7.1.2 全概率公式-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评word（人教A版2019）

7．1．2　全概率公式 知识点一　全概率公式的应用 1．已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是(　　) A．0．54 B．0．32 C．0．84 D．0．86 答案　D 解析　从某地市场上购买一个灯泡，设“买到的灯泡是甲厂产品”为事件A，“买到的灯泡是乙厂产品”为事件B，则P(A)＝0．6，P(B)＝0．4．记事件C表示“从该地市场上买到一个合格灯泡”，则P(C|A)＝0．9，P(C|B)＝0．8，所以P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝0．6×0．9＋0．4×0．8＝0．86．故选D． 2．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0．3，0．2，0．1，0．4，迟到的概率分别为0．25，0．3，0．1，0．则他迟到的概率为(　　) A．0．65 B．0．075 C．0．145 D．0 答案　C 解析　设事件A1表示“他乘火车来”，事件A2表示“他乘船来”，事件A3表示“他乘汽车来”，事件A4表示“他乘飞机来”，事件B表示“他迟到”．由全概率公式得P(B)＝P(Ai)·P(B|Ai)＝0．3×0．25＋0．2×0．3＋0．1×0．1＋0．4×0＝0．145．故选C． 3．一个不透明的盒子中有a个红球，b个黑球，若随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从该盒子中第二次取出一球，求第二次取出的是黑球的概率． 解　用A表示第一次取出的是黑球，B表示第二次取出的是黑球，则B＝AB＋B． 由题意可得P(A)＝，P(B|A)＝，P()＝，P(B|)＝． 所以由全概率公式有P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝·＋·＝． 4．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 解　(1)从甲箱中任取2个产品的样本点数为C＝28，这2个产品都是次品的样本点数为C＝3． 所以从甲箱中任取2个产品，这2个产品都是次品的概率为． (2)设事件A为“从乙箱中取1个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1，事件B2，事件B3彼此互斥． P(B1)＝＝， P(B2)＝＝， P(B3)＝＝， P(A|B1)＝＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝， 所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝． 知识点二　*贝叶斯公式的应用 5．已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为7%，女性色盲患者出现的概率为0．5%．今从男、女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是________． 答案　 解析　以事件A表示“选出的是男性”，则事件表示“选出的是女性”，以事件H表示“选出的人是色盲患者”．由题意，知P(A)＝P()＝，P(H|A)＝7%，P(H|)＝0．5%． 由贝叶斯公式可知，此色盲患者是男性的概率为P(A|H)＝ ＝ ＝＝． 6．有3箱同种型号的零件，第1，2，3箱里面分别装有10件、9件、8件，且一等品分别有4件、3件、4件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件．如果先取出的零件是一等品，求它是从第1箱中取出的概率． 解　根据题意，设Ai＝“抽取的零件为第i箱的零件”(i＝1，2，3)，B＝“先取出的零件是一等品”，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝， P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝＝， P(B|A3)＝＝， 由贝叶斯公式可知， P(A1|B)＝ ＝ ＝＝， 即如果先取出的零件是一等品，那么它是从第1箱中取出的概率是． 一、选择题 1．设A，B为两事件，已知P(B)＝0．4，P(A)＝0．5，P(B|A)＝0．3，则P(B|)＝(　　) A．0．3 B．0．4 C．0．5 D．0．6 答案　C 解析　由P(A)＝0．5，得P()＝0．5，由P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)，即0．4＝0．5×0．3＋0．5P(B|)，所以P(B|)＝0．5．故选C． 2．袋中有a个白球和b个黑球，不放回摸球两次，则第二次摸出白球的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　分别记A，B为第一次、第二次摸到白球，由全概率公式，得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝·＋·＝． 