福建省莆田市莆田第三中学2024-2025学年高一下学期3月份月考数学试题
切换试卷
2025-03-29
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内容正文：
1
莆田三中 2024—2025 学年下学期高一数学 3 月份月考试卷（教师版）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1. 化简： AB DC BC DA
（ ）
A．2AD
B．0
C． AD
D．2DA
【答案】B
【详解】 0AB DC BC DA AB BC DC DA AC AC
.故选：B
2．在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 2a ， 3c ，
1
cos
4
B ，则b （ ）
A． 7 B．4 C． 10 D． 19
【答案】C
【详解】由余弦定理可得
2 2 2 12 cos 4 9 2 2 3 10
4
b a c ac B ，则 10b .选：C.
3．已知
1
sin
3
，则cos2 （ ）
A．1 B．
5
9
C．
7
9
D．
1
3
【答案】C
【详解】因为
1
sin
3
，则
2 1 7cos2 1 2sin 1 2
9 9
. 故选：C.
4. 在平面直角坐标系中，角 的顶点在坐标原点，其始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与
单位圆交于点
3 4
,
5 5
P
，则sin 2 ＝（ ）
A．
24
25
B．
12
25
C．
8
5
D．
6
5
【答案】A
【详解】由定义知 sinα=
4
5
，
3
cos
5
，所以
24
sin 2 2sin cos
25
，故选：A.
5. 已知向量 (1,2)a
， ( , 1)b
， ( , 1)c
，若 ( )//a b c
，则 （ ）
A． 2 B． 1 C．0 D．1
【答案】B
【详解】因为 (1,2)a
， ( , 1)b
，所以 1 ,1a b
，因为 ( )//a b c
，
所以 1 0u ，解得 1u ，故选：B
2
6.在 ABC 中，若
a
b
cos
cos
B
A
，则 ABC 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【详解】因为
cos
cos
a B
b A
，由正弦定理可得
sin cos
sin cos
A B
B A
，即sin cos sin cosA A B B ，
所以sin 2 sin 2A B ，可得2 2A B 或2 2 πA B ，
所以 A B 或
π
2
A B ，所以 ABC 的形状为等腰或直角三角形. 故选：D．
7. 设向量 a
与b
满足 2a
，b
在a
方向上的投影向量为
1
2
a
，若存在实数，使得a
与
a b
垂直，则 （ ）
A．2 B． 2 C． 3 D． 3
【答案】B
【详解】解：因为b
在 a
方向上的投影向量为
1
2
a
，所以
1
2
a b a
a
a a
，
所以 2a b
，因为a
与a b
垂直，所以 0a a b
，
即
2
4 2 0a a b
，解得 2 .故选：B.
8．已知在 ABC 所在平面内， 2BD AB
，E、F 分别为线段 AC、AD 的中点，直线 EF 与
BC 相交于点 G，若DG BC ，则（ ）
A．当 4AC AB
时，cos BAC 取得最小值
3
5
B．当 4AC AB
时，cos BAC 的最小值为
4
5
C．当 3AC AB
时，cos BAC 的最小值为
4
5
D．当 3AC AB
时，cos BAC 取得最小值
3
5
【答案】D
【详解】设 | |AB c
， | |AC b
， AB
与 AC
的夹角为 BAC ，
因为 2BD AB
，所以 2 3AD AB BD AB AB AB
，
由于E 、 F 分别为线段 ,AC AD的中点，则
1
2
AE AC
，
1
2
3
2
AF AD AB
，因为E ，G ，F 共线，所以存在实数，
使得
3(1 )
(1 )
2 2
AG AE AF AC AB
，
又因为 B ，G ，C 共线，所以
3(1 )
1
2 2
，解得
1
2
，则
1 3
4 4
AG AC AB
，
3
那么
1 3 1 9
( ) 3
4 4 4 4
DG AG AD AC AB AB AC AB
，BC AC AB
，
由于DG BC ，所以
1 9
4 4
DG BC AC AB AC AB
2 21 1 9 9
4 4 4 4
AC AC AB AB AC AB
2 21 9 5 cos 0
