所在平面内的4个点，若☉O的半径为6，则到圆心O的距离为5的点可能是（ ） A. 点M B.点N C.点P D.点Q 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tan A＝2，以点A为圆心，半径为8的圆记作☉A，那么下列说法正确的是（ ） A.点C在☉A内，点B在☉A外 B.点C在☉A上，点B在☉A外 C.点C，B都在☉A内 D.点C，B都在☉A外 5.　 在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2.下列说法不正确的是（ ） A.当a＝－1时，点B在☉A上 B.当a＜－1时，点B在☉A外 C.当a＜1时，点B在☉A内 D.当－1＜a＜3时，点B在☉A内 6.如图，在半圆O中，AB是直径，CD是一条弦，若AB＝10，则△COD面积的最大值是　 　. 2　 圆的对称性 1.（2022·西安期末）如图，已知☉O的半径为2 cm，AB是☉O的直径，C，D是☉O上的两点，且 ＝＝，则四边形ABCD的周长为（ ） A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.16 cm 1图 2图 3图 2.　（2024·西安碑林区模拟）如图，AB，CD是☉O的弦，且AB＝CD.若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（ ） A.42° B.44° C.46° D.48° 3.　如图，在半径为5的☉A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距为（ ） A.4 B.3 C. D. 4.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，BO＝2，C为BO的中点，D 为 上的一点，且2＝，连接AC，DC，在OC绕点O旋转的过程中，当CD取最小值时，△ACO的周长为　 　. 3　垂径定理 1.（2024·咸阳模拟）如图，AB是☉O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝1，BP＝5，∠APC＝45°，则CD的长为（ ） A.3 B.2 C.2 D. 1图 2图 3图 2.（2024·牡丹江）如图，在☉O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为　 　. 3.（2023·西安未央区期末）如图，AB为☉O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是　　 . 4.（2022·渭南合阳期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的☉O与BD交于点M，N，则MN的最大值为　　 . 4　圆周角和圆心角的关系 第1课时　圆周角定理及其推论1 1.（2024·临夏州）如图，AB是☉O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝（ ） A.80° B.100° C.120° D.110° 1图 2图 3图 2.（2024·咸阳三模）如图，在☉O中，AB是直径，BC是弦，∠ABC＝36°，过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，则∠EDO的度数是（ ） A.18° B.20° C.36° D.72° 3.（2024·连云港）如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝　 　°. 4.以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片如图所示，点C在☉O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在☉O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD.设CD与直径AB交于点E.若AD＝ED，则∠DAE＝　　°，的值等于　 　. 第2课时　圆周角定理的推论2，3 1.（2024·广元）如图，已知四边形ABCD是☉O的内接四边形，E为AD延长线上的一点，∠AOC＝128°，则∠CDE等于（ ） A.64° B.60° C.54° D.52° 1图 变2图 2.（2024·咸阳三模）如图，四边形ABCD内接于☉O，连接OB，OC，OD.若∠BCD＝105°，∠BOC＝2∠COD，则∠OCD的度数为（ ） A.65° B.60° C.55° D.50° 3.（2023·渭南澄城一模）如图，BC是☉O的直径，A是☉O外一点，连接AC交☉O于点E，连接AB并延长，交☉O于点D.若∠A＝33°，则∠DOE的度数是（ ） A.114° B.116° C.118° D.120° 3图 4图 4.　如图，在圆内接六边形ABCDEF中，∠A＋∠E＝230°，则∠C的度数为　 　. 5.（2024·榆林榆阳模拟）如图，△ACD内接于☉O，点B在☉O上，连接BC，BC⊥AC，若AC＝6，∠ADC＝30°，则☉O的直径为（ ） A.12 B.6 C.6 D.3 5图 6图 6.（2024·西安新城区模拟）如图，在☉O中，AB是直径，点C，D均在☉O上，连接CD，AD，AC，BC，且∠BAC＝∠D.若☉O的半径为3，则AC的长为（ ） A.3 B.3 C.6 D.6 7.　 如图，△ABC内接于☉O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交☉O于点D.若AC＝6，BD＝4，则BC的长为　 　. 8.