专项突破四 利用轴对称解决最值问题-【全程复习大考卷】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

专项突破四利用轴对称解决最值问题 无.知图，点P为乙AB内一点，点，N分料是射线L,B上一点，当△PWN的周长最小时，∠0PW三 类型一将军饮马 50°.侧∠A0B的度数是 1.减然样走佳使路程最频？你使解决这个著名的“将军饮马”月题吗？下列给出了四个因形，你从为 符合要求的图形是 A.55 依50 .40 0.45 黄型四两定两动 象圳图，∠A话=N,点，N分别是边A,鼎上的定点，点P,分别是0，M上的动.点，记乙)= D. ,LP?N=B.当P4P+QV最小时B-a的值为 A.10 20 .40 50T 2.如图，在等边三角形C中，星是AB上的点，AD是∠G的平分线，P是AD上的点。若D=6,周 E+PB的最小值为 下NB 第8理图 第9对图 第10题图 集如图，在△A℃中，AB=AC,∠A=90,点D,E是边AB上的两个定点，点M,N分则是边C,C上的 受型二三点共线 3如图，在△ABC中，∠C=0,B=3,AC=4,EF垂直平分C.P为直线F上的任意一点，则AP+ 两个动点，当因边形E作的周长最小时，∠N+∠V的大小是 A45 表9 C.T59 0.135 P的最小值是 1如加图.在△4C中，点B点D分别在边AB和C上.∠AED=∠ACR.D-C⑦，连接即，点F和点G .5 4 C.3 D.7 分则是线段D和C上的两个动点，B=4.△C的面积是6，刚+CF的是小值是 类型五两定一定长 11,加图，牧童在A处放牛，其家在形处，点A.B到斜岸D的距离分阅为AG.D, 且4C=D,若点A列阿岸C0的中点的距离为5阳。数藏从A处把个幸可阿 边饮水后再国家，牧童国家所走的最规路程为 第3题图 落4两图 第5期图 1.500m 10m C.1500m ,20m 2如阁，小虎生在甲村，小院的姥站住在乙村星期天，小虎去看运姥，他先在北山坡打一钢草，又在 4如图，在△AC中，AB=AC,AC的垂直平分线交C于点N,交AB于点M,AB=0,AC的周长是 南山鼓武一据柴，指后给指能送去，问：小虎度怎样选择最短的路线？ 6,若点P在线N上，A-B的最大值为 5.如图，在t△AG中，∠C=0Y,AC=3,℃=4，AB=5,D,星，F分别是AB,G.AG边上的动点，则 鹰山H L 么师F的周的最小值是 乙村 甲转 类型三双对称周长最小 6图，在四边形AGD中，∠CB=11,W,N分别是D.CD上的点，当△AN的周长 最小时，∠W4N的度数为 A.66 48 C5° D.90 泰斗 全程复习大考卷·数摩·5：七年短下册 类型大两动一定 1识定久：若P为△内一点，且清足∠P唱=LB心=∠PA=10,刚点P叫作△AC的费马点 13图.在锐角三角形AC中，AB=5.△AC的面积为5，即平分∠A℃.若M.Y分别是D.G上 的动点，则（利+N的最小值为 A.3 a.4 C5 D6 周3 (1)如置1，若点0是等边三角形AC的费马点，且0+0B+c-18,谢1的长度为 (2)如图2.已知△C,分别以A.C为边向外作等边三角形AD与等边三角形AE,线段CD,E 第3骑图 第4图 第16则图 交于点P,连接AP,请说明点P是△AC的贵马点： 14如图，在B1△C中，∠4CB=0,AC=6,C=8,AB=10,4D是∠RC的平分线：若P,Q分别是AD (3)如图3，有A,B,C三个村庄，能否在合适的觉置建一个污水处理站Q,使得藏处理站分别连接这 和AC上的动点，好G*PQ的量小值量 三个村住的水管长度之和最小？如果捷，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，井说明该 A.2.4 且.4.8 C4 D.5 位置满足设计要求， 15如：图，在△4C中，1=C-0,D是边AC的中线，E是边D上的动点，F是边上的动点，若 C+F的最小值为.6，则△4C的面积为 A.96 B.48 C38 D24 16.如图，钝角三角形AC的面积为2.最长边AR=6,D平分∠AC,点M,N分别是D,C上的动 点，则G+N的最小值为 17如图.∠0N-a,r<0°，点A为0N上一定点.点G为0作土一动点，B, D为N上两功点，当AB+BC+D最小时，∠CD+∠ABC= 类型七费马点 18143年，法国数学家费马曾是出→个著名的几间问思：对于不在司一条直线上的三个点A,B,G,程 在一点P,它到这三个点的距离之和最小，这个友后菜被称为“费马点” 知图，△A三个内角均小于12旷，点P是△AC内常一点，当P+B+℃取得最小值时，情分求 LAPB.∠APC.∠CW的度数。 