4 4 2
b c bc ，
由此可得
2 2
2 2
1 9
94 4cos
5 10
2
b c
b c
bc
bc
，而
2 2 2 29 2 9 2 3 3
10 10 10 5
b c b c bc
bc bc bc
，
当且仅当 2 29b c ，即 3b c （ 0b ， 0c ）时，等号成立，
此时 | | 3 | |AC AB
，cos BAC 取得最小值
3
5
. 故选：D
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 下列命题中，正确的命题有（ ）
A．向量 AB
与向量BA
的长度相等
B. | | | | | |a b a b
是 ,a b
共线的充要条件
C．若 0, 0,a b a
∥ b
，则 a
与b
的方向相同或者相反
D．若 21,ee
是两个单位向量，且 1 2 1e e
，则 1 2 2e e
【答案】AC
【详解】对于 A，向量 AB
与向量BA
是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，
因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关，所以选项 A 正确；
对于 B，若a
，b
同向共线时， =2, 1a b
，则 | | | | 3,| | 1a b a b
不相等，
所以 | | | | | |a b a b
不是 ,a b
共线的充要条件，故 B 不正确；
对于 C， 0, 0a b
， //a b
，则 a
与b
共线，故 a
与b
的方向相同或者相反，C 正确；
对于 D，若 21,ee
是两个单位向量，且 1 2 1e e
，则
2 2
1 2 1 2 1 2 1 21 12 2e e e e e e e e
，
则
2 2
1 2 1 2 1 22 3e e e e e e
，故 D 错误.
10．在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c， 2 2 2a c b ac ，
3
4
ABCS ! ，且 2b ，
则（ ）
4
A．
1
cos
2
B B．
1
sin
2
B C． 1ac D． 3a c
【答案】ACD
【详解】在 ABC 中，因为 2 2 2a c b ac ，即 2 2 2a c b ac ，
由余弦定理
2 2 2 1
cos
2 2 2
a c b ac
B
ac ac
，
又 0,πB ，所以
2π
3
B ，
3
sin
2
B ，故 B 错误，A 正确；
因为
3
4
ABCS ! ，则
1 1 3 3
sin
2 2 2 4
ABCS ac B ac ，所以 1ac ，故 C 正确；
因为 2 2 2a c b ac ， 2b ， 1ac ，则
2
2 2 2 1 1a c ，
所以
2 2 2 2 32 1a c a c ac ，因为 0a c ，所以 3a c ，故 D 正确.答案：ACD.
11. 如图所示，线段 AB是⊙C的弦，其中 8AB ， 5AC ，点D为⊙C上任意一点，则以
下结论正确的是（ ）
A． 10AD
B． AB AD
的最大值是 78
C．当 0AB CD
时，
2 3
sin
5
DAB D． 32AC AB
【答案】AD
【详解】点D为 C 上一动点，可知当点 A C D， ， 三点共线的时候， AD
的值最大是
2 10AC ，故选 A；
21
cos 32
2
AC AB AC AB CAB AB
，故选 D；
当 0AB CD
时，即 AB CD ，此时，点D在 C 上有两个位置，如图所示，故sin DAB 不
5
止一个答案，所以，排除 C 选项.
对于 B 选项，（方法一）如图 1 所示，建立平面直角坐标系，则点D坐标设为 5cos ,5sin A ，
点坐标是 4, 3 ， B 点坐标是 4, 3 ，
则 8,0AB
， 5cos 4,5sin 3AD
， 40cos 32AB AD
，
所以，当cos 1 0 ，即 时， AB AD
取得最大值72；
（方法二）如图 2 所示，借助平面几何知识和平面向量的数量积运算的定义可知：
cosAB AD AD AB DAB
取最大值时，当且仅当 cosAD DAB
的值最大，此时
cos 5 4 9AD DAB AE
，
所以 cos 8 9 72AB AD AD AB DAB
，因此 B 不正确； 故选：AD；
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 已知向量 1,2a
， 3,b x
，若 )( baa
，则 x _______.
