5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第五章　三角函数 5.3　等比数列 5.3.2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 4 2．等比数列{an}的公比q＜0，已知a2＝1，an＋2＝an＋1＋2an，则{an}的前2025项和等于(　　) A．2024 B．－1 C．1 D．0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 5 3．等比数列{an}共有2n项，它的各项的和是奇数项和的3倍，则公比q＝______． 解析　设{an}的偶数项和与奇数项和分别为S偶，S奇．由题意得S偶＋S奇＝3S奇，即S偶＝2S奇，又S偶＝qS奇，所以q＝2． 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 8 5．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝_____． 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 9 知识点三　等比数列前n项和的性质 6．[多选]已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，其公比为q，前n项和为Sn，S3＝7，S6＝63，则下列结论正确的是(　　) A．q＝2 B．{an}为递减数列 C．S9＝511 D．S8＝16S4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 10 7．在等比数列{an}中，各项皆为正数，且S2＝7，S6＝91，则S4＝______． 解析　因为{an}是等比数列，所以S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即(S4－7)2＝7×(91－S4)，解得S4＝28或－21．又数列{an}的各项皆为正数，所以S4＞0，即S4＝28． 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 11 知识点四　等比数列前n项和的综合应用 8．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2an}的前n项和Sn． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 13 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 18 30分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则S6＝ (　　) A．140 B．120 C．210 D．520 解析　依题意，得a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列，即402＝20(a5＋a6)，∴a5＋a6＝80，∴S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝20＋40＋80＝140．故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 3．设Sn是等比数列{an}的前n项和，公比q＞0，则Sn＋1an与Snan＋1的大小关系是(　　) A．Sn＋1an＞Snan＋1 B．Sn＋1an＜Snan＋1 C．Sn＋1an≥Snan＋1 D．Sn＋1an≤Snan＋1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 25 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 26 7．设等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，前n项和为Sn．若对任意n∈N＋，有S2n＜3Sn，则q的取值范围是________． (0，1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 27 8．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每 天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．则______天后两鼠相遇．如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打的洞的长度之和，则Sn＝______________尺． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 29 三、解答题 9．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n－1－m，m∈R． (1)求m及an； (2)记bn＝an＋log3an，求数列{bn}的前n项和Tn． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 32 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　等比数列前n项和的简单应用 1．已知公比为q(q≠1)的等比数列{an}的前n项和为Sn，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n项和为(　　) A．eq \f(qn,Sn) B．eq \f(Sn,qn) C．eq \f(1,Snqn－1) D．2,1)eq \f(Sn,aqn－1) 解析　数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))仍为等比数列，且公比为eq \f(1,q)，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n项和Sn′＝eq \f(\f(1,a1)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q)))\s\up12(n))),1－\f(1,q))＝2,1)eq \f(a1(qn－1),aqn\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,q)))) ＝2,1)eq \f(a1(qn－1),aqn－1(q－1)) ＝2,1)eq \f(Sn,aqn－1) ． 