6.1.1 函数的平均变化率-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第六章　导数及其应用 6.1　导数 6.1.1　函数的平均变化率 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 知识点一　函数平均变化率的概念 1．当自变量从x0变到x1(x0<x1)时，函数值的改变量与相应自变量的改变量之比是函数(　　) A．在区间[x0，x1]上的平均变化率 B．在x0处的变化率 C．在x1处的变化率 D．以上都不正确 解析　由函数平均变化率的定义，可知当自变量从x0变到x1(x0<x1)时，函数值的改变量与相应自变量的改变量之比是函数在区间[x0，x1]上的平均变化率． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 4 2．函数y＝2x＋1在[1，2]上的平均变化率为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 6 4．如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为____；函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 7 ③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 8 知识点二　函数平均变化率的应用 6．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，上面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 10 7．已知函数f(x)的定义域为R，而且f(x)在任意区间内的平均变化率均比g(x)＝3x－4在同一区间内的平均变化率大，判断f(5)－f(2)与9的相对大小． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 知识点三　平均速度 8．一质点的位移s与时间t之间的关系是s＝4－2t2，则在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为(　　) A．2Δt＋4 B．－2Δt＋4 C．2Δt－4 D．－2Δt－4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 13 10．已知某物体运动的位移x m是时间t s的函数，而且t＝0．2时，x＝0．32；t＝0．7时，x＝4．52． (1)求这个物体在时间段[0．2，0．7]内的平均速度； (2)估计出t＝0．5时物体的位移． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 14 30分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 16 2．质点运动规律s(t)＝t2＋3，则在时间段[3，3．3]内，质点运动的平均速度为(　　) A．6．3 B．36．3 C．3．3 D．9．3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 17 3．已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)在以2和2＋Δx为端点的闭区间上的平均变化率为(　　) A．2－Δx B．－2－Δx C．2＋Δx D．(Δx)2－2Δx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 二、填空题 6．A(0，1)，B(1，2)是函数f(x)＝2x图象上的两点，则直线AB的斜率为____． 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 7．已知y是x的函数，部分函数值如下表所示，且[4，8]是这个函数的定义域的子集，则可以估计出x＝5时，y的值为____． 15 x 1 2 4 8 y 32 26 18 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 8．如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是________(填序号)． ①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度； ③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度． ②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 25 三、解答题 9．已知函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝3x，f4(x)＝x3，分别计算这四个函数在区间[2，4]上的平均变化率，并比较它们的大小． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 26 10．已知二次函数f(x)＝x2－2x＋a． (1)判断f(0)与f(3)的大小； (2)判断f(x)在区间[0，1]与[1，3]上的平均变化率的大小． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 27 　　　　　　　　　　　　　 R 解析　当x＝1时，y＝3，当x＝2时，y＝5，故平均变化率为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(5－3,2－1)＝2．故选C． 3．[多选]已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率为eq \r(3)，则下列叙述正确的是(　　) A．直线AB的倾斜角为eq \f(π,6) B．直线AB的倾斜角为eq \f(π,3) C．直线AB的斜率为eq \r(3) D．直线AB的斜率为－eq \f(\r(3),3) 解析　函数f(x)在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率就是直线AB的斜率，所以kAB＝eq \r(3)，直线AB的倾斜角为eq \f(π,3)．故选BC． eq \f(3,4) 解析　函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为 eq \f(f(1)－f(－1),1－(－1))＝eq \f(2－1,2)＝eq \f(1,2)．由函数f(x)的图象知，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)，－1≤x≤1，,x＋1，1<x≤3，))所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为eq \f(f(2)－f(0),2－0)＝eq \f(3－\f(3,2),2)＝eq \f(3,4)． eq \f(1,2) 5．给出下列四个函数：①y＝x；②y＝eq \f(1,x2)；③y＝3x；④y＝log2x．其中在[2，4]上的平均变化率最大的是________(填序号)． 解析　①中函数在[2，4]上的平均变化率为eq \f(4－2,4－2)＝1；②中函数在[2，4]上的平均变化率为eq \f(\f(1,42)－\f(1,22),4－2)＝－eq \f(3,32)；③中函数在[2，4]上的平均变化率为eq \f(34－32,4－2)＝36；④中函数在[2，4]上的平均变化率为eq \f(log24－log22,4－2)＝eq \f(1,2)．观察可知，在[2，4]上的平均变化率最大的是③． 解　山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝eq \f(10－0,50－0)＝eq \f(1,5)，山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝eq \f(15－10,70－50)＝eq \f(1,4)，∴hBC>hAB，∴山路从B到C比从A到B要陡峭得多． 