5.2.1 第1课时 等差数列的定义-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第五章　数列 5.2　等差数列 5.2.1　等差数列 第1课时 等差数列的定义 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 解析　利用等差数列的定义去判断．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 5 3．[多选]若数列{an}的通项公式为an＝－n＋5，则此数列是(　　) A．公差为－1的等差数列 B．公差为n的等差数列 C．首项为4的等差数列 D．首项为5的等差数列 解析　∵an＝－n＋5，∴a1＝－1＋5＝4，an＋1－an＝[－(n＋1)＋5]－(－n＋5)＝－1，∴数列{an}是首项为4，公差为－1的等差数列． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 6 4．若数列{an}是公差为1的等差数列，则数列{a2n－1＋2a2n}是(　　) A．公差为3的等差数列 B．公差为4的等差数列 C．公差为6的等差数列 D．公差为9的等差数列 解析　因为数列{an}是公差为1的等差数列，所以a2n＋1＋2a2n＋2－(a2n－1＋2a2n)＝(a2n＋1－a2n－1)＋2(a2n＋2－a2n)＝2＋2×2＝6，所以数列{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 8 6．已知正项数列{an}的首项为1，{a}是公差为3的等差数列，则使得an>6成立的n的最小值为(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 9 7．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1＝______． 解析　设等差数列{an}的公差为d．∵a6＝a4＋6，∴2d＝a6－a4＝6，∴d＝3，∴a1＝a2－d＝－5－3＝－8． －8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 10 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 11 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 12 10．已知(1，1)，(3，5)是等差数列{an}图象上的两点． (1)求这个数列的通项公式； (2)画出这个数列的图象； (3)判断这个数列的单调性． 解　(1)设等差数列{an}的公差为d． 由于(1，1)，(3，5)是等差数列{an}图象上的两点，所以a1＝1，a3＝5． 由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝5，解得d＝2，于是an＝2n－1． (2)图象是直线y＝2x－1上一些离散的点，如图所示． (3)因为一次函数y＝2x－1是增函数，所以数列{an}是递增数列． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 13 知识点四　等差数列的判定与证明 11．已知数列{an}满足2an＋(n－1)an－1＝nan＋a1(n∈N＋，且n≥2)，证明：数列{an}为等差数列． 证明　由2an＋(n－1)an－1＝nan＋a1(n≥2)，将n替换为n＋1得2an＋1＋nan＝(n＋1)an＋1＋a1． 两式相减并整理得(n－1)an＋1＝(2n－2)an－(n－1)an－1(n≥2)． 由n≥2得an＋1－an＝an－an－1． 由等差数列的定义知，数列{an}为等差数列． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 15 30分钟综合练 一、选择题 1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 解析　因为数列{an}为等差数列，所以公差为an－an－1＝3－2n－(3－2n＋2)＝－2．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 18 3．等差数列{an}的公差d<0，且a2a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是(　　) A．an＝2n－2 B．an＝2n＋4 C．an＝－2n＋12 D．an＝－2n＋10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 5．[多选]已知数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N＋)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差d可能是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 an＝3n＋5 解析　由已知，得等差数列{an}的公差为3，又a5＝a1＋4×3＝20，得a1＝8，所以an＝8＋3(n－1)，即an＝3n＋5． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 8．