鲁人泰斗 3 全程复习大秀单”数律，5·七定耀下研i 0-0r.。 所t600-:m 17.3【解析】这:后,段起上有一AC使2!】因为A:赴D: Cc. 品CAP与△P80全等. 在品0向0中. 时以8-(80C-0 所t6-AP -B 0-08.00-0f 中题P-m.=31.AP=(12-r]“ △oC△oC. 为乙C:2C-cD4 图品00s8) △A2P80PtAP-. -B-x%C--CF 以7A07-41 断乙A00(.现得20是AC平分 即12-.解得-3 15.aC-题+C1】8为AAnC.乙A=60 A=&A+g-90 41=13 以△A&COCfASA) &AP△aPoA-ap--A-6n. 所A--16: 知分C知B. 因为A1=15112=1.51n. a乙onco-(An+Aca-(w- 所区选时所是时的是6数,AC:0-154.不合题是。 :16-15-15=14] 青去。 6r)-60r 21.1【解析,过点4作A1即点7. 综上那道,出发3后,在践段上有一点C慢 高7800-180-60-120 A b得A1选战 AC”0全等 &r上图 1,因为个小正方题的达长均为!. 所点A到地雨的蔬离为 04乙A00. 。 断以A故-FDAC=D 280=F0 AC-Brt':or 地 所480D(585). 8△0th△0r七. 所以区ABC=p 00.乙0=:FB0. A1A8. 附+::% 17.解..接A 品:Dr. 1:为A0-6nn-8点以1n的度 在品C和AAcF中 听以汇A'区ACso 所&OBE0BFC5AS). 点A出发,潜法跳点C.时点E以3的造 4-fCF-CfAC-tC 所以A-字 新号n0- 80F-品f 度点B发给πC移劲到点C.所以C0-(6-1) B以选ICEC(si8) △c和△Bo. 为20C-12以B0=60 cf-[8-3in. 图叫oC- FC -ACB- BrCAaC-FA-AB 附2mr00-060 为c-C析6-8-3.所以-1 在40高A中 以ACoBa(AA) wo0-oc7oc-cocF -π- D-0EAC-.FAC AC-AC. 因为0%1P0170. 附tAC= 将000△0PA5). 所△ACa△ACIA. 听fC-CWE-90. $=B-B=--15-15=1] 新C-C所以a-nr0f-8C C-. 听orcnM- 0c+ CF 22.:1)如%所示。 13解:=0.由下 16.1为初1陆C1第 fCr-Cr 回A是A的&上高 图0C00 以陆-1-0. 同C-00 文因为C=C.CCVAA) 在A高A0中 听:aD+Cuf-aD+:An- 9.解(1)在△AC△EDC中. CA ACA 8irrA- C. AC-tC. AC- CD8C-DC. 图AB△4CD(AA). 在A△C中. 听△AiC△8DCiSA. 所uCō 听AF所以AP --ArCABD-CAA-CA (21当014时,AP-21an} (7在△Ac和0cr中. 在△E和△Cn中. 图AnD△CAAA) 48.昂-(2-8]. CF.icn0 乙ACB- BAC-D- 图以0-Af C-bu. 听以aP--(2-8}-(16-2)om no0or(5) 所以凸ACB△PC(A5A). 0-A-D-BCF 新以线段A的长为2成(16-2r)em 听以A第-0-120-2-20-80). 所以-故全等三是形的时位相等) (2)成立,理由如下: 14:.没淳交□干点0 43%得F0-1cn.则0(8-t1rn 因为一步05来,所以AB-8005-40(. o-:AFC-Ca。 在t&0中. 由[11.A--En-A8-8m 因赴.B话点0给为40来。 %8A0C-18. 在△CP和△00中. 专项突破因 利用辅对称解决最值问题 H.+784D=18-. 所Ae凸1s) 乙L7F.AC-FC.CACP- EC0. 26【解析】如图,题可知点8死 1.0 所. 8-C 听ACP△ECO0ASA):图AP-E0 因为-tō-8. 在品A△C中 当1481.2-8.部得1-8。 千直线4D的对特点为C.选接(C②.投 p --ArC-ACA-CA. 与线40的交A为P回P+P。 在品0和0 %△C(AAs) 403时.16-2-8--..-3 CK.即C1A时得小. 0F0.pD. 惊 AC3 简为4r是等达三角形. 士,5线段P0经过点时:的值-线8 听080YA). 高 D-A-D-B-CF 育 CaAD.6 .0. 全程奖习大考·数学·B5·七年报下册 3.B!解析】如图,选C. 所at乙A+A-66°. 阅,-rrE 山破的对称点B.连接A分别父两个山缺于点CD. 因为EF成平分BC。 