第5章 数列 单元质量测评-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第五章　单元质量测评 时间：120分钟　　　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式为an＝(　　) A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋1 解析　由于3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…，所以通项公式是an＝2n＋1．(或特值法，当n＝1时只有B项符合．) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 2．记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝(　　) A．2 B．3 C．6 D．7 解析　 ∵S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16，∴a3＋a4－S2＝(a3－a1)＋(a4－a2)＝4d＝16－4＝12，∴d＝3． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3 3．设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝(　　) A．8 B．－8 C．4 D．－4 解析　设等比数列{an}的公比为q，∵a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，∴a1(1＋q)＝－1，a1(1－q2)＝－3，解得q＝－2，a1＝1，则a4＝1×(－2)3＝－8．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4 解析　由题意知，当k＝1时，k＋2＝3；当k＝3时，k＋2＝5，依此类推知，命题对所有正奇数成立． 4．某个命题：①当n＝1时，命题成立；②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时成立，可以推出n＝k＋2时也成立，则命题对________成立．(　　) A．正整数 B．正奇数 C．正偶数 D．都不是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5 5．等比数列{an}的通项为an＝2·3n－1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{bn}，那么162是新数列{bn}的(　　) A．第5项 B．第12项 C．第13项 D．第6项 解析　 162是数列{an}的第5项，则它是新数列{bn}的第5＋(5－1)×2＝13项． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8 7．已知{an}是等差数列，a3＝5，a9＝17，数列{bn}的前n项和Sn＝3n，若am＝b1＋b4，则正整数m等于(　　) A．29 B．28 C．27 D．26 解析　设等差数列{an}的公差为d．因为{an}是等差数列，a9＝17，a3＝5，所以6d＝17－5，得d＝2，an＝2n－1．又因为Sn＝3n，所以当n＝1时，b1＝3，当n≥2时，Sn－1＝3n－1，bn＝3n－3n－1＝2·3n－1，由am＝b1＋b4，得2m－1＝3＋54，得m＝29．故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9 解析　令2x－1＝x(x≤0)，易得x＝0．当0<x≤1时，由已知得f(x－1)＋1＝x，即2x－1－1＋1＝2x－1＝x，则x＝1．当1<x≤2时，由已知得f(x)＝x，即f(x－1)＋1＝x，即f(x－2)＋1＋1＝x，故2x－2＋1＝x，则x＝2．因此，a1＝0，a2＝1，a3＝2，结合各选项可知该数列的通项公式为an＝n－1(n∈N＋)．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1＋3a3＝S6，则下列结论一定正确的是(　　) A．a10＝0 B．S10最小 C．S7＝S12 D．S19＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16 105 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17 13．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n(n∈N＋)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则n＝______，盈利总额的最大值为______万元． 7 61 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18 14．已知数列{an}满足a1＝0，对任意的n∈N＋，均有an＋1－an∈{0，1}，an＋2 －an∈{0，1}，a2n>a2n－1，则a2＝______，{an}的通项公式为_______________． 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N＋)． (1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 22 16．(本小题满分15分)记数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N＋，有Sn＝n(an＋n－1)． (1)证明：数列{an}是等差数列； (2)若当且仅当n＝7时，Sn取得最大值，求a1的取值范围． