7.3.2 离散型随机变量的方差-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评word（人教A版2019）

7．3．2　离散型随机变量的方差 知识点一　方差和标准差的求法 1．已知X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则D(X)的值为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　∵E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，∴D(X)＝×＋×＋×＋×＝． 2．[多选]设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量X＝则下列结论正确的是(　　) A．E(X)＝m B．D(X)＝2m(1－m) C．E(X)＝m(m－1) D．D(X)＝m(1－m) 答案　AD 解析　随机变量X的分布列为 X 0 1 P 1－m m 则E(X)＝0×(1－m)＋1×m＝m，A正确，C错误；D(X)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)，B错误，D正确．故选AD． 3．已知离散型随机变量X的概率分布为 X 1 2 3 4 5 6 7 P 则E(X)＝________，D(X)＝________，＝________． 答案　4　4　2 解析　E(X)＝1×＋2×＋…＋7×＝4，D(X)＝(1－4)2×＋(2－4)2×＋…＋(7－4)2×＝4，＝2． 知识点二　方差的性质 4．D(X－D(X))的值为(　　) A．0 B．1 C．D(X) D．2D(X) 答案　C 解析　∵D(X)是一个常数，∴D(X－D(X))＝D(X)． 5．已知随机变量X，Y满足Y＝2X＋1，且E(X)＝1，D(Y)＝2，则(　　) A．E(Y)＝2，D(X)＝1 B．E(Y)＝2，D(X)＝0．5 C．E(Y)＝3，D(X)＝1 D．E(Y)＝3，D(X)＝0．5 答案　D 解析　由已知得，E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝3，因为D(Y)＝D(2X＋1)＝4D(X)＝2，所以D(X)＝0．5．故选D． 6．已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0．1 0．2 0．4 0．2 0．1 另一随机变量Y＝2X－3，则E(Y)＝________，D(Y)＝________． 答案　3　4．8 解析　因为Y＝2X－3，所以E(Y)＝2E(X)－3＝2×(1×0．1＋2×0．2＋3×0．4＋4×0．2＋5×0．1)－3＝3，D(Y)＝22D(X)＝22[(1－3)2×0．1＋(2－3)2×0．2＋(3－3)2×0．4＋(4－3)2×0．2＋(5－3)2×0．1]＝4．8． 知识点三　方差的应用 7．海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列为 X1 －2 －1 0 1 2 P 0．05 0．05 0．8 0．05 0．05 X2 －2 －1 0 1 2 P 0．1 0．2 0．4 0．2 0．1 根据这两面大钟日走时误差的均值与方差，比较这两面大钟的质量． 解　∵E(X1)＝0，E(X2)＝0， ∴E(X1)＝E(X2)． ∵D(X1)＝(－2－0)2×0．05＋(－1－0)2×0．05＋(0－0)2×0．8＋(1－0)2×0．05＋(2－0)2×0．05＝0．5， D(X2)＝(－2－0)2×0．1＋(－1－0)2×0．2＋(0－0)2×0．4＋(1－0)2×0．2＋(2－0)2×0．1＝1．2， ∴D(X1)<D(X2)． 由上可知，A面大钟的质量较好． 8．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y的分布列为 X 1 2 3 P a 0．1 0．6 　 Y 1 2 3 P 0．3 b 0．3 (1)求a，b的值； (2)计算X，Y的均值与方差，并依此分析甲、乙的技术状况． 解　(1)由离散型随机变量分布列的性质得a＋0．1＋0．6＝1，解得a＝0．3． 同理0．3＋b＋0．3＝1，解得b＝0．4． (2)E(X)＝1×0．3＋2×0．1＋3×0．6＝2．3， E(Y)＝1×0．3＋2×0．4＋3×0．3＝2， D(X)＝(1－2．3)2×0．3＋(2－2．3)2×0．1＋(3－2．3)2×0．6＝0．81， D(Y)＝(1－2)2×0．3＋(2－2)2×0．4＋(3－2)2×0．3＝0．6． 由于E(X)>E(Y)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(X)>D(Y)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人的技术水平都不够全面，各有优势与劣势． 一、选择题 1．已知某离散型随机变量X服从的分布列如表，则随机变量X的方差D(X)＝(　　) X 0 1 P m 2m A． B． C． D． 答案　B 解析　由离散型随机变量X服从的分布列，知m＋2m＝1，解得m＝，∴E(X)＝0×＋1×＝，∴D(X)＝×＋×＝． 2．若X的分布列如下表所示，且E(X)＝1．1，则D(X)＝(　　) X 0 1 x P 0．2 p 0．3 A．0．3 B．0．51 C．0．5 D．0．49 答案　D 解析　因为0．2＋p＋0．3＝1，所以p＝0．5．又E(X)＝0×0．2＋1×0．5＋0．3x＝1．1，所以x＝2，所以D(X)＝(0－1．1)2×0．2＋(1－1．1)2×0．5＋(2－1．1)2×0．3＝0．49．故选D． 3．已知随机变量X的分布列如下表所示，且满足E(X)＝0，则下列方差中值最大的是(　　) X －1 0 2 P a b A．D(X) B．D(|X|) C．D(2X＋1) D．D(3|X|－2) 答案　D 解析　依题意解得 所以X的分布列为 X －1 0 2 P 则D(X)＝×(－1－0)2＋×(0－0)2＋×(2－0)2＝1，则D(2X＋1)＝22D(X)＝4， 所以|X|的分布列为 |X| 1 0 2 P 则E(|X|)＝1×＋0×＋2×＝，D(|X|)＝×＋×＋×＝， 所以D(3|X|－2)＝32D(|X|)＝5．故选D． 4．已知0<a<，随机变量X的分布列如下，当a增大时(　　) X －1 0 1 P a －a A．