第7章 随机变量及其分布 单元质量测评-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评word（人教A版2019）

第七章　单元质量测评 时间：120分钟　 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球、5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回4个球”的事件为(　　) A．X＝4 B．X＝5 C．X＝6 D．X≤4 答案　B 解析　根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球，故X＝5．故选B． 2．已知随机变量X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，它们的分布密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是(　　) A．μ1<μ2，σ<σ B．μ1<μ2，σ>σ C．μ1>μ2，σ<σ D．μ1>μ2，σ>σ 答案　B 解析　由图可得随机变量X的均值比随机变量Y的均值小，则μ1<μ2．又由图得，随机变量X的分布比随机变量Y的分布更加分散，则σ>σ．故选B． 3．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝a·(k＝1，2，3)，则a＝(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由分布列的性质知，a＝1，得a＝． 4．某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次(各次测试互不影响)，则其中恰有1次通过的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　恰有1次通过的概率P＝C××＝．故选C． 5．随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 P x y 若E(X)＝，则D(X)＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　由题意可得解得所以D(X)＝×＋×＋×＝．故选D． 6．甲、乙两位游客慕名来到东莞旅游，准备分别从东城黄旗山、虎门威远炮台、道滘粤晖园和长安莲花山4个景点中随机选择其中一个．记事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好一人选择虎门威远炮台．则条件概率P(B|A)＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　由题意，得P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝． 7．某班有48名学生，一次数学考试的成绩近似地服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数约为(　　) 附：若随机变量X～N(μ，σ2)(σ＞0)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0．6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0．9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0．9973． A．32 B．16 C．8 D．24 答案　B 解析　由题意可得数学成绩X服从正态分布N(80，102)，所以90＝μ＋σ，所以P(80≤X≤90)＝P(μ≤X≤μ＋σ)＝≈＝0．34135，因此理论上说在80分到90分的人数约为48×0．34135≈16．故选B． 8．某厂生产螺口灯泡和卡口灯泡两种灯泡，其中螺口灯泡的产量占70%，螺口灯泡的合格率是95%，卡口灯泡的合格率是85%．现随机取一只灯泡，发现是合格的，这只灯泡是螺口灯泡的概率约为(　　) A．0．665 B．0．723 C．0．7 D．0．737 答案　B 解析　设A1表示取到螺口灯泡，A2表示取到卡口灯泡，B表示取到合格品，则P(A1)＝0．7，P(A2)＝0．3，P(B|A1)＝0．95，P(B|A2)＝0．85，∴一只合格的灯泡是螺口灯泡的概率为P(A1|B)＝＝＝＝≈0．723． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中有3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取3名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则下列结论正确的是(　　) A．P(X＝1)＝ B．P(X≤2)＝ C．E(X)＝ D．D(X)＝ 答案　ACD 解析　由题意得，X的所有可能取值为1，2，3．P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，E(X)＝1×＋2×＋3×＝，D(X)＝12×＋22×＋32×－＝．故选ACD． 10．深州蜜桃是河北省特产，已有近两千年的栽培史，其主要特点是个头大，每个重约250克，果型秀美，色泽淡黄中又衬有鲜红色，皮薄肉细，汁既多又甜，古时就有“北国之桃，深州最佳”之说．假设某种植园成熟的深州蜜桃单果质量M(单位：g)服从正态分布N(250，σ2)，且P(M<245)＝0．