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24 17．(本小题满分15分)某地区火山喷发，弥漫在该地区上空多日的火山灰严重影响该地区的机场正常运营．由于风向，火山灰主要飘落在该火山口的东北方向与东南方向之间的地区．假设火山喷发停止后，需要了解火山灰的飘散程度，为了测量的需要，现将距离火山喷口中心50米内的扇形面记为第1区，距离火山喷口中心50米至100米的扇环面记为第2区，……，距离火山喷口中心50(n－1)米至50n米的扇环面记为第n区，若测得第1区的火山灰每平方米的平均质量为1吨，第2区的火山灰每平方米的平均质量较第1区减少了2%，第3区较第2区又减少了2%，依次类推，问： (1)离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米多少千克？(结果精确到1千克) (2)第几区的火山灰总质量最大？ 提示：当n较大时，可用(1－x)n≈1－nx进行近似计算． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 32 　　　　　　　　　　　　　 R 6．如图，有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的半径r都是eq \f(800,π) mm，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，每对轧辊都将面带的厚度压缩为输入该对轧辊时的0．8倍(整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗)．若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，则在擀面机最终输出的面带上，相邻疵点的间距Lk＝(　　) A．800×0．2k－10 mm B．1600×0．8k－10 mm C．1600×0．8k mm D．1600×0．2k－10 mm 解析　轧辊的周长为2πr＝1600，由题意可知，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，因为在此处出口的两疵点间面带的体积与最终出口处两疵点间面带的体积相等，又因为宽度不变，有1600＝0．8L9，所以L9＝2000，而L9＝2000，L10＝1600，所以数列{Lk}是以0．8为公比的等比数列，所以L10＝Lk·0．810－k，即Lk＝eq \f(L10,0.810－k)＝1600×0．8k－10．故选B． 8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤0，,f(x－1)＋1，x>0，))把方程f(x)＝x的根按从小到大的顺序排列成一个数列{an}，则该数列的通项公式为(　　) A．an＝eq \f(n(n－1),2)(n∈N＋) B．an＝n(n－1)(n∈N＋) C．an＝n－1(n∈N＋) D．an＝n－2(n∈N＋) 解析　设等差数列{an}的公差为d，∵2a1＋3a3＝S6，∴5a1＋6d＝6a1＋15d，∴a1＋9d＝0，即a10＝0，A正确；当d＞0时，S9＝S10最小，当d＜0时，S9＝S10最大，故B不正确；S12－S7＝12a1＋eq \f(12×11,2)d－7a1－eq \f(7×6,2)d＝5a1＋45d＝5(a1＋9d)＝0，即S7＝S12，C正确；S19＝eq \f(19(a1＋a19),2)＝19a10＝0，D正确．故选ACD． 10．如图形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…．设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则下列结论正确的是(　　) A．S4＝20 B．an＋1－an＝n C．Sn－Sn－1＝eq \f(n(n＋1),2)，n≥2 D．eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋eq \f(1,a3)＋…＋eq \f(1,a2025)＝eq \f(2025,1013) 解析　∵a2－a1＝3－1＝2，a3－a2＝6－3＝3，∴a4＝a3＋4＝6＋4＝10，则S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋3＋6＋10＝20，A正确；a2－a1＝3－1＝2，a3－a2＝6－3＝3，…，可推得，an＋1－an＝n＋1，B错误；由题意，a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(n(n＋1),2)，则Sn－Sn－1＝an＝eq \f(n(n＋1),2)，C正确；∵eq \f(1,an)＝eq \f(2,n(n＋1))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，∴eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋eq \f(1,a3)＋…＋eq \f(1,a2025)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,4)＋…＋\f(1,2025)－\f(1,2026)))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2026)))＝eq \f(2025,1013)，D正确．故选ACD． 11．已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足an＋1＝2,n)eq \f(an＋bn,\r(a＋beq \o\al(2,n))) ，bn＋1＝eq \r(2)·eq \f(bn,an)，n∈N＋，且{an}是等比数列，则下列四个结论正确的是(　　) A．数列{an}的所有项都不大于eq \r(2) B．