8.1.2 样本相关系数-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评word（人教A版2019）

8．1．2　样本相关系数 知识点一　样本相关系数的性质 1．关于两个变量x，y与其线性相关系数r，有下列说法： ①若r>0，则x增大时，y通常也相应增大；②若|r|越趋近于1，则x与y的线性相关程度越强；③若r＝1或r＝－1，则x与y有函数关系，在散点图上各个散点均在一条直线上．其中说法正确的是(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 答案　D 解析　根据相关系数的定义，变量之间的相关关系可利用相关系数r进行判断：当r为正数时，表示变量x，y正相关；当r为负数时，表示两个变量x，y负相关；|r|越接近于1，线性相关程度越强；|r|越接近于0，线性相关程度越弱；|r|＝1时，x与y有函数关系，故①②③正确． 2．下列现象中线性相关程度最强的是(　　) A．商店的职工人数与商品销售额之间的线性相关系数为0．87 B．流通费用率与商业利润率之间的线性相关系数为－0．94 C．商品销售额与商业利润率之间的线性相关系数为0．51 D．商品销售额与流通费用率之间的线性相关系数为－0．70 答案　B 解析　线性相关系数r的绝对值越接近于1，两个变量间的线性相关程度越强． 3．[多选]某统计部门对两组成对样本数据进行统计分析后，获得如下散点图，关于样本相关系数的比较，其中正确的是(　　) A．r2<0<r1 B．r1<0<r2 C．|r2|<|r1| D．|r2|＝|r1| 答案　AC 解析　由散点图可知，图1两变量是正相关，图2两变量是负相关，且图1两变量比图2两变量线性相关程度强，所以r2<0<r1，|r2|<|r1|．故选AC． 知识点二　样本相关系数的计算及应用 4．为考察两个变量x，y的相关性，搜集数据如下表，则两个变量的线性相关程度(　　) x 5 10 15 20 25 y 103 105 110 111 114 A．很强 B．很弱 C．无相关 D．不确定 答案　A 解析　xi＝75，yi＝543，x＝1375，xiyi＝8285，y＝59051，＝15，＝108．6，r＝＝ ≈0．9826，故相关程度很强． 5．某运动员训练次数x与运动成绩y之间的数据关系如下： x 30 33 35 37 39 44 46 50 y 30 34 37 39 42 46 48 51 根据样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度． 解　作出该运动员训练次数(x)与运动成绩(y)之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系． 计算可得＝39．25，＝40．875，x＝12656，y＝13731，xiyi＝13180，所以 r＝＝≈0．99． 由此可得它们的相关程度很强． 6．某种产品的广告支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)画出散点图； (2)请推断销售额与广告支出之间的相关关系的类型、相关程度和变化趋势的特征． 解　(1)根据表中所列数据可得散点图如下： (2)由散点图可得，销售额与广告支出正线性相关．计算得＝5，＝50，x＝145，y＝13500，xiyi＝1380． 所以r＝ ＝≈0．92． 由此可得销售额与广告支出之间的相关程度很强，销售额与广告支出有相同的变化趋势． 一、选择题 1．若变量y与x之间的相关系数为r＝－0．9362，则变量y与x之间(　　) A．不具有线性相关关系 B．具有线性相关关系 C．y随x的增大而增大 D．不确定 答案　B 解析　由r＝－0．9362可知y与x具有较强的线性相关关系，且y与x负相关． 2．研究两个变量y与x的相关关系，分别计算了4组数据的相关系数r(如下表所示)，其中相关程度最强的是(　　) 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 相关系数r －0．98 0．80 0．50 －0．25 A．第一组 B．第二组 C．第三组 D．第四组 答案　A 解析　样本相关系数的绝对值|r|越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强． 3．已知某个样本点中的变量x，y线性相关，相关系数r>0，平移坐标系，则在以(，)为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在(　　) A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 答案　C 解析　因为r>0，即x与y正相关，所以平移后大多数的点都落在第一、三象限． 4．如图(1)，(2)，(3)分别为不同样本数据的散点图，其对应的样本相关系数分别是r1，r2，r3，那么r1，r2，r3之间的关系为(　　) A．r3<r2<r1 B．r2<r3<r1 C．r3<r1<r2 D．r1<r3<r2 答案　B 解析　由散点图(1)可得，变量x与变量y之间呈现正相关，所以r1>0；由散点图(2)可得，变量x与变量y之间呈现负相关，所以r2<0；由散点图(3)可得，变量x与变量y之间不相关，所以r3＝0，所以r2<r3<r1． 5．[多选]为了对变量x与y的线性相关性进行检验，由样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)求得两个变量的样本相关系数为r，下列说法中错误的是(　　) A．若所有样本点都在直线y＝－2x＋1上，则r＝1 B．若所有样本点都在直线y＝－2x＋1上，则r＝－2 C．若|r|越大，则变量x与y的线性相关性越强 D．若|r|越小，则变量x与y的线性相关性越强 答案　ABD 解析　若所有样本点都在直线y＝－2x＋1上，直线的斜率为负数，则r＝－1，故A，B均错误；若|r|越大，则变量x与y的线性相关性越强，故C正确，D错误． 二、填空题 6．对两个变量x，y进行线性相关检验，得相关系数r1＝0．7895，对变量x，z进行线性相关检验，得r2＝0．9321，则x与________的线性相关性较强． 答案　z 解析　|r|越接近于1，线性相关程度越强． 7．如图，在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散点图中，若去掉样本点B，则这组样本数据的样本相关系数变________(填“大”或“小”)． 答案　小 解析　由散点图可知，变量x与y具有线性相关关系，且负相关，则其样本相关系数r1<0，去掉样本点B后，线性相关程度变强，记其样本相关系数为r2，则|r1|<|r2|<1，又r1<0，r2<0，所以－1<r2<r1，所以样本数据的相关系数会变小． 8．某10个工业企业生产性固定资产价值与工业增加值资料如下表(单位：百万元)： 固定资产价值x 3 3 5 6 6 7 8 9 9 10 工业增加值y 15 17 25 28 30 36 37 42 40 45 根据上表资料计算的相关系数约为________(精确到0．01)． 答案　0．99 解析　由表中数据计算可得＝6．6，＝31．5，x＝490，y＝10877，xiyi＝2305，则r＝≈0．99． 三、解答题 9．下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断交通事故数与机动车辆数是否有线性相关关系． 机动车辆数x/千辆 95 110 112 120 129 135 150 180 交通事故数y/千件 6．2 7．5 7．7 8．5 8．7 9．8 10．2 13．0 解　计算可得＝128．875，＝8．95，xiyi＝9611．7，x＝137835，y＝671， 则r＝≈0．99． 因为r接近于1，所以交通事故数y与机动车辆数x有较强的线性相关关系． 10．小家电指除大功率、大体积家用电器(如冰箱、洗衣机、空调等)以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模(单位：千亿元)，其中年份对应的代码依次为1～5． 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y/千亿元 1．30 1．40 1．62 1．68 1．80 由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用样本相关系数加以说明(若|r|≥0．75，则线性相关程度较高，r精确到0．01)． 参考公式和数据：样本相关系数r＝， (xi－)(yi－)＝1．28， (yi－)2≈0．17，≈1．3． 解　由表知x的平均数为＝＝3， 所以 (xi－)2＝(1－3)2＋(2－3)2＋…＋(5－3)2＝10， r＝≈＝≈≈0．98， 因为y与x的相关系数近似为0．98，说明y与x的线性相关程度较高，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$