（2024·西安长安区一模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D为AB上的一点，E为BC上的一点.若∠CDE＝90°，则CE的最小值为　 　. 5　确定圆的条件 1.定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径. （1）如图1，在损矩形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段　 　. （2）在（1）中的线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以点P为圆心的同一个圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请利用尺规作出这个圆.（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （3）如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作菱形ACEF，D为菱形ACEF两条对角线的交点，连接BD，则当BD平分∠ABC时，四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由.若此时AB＝3，BD＝4，求BC的长. 6　直线和圆的位置关系 第1课时　直线和圆的位置关系及切线的性质 1.（2024·咸阳武功模拟）如图，AB是☉O的直径，弦CD与AB相交，连接BD，过点C作☉O的切线，交AB的延长线于点P，若∠P＝45°，则∠BDC的度数为（ ） A.45° B.30° C.15° D.22.5° 1图 2图 3图 2.（2024·西安二模）如图，AB是☉O的直径，点E，C在☉O上，A是的中点，过点A作☉O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC，AC.若∠ADB＝58°，则∠ACE的度数为（ ） A.29° B.32° C.58° D.42° 3.　如图，△ABC的边BC与☉O相切于点B，点A在☉O上，AC经过圆心O，且∠C＝40°，P为劣弧上的一个动点，连接AP，BP，则∠P的度数为　 　. 4.　（2024·渭南二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好与BC相切于点D，连接AD.若∠BAC＝60°，OB＝6，则AC的长为（ ） A.6 B.4.5 C.3 D.2 4图 5图 6图 5.　（2024·渭南二模）如图，点A，B，C均在☉O上，连接OA，OB，AB，BC，过点C作☉O的切线，交AB的延长线于点D，且OB∥CD.若∠D＝60°，AB＝1，则BC的长为（ ） A. B.1 C.2 D.2 6.（2024·商洛二模）如图，正方形ABCD的边长为8，☉O经过A，B两点，且与边DC相切于点M，若M为DC的中点，则☉O的半径为（ ） A. B.3 C.3 D.5 7.（2024·西安校级模拟）如图，☉O是△ABC的外接圆，AC是☉O的直径，D是☉O上的一点，连接AD，BD，过点D作☉O的切线交CA的延长线于点E. （1）求证：∠EDA＝∠ABD. （2）若AD＝6，sin∠ABD＝，求AE的长. 第2课时　切线的判定与三角形的内切圆 1.　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，☉O是△ABC的内切圆，连接BO并延长交AC于点D，则∠AOD的度数为（ ） A.30° B.45° C.60° D.65° 1图 2图 3图 2.（2023·宝鸡一模）如图，△ABC内接于☉O，点M为△ABC的内心.若∠C＝80°，则∠MAN的度数是（ ） A.50° B.55° C.60° D.80° 3.　如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA.若∠OBC＝20°，则∠CAI的度数为（ ） A.20° B.25° C.30° D.35° 4.如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上的一点，且BE＝2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上的一个动点，连接PE，PC，则PE＋PC的最小值为　 　. 7　切线长定理 1.（2024·西安碑林区期末）如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，AC是☉O的直径，若∠P＝26°，则∠BAC的度数为　 　. 1图 2图 2. 如图，△ABC是☉O的内接三角形，过☉O外一点P作☉O的两条切线PA和PB，A，B为切点.点D在AB上，点E在PB上，点F在PA上，且AD＝BE，BD＝AF.若∠ACB＝75°，则∠EDF＝　 　°. 3.（2024·渭南二模）如图，点D在☉O外，过点D作☉O的切线DA，DC，A，C为切点，点B在☉O上，连接OB，AB，连接AO并延长，交☉O于点F. （1）求证：∠AOB＝2∠BAD； （2）连接OC，若AB∥OC，AF＝10，AB＝6，求AD的长. 8　圆内接正多边形 1.如图，正六边形ABCDEF是半径为1的☉O的内接六边形，连接OA并延长到点M，过点M作MN∥AB，交OB的延长线于点N. （1）△OMN是　 　（填“直角”“等腰”或“等边”）三角形. （2）当OM＝　　时，直线MN与☉O相切. （3）已知P是☉O上的动点（点P不与点A，B重合）. ①连接AP，BP，求∠APB的度数； ②已知ON＝4，过点P作☉O的切线，当切线与直线MN交于点Q时，求出PQ长度的最小值. 9　弧长及扇形的面积 1.（2024·延安富县期末）问题提出 （1）如图1，☉O的半径为2 cm，弦AB＝2 cm，C是弦AB所对的优弧上的一个动点，求图中阴影部分的面积之和的最小值. 