数列{bn}的所有项都大于eq \r(2) C．数列{an}的公比等于1 D．数列{bn}一定是等比数列 解析　设等比数列{an}的公比为q．对于A，C，因为eq \f((an＋bn)2,2)≤aeq \o\al(2,n)＋beq \o\al(2,n)<(an＋bn)2，所以1<an＋1≤eq \r(2)(n∈N＋)，若q>1，则a1<a2≤eq \r(2)，则当n>logqeq \f(\r(2),a1)时，a1qn>eq \r(2)，此时an＋1>eq \r(2)，与1<an＋1≤eq \r(2)矛盾；若0<q<1，则a1>a2>1，则当n>logqeq \f(1,a1)时，a1qn<1，此时an＋1<1，与1<an＋1≤eq \r(2)矛盾．故q＝1，所以1<a1≤eq \r(2)，1<an≤eq \r(2)(n∈N＋)，故A，C正确；对于B，D，由q＝1，得bn＋1＝eq \f(\r(2),a1)bn．下证a1＝eq \r(2)．若a1≠eq \r(2)，则eq \f(\r(2),a1)>1，则b1<b2<b3，由a1＝2,1)eq \f(a1＋bn,\r(a＋beq \o\al(2,n))) ，得bn＝2,1)eq \f(a1±a\r(2－aeq \o\al(2,1)),aeq \o\al(2,1)－1) ，所以b1，b2，b3中至少有两项相同，矛盾，故a1＝eq \r(2)，则bn＝eq \r(2)，故B错误，D正确．故选ACD． 解析　∵an＋1－an＝－eq \f(1,2)，∴数列{an}为等差数列，设公差为d，则d＝－eq \f(1,2)，又a1＝10，∴an＝－eq \f(n,2)＋eq \f(21,2)(n∈N＋)．∵a1＝10>0，d＝－eq \f(1,2)<0，设前n项的和最大，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＝－\f(n,2)＋\f(21,2)≥0，,an＋1＝－\f(n＋1,2)＋\f(21,2)≤0，))解得20≤n≤21，又n∈N＋，∴n＝20或n＝21，∴前n项和Sn的最大值为S20＝S21＝10×20＋eq \f(20×19,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝105． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知数列{an}中，a1＝10，an＋1＝an－eq \f(1,2)，则它的前n项和Sn的最大值为________． 解析 设该设备第n年的运营费用为an万元，则数列{an}是以2为首项，3为公差的等差数列，则an＝3n－1．设该设备使用n年的运营费用总和为Tn万元，则Tn＝eq \f(n(2＋3n－1),2)＝eq \f(3,2)n2＋eq \f(1,2)n．设n年的盈利总额为Sn万元，则Sn＝21n－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)n2＋\f(1,2)n))－9＝－eq \f(3,2)n2＋eq \f(41,2)n－9．由二次函数的性质可知，当n＝eq \f(41,6)时，Sn取得最大值，又n∈N＋，故当n＝7时，Sn取得最大值，为61． an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,2)，n为奇数，,\f(n,2)，n为偶数)) 解析　∵a1＝0，a2n>a2n－1，∴当n＝1时，a2>a1，则a2－a1＝1，解得a2＝1，∵a2n－a2n－1>0，故a2n－a2n－1＝1，又对任意的n∈N＋，均有an＋1－an∈{0，1}，an＋2－an∈{0，1}，即对任意的n∈N＋，均有a2n＋1－a2n∈{0，1}，a2n＋1－a2n－1∈{0，1}，若a2n＋1－a2n＝1，则a2n＋1－a2n－1＝(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)＝2，不符合题意，∴a2n＋1－a2n＝0，则a2n＋1－a2n－1＝(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)＝1∈{0，1}，符合题意，∴数列{an}中的奇数项构成首项为0，公差为1的等差数列；偶数项构成首项为1，公差为1的等差数列，∴当n为奇数，即n＝2k－1(k∈N＋)时，a2k－1＝a1＋(k－1)＝k－1＝eq \f(n＋1,2)－1，即an＝eq \f(n－1,2)；当n为偶数，即n＝2k(k∈N＋)时，则a2k＝a2k－1＋1＝k，即an＝eq \f(n,2)，∴an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,2)，n为奇数，,\f(n,2)，n为偶数.)) 解　(1)证明：∵an＋2＝3an＋1－2an， ∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴eq \f(an＋2－an＋1,an＋1－an)＝2． ∵a1＝1，a2＝3， ∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)得an＋1－an＝2n， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1． 故数列{an}的通项公式为an＝2n－1． 解　(1)证明：∵Sn＝n(an＋n－1)，　① ∴当n≥2时，Sn－1＝(n－1)(an－1＋n－2)，　② 由①－②得an＝nan－(n－1)an－1＋2n－2， 即(1－n)an－(1－n)an－1＝2(n－1)， ∴an－an－1＝－2， ∴数列{an}是公差为－2的等差数列． (2)当且仅当n＝7时，Sn取得最大值， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S7>S6，,S7>S8，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a7>0，,a8<0，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1－12>0，,a1－14<0，))解得12<a1<14， ∴a1的取值范围为(12，14)． 