解析　由an＋2＝an＋1＋2an，得qn＋1＝qn＋2qn－1，即q2－q－2＝0．又q＜0，解得q＝－1．又a2＝1，∴a1＝－1，∴S2025＝eq \f((－1)×[1－(－1)2025],1－(－1))＝－1． 知识点二　“知三求二”问题 4．数列{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，数列{bn}满足bn＝1＋a1＋a2＋…＋an(n＝1，2，…)，数列{cn}满足cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn(n＝1，2，…)．若{cn}为等比数列，则a＋q＝(　　) A．eq \r(2) B．3 C．eq \r(5) D．6 解析　当q＝1时，an＝a，bn＝1＋na，cn＝2＋n＋a·eq \f(n(1＋n),2)，显然不满足{cn}是等比数列．当q≠1时，bn＝1＋a1＋a2＋…＋an＝1＋eq \f(a(1－qn),1－q)＝1＋eq \f(a,1－q)－eq \f(aqn,1－q)，则cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn＝2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a,1－q)))n－eq \f(a,1－q)×eq \f(q(1－qn),1－q)＝2－eq \f(aq,(1－q)2)＋eq \f(1－q＋a,1－q)n＋eq \f(aqn＋1,(1－q)2)，要使{cn}为等比数列，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－\f(aq,(1－q)2)＝0，,\f(1－q＋a,1－q)＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,q＝2，))所以a＋q＝3．故选B． 解析　由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1(2n－1)＝93，,a1·2n－1＝48))⇒2n＝32⇒n＝5． 解析　由等比数列的前n项和的性质，得q3＝eq \f(S6－S3,S3)＝eq \f(63－7,7)＝8，所以q＝2，故A正确；因为an>0，q＝2，所以{an}为递增数列，故B错误；因为S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，所以(63－7)2＝7×(S9－63)，解得S9＝511，故C正确；因为eq \f(S8－S4,S4)＝q4＝16，所以S8＝17S4，故D错误．故选AC． 解　(1)由题设，知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得(1＋2d)2＝1×(1＋8d)， 解得d＝1或d＝0(舍去)． 故数列{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×1＝n． (2)由(1)知2an＝2n，所以数列{2an}是以2为首项，2为公比的等比数列． 由等比数列的前n项和公式，得Sn＝eq \f(2(1－2n),1－2)＝2n＋1－2． 9．设数列{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和．求证：eq \f(lg Sn＋lg Sn＋2,2)＜lg Sn＋1． 证明　设{an}的公比为q，由题意知a1>0，q>0． 当q＝1时，Sn＝na1，Sn＋1＝(n＋1)a1，Sn＋2＝(n＋2)a1， 故SnSn＋2－Seq \o\al(2,n＋1)＝－aeq \o\al(2,1)＜0，即SnSn＋2＜Seq \o\al(2,n＋1)． 两边同时取对数并整理，得eq \f(lg Sn＋lg Sn＋2,2)＜lg Sn＋1； 当q≠1时，Sn＝eq \f(a1(1－qn),1－q)， 从而SnSn＋2－Seq \o\al(2,n＋1)＝2,1)eq \f(a(1－qn)(1－qn＋2),(1－q)2) －2,1)eq \f(a(1－qn＋1)2,(1－q)2) ＝－aeq \o\al(2,1)qn<0，即SnSn＋2<Seq \o\al(2,n＋1)． 两边同时取对数并整理，得eq \f(lg Sn＋lg Sn＋2,2)<lg Sn＋1．综上，eq \f(lg Sn＋lg Sn＋2,2)<lg Sn＋1． 知识点五　等比数列前n项和的实际应用 10．某单位制作了一个热气球用于广告宣传．已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的eq \f(2,3)，则该气球上升到70米至少要经过______分钟． 解析　由题意，知热气球在每分钟上升的高度构成等比数列{an}，则an表示热气球在第n分钟上升的高度(单位：米)，a1＝30，公比q＝eq \f(2,3)．经过n分钟，热气球上升的总高度Sn＝eq \f(a1(1－qn),1－q)＝eq \f(30\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(n))),1－\f(2,3))＝90eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(n)))．因为S3＝90×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(3)))≈63．3＜70，S4＝90×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(4)))≈72．2＞70，所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70米． 11．