【答案】 1
【详解】因为 1,2a
， 3,b x
，所以 2, 2a b x
，
因为 )( baa
，所以 04221- x ，解得 1x . 故答案为： 1
13. 在 ABC 中， 1,60 bA O ，面积 3S ，则
sin
c
C
等于______．
【答案】
3
392
【详解】由题意及三角形面积公式可得
1
sin 3
2
bc A ，可得 4c ，
由余弦定理可得 13
2
1
42161cos2222 Abccba ，所以 13a ，
所以 3
392
2
3
13
sinsin
A
a
C
c
．故答案为：
3
392
．
14．已知正方形 ABCD的边长为2 ， E 是BC的中点，F 是线段 AE上的点，则 CFFA 的
最大值为______. 【答案】
5
9
【详解】
6
如图，以A 为原点建立平面直角坐标系，则 0,0 , 2,2 , 2,1A C E ，∴ 2,1AE
.
设 0 1AF AE
，则 2 ,AF
，∴ 2 , 2,2 2 2, 2CF
，
∴ 22 2 2 2 5 6AF CF
，
65)2()()22(2FA 2 CF
∴当
3
5
时， CFFA 有最大值，最大值为
5
9
故答案为：
5
9
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 在直角坐标系 xOy中，已知点 ( 2,0)A ， ( )0,2 3B ， (2cos ,sin )C ，其中
π
[0, ]
2
．
(1)若 / /AB OC
，求 tan的值；
(2)设点 (1,0)D ，求 AC BD
的取值范围．
【答案】(1) tan 2 3 ； (2) ]2,3-[2
【分析】（1）利用共线向量的坐标表示，列式计算得解.
（2）利用数量积的坐标表示，结合辅助角公式及余弦函数性质求出最大值.
【详解】（1）依题意， (2,2 3), (2cos ,sin )AB OC
，
由 / /AB OC
，得2sin 2 3 2cos ，所以 tan 2 3 .
（2）依题意， (1, 2 3), (2cos 2,sin )BD AC
，
因此
π
2cos 2 2 3sin 2 4cos( )
3
AC BD
，
当
π
0,
2
时，
π π 5π
,
3 3 6
，因此当 0 时，
π
cos( )
3
取得最大值
1
2
，
2
时，
π
cos( )
3
取得最小值
2
3
- ，所以 AC BD
的取值范围是 ]2,3-[2 .
7
16. 已知平面向量 Rxcxxbxa ,)5,3(,),32(,),1( .
(1)若 ba ，求 x的值；(2)若a b
∥ ，求 |2| ba 的值.
(3)若 a
与 c
的夹角是锐角，求 x 的取值范围.
【答案】(1) 1 或 3：(2) 5 或 5 (3) ),
3
5
()
3
5
,
5
3
(
【详解】（1）若a b
，则 1, 2 3, 1 2 3 0a b x x x x x x
.
整理得 2 2 3 0x x ，解得 1x 或 3x .故 x 的值为 1 或 3.
（2）若a b
∥ ，则有 1 2 3 0x x x ，即 2 4 0x x ，解得 0x 或 2x
当 0x 时， 1,0 , 3,0a b
，则 )0,5(2 ba ，得 5|2| ba ；
当 2x 时， 1, 2 , 1,2a b
，则 )2,1(2 ba ，得 5|2| ba .
综上， |2| ba 的值为 5 或 5.
（3）因 a
与 c
的夹角是锐角，则 0ca ，即 053 x ，得
5
3
x ，
又当 a
与 c
共线时，有 53 x ，得
3
5
x ，不合题意，则
3
5
x
综上， x 的取值范围为 ),
3
5
()
3
5
,
5
3
( .
17. ABC 的角A ， B ，C 所对的边分别是a，b ，c，若
7
cos
8
A ， 2c a ， 3b .
(1)求a和sin B ； (2)求 )
6
2cos(
A 的值.
【答案】(1) 2a ，
3 15
sin
16
B (2)
64
157317
【详解】（1）由余弦定理可得
2 2 2
cos
2
b c a
A
bc
，由 3b ，则
2 29 7
6 8
c a
c
，
由 2c a ，即 2c a ，代入上式整理可得
2 272 8 2 8 42 2a a a ，解得 2a
由 2
15
sin 1 cos
8
A A ，根据正弦定理，可得
3 15 3 15
sin sin
2 8 16
b
B A
a
.