等差数列{an}中，首项为33，若第12项为0，则数列的通项公式为___________；若公差为整数，前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为___________． an＝36－3n an＝38－5n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 27 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　等差数列的定义 1．下列数列不是等差数列的是(　　) A．6，6，6，…，6，… B．－2，－1，0，…，n－3，… C．5，8，11，…，3n＋2，… D．0，1，3，…，eq \f(n2－n,2)，… 2．下列数列是等差数列的是(　　) A．eq \f(1,3)，eq \f(1,5)，eq \f(1,7)，eq \f(1,9) B．1，eq \r(3)，eq \r(5)，eq \r(7) C．1，－1，1，－1 D．0，0，0，0 解析　∵eq \f(1,5)－eq \f(1,3)≠eq \f(1,7)－eq \f(1,5)，故排除A；∵eq \r(3)－1≠eq \r(5)－eq \r(3)，故排除B；∵－1－1≠1－(－1)，故排除C．故选D． 知识点二　等差数列的通项公式及其应用 5．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝1－eq \f(n,2) B．an＝eq \f(3,2)－eq \f(n,2) C．an＝eq \f(3,2)＋eq \f(n,2) D．an＝1＋eq \f(n,2) 解析　设等差数列{an}的公差为d．根据题意，得a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1，∴a1＝1．又a3＝a1＋2d＝0，∴d＝－eq \f(1,2)，∴an＝a1＋(n－1)d＝eq \f(3,2)－eq \f(n,2)． 解析　依题意得aeq \o\al(2,n)＝1＋3(n－1)＝3n－2，故an＝eq \r(3n－2)，令eq \r(3n－2)>6，得3n－2>36，解得n>eq \f(38,3)．因为n∈N＋，所以使得an>6成立的n的最小值为13． 解析　设等差数列{an}的公差为d．∵a1＝eq \f(1,3)，a2＋a5＝2a1＋5d＝eq \f(2,3)＋5d＝4，∴d＝eq \f(2,3)．又an＝a1＋(n－1)d＝eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)(n－1)＝33，∴n＝50． 8．在等差数列{an}中，已知a1＝eq \f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，则n＝______． 知识点三　等差数列与函数的关系 9．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝3，若bn＝eq \f(3,an)(n∈N＋)，则数列{bn}的最大值是______． 解析　设等差数列{an}的公差为d．因为a2＝－5，a6＝3，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝a1＋d＝－5，,a6＝a1＋5d＝3，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－7，,d＝2，))所以an＝2n－9，bn＝eq \f(3,2n－9)．因为函数f(x)＝eq \f(3,2x－9)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2)))上单调递减，且f(x)<0，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，＋∞))上单调递减，且f(x)>0，所以数列{bn}的最大项是b5，且b5＝eq \f(3,2×5－9)＝3，所以数列{bn}的最大值是3． 证明　设等差数列{an}的公差为d． ①当d＝0时，a1＝a2＝…＝an＝an＋1，左边＝eq \f(n,2\r(a1))＝右边； ②当d≠0时， 左边＝eq \f(\r(a2)－\r(a1),a2－a1)＋eq \f(\r(a3)－\r(a2),a3－a2)＋…＋eq \f(\r(an＋1)－\r(an),an＋1－an)＝eq \f(\r(a2)－\r(a1),d)＋eq \f(\r(a3)－\r(a2),d)＋…＋eq \f(\r(an＋1)－\r(an),d)＝eq \f(\r(an＋1)－\r(a1),d)＝eq \f(an＋1－a1,d(\r(an＋1)＋\r(a1)))＝eq \f(nd,d(\r(an＋1)＋\r(a1)))＝eq \f(n,\r(a1)＋\r(an＋1))＝右边． 综合①②知，结论成立． 12．已知{an}是等差数列且an>0，求证：eq \f(1,\r(a1)＋\r(a2))＋eq \f(1,\r(a2)＋\r(a3))＋…＋eq \f(1,\r(an)＋\r(an＋1))＝eq \f(n,\r(a1)＋\r(an＋1))． 2．设{an}是等差数列，下列结论中正确的是(　　) A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0 B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0 C．