35，P(M>252)＝0．4，则下列说法正确的是(　　) A．若从种植园成熟的深州蜜桃中任选1个，则这个蜜桃的质量小于248 g的概率为0．45 B．若从种植园成熟的深州蜜桃中任选1个，则这个蜜桃的质量在248～255 g的概率为0．25 C．若从种植园成熟的深州蜜桃中任选2个，则这2个蜜桃的质量都小于248 g的概率为0．16 D．若从种植园成熟的深州蜜桃中任选2个，则这2个中至少有1个蜜桃的质量在248～255 g的概率为0．8775 答案　BC 解析　因为M～N(250，σ2)，所以P(M<248)＝P(M>252)＝0．4，所以A错误；因为P(M<245)＝0．35，P(M>252)＝0．4，所以P(248<M<255)＝0．5－0．35＋0．5－0．4＝0．25，所以B正确；因为P(M<248)＝0．4，所以若从种植园成熟的深州蜜桃中任选2个，则这2个蜜桃的质量都小于248 g的概率为0．42＝0．16，所以C正确；因为P(248<M<255)＝0．25，所以若从种植园成熟的深州蜜桃中任选2个，则这2个中至少有1个蜜桃的质量在248～255 g的概率为1－(1－0．25)2＝1－0．5625＝0．4375，所以D错误． 11．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有6个红球、4个白球，下列说法正确的是(　　) A．从甲箱中不放回地取球，在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率为 B．从甲箱中不放回地每次任取一个球，直至取到白球后停止取球，则抽取两次后停止取球的概率为 C．从乙箱中有放回地抽取4次，则3次抽到红球的概率为 D．从乙箱中不放回地抽取3个球，则抽到2个红球的概率为 答案　AC 解析　对于A，设“从甲箱中不放回地取球，第一次取到红球”为事件A，“第二次取到红球”为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝，故A正确；对于B，所求概率P＝＝，故B错误；对于C，抽到红球的次数X～B，3次抽到红球的概率为P(X＝3)＝C××＝，故C正确；对于D，抽到红球的个数Y服从超几何分布，P(Y＝2)＝＝，故D错误．故选AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为，向右移动的概率为，则质点P移动5次后位于点(1，0)的概率是________． 答案　 解析　由题意得，位于坐标原点的质点P移动5次后位于点(1，0)，则在移动过程中质点向右移动了3次，向左移动了2次，则所求概率为C××＝． 13．现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为X，则P(X＝2)＝________，E(X)＝________． 答案　　 解析　从写有数字1，2，2，3，4，5，6的7张卡片中随机抽取3张，共有C种取法，其中所抽取的卡片上数字的最小值为2的取法有C＋CC种，所以P(X＝2)＝＝，由已知可得X的取值有1，2，3，4，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝． 14．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子、1．5%的三等种子、1%的四等种子．用一、二、三、四等种子结出的穗含有50颗以上麦粒的概率分别为0．5，0．15，0．1，0．05，从这批种子中任选一粒所结的穗含有50颗以上麦粒的概率为________． 答案　0．4825 解析　用事件B表示“从这批种子任选一粒所结的穗含有50颗以上麦粒”．从这批种子中任取一粒为一、二、三、四等种子的事件分别记为A1，A2，A3，A4，则P(A1)＝95．5%，P(A2)＝2%，P(A3)＝1．5%，P(A4)＝1%，P(B|A1)＝0．5，P(B|A2)＝0．15，P(B|A3)＝0．1，P(B|A4)＝0．05，所以P(B)＝P(B|Ai)P(Ai)＝0．5×95．5%＋0．15×2%＋0．1×1．5%＋0．05×1%＝0．4825． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为．每人各投4个球，两人投篮是否命中互不影响． (1)求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率； (2)若规定每投篮一次命中得3分，未命中得－1分，求乙所得分数X的分布列和数学期望． 解　(1)设“甲至多命中1个球”为事件A，“乙至少命中1个球”为事件B．由题意得， P(A)＝＋C××＝， P(B)＝1－＝1－＝． 故甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝． (2)乙所得分数X的所有可能取值为－4，0，4，8，12， 则P(X＝－4)＝＝， P(X＝0)＝C××＝， P(X＝4)＝C××＝， P(X＝8)＝C××＝， P(X＝12)＝＝． 故X的分布列为 X －4 0 4 8 12 P 数学期望E(X)＝－4×＋0×＋4×＋8×＋12×＝． 16．(本小题满分15分)气象部门提供了某地区六月份(30天)的日最高气温的统计表如下： 日最高气温t/℃ t≤22 22<t≤28 28<t≤32 t>32 天数 6 12 Y Z 由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32 ℃的频率为0．9． 