（2）
64
34
64
15
64
49
sincos2cos 22 AAA ；
64
1514
8
7
8
15
2cossin22sin AAA
64
157317
2
1
64
1514
2
3
64
34
6
sin2sin
6
cos2cos)
6
2cos(
AAA
8
18. 已知函数 12cos
2
1
2sin
2
3
)( xxxf
（1）求 f(x)周期和单调递增区间；
（2）若 f(α)＝
2
5
，α∈
5
,
3 6
，求 2cos 的值．
【答案】（1） ]
3
,
6
[-
kk . k∈Z，；（2）
10
343
.
【详解】（1）f(x)＝
3
2
sin 2x－
1
2
cos 2x＋1＝sin 2
6
x
＋1，周期
2
2
T 由
kxk 2
26
22
2
- 解得
kxk
36
- ，k∈Z，
∴函数 f(x)的单调递增区间为 ]
3
,
6
[-
kk . k∈Z，
（2）由（1）知 f(x)＝sin 2
6
x
＋1，又∵f(α)＝
2
5
，∴sin 2
6
＝－
3
5
，
∵α∈
5
,
3 6
，∴2α－
6
∈
3
,
2 2
，
∵sin 2
6
＝－
3
5
＜0，∴cos 2
6
＝－ 21 sin 2
6
＝－
4
5
.
6
sin)
6
2sin(
6
cos)
6
2cos(]
6
)
6
2cos[(2cos
=
10
343
2
1
)
5
3
(
2
3
5
4
19．在平面直角坐标系 xOy中，对于非零向量 1 1 2 2, , ,a x y b x y
，定义这两个向量的“相
离度”为
1 2 2 1
2 2 2 2
1 1 2 2
( , )
x y x y
d a b
x y x y
，容易知道 ,a b
平行的充要条件为 ( , ) 0d a b
．
(1)已知 )2,4(),1,2( ba ，求 ( , )d a b
；
(2)①已知 ,a b
的夹角为 1 和 ,c d
的夹角为 2 ，证明： ( , ) ( , )d a b d c d
的充分必要条件是
1 2sin sin ；
②在 ABC 中， 2, 4, 2AB AC DC BD
且
4
3
AD ，若 0 PCPBPA ，求 ( , )dPAPB
．
【答案】(1)
5
4
(2)①证明见解析 ；②
3
2
9
【详解】(1)
5
4
525
|)4(122|
),(
bad .
（2）①因为
2 2
1 2 1 2 1 2 2 12 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
cos , ( , )
x x y y x y x y
a b d a b
x y x y x y x y
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2
1 1 2 2
1
x x y y x y x y
x y x y
，
且 ( , ) 0d a b
rr
， sin , 0,πa b
，则
2 2 2( , ) 1 cos , sin ,d a b a b a b
，
所以 ( , ) sin ,d a b a b
.若 ( , ) ( , )d a b d c d
，等价于sin , sin ,a b c d
，即 1 2sin sin ，
所以 ( , ) ( , )d a b d c d
的充分必要条件是 1 2sin sin ；
②因 2DC BD
，
则
1 1 2 1
3 3 3 3
AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC
，
可得
2
2 2 22 1 4 1 4
3 3 9 9 9
AD AB AC AB AC AB AC
，
即
16 16 16 4
9 9 9 9
AB AC
uuur uuur
，可得 4AB AC
，
又因为 0PA PB PC
uur uur uuur r
，可知点 P 为 ABCV 的重心，则
1 1
3 3
AP AB AC
，
可得
1 1 2 1
,
3 3 3 3
PA AB AC PB PA AB AB AC
uur uuur uuur uur uur uuur uuur uuur
，
则
2
2 21 1 1 1 2 4
3 3 9 9 9 3
PA AB AC AB AC AB AC
uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
，
2
2 2 22 1 4 1 4 16
3 3 9 9 9 3
PB AB AC AB AC AB AC
，
2 21 1 2 1 2 1 1 4
3 3 3 3 9 9 9 3
PA PB AB AC AB AC AB AC AB AC
，
可得
2
2
2 2
16
19cos ,
4 16 4
3 3
PA PB
PA PB
PA PB
，
所以 2
3
, sin , 1 cos ,
2
d PA PB PA PB PA PB
.
