7.5 正态分布-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评word（人教A版2019）

7．5　正态分布 知识点一　连续型随机变量 1．指出下列随机变量是离散型随机变量还是连续型随机变量． (1)一次掷20枚硬币，正面朝上的硬币个数X； (2)2024年10月1日北京的气温X． 解　(1)是离散型随机变量，因为正面朝上的硬币个数为有限个，其可能的取值从0开始可以一一列举出来． (2)是连续型随机变量，因为气温是连续变化的，不能一一列举出来． 知识点二　正态分布的概念及正态曲线 2．下列函数是正态密度函数的是(　　) A．f(x)＝e，μ，σ(σ>0)都是实数 B．f(x)＝e C．f(x)＝e D．f(x)＝e 答案　B 解析　A错在函数系数的分母中的二次根式不包含σ，而且指数部分的符号应是负的；B显然是正态密度函数；C对照f(x)＝·e(x∈R)，从系数部分看σ＝2，可是从指数部分看σ＝，不正确；D错在指数部分缺少一个负号． 3．[多选]已知三个正态密度函数fi(x)＝·e(x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．σ1＝σ2 B．μ1>μ3 C．μ2＝μ3 D．σ2<σ3 答案　ACD 解析　根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大，图象越靠近右边，所以μ1<μ2＝μ3，故B错误，C正确；又σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，所以σ1＝σ2<σ3，A，D正确．故选ACD． 知识点三　正态分布的性质 4．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X<2)＝P(X>8)＝0．15，则P(2≤X≤5)＝(　　) A．0．3 B．0．35 C．0．5 D．0．7 答案　B 解析　根据正态曲线的对称性可知μ＝＝5，则P(2≤X≤5)＝P(X≤5)－P(X<2)＝0．5－0．15＝0．35．故选B． 5．设随机变量X～N(1，22)，则D＝(　　) A．4 B．2 C． D．1 答案　D 解析　因为X～N(1，22)，所以D(X)＝4，所以D＝D(X)＝1． 6．已知某品种小麦的穗粒数X服从正态分布N(38，σ2)，且P(34≤X≤42)＝0．68，则该品种小麦的穗粒数超过42的概率为________． 答案　0．16 解析　由题意可得，该品种小麦的穗粒数超过42的概率P(X>42)＝＝＝0．16． 知识点四　标准正态分布 7．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，已知Φ(－1．96)＝0．026，则P(|X|<1．96)＝________． 答案　0．948 解析　∵X～N(0，1)，∴P(|X|<1．96)＝P(－1．96<X<1．96)＝Φ(1．96)－Φ(－1．96)＝1－2Φ(－1．96)＝0．948． 知识点五　3σ原则 8．灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X(单位：小时)，已知X～N(1000，302)，要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率为99．73%，则灯泡的最低寿命应控制在________小时． 答案　910 解析　因为灯泡的使用寿命X～N(1000，302)，故P(1000－3×30≤X≤1000＋3×30)≈99．73%，即X在[910，1090]内取值的概率为99．73%，故灯泡的最低寿命应控制在910小时． 9．某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4，0．52)，质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5．7 cm，则该厂生产的这批零件是否合格？________(填“合格”或“不合格”)． 答案　不合格 解析　X服从正态分布N(4，0．52)，由正态分布的性质可知，正态分布N(4，0．52)在区间[4－3×0．5，4＋3×0．5]之外取值的概率大约只有0．0027，而5．7∉[2．5，5．5]．这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此认为这批零件不合格． 知识点六　正态分布的应用 10．已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100，4)，现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在[98，104]内的产品估计有(　　) (附：若X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0．6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0．9545) A．4093件 B．4772件 C．6827件 D．8186件 答案　D 解析　由题意可得，μ＝100，σ＝2，则质量在[96，104]内的产品的概率为P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0．9545，而质量在[98，102]内的产品的概率为P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0．6827．结合正态曲线的对称性可知，质量在[98，104]内的产品的概率约为0．6827＋＝0．8186，据此估计质量在[98，104]内的产品的数量约为10000×0．8186＝8186件．故选D． 11．某无人机配件厂商从其所生产的某种无人机配件中随机抽取了一部分进行质量检测，其某项质量测试指标值X服从正态分布N(18，4)，且X落在区间[20，22]内的无人机配件个数为2718，则可估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值X低于14的个数大约为(　　) (附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0．6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0．9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0．9973) A．228 B．455 C．27 D．40 答案　B 解析　因为X服从正态分布N(18，4)，所以μ＝18，σ＝2，则P(20≤X≤22)＝P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)＝[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈×(0．9545－0．6827)＝0．1359，又X在区间[20，22]内的个数为2718，故可估计这批无人机配件总个数约为＝20000．则P(X<14)＝P(X<μ－2σ)＝[1－P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)]≈×(1－0．9545)＝0．02275，故可估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值X低于14的个数大约为20000×0．02275＝455．故选B． 12．设在一次数学考试中，某班学生的分数X服从正态分布N(110，202)，且满分为150分，这个班的学生共54人．估计这个班在这次数学考试中及格(不少于90分)的人数和130分以上的人数．(附：若X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0．6827) 解　因为X～N(110，202)， 所以μ＝110，σ＝20， 所以P(110－20≤X≤110＋20)≈0．6827， P(X>130)≈×(1－0．6827)＝0．15865， P(X≥90)＝P(90≤X≤130)＋P(X>130)≈0．6827＋0．15865＝0．84135， 所以及格的人数约为54×0．84135≈45， 130分以上的人数约为54×0．15865≈9． 故及格的人数大约为45，130分以上的人数大约为9． 一、选择题 1．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X≥5)＝0．2，则P(1<X<3)＝(　　) A．0．1 B．0．2 C．0．3 D．0．4 答案　C 解析　P(1<X<3)＝P(3<X<5)＝0．5－P(X≥5)＝0．5－0．2＝0．3．故选C． 2．如图所示是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　) A．