某水果商根据多年的销售经验，得到六月份的日最高气温t(单位：℃)对西瓜的销售影响如下表： 日最高气温t/℃ t≤22 22<t≤28 28<t≤32 t>32 日销售额X/(千元) 2 5 6 8 (1)求Y，Z的值； (2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额X的期望和方差； (3)在日最高气温不高于32 ℃时，求日销售额不低于5千元的概率． 解　(1)由已知，得P(t≤32)＝0．9， ∴P(t>32)＝1－P(t≤32)＝0．1， ∴Z＝30×0．1＝3，Y＝30－(6＋12＋3)＝9． (2)P(t≤22)＝＝0．2， P(22<t≤28)＝＝0．4， P(28<t≤32)＝＝0．3， P(t>32)＝0．1． ∴六月份西瓜日销售额X的分布列为 X 2 5 6 8 P 0．2 0．4 0．3 0．1 ∴E(X)＝2×0．2＋5×0．4＋6×0．3＋8×0．1＝5， D(X)＝(2－5)2×0．2＋(5－5)2×0．4＋(6－5)2×0．3＋(8－5)2×0．1＝3． (3)∵P(t≤32)＝0．9， P(22<t≤32)＝0．4＋0．3＝0．7． ∴由条件概率，得P(X≥5|t≤32)＝P(t>22|t≤32)＝＝＝． 17．(本小题满分15分)为丰富师生的课余文化生活，倡导“每天健身一小时，健康生活一辈子”，深入开展健身运动，增强学生的身体素质和团队的凝聚力，某中学将举行趣味运动会．某班共有8名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学4名，女同学4名．按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这8名报名的同学中随机选出4名． (1)求选出的4名同学中有男生的概率； (2)记选出的4名同学中女同学的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 解　(1)设“选出的4名同学中有男生”为事件A，则P(A)＝1－＝． (2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2． 18．(本小题满分17分)全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入X(单位：万元)进行调查，并绘制得到如图所示的频率分布直方图． (1)求这2000户农户家庭年收入的样本平均数和样本方差s2(同一组的数据用该组区间的中点值代表)； (2)由直方图可认为农户家庭年收入X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2． ①估计这2000户农户家庭年收入超过9．06万元的户数？(结果保留整数) ②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，记年收入不超过9．06万元的农户家庭数为ξ，求P(ξ≤3)．(结果精确到0．001) 附：(ⅰ)≈1．46；(ⅱ)若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0．6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0．9545；(ⅲ)0．841354≈0．501． 解　(1)＝5×0．1＋6×0．15＋7×0．2＋8×0．25＋9×0．2＋10×0．1＝7．6， s2＝(5－7．6)2×0．1＋(6－7．6)2×0．15＋(7－7．6)2×0．2＋(8－7．6)2×0．25＋(9－7．6)2×0．2＋(10－7．6)2×0．1＝2．14． (2)①由题意知，X服从正态分布N(7．6，1．462)， 而P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝P(6．14≤X≤9．06)≈0．6827， 所以P(X>9．06)≈＝0．15865． 所以2000户农户家庭年收入超过9．06万元的户数估计为0．15865×2000＝317．3≈317． ②全市农户家庭年收入不超过9．06万元的概率为1－0．15865＝0．84135， 则ξ～B(4，0．84135)， 所以P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－0．841354≈1－0．501＝0．499． 19．(本小题满分17分)已知一个口袋中有m个白球，n个黑球(m，n∈N*，n≥2)，这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m＋n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k＝1，2，3，…，m＋n)． 1 2 3 … m＋n (1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p； (2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明：E(X)<． 解　(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p＝＝． (2)证明：随机变量X的分布列为 X … … P … … 数学期望为E(X)＝ · ＝ ·． 所以E(X)< ＝ ＝(1＋C＋C＋…＋C) ＝(C＋C＋C＋…＋C) ＝(C＋C＋…＋C) ＝…＝(C＋C) ＝＝， 即E(X)<． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$