1
莆田三中 2024—2025 学年下学期高一数学 3 月份月考试卷（教师版）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1. 化简： AB DC BC DA
（ ）
A．2AD
B．0
C． AD
D．2DA
【答案】B
【详解】 0AB DC BC DA AB BC DC DA AC AC
.故选：B
2．在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 2a ， 3c ，
1
cos
4
B ，则b （ ）
A． 7 B．4 C． 10 D． 19
【答案】C
【详解】由余弦定理可得
2 2 2 12 cos 4 9 2 2 3 10
4
b a c ac B ，则 10b .选：C.
3．已知
1
sin
3
，则cos2 （ ）
A．1 B．
5
9
C．
7
9
D．
1
3
【答案】C
【详解】因为
1
sin
3
，则
2 1 7cos2 1 2sin 1 2
9 9
. 故选：C.
4. 在平面直角坐标系中，角 的顶点在坐标原点，其始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与
单位圆交于点
3 4
,
5 5
P
，则sin 2 ＝（ ）
A．
24
25
B．
12
25
C．
8
5
D．
6
5
【答案】A
【详解】由定义知 sinα=
4
5
，
3
cos
5
，所以
24
sin 2 2sin cos
25
，故选：A.
5. 已知向量 (1,2)a
， ( , 1)b
， ( , 1)c
，若 ( )//a b c
，则 （ ）
A． 2 B． 1 C．0 D．1
【答案】B
【详解】因为 (1,2)a
， ( , 1)b
，所以 1 ,1a b
，因为 ( )//a b c
，
所以 1 0u ，解得 1u ，故选：B
2
6.在 ABC 中，若
a
b
cos
cos
B
A
，则 ABC 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【详解】因为
cos
cos
a B
b A
，由正弦定理可得
sin cos
sin cos
A B
B A
，即sin cos sin cosA A B B ，
所以sin 2 sin 2A B ，可得2 2A B 或2 2 πA B ，
所以 A B 或
π
2
A B ，所以 ABC 的形状为等腰或直角三角形. 故选：D．
7. 设向量 a
与b
满足 2a
，b
在a
方向上的投影向量为
1
2
a
，若存在实数，使得a
与
a b
垂直，则 （ ）
A．2 B． 2 C． 3 D． 3
【答案】B
【详解】解：因为b
在 a
方向上的投影向量为
1
2
a
，所以
1
2
a b a
a
a a
，
所以 2a b
，因为a
与a b
垂直，所以 0a a b
，
即
2
4 2 0a a b
，解得 2 .故选：B.
8．已知在 ABC 所在平面内， 2BD AB
，E、F 分别为线段 AC、AD 的中点，直线 EF 与
BC 相交于点 G，若DG BC ，则（ ）
A．当 4AC AB
时，cos BAC 取得最小值
3
5
B．当 4AC AB
时，cos BAC 的最小值为
4
5
C．当 3AC AB
时，cos BAC 的最小值为
4
5
D．当 3AC AB
时，cos BAC 取得最小值
3
5
【答案】D
【详解】设 | |AB c
， | |AC b
， AB
与 AC
的夹角为 BAC ，
因为 2BD AB
，所以 2 3AD AB BD AB AB AB
，
由于E 、 F 分别为线段 ,AC AD的中点，则
1
2
AE AC
，
1
2
3
2
AF AD AB
，因为E ，G ，F 共线，所以存在实数，
使得
3(1 )
(1 )
2 2
AG AE AF AC AB
，
又因为 B ，G ，C 共线，所以
3(1 )
1
2 2
，解得
1
2
，则
1 3
4 4
AG AC AB
，
3
那么
1 3 1 9
( ) 3
4 4 4 4
DG AG AD AC AB AB AC AB
，BC AC AB
，
由于DG BC ，所以
1 9
4 4
DG BC AC AB AC AB
2 21 1 9 9
4 4 4 4
AC AC AB AB AC AB
2 21 9 5 cos 0
4 4 2
b c bc ，
由此可得
2 2
2 2
1 9
94 4cos
5 10
2
b c
