5.3.1 第1课时 等比数列的定义-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第五章　三角函数 5.3　等比数列 5.3.1　等比数列 第1课时　等比数列的定义 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 知识点一　等比数列的定义 1．数列m，m，m，…一定(　　) A．是等差数列，但不是等比数列 B．是等比数列，但不是等差数列 C．是等差数列，但不一定是等比数列 D．既是等差数列，又是等比数列 解析　当m＝0时，数列是等差数列，但不是等比数列；当m≠0时，数列既是等差数列，又是等比数列．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 4 2．一个等比数列的前3项依次是a，2a＋2，3a＋3，求a的值，并求出公比． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 5 知识点二　等比数列的通项公式及其应用 3．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为(　　) A．na(1－b%)万元 B．a(1－nb%)万元 C．a(1－b%)n万元 D．a[1－(b%)n]万元 解析　依题意可知，第一年后的价值为a(1－b%)万元，第二年后的价值为a(1－b%)2万元，依此类推，形成首项为a(1－b%)，公比为1－b%的等比数列，则可知n年后这批设备的价值为a(1－b%)n万元．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 7 5．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式为an＝________． 3×2n－3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 9 知识点三　等比数列的判定与证明 7．已知a，b，c，d成等比数列，a＋b，b＋c，c＋d均不为零，证明：a＋b，b＋c，c＋d成等比数列． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 11 知识点四　等比数列与函数的关系 9．已知等比数列{an}的通项公式为an＝3n，且数列{an}的图象都是函数y＝f(x)(x∈R)的图象上的点，那么f(x)＝3x吗？ 解　满足条件的函数f(x)未必是指数函数y＝3x，这是因为数列{an}的图象是一系列孤立的点，这些点分布在指数函数y＝3x的图象上，而函数f(x)的自变量x在相邻两个正整数之间如何变化是无法确定的，因此函数f(x)未必是指数函数y＝3x． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 12 30分钟综合练 一、选择题 1．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 14 2．在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝2x上，则a4的值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．16 解析　∵点(an，an＋1)在直线y＝2x上，∴an＋1＝2an．∵a1＝1≠0，∴an≠0，∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a4＝1×23＝8． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 16 4．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为(　　) 1 2 　 　 0．5 1 　 　 　 a 　 　 　 　 b 　 　 　 　 c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 18 5．[多选]已知等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝－3，则(　　) A．数列{3an＋an＋1}是等比数列 B．数列{an＋1－an}是等差数列 C．数列{anan＋1}是等比数列 D．数列{log3|an|}是等差数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 二、填空题 6．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 7．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为_____． 64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 8．各项均为正数的等比数列{an}中，a2－a1＝1．当a3取最小值时，等比数列的公比q＝_____，此时数列{an}的通项公式为an＝______． 2 2n－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 三、解答题 9．已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a5－a3＝4． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，问b4是数列{an}的第多少项？ 解　 (1)设等差数列{an}的公差为d，∵a1＋a2＝10，a5－a3＝4， ∴2a1＋d＝10，2d＝4，联立解得a1＝4，d＝2，∴an＝4＋2(n－1)＝2n＋2． (2)设等比数列{bn}的公比为q， 由b2＝a3＝8，b3＝a7＝16＝qb2，解得q＝2，∴2b1＝8，解得b1＝4， ∴b4＝4×23＝32＝2n＋2，解得n＝15，∴b4是数列{an}的第15项． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 10．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…)． (1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列； (2)求an． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 　　　　　　　　　　　　　 R 解　由等比数列的定义，得eq \f(2a＋2,a)＝eq \f(3a＋3,2a＋2)， 即(2a＋2)2＝a(3a＋3)， 整理得a2＋5a＋4＝0， 解得a＝－1或a＝－4． 当a＝－1时，2a＋2＝0，不符合题意，舍去， 所以a＝－4，公比q＝eq \f(2a＋2,a)＝eq \f(3,2)． 4．[多选]下列通项公式可以作为等比数列通项公式的是(　　) A．an＝(－1)n32n－1 B．an＝eq \r(n) C．an＝2－n D．an＝log2n 解析　对于A，an＝(－1)n32n－1，eq \f(an＋1,an)＝eq \f((－1)n＋132n＋1,(－1)n32n－1)＝－9，是常数，成立；对于B，an＝eq \r(n)，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(\r(n＋1),\r(n))，不是常数，不成立；对于C，an＝2－n，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(2－n－1,2－n)＝eq \f(1,2)，是常数，成立；对于D，an＝log2n，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(log2(n＋1),log2n)，不是常数，不成立．