5.2.1 第2课时 等差数列的性质-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第五章　数列 5.2　等差数列 5.2.1　等差数列 第2课时 等差数列的性质 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 4 2．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是(　　) A．a＝－b B．a＝3b C．a＝－b或a＝3b D．a＝b＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 5 3．一个直角三角形的三边长a，b，c成等差数列，面积为12，则它的周长为______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 6 知识点二　等差数列的性质的应用 4．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0 (　　) A．无实根 B．有两个相等实根 C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根 解析　∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，∴3a5＝9，∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，Δ＝62－4×1×10<0，方程无实根．故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 8 6．已知数列{an}是公差为－2的等差数列，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(　　) A．－182 B．－78 C．－148 D．－82 解析　设等差数列{an}的公差为d．a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋2d×33＝50＋2×(－2)×33＝－82． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 9 知识点三　等差数列的综合应用 7．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的晷影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的晷影长的和是37．5尺，芒种的晷影长为4．5尺，则冬至的晷影长为(　　) A．15．5尺 B．12．5尺 C．10．5尺 D．9．5尺 解析　设题中等差数列为{an}，n＝1，2，…，12，公差为d，则a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝37．5，a1＋11d＝4．5，解得d＝－1，a1＝15．5．故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 14 30分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 16 2．在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，则a40＝(　　) A．40 B．70 C．80 D．90 解析　在等差数列中，间隔相等的项成等差数列，∵a10＝30，a20＝50，∴a30＝70，a40＝90．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 17 3．在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数为(　　) A．18 B．9 C．12 D．15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 二、填空题 6．若lg 2，lg (2x－1)，lg (2x＋3)成等差数列，则x＝_______． 解析　由题意得2lg (2x－1)＝lg 2＋lg (2x＋3)，所以(2x－1)2＝2(2x＋3)，即(2x－5)(2x＋1)＝0，所以2x＝5，即x＝log25． log25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 7．若{an}为等差数列，且a1＋a5＋a9＝π，则cos(a2＋a8)的值为______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 8．中国古代数学有着很多令人惊叹的成就．北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术．隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，每一层长有a个，宽有b个，共计ab个木桶，每一层长宽各比上一层多一个，共堆放n层．假设最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层，则最底层木桶的个数为______． 解析　最上层2个，从上往下第2层：(1＋1)×(2＋1)＝2×3(个)；第3层：(2＋1)×(3＋1)＝3×4(个)；…；第15层：15×16＝240(个)． 240 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 三、解答题 9．某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．求d的取值范围． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 28 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　等差中项及应用 1．已知a＝eq \f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq \f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为(　　) A．eq \r(3) B．eq \r(2) C．eq \f(1,\r(3)) D．eq \f(1,\r(2)) 解析　设a，b的等差中项为x，由等差中项的定义知，2x＝a＋b＝eq \f(1,\r(3)＋\r(2))＋eq \f(1,\r(3)－\r(2))＝(eq \r(3)－eq \r(2))＋(eq \r(3)＋eq \r(2))＝2eq \r(3)，所以x＝eq \r(3)．故选A． 解析　由等差中项的定义知，x＝eq \f(a＋b,2)，x2＝eq \f(a2－b2,2)，所以eq \f(a2－b2,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)，即a2－2ab－3b2＝0，故a＝－b或a＝3b． 解析　由条件知b一定不是斜边，设c为斜边，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,\f(1,2)ab＝12，,a2＋b2＝c2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3\r(2)，,b＝4\r(2)，,c＝5\r(2)，))所以a＋b＋c＝12eq \r(2)． 12eq \r(2) 5．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－eq \f(1,2)a8的值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析　∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，∴a7－eq \f(1,2)a8＝eq \f(1,2)(2a7－a8)＝eq \f(1,2)(a6＋a8－a8)＝eq \f(1,2)a6＝8． 解析　∵方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0的一次项系数相同，由根与系数的关系及等差数列的性质，令x1，x4为方程x2－2x＋m＝0的两根，x2，x3为方程x2－2x＋n＝0的两根．