b c
bc
bc
，而
2 2 2 29 2 9 2 3 3
10 10 10 5
b c b c bc
bc bc bc
，
当且仅当 2 29b c ，即 3b c （ 0b ， 0c ）时，等号成立，
此时 | | 3 | |AC AB
，cos BAC 取得最小值
3
5
. 故选：D
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 下列命题中，正确的命题有（ ）
A．向量 AB
与向量BA
的长度相等
B. | | | | | |a b a b
是 ,a b
共线的充要条件
C．若 0, 0,a b a
∥ b
，则 a
与b
的方向相同或者相反
D．若 21,ee
是两个单位向量，且 1 2 1e e
，则 1 2 2e e
【答案】AC
【详解】对于 A，向量 AB
与向量BA
是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，
因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关，所以选项 A 正确；
对于 B，若a
，b
同向共线时， =2, 1a b
，则 | | | | 3,| | 1a b a b
不相等，
所以 | | | | | |a b a b
不是 ,a b
共线的充要条件，故 B 不正确；
对于 C， 0, 0a b
， //a b
，则 a
与b
共线，故 a
与b
的方向相同或者相反，C 正确；
对于 D，若 21,ee
是两个单位向量，且 1 2 1e e
，则
2 2
1 2 1 2 1 2 1 21 12 2e e e e e e e e
，
则
2 2
1 2 1 2 1 22 3e e e e e e
，故 D 错误.
10．在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c， 2 2 2a c b ac ，
3
4
ABCS ! ，且 2b ，
则（ ）
4
A．
1
cos
2
B B．
1
sin
2
B C． 1ac D． 3a c
【答案】ACD
【详解】在 ABC 中，因为 2 2 2a c b ac ，即 2 2 2a c b ac ，
由余弦定理
2 2 2 1
cos
2 2 2
a c b ac
B
ac ac
，
又 0,πB ，所以
2π
3
B ，
3
sin
2
B ，故 B 错误，A 正确；
因为
3
4
ABCS ! ，则
1 1 3 3
sin
2 2 2 4
ABCS ac B ac ，所以 1ac ，故 C 正确；
因为 2 2 2a c b ac ， 2b ， 1ac ，则
2
2 2 2 1 1a c ，
所以
2 2 2 2 32 1a c a c ac ，因为 0a c ，所以 3a c ，故 D 正确.答案：ACD.
11. 如图所示，线段 AB是⊙C的弦，其中 8AB ， 5AC ，点D为⊙C上任意一点，则以
下结论正确的是（ ）
A． 10AD
B． AB AD
的最大值是 78
C．当 0AB CD
时，
2 3
sin
5
DAB D． 32AC AB
【答案】AD
【详解】点D为 C 上一动点，可知当点 A C D， ， 三点共线的时候， AD
的值最大是
2 10AC ，故选 A；
21
cos 32
2
AC AB AC AB CAB AB
，故选 D；
当 0AB CD
时，即 AB CD ，此时，点D在 C 上有两个位置，如图所示，故sin DAB 不
5
止一个答案，所以，排除 C 选项.
对于 B 选项，（方法一）如图 1 所示，建立平面直角坐标系，则点D坐标设为 5cos ,5sin A ，
点坐标是 4, 3 ， B 点坐标是 4, 3 ，
则 8,0AB
， 5cos 4,5sin 3AD
， 40cos 32AB AD
，
所以，当cos 1 0 ，即 时， AB AD
取得最大值72；
（方法二）如图 2 所示，借助平面几何知识和平面向量的数量积运算的定义可知：
cosAB AD AD AB DAB
取最大值时，当且仅当 cosAD DAB
的值最大，此时
cos 5 4 9AD DAB AE
，
所以 cos 8 9 72AB AD AD AB DAB
，因此 B 不正确； 故选：AD；
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 已知向量 1,2a
， 3,b x
，若 )( baa
，则 x _______.