若0＜a1＜a2，则a2＞eq \r(a1a3) D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0 解析　若a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，则a1＋a2＞0，a2＋a3＜0，故A错误；同样地，当a1＝2，a2＝－1，a3＝－4时，易知B错误；设数列{an}的公差为d，则d＞0，故an＞0，由于aeq \o\al(2,2)－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝aeq \o\al(2,1)＋2a1d＋d2－aeq \o\al(2,1)－2a1d＝d2＞0，故aeq \o\al(2,2)＞a1a3，即a2＞eq \r(a1a3)，故C正确；若a1＝－1，a2＝0，a3＝1，则a2－a1＝1＞0，a2－a3＝－1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＜0，故D错误． 解析 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2a4＝12，,a2＋a4＝8，,d＜0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝6，,a4＝2))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝8，,d＝－2，))所以an＝8＋(n－1)×(－2)，即an＝ －2n＋10． 4．等差数列{an}的首项为a，公差为1，数列{bn}满足bn＝eq \f(an,an＋1)．若对任意n∈N＋，bn≤b6，则实数a的取值范围是(　　) A．(－8，－6) B．(－7，－6) C．(－6，－5) D．(6，7) 解析　∵{an}是首项为a，公差为1的等差数列，∴an＝n＋a－1，∴bn＝eq \f(an,an＋1)＝1－eq \f(1,n＋a)．又对任意的n∈N＋，都有bn≤b6成立，可知eq \f(1,6＋a)≤eq \f(1,n＋a)，则必有6＋a＜0且7＋a＞0，∴－7＜a＜－6．故选B． 解析　由题设可知an＝1＋(n－1)d，81是该数列中的一项，即81＝1＋(n－1)d，所以n＝eq \f(80,d)＋1，因为d，n∈N＋，所以d是80的因数．结合选项，选ACD． 解析　∵n－m＝3d1，∴d1＝eq \f(1,3)(n－m)．又n－m＝4d2，∴d2＝eq \f(1,4)(n－m)，∴eq \f(d1,d2)＝eq \f(\f(1,3)(n－m),\f(1,4)(n－m))＝eq \f(4,3)． 二、填空题 6．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差为d1和d2，则eq \f(d1,d2)的值为______． eq \f(4,3) 7．已知等差数列{an}图象上的点都在直线y＝3x＋5上，且a5＝20，则{an}的通项公式为___________． 解析　设等差数列{an}的公差为d．由于a1＝33，a12＝0，则33＋11d＝0，得d＝－3，这时an＝33＋(n－1)×(－3)＝36－3n．若公差为整数，且前7项均为正数，第7项以后均为负数，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a7＝a1＋6d>0，,a8＝a1＋7d<0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(33＋6d>0，,33＋7d<0，))解得－eq \f(11,2)<d<－eq \f(33,7)，又d∈Z，∴d＝－5，∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n． 三、解答题 9．已知f(x)＝eq \f(2x,x＋2)，在数列{xn}中，x1＝eq \f(1,3)，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N＋)，试说明数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差数列，并求x95的值． 解　因为当n≥2时，xn＝f(xn－1)， 所以xn＝eq \f(2xn－1,xn－1＋2)(n≥2)， 即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)， 得eq \f(2xn－1－2xn,xnxn－1)＝1(n≥2)，即eq \f(1,xn)－eq \f(1,xn－1)＝eq \f(1,2)(n≥2)． 又eq \f(1,x1)＝3， 所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是以3为首项，eq \f(1,2)为公差的等差数列，所以eq \f(1,xn)＝3＋(n－1)×eq \f(1,2)＝eq \f(n＋5,2)， 所以xn＝eq \f(2,n＋5)，所以x95＝eq \f(2,95＋5)＝eq \f(1,50)． 10．是否存在数列{an}(an≠0)同时满足下列条件： ①{an}是等差数列且公差不为0； ②数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))也是等差数列． 解　设符合条件的数列{an}存在，其首项为a1，公差d≠0，则有an＝a1＋(n－1)d． 因为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))也是等差数列，所以eq \f(1,a1＋d)－eq \f(1,a1)＝eq \f(1,a1＋2d)－eq \f(1,a1＋d)， 即eq \f(－d,(a1＋d)a1)＝eq \f(－d,(a1＋2d)(a1＋d))， 所以eq \f(1,a1)＝eq \f(1,a1＋2d)，所以a1＋2d＝a1， 所以d＝0，与题设矛盾，所以不存在符合条件的数列{an}． $$