7.3.1 离散型随机变量的均值-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评word（人教A版2019）

7．3　离散型随机变量的数字特征 7．3．1　离散型随机变量的均值 知识点一　求离散型随机变量的均值 1．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的均值E(X)＝(　　) A． B．2 C． D．3 答案　A 解析　由已知条件可得E(X)＝1×＋2×＋3×＝．故选A． 2．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，没命中得0分，已知某篮球运动员命中的概率为0．8，则罚球一次得分X的均值是(　　) A．0．2 B．0．8 C．1 D．0 答案　B 解析　因为P(X＝1)＝0．8，P(X＝0)＝0．2，所以E(X)＝1×0．8＋0×0．2＝0．8．故选B． 3．在一次庙会上，有种“套圈游戏”，规则如下：每组每人3个圆环，向A，B两个目标投掷，先向目标A连续投掷两次，每套中一次得1分，没有套中不得分，再向目标B投掷一次，套中得2分，没有套中不得分，根据最终得分由主办方发放奖品．已知甲每投掷一次，套中目标A的概率为，套中目标B的概率为，假设甲每次投掷的结果相互独立．求甲在一组游戏中的总分X的分布列及均值． 解　由题意得X的可能取值为0，1，2，3，4． P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＝＝， P(X＝2)＝××＋××＝＝， P(X＝3)＝××＋××＝＝， P(X＝4)＝××＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝． 知识点二　离散型随机变量均值的性质 4．设X的分布列为 X 1 2 3 4 P Y＝2X＋5，则E(Y)＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，E(Y)＝E(2X＋5)＝2E(X)＋5＝2×＋5＝． 5．已知E(X)＋E(2X＋1)＝8，则E(X)＝________． 答案　 解析　由E(X)＋E(2X＋1)＝E(X)＋2E(X)＋1＝8，可得E(X)＝． 知识点三　离散型随机变量均值的应用 6．某渔民要根据收益情况对下月是否出海做出决策，如果出海后遇到好天气，可得收益6000元，如果出海后天气变坏将损失8000元，如果不出海，无论天气如何都将承担1000元损失费．据气象部门的预测，下月好天气的概率为0．6，天气变坏的概率是0．4，请你为该渔民做出决定，是出海还是不出海？依据是什么？ 解　若选择出海，设X为渔民所得的收益，则由题意知X的可能取值为6000元，－8000元， P(X＝6000)＝0．6，P(X＝－8000)＝0．4， ∴E(X)＝6000×0．6＋(－8000)×0．4＝400(元)． 若选择不出海，则损失1000元， ∵400>－1000， ∴出海收益期望大于不出海，应选择出海． 7．某人用10万元进行为期一年的投资，有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息．买股票的收益取决于经济形势，假设可分为三种状态：形势好、形势中等、形势不好．若形势好可获利4万元，若形势中等可获利1万元，若形势不好要损失2万元．如果存入银行，假设年利率为8%，可得利息8000元．又假设经济形势好、中等、不好的概率分别为30%，50%，20%，试问应选择哪一种方案，可使投资的效益较大？ 解　设购买股票的收益为X，则X的分布列为 X 40000 10000 －20000 P 0．3 0．5 0．2 所以E(X)＝40000×0．3＋10000×0．5＋(－20000)×0．2＝13000>8000，故选择购买股票的方案可使投资的效益较大． 一、选择题 1．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为，则此人试验次数X的均值是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　试验次数X的可能取值为1，2，3，则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××＝． 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝． 2．某班举行了一次“心有灵犀”的活动．教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某位同学，这位同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率为0．4，同学乙猜对成语的概率为0．5，且规定猜对得1分，猜错得0分，则这两位同学各猜一次，两人得分之和X(单位：分)的均值为(　　) A．0．9 B．0．8 C．1．2 D．1．1 答案　A 解析　由题意可知，X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝(1－0．4)×(1－0．5)＝0．3，P(X＝1)＝0．4×(1－0．5)＋(1－0．4)×0．5＝0．5，P(X＝2)＝0．4×0．5＝0．2，所以E(X)＝0×0．3＋1×0．5＋2×0．2＝0．9．故选A． 3．随机变量X的分布列如表，则E(4X－5)的值为(　　) X 1 2 3 P 0．2 A 0．4 A．4．4 B．3．8 C．21．2 D．22．2 答案　B 解析　由0．