第6章 计数原理 单元质量测评-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评word（人教A版2019）

第六章　单元质量测评 时间：120分钟　 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(C＋C)÷A的值为(　　) A．6 B．101 C． D． 答案　C 解析　(C＋C)÷A＝(C＋C)÷A＝C÷A＝＝．故选C． 2．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6，7}，C＝{8，9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则组成集合的总个数为(　　) A．24 B．36 C．26 D．27 答案　C 解析　从三个集合中取出两个集合，取法分别是集合A，B，集合A，C，集合B，C．当取出集合A，B时，从这两个集合中各取一个元素组成集合，有C×C＝12个；当取出集合A，C时，从这两个集合中各取一个元素组成集合，有C×C＝8个；当取出集合B，C时，从这两个集合中各取一个元素组成集合，有C×C＝6个．一共可以组成12＋8＋6＝26个集合． 3．若实数a＝2－，则a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210＝(　　) A．32 B．－32 C．1024 D．512 答案　A 解析　由二项式定理，得a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210＝Ca10(－2)0＋Ca9(－2)1＋Ca8(－2)2＋…＋C(－2)10＝(a－2)10＝(－)10＝25＝32． 4．已知在的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的有理项共有(　　) A．5项 B．4项 C．3项 D．2项 答案　C 解析　Tk＋1＝Cx＝Cx，由第6项为常数项，得当k＝5时，＝0，得n＝10．令∈Z，又0≤k≤10，k∈N，所以k可取2，5，8．故第3项，第6项与第9项为有理项，有理项共有3项．故选C． 5．某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两个区域种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花．现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有(　　) A．400种 B．396种 C．380种 D．324种 答案　B 解析　圆环的3个区域种植绿色植物，共有A＝6种种法．如图，中间的6个扇形区域种植鲜花可分为三类：第一类，A，C，E均种相同植物，有3×2×2×2＝24种种法；第二类，A，C，E种2种不同植物，有C×A×2×1×1＝36种种法；第三类，A，C，E种的植物各不相同，有A×1×1×1＝6种种法．故由分步乘法计数原理和分类加法计数原理，得不同的栽种方案共有6×(24＋36＋6)＝396种．故选B． 6．在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)11的展开式中，x2的系数是(　　) A．55 B．66 C．165 D．220 答案　D 解析　展开式中x2项的系数是C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C，所以x2的系数是C＝220．故选D． 7．已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)与圆x2＋y2＝50有交点，且交点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有(　　) A．66条 B．72条 C．74条 D．78条 答案　B 解析　先考虑x≥0，y≥0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有(1，7)，(5，5)，(7，1)，依圆的对称性知，圆上共有3×4＝12个点的横、纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C＝66条，过每一点的切线共有12条，又考虑到直线ax＋by－1＝0不经过原点，而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有66＋12－6＝72条． 8．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3都不与5相邻的六位偶数的个数是(　　) A．72 B．96 C．108 D．144 答案　C 解析　从2，4，6三个偶数中选一个数放在个位，有C种方法，将其余两个偶数全排列，有A种排法，当1，3不相邻且不与5相邻时有A种方法，当1，3相邻且不与5相邻时有AA种方法，故满足题意的偶数有CA(A＋AA)＝108个． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳一格或两格，那么下列说法正确的是(　　) A．进入第2个格子的走法有2种 B．进入第2个格子的走法有1种 C．进入第3个格子的走法有2种 D．进入第8个格子的走法有21种 答案　BCD 解析　设跳到第n个格子的方法数为an，到达第n个格子的方法分两类：第一类，从第n－1个格子向前跳一格到达第n个格子，方法数是an－1；第二类，从第n－2个格子向前跳两格到达第n个格子，方法数是an－2，则an＝an－1＋an－2，结合条件及数列的递推关系，可得数列的前8项分别是1，1，2，3，5，8，13，21，故A错误，B，C，D正确．