7.2 离散型随机变量及其分布列-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评word（人教A版2019）

7．2　离散型随机变量及其分布列 知识点一　离散型随机变量 1．掷两枚质地均匀的骰子，记两骰子正面向上的点数之和为X，则X的所有可能取值的个数为(　　) A．6 B．7 C．11 D．12 答案　C 解析　由题意知，X的所有可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共11个． 2．[多选]下面是离散型随机变量的是(　　) A．某充电桩一天内使用的次数记为X B．某人射击2次，击中目标的环数之和记为X C．测量一批电阻，在950～1200 Ω之间的阻值记为X D．一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X 答案　AB 解析　根据离散型随机变量的定义知，A，B是离散型随机变量．故选AB． 知识点二　离散型随机变量的分布列 3．某学校开展投篮比赛活动，比赛规则是：每名选手投篮n次(n≥3，n∈N*)，每次投篮，若投进，则下一次站在三分线处投篮；若没有投进，则下一次站在两分线处投篮．规定每名选手第一次站在两分线处投篮．站在两分线处投进得2分，否则得0分；站在三分线处投进得3分，否则得0分．已知小明站在两分线处投篮投进的概率为0．6，站在三分线处投篮投进的概率为0．4，且每次投篮相互独立．记小明前2次投篮累计得分为X，求X的分布列． 解　依题意，X的所有可能取值为0，2，5． 记“小明第i次投篮站在两分线处并且投进”为事件Ai(i＝1，2)，“小明第2次投篮站在三分线处并且投进”为事件B． P(X＝0)＝P(12)＝0．4×0．4＝0．16， P(X＝2)＝P(1A2＋A1)＝0．4×0．6＋0．6×0．6＝0．6， P(X＝5)＝P(A1B)＝0．6×0．4＝0．24． 所以X的分布列为 X 0 2 5 P 0．16 0．6 0．24 4．数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个巧合，求巧合数X的分布列． 解　X的可能取值为0，1，2，4． 当X＝0时，没有巧合，则有以下几种情况： 所以P(X＝0)＝＝； 当X＝1时，有且只有1个巧合，P(X＝1)＝＝； 当X＝2时，有且只有2个巧合，P(X＝2)＝＝； 当X＝4时，有且只有4个巧合，P(X＝4)＝＝． 所以X的分布列为 X 0 1 2 4 P 知识点三　离散型随机变量分布列的性质 5．设离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，则P(X＝1)的值为________． 答案　 解析　＋＋＝＝1，解得a＝2，所以P(X＝1)＝＝． 6．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则m的值为________． X 0 1 2 3 P m2 2m2 1－2m＋m2 1－3m 答案　 解析　根据题意，由X的分布列，有m2＋2m2＋1－2m＋m2＋1－3m＝1，变形可得4m2－5m＋1＝0，解得m＝1或m＝，又由0<m2<1，0<2m2<1，0<1－2m＋m2<1，0<1－3m<1，分析可得m＝1不符合要求，则m＝． 知识点四　两点分布 7．假设随机变量X服从两点分布，若P(X＝1)－P(X＝0)＝0．2，则P(X＝1)＝________． 答案　0．6 解析　随机变量X服从两点分布，则P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，又P(X＝1)－P(X＝0)＝0．2，联立解得P(X＝1)＝0．6． 8．现有5本书，其中3本数学，2本语文，从中任意抽取1本书，若用随机变量X表示抽到的数学书的本数，求X的分布列． 解　由题意知，X服从两点分布，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，所以随机变量X的分布列为 X 0 1 P 一、选择题 1．下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是(　　) 答案　C 解析　C中，P(X＝1)＜0不符合P(X＝xi)≥0的特点，故C不是分布列． 2．设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X＜4)＝0．3，那么n＝(　　) A．3 B．4 C．10 D．9 答案　C 解析　由X＜4知X＝1，2，3，所以P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0．3＝，解得n＝10． 3．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是(　　) A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝ D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X 答案　A 解析　A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布，B，C，D中的随机变量X均服从两点分布．故选A． 4．某射击运动员射击一次所得环数X的分布列如下表所示： X 4 5 6 7 8 9 10 P 0．03 0．05 0．07 0．08 0．26 a 0．23 则P(X>6)＝(　　) A．0．72 B．0．75 C．0．85 D．0．90 答案　C 解析　由题意0．03＋0．05＋0．07＋0．08＋0．26＋a＋0．23＝1，解得a＝0．28．所以P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0．08＋0．26＋0．28＋0．23＝0．85．故选C． 5．[多选]已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次为b－，b，b＋，其中a为整数，则a的值可能为(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 答案　BCD 解析　因为随机变量X取x1，x2，x3的概率分别为b－，b，b＋，则由分布列的性质得b－＋b＋b＋＝1，故b＝，由解得－1≤a≤1，又a为整数，所以a的值可能为－1，0，1．故选BCD． 二、填空题 6．若离散型随机变量的分布列为 X 0 1 P 4a－1 3a2＋a 则a＝________． 答案　 解析　由4a－1＋3a2＋a＝1可得a＝或a＝－2．当a＝－2时，4a－1＝－9<0，故舍去，所以a＝． 7．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0．2 0．1 0．1 0．3 m 若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝________． 答案　0．5 解析　由分布列的性质，知0．2＋0．1＋0．1＋0．3＋m＝1，∴m＝0．3．由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)＝P(X＝4)＋P(X＝0)＝0．3＋0．2＝0．5． 8．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，5，6，其中a是常数，则P＝________． 答案　 解析　因为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，5，6，所以＋＋＋＋＋＝1，所以a＝，所以P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝． 三、解答题 9．一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字2，3，4，5；另一个盒子里也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字3，4，5，6．现从一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为x，再从另一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量X＝x＋y，求X的分布列． 解　依题意，X的可能取值是5，6，7，8，9，10，11． 则有P(X＝5)＝， P(X＝6)＝＝，P(X＝7)＝， P(X＝8)＝＝，P(X＝9)＝， P(X＝10)＝＝，P(X＝11)＝． 所以X的分布列为 X 5 6 7 8 9 10 11 P 10．在全国硕士研究生统一招生考试中，甲、乙、丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲、乙、丙三名同学通过复试的概率分别为，，p，复试是否通过互不影响，且甲、乙、丙三名同学都没有通过复试的概率为． (1)求p的值； (2)设甲、乙、丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列． 解　(1)因为甲、乙、丙三名同学都没有通过复试的概率为， 所以××(1－p)＝， 则p＝． (2)由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3． P(X＝0)＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝××＝， P(X＝2)＝1－－－＝． 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 学科网（北京）股份有限公司 $$