7.4.2 超几何分布-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评word（人教A版2019）

7．4．2　超几何分布 知识点一　超几何分布的概率及分布列 1．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为P＝．故选C． 2．从一批含有13件正品、2件次品的15件产品中，不放回地任取3件，求取得次品数X的分布列． 解　X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，X的可能取值为0，1，2． P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝． 故X的分布列为 X 0 1 2 P 3．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队． (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列． 解　(1)由题意知，参加集训的男、女生各有6名， 代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝， 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝． (2)根据题意，知X的所有可能取值为1，2，3． P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝． 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 知识点二　超几何分布的均值与方差 4．[多选]在一个袋中装有质地、大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中黑球的个数为X，则下列结论正确的是(　　) A．P(X＝1)＝ B．P(X＝0)＝P(X＝4) C．E(X)＝ D．D(X)＝ 答案　ACD 解析　由题意可知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝．E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝．D(X)＝×＋×＋×＋×＋×＝．故选ACD． 5．袋中装有10个除颜色外完全相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．现从该袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则E(X)＝________． 答案　 解析　设袋中有m个黑球，则白球有10－m个，由题意可得＝＝1－，解得m＝5或m＝－4(舍去)，X服从超几何分布，且N＝10，M＝5，n＝3，故E(X)＝＝＝． 6．某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关，某同学只能背诵其中的6篇． (1)记X表示抽到他会背诵的古诗词的数量，求X的分布列、均值与方差； (2)求他能过关的概率． 解　(1)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3， P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝， 方差D(X)＝×＋×＋×＋×＝． (2)他能过关的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝． 一、选择题 1．盒子中有6个乒乓球，其中4新2旧，从中取2个来用，用完后放回盒中．设此时盒中旧乒乓球的个数为X，则P(X＝3)＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　X＝3说明取出的2个球1新1旧，则P(X＝3)＝＝．故选D． 2．已知10名同学中有a名女生，若从这10名同学中随机抽取2名作为学生代表，恰好抽到1名女生的概率是，则a＝(　　) A．1 B．4或6 C．4 D．6 答案　B 解析　设抽到的女生人数为X，则X服从超几何分布，P(X＝1)＝＝＝，解得a＝4或a＝6． 3．某地7个超市中有3个是大型超市，现从中任意选3个超市，下列事件中概率等于的是(　　) A．至少有1个大型超市 B．有1个或2个大型超市 C．有2个或3个大型超市 D．恰有2个大型超市 答案　B 解析　用X表示选出的这3个超市中大型超市的个数，则X服从超几何分布，所以P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3，故P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以P(X＝1)＋P(X＝2)＝，即有1个或2个大型超市的概率为．故选B． 4．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球．现从乙盒子里随机取出n(1≤n≤6，n∈N*)个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到红球的个数为X，则随着n(1≤n≤6，n∈N*)的增大，下列说法正确的是(　　) A．E(X)增大，D(X)增大 B．E(X)增大，D(X)减小 C．E(X)减小，D(X)增大 D．E(X)减小，D(X)减小 答案　C 解析　由题意可知，从乙盒子里随机取出n个球，含有红球的个数Y服从超几何分布，P(Y＝k)＝，其中k∈N，k≤3且k≤n，E(Y)＝＝．故从甲盒子里取球，相当于从含有＋1个红球的n＋1个球中取一球，取到红球的个数为X，故P(X＝1)＝＝＋，随机变量X服从两点分布，所以E(X)＝P(X＝1)＝＋，随着n的增大，E(X)减小；D(X)＝P(X＝1)[1－P(X＝1)]＝＝－，随着n的增大，D(X)增大．故选C． 5．[多选]已知5名男生、4名女生共9名学生参加爬山活动，由于山路狭窄，所以随机分3批出发，每批随机出发3人，则(　　) A．“第一批没有女生”的概率为 B．“第一批至少有2名女生”的概率为 C．“第二批全是男生”的概率为 D．“每一批都有男生”的概率为 答案　ABD 解析　对于A，随机安排第一批学生的种类数为C，其中第一批学生没有女生的种类数为C，所以“第一批没有女生”的概率为＝，A正确；对于B，第一批学生至少有2名女生的种类数为CC＋C，所以“第一批至少有2名女生”的概率为＝，B正确；对于C，3批总的安排方法种数为CCC，其中第二批学生全是男生的种类数为CCC，所以“第二批全是男生”的概率为＝，C不正确；对于D，3名女生在同一批的种类数为CCCC，所以“每一批都有男生”的概率为1－＝，D正确．故选ABD． 二、填空题 6．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的饮料的概率为________． 答案　 解析　记事件A为“至少取到一瓶已过保质期的饮料”，则为“取到的2瓶饮料没有已过保质期的”，则P(A)＝1－P()＝1－＝． 7．已知一不透明盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子．任意取出2粒，若X表示取得白子的个数，则X的均值E(X)＝________，方差D(X)＝________． 答案　　 解析　随机变量X的可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝．所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，D(X)＝×＋×＋×＝． 8．从装有3个白球、m个红球、n个黄球(这些小球除颜色外完全相同)的布袋中任取两个球，记取出的白球的个数为X，若E(X)＝，取出一个白球一个红球的概率为，则取出一个红球一个黄球的概率为________． 答案　 解析　依题意，得X服从超几何分布，E(X)＝2×＝＝，解得m＋n＝7，袋中共有10个球，因此取出一个白球一个红球的概率为＝＝，解得m＝5，则n＝2，所以取出一个红球一个黄球的概率为＝． 三、解答题 9．某单位准备从8名报名者(其中男性5人，女性3人)中选4人参加4个副主任职位竞选．设所选4人中女性人数为X，求X的分布列、均值和方差． 解　依题意，X的可能取值为0，1，2，3， 所以P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝． D(X)＝×＋×＋×＋×＝． 10．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]． (1)求图中x的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为X，求X的分布列． 解　(1)由(0．006×3＋0．01＋0．054＋x)×10＝1，解得x＝0．018． (2)分数在[80，90)，[90，100]的人数分别是50×0．018×10＝9，50×0．006×10＝3． 所以X的可能取值为0，1，2，其服从参数为N＝12，M＝3，n＝2的超几何分布，则 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝． 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 1 学科网（北京）股份有限公司 $$