解　(1)设第n区的火山灰每平方米的平均质量为an千克， 依题意，数列{an}为等比数列，且a1＝1000(千克)， 公比q＝1－2%＝0．98，∴an＝a1×qn－1＝1000×0．98n－1． ∵离火山口1225米处的位置在第25区， ∴a25＝1000×(1－0．02)24≈1000×(1－24×0．02)＝520，即离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米520千克． (2)设第n区的火山灰的总质量为bn千克，且该区的火山灰总质量最大． 依题意，第n区的面积为eq \f(1,4)π{(50n)2－[50(n－1)]2}＝625π(2n－1)， ∴bn＝625π(2n－1)×an＝625000π(2n－1)×0．98n－1． 依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn≥bn－1，,bn≥bn＋1，))解得49．5≤n≤50．5． ∵n∈N＋，∴n＝50，即第50区的火山灰总质量最大． 18．(本小题满分17分)设数列{an}的前n项和Sn＝2n2，数列{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn＝eq \f(an,bn)，求数列{cn}的前n项和Tn． 解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2， ∵当n＝1时，a1＝2也适合上式， ∴{an}的通项公式为an＝4n－2， 即{an}是首项a1＝2，公差d＝4的等差数列． 设{bn}的公比为q，则b1qd＝b1， ∴q＝eq \f(1,4)．故bn＝b1qn－1＝2×eq \f(1,4n－1)． 即{bn}的通项公式为bn＝eq \f(2,4n－1)． (2)∵cn＝eq \f(an,bn)＝eq \f(4n－2,\f(2,4n－1))＝(2n－1)4n－1， ∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n－1)4n－1， 4Tn＝1×41＋3×42＋5×43＋…＋(2n－3)4n－1＋(2n－1)4n． 两式相减，得3Tn＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n－1)＋(2n－1)4n＝eq \f(1,3)[(6n－5)4n＋5]， ∴Tn＝eq \f(1,9)[(6n－5)4n＋5]． 19．(本小题满分17分)已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1，2，3，…． (1)证明：数列{lg (1＋an)}是等比数列； (2)设Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)，求Tn； (3)记bn＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,an＋2)，求数列{bn}的前n项和Sn，并证明Sn<1． 解　(1)证明：由已知a1＝2，an＋1＝aeq \o\al(2,n)＋2an， ∴an＋1＋1＝(an＋1)2， ∴lg (1＋an＋1)＝2lg (1＋an)， ∴数列{lg (1＋an)}是公比为2的等比数列． (2)由(1)知lg (1＋an)＝2n－1·lg (1＋a1)＝2n－1·lg 3＝lg 32n－1，∴1＋an＝32n－1， ∴Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)＝320·321·322·…·32n－1＝31＋2＋22＋…＋2n－1＝32n－1． (3)∵点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上， ∴an＋1＝aeq \o\al(2,n)＋2an，∴an＋1＝an(an＋2)， ∴eq \f(1,an＋1)＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋2)))，∴eq \f(1,an＋2)＝eq \f(1,an)－eq \f(2,an＋1)， ∴bn＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,an＋2)＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,an)－eq \f(2,an＋1)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋1)))， ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2eq \b\lc\((\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)))－eq \f(1,a2)＋eq \f(1,a2)－eq \f(1,a3)＋…＋eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋1)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)－\f(1,an＋1)))． ∵an＝32n－1－1，a1＝2，an＋1＝32n－1，∴Sn＝1－eq \f(2,32n－1)． ∵32n－1≥32－1＝8>2，∴0<eq \f(2,32n－1)<1，∴Sn<1． $$