【答案】 1
【详解】因为 1,2a
， 3,b x
，所以 2, 2a b x
，
因为 )( baa
，所以 04221- x ，解得 1x . 故答案为： 1
13. 在 ABC 中， 1,60 bA O ，面积 3S ，则
sin
c
C
等于______．
【答案】
3
392
【详解】由题意及三角形面积公式可得
1
sin 3
2
bc A ，可得 4c ，
由余弦定理可得 13
2
1
42161cos2222 Abccba ，所以 13a ，
所以 3
392
2
3
13
sinsin
A
a
C
c
．故答案为：
3
392
．
14．已知正方形 ABCD的边长为2 ， E 是BC的中点，F 是线段 AE上的点，则 CFFA 的
最大值为______. 【答案】
5
9
【详解】
6
如图，以A 为原点建立平面直角坐标系，则 0,0 , 2,2 , 2,1A C E ，∴ 2,1AE
.
设 0 1AF AE
，则 2 ,AF
，∴ 2 , 2,2 2 2, 2CF
，
∴ 22 2 2 2 5 6AF CF
，
65)2()()22(2FA 2 CF
∴当
3
5
时， CFFA 有最大值，最大值为
5
9
故答案为：
5
9
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 在直角坐标系 xOy中，已知点 ( 2,0)A ， ( )0,2 3B ， (2cos ,sin )C ，其中
π
[0, ]
2
．
(1)若 / /AB OC
，求 tan的值；
(2)设点 (1,0)D ，求 AC BD
的取值范围．
【答案】(1) tan 2 3 ； (2) ]2,3-[2
【分析】（1）利用共线向量的坐标表示，列式计算得解.
（2）利用数量积的坐标表示，结合辅助角公式及余弦函数性质求出最大值.
【详解】（1）依题意， (2,2 3), (2cos ,sin )AB OC
，
由 / /AB OC
，得2sin 2 3 2cos ，所以 tan 2 3 .
（2）依题意， (1, 2 3), (2cos 2,sin )BD AC
，
因此
π
2cos 2 2 3sin 2 4cos( )
3
AC BD
，
当
π
0,
2
时，
π π 5π
,
3 3 6
，因此当 0 时，
π
cos( )
3
取得最大值
1
2
，
2
时，
π
cos( )
3
取得最小值
2
3
- ，所以 AC BD
的取值范围是 ]2,3-[2 .
7
16. 已知平面向量 Rxcxxbxa ,)5,3(,),32(,),1( .
(1)若 ba ，求 x的值；(2)若a b
∥ ，求 |2| ba 的值.
(3)若 a
与 c
的夹角是锐角，求 x 的取值范围.
【答案】(1) 1 或 3：(2) 5 或 5 (3) ),
3
5
()
3
5
,
5
3
(
【详解】（1）若a b
，则 1, 2 3, 1 2 3 0a b x x x x x x
.
整理得 2 2 3 0x x ，解得 1x 或 3x .故 x 的值为 1 或 3.
（2）若a b
∥ ，则有 1 2 3 0x x x ，即 2 4 0x x ，解得 0x 或 2x
当 0x 时， 1,0 , 3,0a b
，则 )0,5(2 ba ，得 5|2| ba ；
当 2x 时， 1, 2 , 1,2a b
，则 )2,1(2 ba ，得 5|2| ba .
综上， |2| ba 的值为 5 或 5.
（3）因 a
与 c
的夹角是锐角，则 0ca ，即 053 x ，得
5
3
x ，
又当 a
与 c
共线时，有 53 x ，得
3
5
x ，不合题意，则
3
5
x
综上， x 的取值范围为 ),
3
5
()
3
5
,
5
3
( .
17. ABC 的角A ， B ，C 所对的边分别是a，b ，c，若
7
cos
8
A ， 2c a ， 3b .
(1)求a和sin B ； (2)求 )
6
2cos(
A 的值.
【答案】(1) 2a ，
3 15
sin
16
B (2)
64
157317
【详解】（1）由余弦定理可得
2 2 2
cos
2
b c a
A
bc
，由 3b ，则
2 29 7
6 8
c a
c
，
由 2c a ，即 2c a ，代入上式整理可得
2 272 8 2 8 42 2a a a ，解得 2a
由 2
15
sin 1 cos
8
A A ，根据正弦定理，可得
3 15 3 15
sin sin
2 8 16
b
B A
a
.