令x1＝eq \f(1,4)，则x4＝2－eq \f(1,4)＝eq \f(7,4)，从而x2＝eq \f(3,4)，x3＝eq \f(5,4)．∴m＝x1x4＝eq \f(7,16)，n＝x2x3＝eq \f(15,16)，∴|m－n|＝eq \f(1,2)． 8．设方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为eq \f(1,4)的等差数列，则|m－n|＝(　　) A．1 B．eq \f(3,4) C．eq \f(1,2) D．eq \f(3,8) 解析　依题意得eq \f(an,n)－eq \f(an＋1,n＋1)＋1＝0，即eq \f(an＋1,n＋1)－eq \f(an,n)＝1，∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是公差d＝1的等差数列．又eq \f(a1,1)＝1，∴eq \f(an,n)＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝n2． 9．已知数列{an}满足a1＝1，若点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)，\f(an＋1,n＋1)))在直线x－y＋1＝0上，则an＝_____． 10．若数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，则称数列{an}为调和数列．若实数a，b，c依次成调和数列，则称b是a和c的调和中项． (1)求eq \f(1,3)和1的调和中项； (2)已知调和数列{an}，a1＝6，a4＝2，求{an}的通项公式． 解　(1)设eq \f(1,3)和1的调和中项为b，依题意，得3，eq \f(1,b)，1依次成等差数列，所以eq \f(1,b)＝eq \f(3＋1,2)＝2，即b＝eq \f(1,2)． (2)依题意，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，设其公差为d， 则3d＝eq \f(1,2)－eq \f(1,6)，解得d＝eq \f(1,9)， 所以eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)＋(n－1)d＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,9)(n－1)＝eq \f(2n＋1,18)， 故an＝eq \f(18,2n＋1)． 一、选择题 1．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－eq \f(1,3)a11的值为(　　) A．14 B．15 C．16 D．17 解析　设等差数列{an}的公差为d．由题意知5a8＝120，∴a8＝24，∴a9－eq \f(1,3)a11＝(a8＋d)－eq \f(1,3)(a8＋3d)＝eq \f(2,3)a8＝16． 解析　设这7个数分别为a1，a2，…，a7，易知a4是3与27的等差中项，∴a4＝eq \f(3＋27,2)＝15． 4．在等差数列{an}中，a3，a9是方程2x2－x－7＝0的两根，则a6＝(　　) A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4) C．－eq \f(7,2) D．－eq \f(7,4) 解析　由根与系数的关系及等差数列的性质，知a3＋a9＝eq \f(1,2)＝2a6，即a6＝eq \f(1,4)．故选B． 5．[多选]已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2．若akak＋1＜0，则下列说法正确的是(　　) A．数列{an}的通项公式为an＝eq \f(2,3)n＋eq \f(47,3) B．数列{an}是递增数列 C．k＝23 D．ak－2＋ak＋2＝eq \f(2,3) 解析　由3an＋1＝3an－2，得an＋1－an＝－eq \f(2,3)，所以数列{an}是首项a1＝15，公差d＝－eq \f(2,3)的等差数列，所以an＝15－eq \f(2,3)(n－1)＝－eq \f(2,3)n＋eq \f(47,3)，故A，B错误；由akak＋1＜0得ak＞0，ak＋1＜0，令an＝－eq \f(2,3)n＋eq \f(47,3)＝0，得n＝eq \f(47,2)，所以a23＞0，a24＜0，所以k＝23，故C正确；ak－2＋ak＋2＝2ak＝2a23＝eq \f(2,3)，故D正确．故选CD． 解析　∵{an}为等差数列，∴a1＋a9＝2a5＝a2＋a8．代入a1＋a5＋a9＝π，得eq \f(3,2)(a2＋a8)＝π，∴a2＋a8＝eq \f(2π,3)，从而cos(a2＋a8)＝－eq \f(1,2)． －eq \f(1,2) 解　设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}． 由已知条件，得an＝an－1－d(n≥2)． 由于d是与n无关的常数， 所以数列{an}是公差为－d的等差数列． 因为购进设备的价值为220万元，所以a1＝220－d， 于是an＝a1＋(n－1)(－d)＝220－nd． 根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a10 ≥11，,a11<11，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(220－10d≥11，,220－11d<11，)) 解这个不等式组，得19<d≤20．9． 所以d的取值范围为(19，20．9]． 10．已知等差数列{an}，设bn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(an)，已知b1＋b2＋b3＝eq \f(21,8)，b1b2b3＝eq \f(1,8)，求数列{an}的通项公式． 解　∵b1＋b2＋b3＝eq \f(21,8)，bn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(an)． ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(a1)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(a2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(a3)＝eq \f(21,8)， ∵b1b2b3＝eq \f(1,8)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(a1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(a2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(a3)＝eq \f(1,8)， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(a1＋a2＋a3)＝eq \f(1,8)，∴a1＋a2＋a3＝3． 又a1，a2，a3成等差数列， 可设a1＝a2－d，a3＝a2＋d，于是a2＝1． 由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(1－d)＋eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(1＋d)＝eq \f(21,8)，得eq \f(\f(1,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(d))＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(d)＝eq \f(17,8)， ∴eq \f(1,2)×2d＋eq \f(1,2)×2－d＝eq \f(17,8)， ∴2d＋2－d＝eq \f(17,4)，解得d＝2或d＝－2． 当d＝2时，a1＝1－d＝－1，∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3； 当d＝－2时，a1＝1－d＝3，∴an＝3－2(n－1)＝－2n＋5． ∴当a1＝－1，d＝2时，an＝2n－3； 当a1＝3，d＝－2时，an＝－2n＋5． $$