为乙A-乙BuCA'-CA 国务记80D+七DaF-18 以甲时列点C真等于AC乙村列点D离等 以:P 是'itA+&Ct&MV130 -rYp&rE+&180 于。 tAP+BP-AP+CP-AC 晴:rD'F 附.66x+ MV1 从甲材对比山坡,再到山坡,到乙村的最短路线为 所A.PC5点线时,A甲+群 汇VAV- 选B +=&''=1 甲村一C一一乙计 2.C【】,作点字00的对点 的益小。 -) 为AC一a.所以AP+故P的是小值为4.批选 选接记则点是与交点时 段0与文点是 1____ 45 !折!为1分AC. 心PV的照长效.选接P0.P0. 因务A-tG78C-00以n0-45° _ 所2M4-wC. PP关于对称:所以 1B-150-45-135- 属&BC的周卡是16A.-10. P0P-27w o-0P.P B¥+¥-1-35- titt 形EV的闹长最小时,D则。EV的大小是”. 所达“△即C一I· 四.10Pf0P30 3.DI析过C(AE.交B于点 1]=16-1A+B]-16-=16- 是.PP=2.yP.0P=0 t社B. Po=Po+P= 3【新如,过点DD1A无为V. 过点改DAC. 10-5 在P在线1上,,选接. 2$ loP+0P]-2.0 0P-0-0 IE:AAF1&点. I部.是过点C作(I.是. A{. 画改入0,是等二题 t-0- =。附= r-C-irv'是 ofv 20Pv-PH-50 风为点P在AC的且分我上. 为 AF- AC-CD. 最小使,此时点与点重含。 P限-P 以PA-PB-PC-PB-6 42P0P-130-2x0-8nr 育BE△DC[AAS). 2A0%-or.&选C. 点V与点V重会。 故一的趋为6比时点是直与选 育-D 的变。 &为三ABC的面担为35。 DV1AB.B1BC. &C指】用,点关于(2对点是,点V t-5. 34.8【解析】如喝,作点0关于直线AC的对标点件 于的对标点,选1V交0个0交于P则 点D是手直t的时整点选接C(2. .00是小.过000望 此:u 所-x5·0=15.utCF6. 71.ov.o 备0p 8上.共班 CV的益小技为6.故选D -0- AO-AoV 为n-B乙r-乙6B. p-FY.F-F -CV.c0-CW 14B 析如因过CCI4文A于A文 将cn-6-r 所&F()-F orw-(18r-a)- 为Ct-oCABCV- 0于点P过PP0AC于0是 所 C-FG-0Ff 乙7or-z Por ror-乙 Ao8+7 aor-20是 C分。 2nCD-ACD+cD%. 四---xxcK=6,.ck-3} 以P=P.选时PC+P有 t区iCD+ CD=18r (180). 画小值,期的长度 所以点C共 A加C+FH(☆0+F] 路t 180'--40(180-85. 为AC-6.A-10.. &-D-Er=-V-r++E-aV. 所C.F三点段,且CF1时.G-益小. 附x20.选C 00.m-8. 所以点FV,且CD1时,+E-的 【解新】如国,作点步美于的对点D”,点关 最小指是3 V-20 11.B!析如,作点A关于C0时对点A,选接4B 手AC的时标点,选批2题交ACDC干点。 aco1A8.*-n-co-ac·Ac ”B. 变子点,时牧童从处批来到河边做水耳 uco-n02-24 时--. 回家,最死是A的长。 以四达V-E B. u 5 15.B !解析】如,选AAr +aV+A-o·+V. 所以-E+PB许小使为48 B-B-1.选A 两以DEF周长的最小征为4.8 四院长黑文,以与 高sC:.所以AC=期 的甚. 6.B!解析如图,作AA是子即0和o的时点AA” 所以直线D走等路三角彩及忙的珍称 ,点与点重时,叫 AC-r-o'乙A'CrD. 选接4A”交子点变C于AV此对△AV的 所-f 展共藏。 选是时D *A'C△i0(AA) 2r CF F-AaFA2 所C-Df中A 文点F是选tC上的动点 为v-1s0p 子点A到河掉(0的中点的题为50m CByr-18. 以点4到点的题离为500n 所以AF是选tC上的高时,C+EF取最小值 Brpp-pr 4-24'f-100m.选 B 所△C的面-xto0.6-48。故选 为C时是小倍为,所量上的高6 A++CA-180CA8-114° 元rVVD 2:如图,却料关干北山般的对点A.作乙封关干南 全程复习大考·数学··七年级下册 364解析如图过AC作CE1A于AE.文2子 接%。 /A=/AC-C-12. 当-3-3时33-1233-18 这点M作V1故C个点。 19.解;(1)加图1.题长A0交题于点B ### 明= 因为1 图为ABC是等达三形 由虎可得当。与不时,> &.V1高. 