故选BCD． 10．若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值可以是(　　) A．－5 B．－3 C．1 D．5 答案　BC 解析　在(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9中，令x＝－2，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝m9，即(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)＝m9．令x＝0，可得(a0＋a2＋…＋a8)＋(a1＋a3＋…＋a9)＝(2＋m)9．∵(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，∴[(a0＋a2＋…＋a8)＋(a1＋a3＋…＋a9)][(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)]＝39，∴(2＋m)9m9＝(2m＋m2)9＝39，可得2m＋m2＝3，解得m＝1或m＝－3． 11．将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中，下列说法正确的是(　　) A．共有A＝24种放法 B．恰好有1个空盒，有CCA＝144种放法 C．每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有CA＝24种放法 D．把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰好有1个空盒，有CC＝12种放法 答案　BD 解析　将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中，共有44＝256种放法，A错误；恰好有1个空盒，分三步进行：第一步，选择1个空盒，有C＝4种方法；第二步，从4个小球中选择2个小球进行捆绑，有C＝6种方法；第三步，将球放入3个盒子中，有A＝6种放法．则有CCA＝144种放法，B正确；每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，分两步进行：第一步，先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有C＝4种情况；第二步，假设4号球放在4号盒子里，其余3个球的放法为(2，3，1)，(3，1，2)，共2种．则恰好有1个球的编号与盒子的编号相同的放法有4×2＝8种，C错误；把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰好有1个空盒，分两步进行：第一步，从4个盒子中选出1个盒子当作空盒，有C＝4种选法；第二步，将其余3个盒子装球，3个盒子分别装2，1，1个球，只要选1个盒子装2个球，另外2个盒子一定是每个装1个球，有C＝3种选法．所以放法总数为CC＝12，D正确．故选BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．(1＋sinx)6的二项展开式中，二项式系数最大的一项为，则x在[0，2π]内的值为________． 答案　或 解析　由题意，得T4＝Csin3x＝20sin3x＝，∴sinx＝．∵x∈[0，2π]，∴x＝或． 13．25名志愿者组成5行5列的方阵，现从中选出2人，则不同的选法种数为________；若选出的2人既不在同一行又不在同一列，则不同的选法种数为________． 答案　300　200 解析　从25人中选出2人，共有C＝＝300种选法，若选出的2人既不在同一行又不在同一列，则共有C－2×5×C＝200种选法． 14．如图，在排成4×4方阵的16个点中，中心4个点在某一圆内，其余12个点在圆外，在16个点中任取3个点构成三角形，其中至少有1个顶点在圆内的三角形共有________个． 答案　312 解析　分为三类：第一类，3个顶点在圆内的三角形有C＝4个；第二类，2个顶点在圆内的三角形有CC＝60个；第三类，1个顶点在圆内的三角形有C(C－4)＝248个．所以至少有1个顶点在圆内的三角形共有4＋60＋248＝312个． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动． (1)任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？ (2)三个年级各选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？ (3)选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？ 解　(1)分三类：第一类，从高一年级选1个班，有6种不同选法；第二类，从高二年级选1个班，有7种不同选法；第三类，从高三年级选1个班，有8种不同选法．由分类加法计数原理可得，共有6＋7＋8＝21种不同的选法． (2)分三步：第一步，从高一年级选1个班，有6种不同选法；第二步，从高二年级选1个班，有7种不同选法；第三步，从高三年级选1个班，有8种不同选法．由分步乘法计数原理可得，共有6×7×8＝336种不同的选法． (3)分三类，每类又分两步：第一类，从高一、高二两个年级各选1个班，有6×7种不同选法；第二类，从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同选法；第三类，从高二、高三年级各选1个班，有7×8种不同选法．