问题解决 （2）某市的一个占地面积为36π m2的圆形宾馆的示意图如图2所示，点O为圆心，宾馆设计图纸中有一个四边形区域ABDC，连接BC，AD，其中等边三角形ABC为接待区域，△BCD为休息区域，当点D在的什么位置上时，四边形区域ABDC的面积最大？请求出最大值. 章末综合提升 1.（2024·西安模拟）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠C＝45°，点O为△ABC的内心，连接BO并延长，交AC于点D，过点A作AE⊥BD于点E，交BC于点F，则CF＝（ ） A. B.1 C.－1 D. 第1题图 第2题图　　　　 2.（2024·西安阎良三模）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝8，AD＝12.E是线段AD上的一个动点，连接CE，F为线段CE上的一点，连接BF，DF.若∠CBF＋∠CED＝90°，则DF的最小值为　 　. 3. （2024·西安模拟）如图，AB是☉O的直径，点C在☉O上，若弦CD平分∠ACB，交AB于点E，过点C作☉O的切线CF，交AB的延长线于点F. （1）求证：FC＝FE； （2）连接BD，若tan∠CDB＝，BF＝2，求☉O的半径. 4.（2024·西安校级模拟）（1）问题提出：如图1，AB为☉O的直径，AC是☉O的切线.P为☉O上的任意一点，连接CP，且AB＝6，AC＝4，则CP的最小值为　 　. （2）问题探究：如图2，AB⊥BC，AB＝8，BC＝12，D为∠ABC内部的一点，且满足∠BDC＝90°.当AD取最小值时，求CD的长. （3）问题解决：图3是某学校为艺术节设计的矩形活动区域ABCD，已知AB＝30米，BC＝60米，EC＝20米，其中表演舞台设计在BE处，观众席在BE上方，摄影师在点M处.为了方便摄影师录像，需要满足∠BME＝90°.点N处设置休息处，表演结束后表演者从点C处离开.现需要修建小路MN，NC，已知修建小路的费用为每米260元，求修建小路的最少费用.（结果取整数，参考数据：≈3.61） 5.（2024·西安模拟）问题提出 （1）如图1，半圆O的直径AB＝10，C是的中点，点D在上，且＝2，P是AB上的动点，试求PC＋PD的最小值. 问题解决 （2）如图2，扇形花坛AOB的半径为20 m，∠AOB＝45°.根据工程需要，现想在上选点P，在边OA上选点E，在边OB上选点F，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个△PEF，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目.为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带PE＋EF＋FP的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的△PEF为等腰三角形，试求PE＋EF＋FP的值最小时的等腰三角形PEF的面积.（安装损耗忽略不计） 6. （2024·陕西）问题提出 （1）如图1，在△ABC中，AB＝15，∠C＝30°，作△ABC的外接圆☉O，则的长为　 　.（结果保留π） 问题解决 （2）如图2所示，道路AB的一侧是湿地.某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段AD，AC和BC为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在AC上，且AE＝EC，∠DAB＝60°，∠ABC＝120°，AB＝1 200 m，AD＝BC＝900 m，现要在湿地上修建一个新观测点P，使∠DPC＝60°.再在线段AB上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道PF，PD，PC，使新步道PF经过观测点E，并将五边形ABCPD的面积平分.请问：是否存在满足要求的点P和点F？若存在，请求出此时PF的长；若不存在，请说明理由.（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路AB与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 　　 7.（2023·陕西A卷）（1）如图1，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，AB＝24.若☉O的半径为4，点P在☉O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值. （2）如图2，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽.已知∠A＝∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝AE＝10 000 m，BC＝DE＝6 000 m.根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30 m的圆形环道☉O.过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，OM与☉O交于点N，连接BN，点P在☉O上，连接EP.其中，线段BN，EP及MN是要修的三条道路，要在所修道路BN，EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道☉O的圆心O到AB的距离OM的长. 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $$