5.2.2 等差数列的前n项和-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第五章　数列 5.2　等差数列 5.2.2　等差数列的前n项和 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 知识点一　等差数列前n项和的简单应用 1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＝35，则a4＝(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 4 2．把正整数以下列方法分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设Sn表示第n组中所有数的和，那么S21等于(　　) A．1113 B．4641 C．5082 D．5336 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 5 知识点二　“知三求二”问题 3．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5，则an＝______． 2－n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 6 4．已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝1，a2＝2，当整数n＞1时，Sn＋1＋ Sn－1＝2(Sn＋S1)恒成立，则S15＝_______． 211 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 7 5．已知等差数列{an}的第10项为－9，前11项和为－11，则数列{|an|}的前n 项和Tn＝_____________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 9 解析　因为S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝45．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 10 7．已知某等差数列共有10项，其奇数项和为15，偶数项和为30，则其公差为_____． 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 11 知识点四　等差数列前n项和的最值 8．[多选]已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a7<0，a5＋a10>0，则下列结论正确的是(　　) A．数列{an}为递减数列 B．a8<0 C．Sn的最小值为S7 D．S14>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 12 9．在等差数列{an}中，a1＞0，公差d＜0，a5＝3a7，前n项和为Sn，若Sn取得最大值，则n＝_______． 7或8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 14 11．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于(　　) A．12 B．16 C．9 D．16或9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 15 12．公差不为零的等差数列{an}满足a15＝a3a5，a1＝－2． (1)求{an}的通项公式； (2)记{an}的前n项和为Sn，求使Sn<an成立的最大正整数n． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 17 30分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 2．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是(　　) A．14斤 B．15斤 C．16斤 D．18斤 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 3．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是(　　) A．3 B．－3 C．－2 D．－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 5．[多选]设{an}(n∈N＋)是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论正确的是(　　) A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5 D．a6＋a10<0 解析　 S6＝S5＋a6>S5，则a6>0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6<0，S8＝S7＋a8<S7，则a8<0，a6＋a9＝a7＋a8＝a8<0，所以a6＋a7＋a8＋a9＝2a8<0，所以S5>S9．由a8<0，a6＋a10＝2a8，知a6＋a10<0．故选ABD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 －15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 25 8．设项数为奇数的等差数列，奇数项和为44，偶数项和为33，则这个数列的项数是______，中间项的值是______． 7 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 26 三、解答题 9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝24，S11＝0． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn； (3)当n为何值时，Sn最大？并求Sn的最大值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 28 10．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：养鸡场个数由第1年的30个减少到第6年的10个． 请您根据提供的信息，解决下列问题： (1)求第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是 缩小了？请说明理由； (3)哪一年的规模最大？请说明理由． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 29 解　由题干图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡的只数成等差数列， 设第n年平均每个养鸡场出产an万只鸡，{an}的公差为d1，且a1＝1，a6＝2； 从第1年到第6年养鸡场个数也成等差数列，设第n年养鸡场个数为bn，{bn}的公差为d2，且b1＝30，b6＝10． 设第n年全县出产鸡的总 只数为cn，则cn＝anbn． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 31 (3)∵an＝1＋(n－1)×0．2＝0．2n＋0．8(1≤n≤6)，bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1≤n≤6)， ∴cn＝anbn＝(0．2n＋0．8)(－4n＋34)＝－0．8n2＋3．6n＋27．2(1≤n ≤6)． ∵二次函数y＝－0．8x2＋3．6x＋27．2图象的对称轴为直线x＝2．25， 又n∈N＋， ∴当n＝2时，cn最大， ∴第2年的规模最大． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 32 　　　　　　　　　　　　　 R 解析　∵S7＝eq \f(a1＋a7,2)×7＝35，∴a1＋a7＝10，∴a4＝eq \f(a1＋a7,2)＝5． 解析　因为第n组有n个数，所以前20组一共有1＋2＋3＋…＋20＝210个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个数，S21＝21×211＋eq \f(21×20,2)×1＝4641．故选B． 解析　设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋eq \f(n(n－1),2)d．由已知可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝0，,5a1＋10d＝－5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝－1，))故{an}的通项公式为an＝2－n． 解析　∵数列{an}中，当整数n＞1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)恒成立，∴Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2(n＞1)，∴an＋1－an＝2(n＞1)．∴当n≥2时，{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，∴S15＝14a2＋eq \f(14×13,2)×2＋a1＝14×2＋eq \f(14×13,2)×2＋1＝211． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n(10－n)，1≤n≤5，,n2－10n＋50，n≥6)) 解析　设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋9d＝－9，,11a1＋\f(11×10,2)d＝－11，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝9，,d＝－2，))所以an＝9－2(n－1)＝11－2n．由an＞0，得n＜eq \f(11,2)，则从第6项开始数列各项均为负数，那么①当1≤n≤5时，数列{an}的各项均为正数，Tn＝eq \f(n(a1＋an),2)＝eq \f(n(9＋11－2n),2)＝n(10－n)；②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋a2＋…＋a5)＝－Sn＋2S5＝n2－10n＋2×(10×5－52)＝n2－10n＋50．所以Tn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n(10－n)，1≤n≤5，,n2－10n＋50，n≥6.)) 知识点三　等差数列前n项和的性质 6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝(　　) A．63 B．45 C．36 D．27 解析　由等差数列前n项和的性质，得S偶－S奇＝eq \f(10,2)×d(d为该数列的公差)，即30－15＝5d，解得d＝3． 解析　在数列{an}中，a7<0，且a7＋a8＝a5＋a10>0，所以a8>0，故B错误；公差d＝a8－a7>0，数列{an}为递增数列，故A错误；当1≤n≤7时，an<0，当n≥8时，an>0，Sn的最小值为S7，故C正确；S14＝eq \f(14(a1＋a14),2)＝7(a7＋a8)>0，故D正确．故选CD． 解析　在等差数列{an}中，a1＞0，公差d＜0，∵a5＝3a7，∴a1＋4d＝3(a1＋6d)，∴a1＝－7d，∴Sn＝n(－7d)＋eq \f(n(n－1),2)d＝eq \f(d,2)(n2－15n)＝eq \f(d,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(15,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(225,8)d，∴当n＝7或8时，Sn取得最大值． 知识点五　等差数列前n项和的综合应用 10．已知正项数列{an}，a1＝1，前n项和Sn满足Sn·eq \r(Sn－1)－Sn－1·eq \r(Sn)＝2eq \r(Sn·Sn－1)(n≥2)，则a10＝(　　) A．72 B．80 C．90 D．82 解析　由Sn·eq \r(Sn－1)－Sn－1·eq \r(Sn)＝2eq \r(Sn·Sn－1)(n≥2)，两边同时除以eq \r(Sn·Sn－1)，得eq \r(Sn)－eq \r(Sn－1)＝2．而S1＝a1＝1，∴eq \r(Sn)＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝4n2－4n＋1．再根据an＝Sn－Sn－1，得an＝8n－8(n≥2)，∴a10＝8×10－8＝72． 解析　an＝120＋5(n－1)＝5n＋115，由an<180，得n<13且n∈N＋．由n边形内角和定理，得(n－2)×180＝n×120＋eq \f(n(n－1),2)×5，解得n＝16或n＝9．因为n<13，所以n＝9． 解　 (1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)． 由a15＝a3a5， 即－2＋14d＝(－2＋2d)(－2＋4d)， 解得d＝3或d＝eq \f(1,4)， 故an＝3n－5或an＝eq \f(1,4)n－eq \f(9,4)． (2)当an＝3n－5时，Sn＝eq \f(n(3n－5－2),2)＝eq \f(3n2－7n,2)，Sn<an， 即eq \f(3n2－7n,2)<3n－5，解得1<n<eq \f(10,3)， 故使Sn<an成立的最大正整数n＝3； 当an＝eq \f(1,4)n－eq \f(9,4)时，Sn＝eq \f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)n－\f(9,4)－2)),2)＝eq \f(1,8)n2－eq \f(17,8)n，Sn<an， 即eq \f(1,8)n2－eq \f(17,8)n<eq \f(1,4)n－eq \f(9,4)，解得1<n<18， 故使Sn<an成立的最大正整数n＝17． 综上所述，当an＝3n－5时，使Sn<an成立的最大正整数n＝3；当an＝eq \f(1,4)n－eq \f(9,4)时，使Sn<an成立的最大正整数n＝17． 一、选择题 1．各项均不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若an＋1－aeq \o\al(2,n)＋an－1＝0(n≥2)，则S2n－1－4n＝(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 解析　∵{an}是等差数列，∴2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．又an＋1－aeq \o\al(2,n)＋an－1＝0(n≥2)，∴2an－aeq \o\al(2,n)＝0．∵an≠0，∴an＝2，∴S2n－1－4n＝(2n－1)×2－4n＝－2．故选A． 解析　由题意可知，等差数列{an}中，a1＝4，a5＝2，则数列{an}的前5项和S5＝eq \f((a1＋a5)×5,2)＝eq \f((4＋2)×5,2)＝15，所以金杖重15斤．故选B． 解析 设等差数列{an}的公差为d．由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1＋\f(n(n－1),2)×2d＝90，,na2＋\f(n(n－1),2)×2d＝72，))得nd＝－18．又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3． 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a9＝eq \f(1,2)a12＋6，a2＝4，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))的前10项和为(　　) A．eq \f(11,12) B．eq \f(10,11) C．eq \f(9,10) D．eq \f(8,9) 解析　设等差数列{an}的公差为d．∵a9＝eq \f(1,2)a12＋6，a2＝4，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋8d＝\f(1,2)(a1＋11d)＋6，,a1＋d＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2，))∴Sn＝2n＋eq \f(n(n－1),2)×2＝n2＋n，∴eq \f(1,Sn)＝eq \f(1,n(n＋1))＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，∴eq \f(1,S1)＋eq \f(1,S2)＋…＋eq \f(1,S10)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)－\f(1,11)))＝1－eq \f(1,11)＝eq \f(10,11)．故选B． 二、填空题 6．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(7n＋45,n－3)，则使得eq \f(an,bn)为整数的n的个数是______． 解析　由等差数列的性质，知eq \f(an,bn)＝eq \f(S2n－1,T2n－1)＝eq \f(7(2n－1)＋45,(2n－1)－3)＝eq \f(7n＋19,n－2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7＋\f(33,n－2)))∈Z，则n－2只能取－1，1，3，11，33这5个数，故满足题意的n有5个． 解析　由aeq \o\al(2,3)＋aeq \o\al(2,8)＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，∵an＜0，∴a3＋a8＝－3，∴S10＝eq \f(10(a1＋a10),2)＝eq \f(10(a3＋a8),2)＝eq \f(10×(－3),2)＝－15． 7．等差数列{an}的前n项和为Sn，若aeq \o\al(2,3)＋aeq \o\al(2,8)＋2a3a8＝9，且an＜0，则S10＝______． 解析　设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝eq \f((n＋1)(a1＋a2n＋1),2)＝(n＋1)an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝eq \f(n(a2＋a2n),2)＝nan＋1，所以eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n＋1,n)＝eq \f(44,33)，解得n＝3，所以项数为2n＋1＝7．S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项． 解　(1)∵a3＝24，S11＝0， ∴a1＋2d＝24，a1＋5d＝0， 解得a1＝40，d＝－8，∴an＝48－8n． (2)由(1)知，a1＝40，an＝48－8n， ∴Sn＝eq \f(n(40＋48－8n),2)＝－4n2＋44n． (3)由于Sn＝－4n2＋44n＝－4(n－5．5)2＋121， 故当n＝5或n＝6时，Sn最大，且Sn的最大值为120． (1)由a1＝1，a6＝2，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a1＋5d1＝2，)) ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d1＝0.2))⇒a2＝1．2； 由b1＝30，b6＝10，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝30，,b1＋5d2＝10，)) ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝30，,d2＝－4))⇒b2＝26． ∴c2＝a2b2＝1．2×26＝31．2． ∴第2年养鸡场的个数为26，全县出产鸡的总只数为31．2万． (2)c6＝a6b6＝2×10＝20<c1＝a1b1＝30， ∴到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了． $$