某地投入资金进行生态环境建设，并以此为基础发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少eq \f(1,5)，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加eq \f(1,4)． (1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，求an，bn的表达式； (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 解　 (1)第一年的投入为800万元，第二年的投入为800×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))万元，……，第n年的投入为800eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))eq \s\up12(n－1)万元， 所以n年内的总投入为 an＝800＋800×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))＋…＋800eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))eq \s\up12(n－1) ＝4000－4000eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(n)． 第一年的旅游业收入为400万元，第二年的旅游业收入为400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))万元，……，第n年的旅游业收入为400eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))eq \s\up12(n－1)万元，所以n年内的旅游业总收入为bn＝400＋400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))＋…＋400eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))eq \s\up12(n－1)＝1600eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))eq \s\up12(n)－1600． (2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入， 由此得bn－an>0， 即1600eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))eq \s\up12(n)－1600－4000＋4000eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(n)>0， 化简，得2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))eq \s\up12(n)＋5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(n)－7>0． 设eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(n)＝x，代入上式得5x2－7x＋2>0． 解此不等式，得x<eq \f(2,5)或x>1(舍去)． 要使总收入超过总投入，必须使eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(n)<eq \f(2,5)， 由于n∈N＋，故n≥5． 故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． 一、选择题 1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq \f(1,4)，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　) A．16(1－4-n) B．16(1－2-n) C．eq \f(32,3)(1－4-n) D．eq \f(32,3)(1－2-n) 解析　设等比数列{an}的公比为q．∵{an}是等比数列，a2＝2，∴a5＝a2q3＝2q3＝eq \f(1,4)，则q＝eq \f(1,2)，a1＝4，a1a2＝8，∵eq \f(anan＋1,an－1an)＝q2＝eq \f(1,4)，∴数列{anan＋1}是以8为首项，eq \f(1,4)为公比的等比数列，∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝eq \f(8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(n))),1－\f(1,4))＝eq \f(32,3)(1－4－n)．故选C． 解析　当q＝1时，Sn＋1an＝(n＋1)aeq \o\al(2,1)，Snan＋1＝naeq \o\al(2,1)，Sn＋1an－Snan＋1＝aeq \o\al(2,1)＞0；当q＞0且q≠1时，Sn＋1an－Snan＋1＝eq \f(a1(1－qn＋1)·a1qn－1,1－q)－eq \f(a1(1－qn)·a1qn,1－q)＝2,1)eq \f(aqn－1(1－q),1－q) ＝aeq \o\al(2,1)qn－1＞0，∴Sn＋1an＞Snan＋1．综上可得，Sn＋1an＞Snan＋1．故选A． 4．已知Sn是等比数列{an}的前n项和．若存在m∈N*且m≠1，满足eq \f(S2m,Sm)＝9，eq \f(a2m,am)＝eq \f(5m＋1,m－1)，则m的值为(　　) A．－2 B．2 C．－3 D．3 解析　设等比数列{an}的公比为q．当q＝1时，eq \f(S2m,Sm)＝eq \f(2ma1,ma1)＝2，与eq \f(S2m,Sm)＝9矛盾，不符合题意；当q≠1时，eq \f(S2m,Sm)＝eq \f(\f(a1(1－q2m),1－q),\f(a1(1－qm),1－q))＝eq \f(1－q2m,1－qm)＝1＋qm＝9，∴qm＝8．又eq \f(a2m,am)＝qm＝eq \f(5m＋1,m－1)，即eq \f(5m＋1,m－1)＝8，解得m＝3．故选D． 5．[多选]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，a5＝eq \f(1,8)a2，则下列说法正确的是(　　) A．{an}的公比为eq \f(1,2) B．S4＝eq \f(15,8) C．存在正整数n，使得Sn为eq \f(5,2) D．