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0 B．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3 C．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0 D．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3 答案　D 解析　当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝e在x＝0处取最大值，故σ＝1．由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”，所以0<σ1<σ2＝1<σ3．故选D． 3．若随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，且P(X<1)≈0．84135，则P(－1<X<0)≈(　　) A．0．65865 B．0．84135 C．0．15865 D．0．34135 答案　D 解析　∵X～N(0，1)，∴P(－1<X<0)＝P(0<X<1)＝P(X<1)－P(X≤0)≈0．84135－0．5＝0．34135．故选D． 4．一批电阻的电阻值X(Ω)服从正态分布N(1000，52)，现从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1011 Ω和982 Ω，可以认为(　　) A．甲、乙两箱电阻均可出厂 B．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 答案　C 解析　∵X～N(1000，52)，∴μ＝1000，σ＝5，∴μ－3σ＝1000－3×5＝985，μ＋3σ＝1000＋3×5＝1015．∵1011∈[985，1015]，982∉[985，1015]，∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂． 5．[多选]4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间X(单位：小时)服从正态分布X～N(9，4)，则(　　) (附：X～N(μ，σ2)，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0．6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0．9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0．9973) A．该校学生每周平均阅读时间为9小时 B．该校学生每周阅读时间的标准差为4 C．该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数约占0．135% D．若该校有5000名学生，则每周阅读时间在3～5小时的人数约为107 答案　ACD 解析　因为E(X)＝9，D(X)＝4，所以平均数是9，标准差为2，A正确，B不正确；因为P(5≤X≤13)≈0．9545，P(3≤X≤15)≈0．9973．结合正态曲线的对称性可得，该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占≈＝0．00135＝0．135%，每周阅读时间在3～5小时的人数占≈＝0．0214，0．0214×5000＝107，C正确，D正确．故选ACD． 二、填空题 6．已知变量X～N(μ，σ2)，则下列变量：①X；②X－μ；③；④，其中服从标准正态分布的是________． 答案　④ 解析　设Z＝，则E(Z)＝E＝0，D(Z)＝＝＝1，∴Z＝～N(0，1)．同理可得①②③不服从标准正态分布． 7．随机变量X～N(μ，σ2)，若P(X<0)＝0．3，P(0<X<6)＝0．4，则P(3<X<6)＝__________． 答案　0．2 解析　由P(X<0)＝0．3，P(0<X<6)＝0．4，可得P(X>6)＝0．3＝P(X<0)，由对称性可得μ＝3，由P(0<X<6)＝0．4，得P(3<X<6)＝0．2． 8．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X≥－1)＋P(X≥5)＝1，则μ＝________． 答案　2 解析　∵随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，∴其正态密度曲线的对称轴为直线x＝μ，∵P(X≥－1)＋P(X≥5)＝1，又P(X≥－1)＋P(X≤－1)＝1，∴P(X≥5)＝P(X≤－1)，∴μ＝＝2． 三、解答题 9．某大型电器企业为了解组装车间职工的工作情况，从中随机抽取了100名职工进行测试，得到频数分布表如下表所示． 日组装个数 [155，165) [165，175) [175，185) 人数 6 12 34 日组装个数 [185，195) [195，205) [205，215] 人数 30 10 8 (1)现从参与测试的日组装个数少于175的职工中任意选取3人，求至少有1人日组装个数少于165的概率； (2)由频数分布表可以认为，此次测试得到的日组装个数X服从正态分布N(μ，169)，μ近似为这100人日组装个数的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表)．若组装车间有20000名职工，估计日组装个数超过198的职工人数． 附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0．6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0．9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0．9973． 解　(1)设至少有1人日组装个数少于165为事件A，则P(A)＝1－＝． (2)这100人日组装个数的平均值为×(160×6＋170×12＋180×34＋190×30＋200×10＋210×8)＝185， 所以μ＝185． 因为σ2＝169，所以σ＝13． 易知μ＋σ＝198，所以P(X>198)＝P(X>μ＋σ)＝[1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈＝0．15865， 所以估计日组装个数超过198的职工人数约为0．15865×20000＝3173． 10．根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%．为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口罩，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率Z服从正态分布N(μ，σ2)．假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立．记X表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于μ－3σ的数量． (1)求P(X≥1)； (2)求X的数学期望E(X)； (3)一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率Z小于μ－3σ的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？ 附：若随机变量Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0．6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0．9545，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0．9973，0．9986510≈0．9866． 解　(1)抽取口罩中过滤率在[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0．9973， 所以P(Z<μ－3σ)≈＝0．00135， 所以P(Z≥μ－3σ)≈1－0．00135＝0．99865， 故P(X≥1)＝1－P(X＝0)≈1－0．9986510≈1－0．9866＝0．0134． (2)由题意可知X～B(10，0．00135)， 所以E(X)≈10×0．00135＝0．0135． (3)如果按照正常状态生产，由(1)中计算可知，一天内抽取的10只口罩中，出现过滤率小于μ－3σ的概率P(X≥1)≈0．0134，发生的概率非常小，所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修．可见这种监控生产过程的方法合理． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$