故共有6×7＋6×8＋7×8＝146种不同的选法． 16．(本小题满分15分)在二项式的展开式中，________． 给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于46； ②所有奇数项的二项式系数的和为256． 试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题： (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 解　选择①，C＋C＋C＝46，即1＋n＋＝46， 解得n＝9或n＝－10(舍去)． 选择②，C＋C＋C＋…＝256，即2n－1＝256，解得n＝9． (1)展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项， T5＝Cx－5x2＝x－3， T6＝Cx－4x＝x． (2)展开式的通项为Tk＋1＝C·x－(9－k)x＝C2k－9·x， 令＝0，得k＝6，所以展开式中的常数项为第7项，T7＝C×2－3＝． (3)当k＝1，2，…，8时，假设第k＋1项的系数最大，则解得≤k≤，所以k＝6． 当k＝6时，T7＝C×2－3＝，当k＝0时，T1＝C×2－9x－9＝，当k＝9时，T10＝C×20x＝x，所以展开式中系数最大的项为T7＝． 17．(本小题满分15分)平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线． (1)这9个点可确定多少条不同的直线？ (2)以这9个点中的3个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这9个点中的4个点为顶点，可以确定多少个四边形？ 解　(1)解法一：(直接法)共线的4点记为A，B，C，D． 第一类，A，B，C，D确定1条直线； 第二类，A，B，C，D以外的5个点可确定C条直线； 第三类，从A，B，C，D中任取1点，其余5点中任取1点可确定CC条直线． 根据分类加法计数原理，这9个点可确定1＋C＋CC＝1＋10＋20＝31条不同的直线． 解法二：(间接法)9个点取2个点共有C种， 4个共线点取2个点共有C种，以上均表示同一条直线， 则这9个点可确定C－C＋1＝31条不同的直线． (2)解法一：(直接法)第一类，从A，B，C，D中取2个点，可确定CC个三角形； 第二类，从A，B，C，D中取1个点，可确定CC个三角形； 第三类，从其余5个点中任取3点，可确定C个三角形． 故以这9个点中的3个点为顶点，可以确定CC＋CC＋C＝80个三角形． 解法二：(间接法)9个点取3个点共有C种， 其中不能构成三角形的则是在4个共线点中取3个，共有C种， 故以这9个点中的3个点为顶点，可以确定C－C＝80个三角形． (3)解法一：(直接法)分三类：从其余不共线的5个点中任取4个、3个、2个点，可以确定C＋CC＋CC＝105个四边形． 解法二：(间接法)9个点取4个点共有C种， 其中不构成四边形的分为两类： 第一类，4个点共线，则有C种， 第二类，其中3点来自于共线的4点，第4点来自于其余的5个点，则有CC种， 故以这9个点中的4个点为顶点，可以确定C－C－CC＝105个四边形． 18．(本小题满分17分)某中学预计在“五·四”青年节当天，为高三学生举办成人礼活动，用以激励在备考中的高三学生．学工处共准备了五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应届学生代表发言．根据不同的要求，求本次活动的安排方法． (1)三个发言不能相邻，有多少种安排方法？ (2)励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙不排在最后一个，有多少种安排方法？ (3)往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，有多少种安排方法？(结果用数字作答) 解　(1)根据题意，分2步： ①先排三个发言以外的节目，有A种方法，排好后有6个空位； ②在6个空位中任选3个安排三个发言节目，有A种方法， 则三个发言不能相邻，有AA＝14400种安排方法． (2)励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙排在第一个，有A种方法，励志歌曲甲不排在第一个并且励志歌曲乙不排在第一个与最后一个，有AAA种方法，共有A＋AAA＝30960种安排方法． (3)往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，是固定顺序，8个位置选2个，有C种方法，其他位置任意排列，共有CA＝20160种安排方法． 19．(本小题满分17分)已知二项式(n∈N*)的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之和比第4项的二项式系数大1． (1)求展开式中含x－3的项； (2)求C3n－1＋C3n－2＋…＋C3＋C的值． 解　(1)由题意得C＋C－C＝1， 整理得(n2－1)(6－n)＝0， ∵n∈N*且n≥3，∴n＝6． 二项式的展开式的通项为Tk＋1＝C36－kxk(k＝0，1，2，…，6)， 令6－k＝－3，解得k＝6，T7＝x－3， ∴展开式中含x－3的项为x－3． (2)＝C36x6＋C35x＋…＋C31x＋Cx－3． 令x＝1，则C36＋C35＋…＋C31＋C＝(3＋1)6＝4096， ∴C35＋C34＋…＋C3＋C＝(C36＋C35＋…＋C31＋C)－＝1365． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$