数列{Sn－2}是等比数列 解析　设等比数列{an}的公比为q，∵a5＝eq \f(1,8)a2，且a5＝a2q3，∴q3＝eq \f(1,8)，∴q＝eq \f(1,2)，A正确；∵{an}是首项为1，公比为eq \f(1,2)的等比数列，∴Sn＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n),1－\f(1,2))＝2－eq \f(1,2n－1)，S4＝2－eq \f(1,23)＝eq \f(15,8)，B正确；令Sn＝eq \f(5,2)，即2－eq \f(1,2n－1)＝eq \f(5,2)，得2n＝－4，该方程无解，∴不存在正整数n，使得Sn为eq \f(5,2)，C不正确；Sn－2＝－eq \f(1,2n－1)≠0，eq \f(Sn＋1－2,Sn－2)＝eq \f(－\f(1,2n),－\f(1,2n－1))＝eq \f(1,2)，∴数列{Sn－2}是等比数列，D正确．故选ABD． 解析　设{an}，{bn}的公比分别为q，q′，∵eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(3n＋1,4)，∴当n＝1时，a1＝b1；当n＝2时，eq \f(S2,T2)＝eq \f(a1＋a1q,b1＋b1q′)＝eq \f(1＋q,1＋q′)＝eq \f(5,2)；当n＝3时，eq \f(S3,T3)＝eq \f(a1＋a1q＋a1q2,b1＋b1q′＋b1q′2)＝eq \f(1＋q＋q2,1＋q′＋q′2)＝7，∴2q－5q′＝3，7q′2＋7q′－q2－q＋6＝0，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(q＝9，,q′＝3))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(q＝4，,q′＝1))(舍去)，∴eq \f(a3,b3)＝eq \f(a1q2,b1q′2)＝9． 二、填空题 6．已知{an}，{bn}均为等比数列，其前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N＋，总有eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(3n＋1,4)，则eq \f(a3,b3)＝______． 解析　由题设，知q＞0．①若q＝1，则S2n＝2na1，3Sn＝3na1，S2n＜3Sn，所以q＝1符合要求．②若q≠1，则由S2n＜3Sn，得eq \f(a1(1－q2n),1－q)＜eq \f(3a1(1－qn),1－q)．当q＞1时，可得q2n－3qn＋2＜0，即(qn－1)(qn－2)＜0，即1＜qn＜2，显然当q＞1时该式不可能对任意n∈N＋都成立，所以q＞1不符合要求；当0＜q＜1时，可得(qn－1)(qn－2)＞0，该式恒成立，所以0＜q＜1符合要求．综合①②，可得q的取值范围是(0，1]． eq \f(36,17) 2n－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－1)＋1 解析　由题意先估计：两天不够，三天又多，设需要x天，则可得1＋2＋4(x－2)＋1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)(x－2)＝5，解得x＝eq \f(36,17)，即eq \f(36,17)天后两只老鼠相遇．由题意可知，大老鼠前n天打洞长度为eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1，小老鼠前n天打洞长度为eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n),1－\f(1,2))＝2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－1)，所以Sn＝2n－1＋2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－1)＝2n－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－1)＋1． 解　 (1)当n＝1时，a1＝S1＝1－m； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2×3n－2． 因为{an}是等比数列，所以a1＝1－m满足上式， 所以an＝2×3n－2，a1＝2×3－1＝1－m，所以m＝eq \f(1,3)． (2)因为bn＝an＋log3an＝2×3n－2＋(n－2)＋log32， 所以Tn＝Sn＋eq \f(－1＋n－2,2)n＋nlog32＝3n－1＋eq \f(n2－3n,2)＋nlog32－eq \f(1,3)． 10．已知数列{an}中，a1＝1，anan＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)． (1)证明：数列{a2n－1}和数列{a2n}都是等比数列； (2)若数列{an}的前2n项和为T2n，bn＝(3－T2n)n(n＋1)，求数列{bn}的最大项． 解　(1)证明：由anan＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n)得an＋1an＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(n＋1)，作商得eq \f(an＋2,an)＝eq \f(1,2)． 因为a1＝1，a1a2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(1)，所以a2＝eq \f(1,2)， 所以{a2n－1}是以a1＝1为首项，eq \f(1,2)为公比的等比数列，{a2n}是以a2＝eq \f(1,2)为首项，eq \f(1,2)为公比的等比数列． (2)因为T2n＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n),1－\f(1,2))＋eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n))),1－\f(1,2))＝3－eq \f(3,2n)， 所以bn＝(3－T2n)n(n＋1)＝eq \f(3n(n＋1),2n)． 则eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(3(n＋1)(n＋2),2n＋1)·eq \f(2n,3n(n＋1))＝eq \f(n＋2,2n)． 当n<2时，eq \f(n＋2,2n)>1，即b2>b1＝3； 当n＝2时，eq \f(n＋2,2n)＝1，即b2＝b3＝eq \f(9,2)； 当n>2时，eq \f(n＋2,2n)<1，即bn＋1<bn． 故数列{bn}的最大项是b2和b3，为eq \f(9,2)． $$