E(X)增大，D(X)增大 B．E(X)减小，D(X)增大 C．E(X)增大，D(X)减小 D．E(X)减小，D(X)减小 答案　B 解析　E(X)＝－a，∴当a增大时，E(X)减小，D(X)＝a＋＋×＝－a2＋a＋，∴D(X)在上随a的增大而增大．故选B． 5．[多选]已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如下表，则下列结论一定成立的是(　　) X 0 1 2 P m n m A．P(X＝1)<P(X≠1) B．E(X)＝1 C．mn≤ D．D(2X＋1)<1 答案　BC 解析　由分布列的性质得m＋n＋m＝2m＋n＝1，P(X＝1)＝n，P(X≠1)＝2m，当m＝，n＝时，P(X＝1)＝P(X≠1)，故A错误；因为E(X)＝n＋2m＝1，故B正确；因为m，n均为正数，所以1＝n＋2m≥2，即mn≤，当且仅当n＝2m＝时，等号成立，故C正确；由n＝1－2m>0，得0<m<．又E(X)＝1，所以D(X)＝(0－1)2m＋(1－1)2n＋(2－1)2m＝m＋m＝2m，所以D(2X＋1)＝4D(X)＝4×2m＝8m，故D错误．故选BC． 二、填空题 6．若某事件在一次试验中发生次数的方差为0．25，则该事件在一次试验中发生的概率为________． 答案　0．5 解析　设该事件在一次试验中发生的概率为p，事件在一次试验中发生次数记为X，则X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0．25，解得p＝0．5． 7．已知随机变量X的取值为i(i＝0，1，2)．若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(2X－3)＝________． 答案　 解析　由题意，设P(X＝1)＝p，则P(X＝2)＝1－－p＝－p，又E(X)＝0×＋1×p＋2＝1，解得p＝．所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，则D(X)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝．所以D(2X－3)＝4D(X)＝． 8．某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得A等级相互独立，记X为“该学生取得A等级的考试科目数”，其分布列如下表所示，则D(X)的最大值是________． X 0 1 2 P a b 答案　 解析　由题意得，a＋b＝，E(X)＝b＋，所以D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝12×b＋22×－＝－b2＋b＋＝－＋，又b∈，所以当b＝时，D(X)取得最大值，为． 三、解答题 9．某中学举行春季研学活动，为了增加趣味性，在研学活动中设计了一个摸奖获赠书的游戏：在一个不透明的盒子中有质地、大小相同的球5个，其中红球2个，黄球2个，蓝球1个，每次不放回地随机从盒中取一个球，当三种颜色的球都至少有一个被取出时，停止取球，游戏结束，取球次数最少将获得奖励． (1)求盒子中恰好剩下一个红球的概率； (2)停止取球时，记盒子中所剩球的个数为X，求X的分布列、均值与方差． 解　(1)依题意，设事件A＝“盒子中恰好剩下一个红球”，前三次只能取两种颜色的球，第四次取第三种颜色的球，因此第四次取球只能是红球或者蓝球，从而P(A)＝＝． (2)X的所有可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝2P(A)＝，P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝． D(X)＝×＋×＋×＝． 10．某公司圆满完成年初制订的生产目标，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定召开年终总结联欢晚会．在联欢晚会上准备以抽奖游戏的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有4张奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额． (1)若箱子中所装的4张奖券中有1张面值为80元，其余3张面值均为40元，试比较每位员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小； (2)公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4张奖券有两种方案：方案一：2张面值20元和2张面值100元；方案二：2张面值40元和2张面值80元．为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由． 解　(1)设每位员工所获得的奖励额为X元． 从4张奖券中一次随机摸出2张，不同的情况有C＝6种， 摸出的2张面值之和为80元的情况有C＝3种， 面值之和为120元的情况有CC＝3种， 所以P(X＝80)＝＝，P(X＝120)＝＝， 所以P(X＝80)＝P(X＝120)， 故每位员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等． (2)若选择方案一，设每位员工所获得的奖励额为X1元，则X1的可能取值为40，120，200． 因为奖励额为40元、200元的情况各有1种，奖励额为120元的情况有CC＝4种， 所以P(X1＝40)＝，P(X1＝120)＝＝，P(X1＝200)＝， 即X1的分布列为 X1 40 120 200 P 所以E(X1)＝40×＋120×＋200×＝120， D(X1)＝(40－120)2×＋(120－120)2×＋(200－120)2×＝． 若选择方案二，设每位员工所获得的奖励额为X2元，则X2的可能取值为80，120，160，易得X2的分布列为 X2 80 120 160 P 所以E(X2)＝80×＋120×＋160×＝120， D(X2)＝(80－120)2×＋(120－120)2×＋(160－120)2×＝． 又500E(X1)＝500E(X2)＝60000， 所以两种方案都符合公司要求，但方案二的方差比方案一的小，故选择方案二比较好． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$