2＋A＋0．4＝1得A＝0．4，所以E(X)＝1×0．2＋2×0．4＋3×0．4＝2．2，所以E(4X－5)＝4E(X)－5＝4×2．2－5＝3．8．故选B． 4．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是(　　) A．7．8 B．8 C．16 D．15．6 答案　A 解析　X的可能取值为6，9，12．P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝．E(X)＝6×＋9×＋12×＝7．8． 5．[多选]设离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P p1 p2 p3 则E(X)＝2的充要条件是(　　) A．p1＝－p2 B．p2＝1－2p3 C．p1＝p3 D．p1＝p2＝p3 答案　BC 解析　由离散型随机变量X的分布列知，当E(X)＝2时，解得p1＝p3；当p1＝p3时，p1＋p2＋p3＝2p1＋p2＝1，E(X)＝p1＋2p2＋3p3＝4p1＋2p2＝2．故E(X)＝2的充要条件是p1＝p3，故C正确；当p1＝p3时，p2＝1－2p3，故B正确．故选BC． 二、填空题 6．已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 且Y＝2X＋3，则E(Y)＝________． 答案　 解析　∵E(X)＝0×＋1×＋2×＝，∴E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝2×＋3＝． 7．游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为，停在不同区域的概率为．某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为X，若开始时指针停在红色区域，则E(X)＝________． 答案　 解析　该游客转动指针三次的结果的树状图如下： ∴P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝2)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝××＝． 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝． 8．对三台机床进行检验，各机床是否产生故障是相互独立的，且概率分别为p1，p2，p3，X为产生故障的机床的台数，则E(X)＝________． 答案　p1＋p2＋p3 解析　X的可能取值为0，1，2，3．设A，B，C分别表示三台机床发生故障， 所以P(X＝0)＝P()P()P()＝(1－p1)(1－p2)(1－p3)， P(X＝1)＝P(A)P()P()＋P()P(B)·P()＋P()P()P(C)＝p1(1－p2)(1－p3)＋(1－p1)p2(1－p3)＋(1－p1)(1－p2)p3， P(X＝2)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()·P(C)＋P(A)P(B)P()＝(1－p1)p2p3＋p1(1－p2)p3＋p1p2(1－p3)， P(X＝3)＝P(A)P(B)P(C)＝p1p2p3， E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p1＋p2＋p3． 三、解答题 9．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中的得分X1，X2的分布列分别为 X1 0 1 2 P 0．2 0．5 0．3 X2 0 1 2 P 0．3 0．2 0．5 现有一场比赛，派哪位运动员参加较好？ 解　E(X1)＝0×0．2＋1×0．5＋2×0．3＝1．1， E(X2)＝0×0．3＋1×0．2＋2×0．5＝1．2， ∴E(X1)<E(X2)， ∴派乙运动员参加比赛较好． 10．为庆祝第114个国际妇女节，某学校组织该校女教职工进行篮球投篮比赛，每名教师连续投篮3次．根据教师甲练习时的统计数据，该教师第一次投篮命中的概率为0．6，从第二次投篮开始，若前一次投篮命中，则该次命中的概率为0．8，否则，命中的概率为0．6． (1)求教师甲第二次投篮命中的概率； (2)求教师甲在3次投篮中，命中的次数X的分布列和均值． 解　(1)由题意知，教师甲第二次投篮命中的情况分两种： 第一种：第一次命中，则第二次命中的概率为0．6×0．8＝0．48； 第二种：第一次未命中，则第二次命中的概率为(1－0．6)×0．6＝0．24， 所以教师甲第二次投篮命中的概率为0．48＋0．24＝0．72． (2)由题意知，命中的次数X的所有可能取值为0，1，2，3， 则P(X＝0)＝(1－0．6)3＝0．064， P(X＝1)＝0．6×(1－0．8)×(1－0．6)＋(1－0．6)×0．6×(1－0．8)＋(1－0．6)×(1－0．6)×0．6＝0．192， P(X＝3)＝0．6×0．82＝0．384， P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝0．36， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0．064 0．192 0．36 0．384 均值E(X)＝0×0．064＋1×0．192＋2×0．36＋3×0．384＝2．064． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$