故选AC． 解析　设等比数列{an}的公比为q．由已知得eq \f(a10,a3)＝eq \f(a1q9,a1q2)＝q7＝128＝27，故q＝2．所以an＝a3qn－3＝3×2n－3． 解析　设这4个数为a，aq，aq2，aq3(其中aq≠0)，由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·aq·aq2·aq3＝\f(1,16)，,aq＋aq2＝\r(2)，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2q3＝±\f(1,4)，,a2q2(1＋q)2＝2，))所以eq \f(a2q3,a2q2(1＋q)2)＝±eq \f(1,8)，整理得q2－6q＋1＝0或q2＋10q＋1＝0，解得q＝3±2eq \r(2)或q＝－5±2eq \r(6)． 6．已知一个等比数列的前4项之积为eq \f(1,16)，第2项与第3项的和为eq \r(2)，则这个等比数列的公比为__________________． 3±2eq \r(2)或－5±2eq \r(6) 证明　证法一：由已知，设eq \f(b,a)＝eq \f(c,b)＝eq \f(d,c)＝q(q为常数且q≠0)， ∵a＋b，b＋c，c＋d均不为零，∴eq \f(b＋c,a＋b)＝eq \f(c＋d,b＋c)＝q， 故a＋b，b＋c，c＋d成等比数列． 证法二：由已知，设b＝aq，c＝aq2，d＝aq3(q为常数且q≠0)， ∵a＋b，b＋c，c＋d均不为零，∴eq \f(b＋c,a＋b)＝eq \f(aq(1＋q),a(1＋q))＝q，eq \f(c＋d,b＋c)＝eq \f(aq2(1＋q),aq(1＋q))＝q， 故a＋b，b＋c，c＋d成等比数列． 8．已知数列{an}的首项a1＝eq \f(3,5)，an＋1＝eq \f(3an,2an＋1)，n∈N＋，求证eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))是等比数列并求出{an}的通项公式． 解　由题意知an>0，eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2an＋1,3an)＝eq \f(1,3an)＋eq \f(2,3)， eq \f(1,an＋1)－1＝eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))，eq \f(1,a1)－1＝eq \f(2,3)． 所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))是首项为eq \f(2,3)，公比为eq \f(1,3)的等比数列， 所以eq \f(1,an)－1＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(n－1)＝eq \f(2,3n)， 即an＝eq \f(3n,3n＋2)． 解析　设等比数列{an}的公比为q．由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，后式除以前式得q2＝16，∴q＝±4．∵a1a2＝aeq \o\al(2,1)q＝16＞0，∴q＞0，∴q＝4． 3．已知数列{an}是递增的等比数列，a6－a2＝40，a4＋a2＝10，则a1＝(　　) A．eq \f(\r(5),3) B．eq \f(\r(5),2) C．eq \f(5,3) D．eq \f(5,2) 解析　设等比数列{an}的公比为q．由条件知，a2(q4－1)＝40　①，且a2(q2＋1)＝10　②，①÷②得q2－1＝4，∴q＝eq \r(5)，把q＝eq \r(5)代入②得a2＝eq \f(5,3)，∴a1＝eq \f(a2,q)＝eq \f(5,3×\r(5))＝eq \f(\r(5),3)． A．1 B．2 C．3 D．eq \f(9,8) 解析　按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，填表如下： 1 2 3 4 0．5 1 1．5 2 0．25 0．5 0．75 1 0．125 0．25 0．375 0．5 0．0625 0．125 0．1875 0．25 故a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(3,8)，c＝eq \f(1,4)，则a＋b＋c＝eq \f(9,8)．故选D． 解析　等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝－3．对于A，3an＋an＋1＝3·(－3)n－1＋(－3)n＝[(－1)n－1＋(－1)n]·3n＝0，∴数列{3an＋an＋1}是由0构成的常数列，不是等比数列，故A错误；对于B，an＋1－an＝(－3)n－(－3)n－1＝eq \f(4,3)·(－3)n，是等比数列，故B错误；对于C，anan＋1＝(－3)n－1·(－3)n＝(－3)2n－1，是等比数列，故C正确；对于D，log3|an|＝log3|(－3)n－1|＝n－1，是等差数列，故D正确．故选CD． 解析　设该直角三角形的三边分别为a，aq，aq2(q＞1)，则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝eq \f(\r(5)＋1,2)．较小锐角记为θ，则sinθ＝eq \f(a,aq2)＝eq \f(\r(5)－1,2)． eq \f(\r(5)－1,2) 解析　设等比数列{an}的公比为q，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a3＝10，,a2＋a4＝5，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1(1＋q2)＝10，,a1q(1＋q2)＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝8，,q＝\f(1,2).))所以a1a2…an＝aeq \o\al(n,1)q1＋2＋…＋(n－1)＝8n×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(\f(n(n－1),2))＝2－eq \f(1,2)n2＋eq \f(7,2)n，于是当n＝3或4时，a1a2…an取得最大值26＝64． 解析　由a2－a1＝1，得a1(q－1)＝1，所以a1＝eq \f(1,q－1)．a3＝a1q2＝eq \f(q2,q－1)＝eq \f(1,－\f(1,q2)＋\f(1,q))(q＞0)，而－eq \f(1,q2)＋eq \f(1,q)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q)－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,4)　①，当q＝2时，①式有最大值eq \f(1,4)，所以当q＝2时，a3有最小值4，此时a1＝eq \f(1,q－1)＝eq \f(1,2－1)＝1．所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1． 解　(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15． 下面证明{an－n}是等比数列： 证明：因为a1－1＝－2≠0，所以an－n≠0， 所以eq \f(an＋1－(n＋1),an－n)＝eq \f(3an－2(n＋1)＋3－(n＋1),an－n) ＝eq \f(3an－3n,an－n)＝3(n＝1，2，3，…)． 又a1－1＝－2，所以{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)知an－n＝－2×3n－1，所以an＝n－2×3n－1． $$