听以AB-BC.CA&C-60 出与相等= 以-3I 乙ABCm0=60 -. (3)数到(2得出的结论,当点P为n的中点时,有 所以CE5线。 因为点0是等边三角形A2AC的马点. C+V有员 :A0-0C-A0C-1 因为△A础D与△0是等达三。 *以CF-f+MF-CM+M 7.(1)7或-3 22A0+A30=60° 听I以-B -B5-O$AB-B$- 211-21+1r+1可以限为数输上-个点到2和-3的 为互形A跟的面积12A铅=6 %28A0-乙C 所- 在-3到2之取时,1-21+1+31有是小为5 对点的距离之和,逐过观财特验证可幅; 以-x6Cr-12. 8OCAA) 所以△BD△0BA(8). %0=0-0C 析以=A0.=A0 8..(13①4030 陪议C=4.C+的小为& 所点0是三达首平分绩的交点 所I 0440W-o-本{0+0x w903 17.6 解析14-a.4 晚默.08c-A8C-30。 74081204 点C美个0的时数 当D&.0.C共线时.t0+0-为最. 文因为:mo-6r. AC”过点C作射战 3四2A0=2乙00”0分2A00V 因为01+0+0C-18 听以这时 5-乙A0-12°00B-1° 分0. oP.oP-.连 图 0-0-0C- CB.C'o.nCπcB. 听以:A00=120. 限00r40c-(40n- n01- 故答案为6. 听以点0是△AC的马点 }C作点3卷千 8oc). 0对D.过D线0.则00. 当点0是△AtC的提马点时,5+0B+OC的值段小 ### 专项突破五 问题解决策略:特殊化 rr.c-r- . 1.B !解析】根-+-3-0.可11.代入3”. 以A+BC+(-A+B”+C (20C). 要使A-BC是小需点A.CD在一直线上. 3.1-y-1x3:3x9-7 VY+oC IA0100. 图2 A 【析】--6a:l6,可a后.A。 故B. 因为53or.对 00-3er (2)如图2作A1CD干点第AV1度干点没 所选过AA作A1此时二0死 与0交为0. .得4--4.4-8 0-o 四为与△C是等动三. 故选A二 由注及三形ABC乙C+BC 3.A 【解】当三角成在始位置时,点,&到与点C. IAD=A ACAE.BAD=EAC=60 乙408 *4 .. ,周长为0C+00+(2+2:5板是45” %CA0-2AR. 9.幅:(1二 ACD小时 BC+An+= 时,选形0C为方,4:过角报徒” (2):-。理由加下: sACi0△F5L 18解:落,分到以APAC为边作等达三角形APD.等达 %r2A0CaLAn.CD-题3.-5a 时,点式每BC合,0W0C+BC=22 回为ADC是等达三. 三形A连接0. 又为APCDAG-ABP8 为4c2.2.所以四选0ECF的焉长先变小再变 % AC-CB.CAB-2CA-60 当&PDF指点在间一直线上 s=:10 大。赴选A. CA=D .P-+P路小值 七PC-BP-12r.7C-60 在A初C中. 4180 1析12A0-6 乙B00-30°乙B0C-60° 因为AAPB是等三形. AC-CciFB况 aF= 为-co,.--8·Av. 选70-6·30+6:150. 2APD: Ap{=60. %&AC△CB[SAS). 附 0W+p0C=1%+-1 国为PB泪点在间一直 -CE. Euco·M--ar-Av. hixar-Av. 54 【解析】样据已知各件可令点D与点重含,选时 上. :(1)A/n · 医以汇AP-180-:APB-120° 8MP平分:DP。所七AP七AP-60% (2)图过作望AC交A.的题。 一极区免的面机可得-anDE-24 , A-130-1ApP-120。 听:AP-AC-12-BP 线于点17则七AE-0. 国%Pn-乙CAf-60 点P是心ABC的势马点。 国为2A8C=90AB=BC. 88-ac-12an-:120F-2.解得Df-4. 听汇Pa-D. (3)能.分别以A0,AC为达向外作等边二角形A句 所以B4C-乙2CA-45%. 在PC与A. 所以AA是等院角三角形 等三形ACE线段C0t交干一点,出(2)知点 一法D+D 是达BC的提马点,即为所要建的水差理站0的 6解(T)据长方形正方形的泪积公式项以出(4 P-PC-1C- 所以-A..A-45%. rAPCAM(5s) 由-hpF-0 曾。 听71BC-7A0f-120 加图3.设点0是△4RC内一点.注这00,0C在 r 所以- AOf n例等也三A8D与等边三0V。 一aIb-3时+3-102×ix3-6.则a+>. 所以D-乙AD7A- o 听以07P-30-APB- AP-120 图A-D .. 全程习大考·数学·B·七年报下册