（2）
64
34
64
15
64
49
sincos2cos 22 AAA ；
64
1514
8
7
8
15
2cossin22sin AAA
64
157317
2
1
64
1514
2
3
64
34
6
sin2sin
6
cos2cos)
6
2cos(
AAA
8
18. 已知函数 12cos
2
1
2sin
2
3
)( xxxf
（1）求 f(x)周期和单调递增区间；
（2）若 f(α)＝
2
5
，α∈
5
,
3 6
，求 2cos 的值．
【答案】（1） ]
3
,
6
[-
kk . k∈Z，；（2）
10
343
.
【详解】（1）f(x)＝
3
2
sin 2x－
1
2
cos 2x＋1＝sin 2
6
x
＋1，周期
2
2
T 由
kxk 2
26
22
2
- 解得
kxk
36
- ，k∈Z，
∴函数 f(x)的单调递增区间为 ]
3
,
6
[-
kk . k∈Z，
（2）由（1）知 f(x)＝sin 2
6
x
＋1，又∵f(α)＝
2
5
，∴sin 2
6
＝－
3
5
，
∵α∈
5
,
3 6
，∴2α－
6
∈
3
,
2 2
，
∵sin 2
6
＝－
3
5
＜0，∴cos 2
6
＝－ 21 sin 2
6
＝－
4
5
.
6
sin)
6
2sin(
6
cos)
6
2cos(]
6
)
6
2cos[(2cos
=
10
343
2
1
)
5
3
(
2
3
5
4
19．在平面直角坐标系 xOy中，对于非零向量 1 1 2 2, , ,a x y b x y
，定义这两个向量的“相
离度”为
1 2 2 1
2 2 2 2
1 1 2 2
( , )
x y x y
d a b
x y x y
，容易知道 ,a b
平行的充要条件为 ( , ) 0d a b
．
(1)已知 )2,4(),1,2( ba ，求 ( , )d a b
；
(2)①已知 ,a b
的夹角为 1 和 ,c d
的夹角为 2 ，证明： ( , ) ( , )d a b d c d
的充分必要条件是
1 2sin sin ；
②在 ABC 中， 2, 4, 2AB AC DC BD
且
4
3
AD ，若 0 PCPBPA ，求 ( , )dPAPB
．
【答案】(1)
5
4
(2)①证明见解析 ；②
3
2
9
【详解】(1)
5
4
525
|)4(122|
),(
bad .
（2）①因为
2 2
1 2 1 2 1 2 2 12 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
cos , ( , )
x x y y x y x y
a b d a b
x y x y x y x y
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2
1 1 2 2
1
x x y y x y x y
x y x y
，
且 ( , ) 0d a b
rr
， sin , 0,πa b
，则
2 2 2( , ) 1 cos , sin ,d a b a b a b
，
所以 ( , ) sin ,d a b a b
.若 ( , ) ( , )d a b d c d
，等价于sin , sin ,a b c d
，即 1 2sin sin ，
所以 ( , ) ( , )d a b d c d
的充分必要条件是 1 2sin sin ；
②因 2DC BD
，
则
1 1 2 1
3 3 3 3
AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC
，
可得
2
2 2 22 1 4 1 4
3 3 9 9 9
AD AB AC AB AC AB AC
，
即
16 16 16 4
9 9 9 9
AB AC
uuur uuur
，可得 4AB AC
，
又因为 0PA PB PC
uur uur uuur r
，可知点 P 为 ABCV 的重心，则
1 1
3 3
AP AB AC
，
可得
1 1 2 1
,
3 3 3 3
PA AB AC PB PA AB AB AC
uur uuur uuur uur uur uuur uuur uuur
，
则
2
2 21 1 1 1 2 4
3 3 9 9 9 3
PA AB AC AB AC AB AC
uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
，
2
2 2 22 1 4 1 4 16
3 3 9 9 9 3
PB AB AC AB AC AB AC
，
2 21 1 2 1 2 1 1 4
3 3 3 3 9 9 9 3
PA PB AB AC AB AC AB AC AB AC
，
可得
2
2
2 2
16
19cos ,
4 16 4
3 3
PA PB
PA PB
PA PB
，
所以 2
3
, sin , 1 cos ,
2
d PA PB PA PB PA PB
.
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