解　函数g(x)＝3x－4在[2，5]上的平均变化率为3．根据题意，函数f(x)在[2，5]上的平均变化率大于3，即eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(f(5)－f(2),5－2)>3，所以f(5)－f(2)>9． 解析　平均速度eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(4－2(1＋Δt)2－4＋2×12,Δt)＝eq \f(－4Δt－2(Δt)2,Δt)＝－2Δt－4． 9．某物体沿直线运动，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为s(t)＝eq \f(1,2)t2＋mt，且该物体在2≤t≤4这段时间内的平均速度为5，则实数m的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析　由题意，得eq \f(s(4)－s(2),4－2)＝eq \f(\f(1,2)×42＋4m－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×22＋2m)),4－2)＝eq \f(6＋2m,2)＝5，解得m＝2．故选A． 解　(1)所求平均速度为eq \f(4.52－0.32,0.7－0.2)＝eq \f(4.2,0.5)＝8．4(m/s)． (2)将t在[0．2，0．7]上的图象看成直线，则由(1)可知，直线的斜率为8．4，且直线通过点(0．2，0．32)， 因此，x与t的关系可近似地表示为x－0．32＝8．4(t－0．2)． 在上式中令t＝0．5，可求得x＝2．84， 即物体的位移可以估计为2．84 m． 一、选择题 1．函数f(x)＝eq \r(2x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的平均变化率为(　　) A．2 B．eq \f(2,3) C．eq \f(2\r(2),3) D．eq \r(2) 解析　由题意，知Δf＝f(2)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \r(2×2)－eq \r(2×\f(1,2))＝2－1＝1，所以f(x)＝eq \r(2x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的平均变化率为eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(1,2－\f(1,2))＝eq \f(2,3)．故选B． 解析　s(3)＝12，s(3．3)＝13．89，∴平均速度eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(s(3.3)－s(3),3.3－3)＝eq \f(1.89,0.3)＝6．3．故选A． 解析　eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(f(2＋Δx)－f(2),Δx)＝eq \f(－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx)－(－4＋4),Δx) ＝eq \f(－4－(Δx)2－4Δx＋4＋2Δx,Δx)＝eq \f(－(Δx)2－2Δx,Δx)＝－Δx－2．故选B． 4．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为eq \o(v,\s\up6(－))1，eq \o(v,\s\up6(－))2，eq \o(v,\s\up6(－))3，则三者的大小关系为(　　) A．eq \o(v,\s\up6(－))1>eq \o(v,\s\up6(－))2>eq \o(v,\s\up6(－))3 B．eq \o(v,\s\up6(－))3>eq \o(v,\s\up6(－))2>eq \o(v,\s\up6(－))1 C．eq \o(v,\s\up6(－))2>eq \o(v,\s\up6(－))1>eq \o(v,\s\up6(－))3 D．eq \o(v,\s\up6(－))2>eq \o(v,\s\up6(－))3>eq \o(v,\s\up6(－))1 解析　eq \o(v,\s\up6(－))1＝eq \f(s(t1)－s(t0),t1－t0)＝kOA，eq \o(v,\s\up6(－))2＝eq \f(s(t2)－s(t1),t2－t1)＝kAB，eq \o(v,\s\up6(－))3＝eq \f(s(t3)－s(t2),t3－t2)＝kBC，由图象知kBC＞kAB＞kOA．故选B． 5．[多选]蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝eq \f(120,t＋5)＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，则下列说法正确的是(　　) A．t＝0时，蜥蜴的体温为39 ℃ B．t＝10时，蜥蜴的体温为23 ℃ C．从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率为1．6 D．从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1．6 ℃ 解析　在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为T(0)＝eq \f(120,0＋5)＋15＝39(℃)，T(10)＝eq \f(120,10＋5)＋15＝23(℃)，从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率为eq \f(T(10)－T(0),10)＝－eq \f(16,10)＝－1．6，它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1．6 ℃．故选ABD． 解析　直线AB的斜率为函数f(x)在区间[0，1]上的平均变化率eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(f(1)－f(0),1－0)＝eq \f(2－1,1)＝1． 解析　将y在[4，8]上的图象看成直线，则直线的斜率为eq \f(6－18,8－4)＝－3，且直线通过点(4，18)，因此y与x的关系可近似地表示为y－18＝－3(x－4)．在该式中令x＝5，得y＝18－3×(5－4)＝15，即x＝5时，y的估计值为15． 解析　在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(s0,t0)，故①错误，②正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为eq \f(s2－s0,t1－t0)，乙的平均速度为eq \f(s1－s0,t1－t0)．因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以eq \f(s2－s0,t1－t0)>eq \f(s1－s0,t1－t0)，故③正确，④错误． 解　eq \f(Δf1,Δx)＝eq \f(24－22,2)＝6，eq \f(Δf2,Δx)＝eq \f(42－22,2)＝6，eq \f(Δf3,Δx)＝eq \f(34－32,2)＝36，eq \f(Δf4,Δx)＝eq \f(43－23,2)＝28． 所以在区间[2，4]上的平均变化率由大到小依次为eq \f(Δf3,Δx)>eq \f(Δf4,Δx)>eq \f(Δf2,Δx)＝eq \f(Δf1,Δx)． 解　(1)因为f(x)＝x2－2x＋a， 所以f(0)＝a，f(3)＝3＋a，所以f(0)<f(3)． (2)f(x)在区间[0，1]上的平均变化率为eq \f(f(1)－f(0),1－0)＝f(1)－f(0)＝a－1－a＝－1， f(x)在区间[1，3]上的平均变化率为eq \f(f(3)－f(1),3－1)＝eq \f(4,2)＝2， 所以f(x)在区间[0，1]上的平均变化率小于在[1，3]上的平均变化率． $$