3．某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0．8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0．15，邻居浇水的概率为0．8，则该人回来盆栽没有枯萎的概率为(　　) A．0．785 B．0．72 C．0．765 D．0．67 答案　B 解析　记事件A为“盆栽没有枯萎”，事件W为“邻居给盆栽浇水”，由题意可得P(W)＝0．8，P()＝0．2，P(|)＝0．8，P(|W)＝0．15，由全概率公式可得P()＝P(W)P(|W)＋P()P(|)＝0．8×0．15＋0．2×0．8＝0．28，由对立事件的概率公式可得P(A)＝1－P()＝1－0．28＝0．72．故选B． 4．某企业有智能餐厅A和人工餐厅B，员工甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0．7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0．8．则员工甲第二天去A餐厅用餐的概率为(　　) A．0．75 B．0．7 C．0．56 D．0．38 答案　A 解析　设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，B1＝“第1天去B餐厅用餐”，A2＝“第2天去A餐厅用餐”，根据题意，得P(A1)＝P(B1)＝0．5，P(A2|A1)＝0．7，P(A2|B1)＝0．8，则P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0．5×0．7＋0．5×0．8＝0．75．故选A． 5．[多选]甲罐中有5个红球，2个白球，3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2，A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一个球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是(　　) A．P(B|A1)＝ B．P(A3B)＝ C．P(B)＝ D．P(A1|B)＝ 答案　ABD 解析　P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，A正确；P(A3B)＝P(A3)·P(B|A3)＝×＝，B正确；P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝×＋×＋×＝，C错误；P(A1|B)＝＝＝＝，D正确．故选ABD． 二、填空题 6．已知P()＝，P(|A)＝，P(B|)＝，则P(B)＝________． 答案　 解析　由题意知，P(A)＝1－P()＝，P(A)＝P(A)P(|A)＝×＝，P(BA)＝P(A)－P(A)＝－＝，P(B)＝P()P(B|)＝×＝，则P(B)＝P(BA)＋P(B)＝＋＝． 7．利率的变动会对股价产生一定的影响，根据分析得出，在利率下调的情况下，某股票的股价上涨的概率为0．7，在利率不变的情况下，该股票的股价上涨的概率为0．2，在利率上调的情况下，该股票的股价上涨的概率为0．1．假设利率下调的概率为0．6，利率不变的概率为0．3，则该股票的股价上涨的概率为________． 答案　0．49 解析　记事件A为“利率下调”，事件B为“利率不变”，事件C为“利率上调”，事件D为“股价上涨”，则P(A)＝0．6，P(B)＝0．3，P(C)＝0．1，P(D|A)＝0．7，P(D|B)＝0．2，P(D|C)＝0．1，所以P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝0．49． 8．某家公司有三台机器A1，A2，A3生产同一种产品，生产量分别占总产量的，，，且其产品的不良率分别各占其产品量的2%，1．2%，1%，任取公司的一件产品，则其为不良品的概率为________；若已知此产品为不良品，则此产品由A1所生产的概率为________． 答案　　 解析　记事件A1′为“该产品是A1生产的”，事件A2′为“该产品是A2生产的”，事件A3′为“该产品是A3生产的”，事件B为“该产品为不良品”，由全概率公式，得P(B)＝P(A1′)P(B|A1′)＋P(A2′)P(B|A2′)＋P(A3′)P(B|A3′)＝×2%＋×1．2%＋×1%＝．若此产品为不良品，则由贝叶斯公式，得此产品由A1所生产的概率为P(A1′|B)＝＝＝＝． 三、解答题 9．某次考试准备了A，B，C三份试题，开考前从中随机选择一份作为当场考试试题．试题A和试题B被选上的概率都是0．3，如果试题是A或C，考生甲通过考试的概率都是0．8．如果试题是B，考生甲通过考试的概率是0．6．则考生甲能通过考试的概率是多少？ 解　设“考生甲考试题A”为事件A，“考试题B”为事件B，“考试题C”为事件C，“能通过考试”为事件D，由题意知P(A)＝P(B)＝0．3，P(C)＝0．4，P(D|B)＝0．6，P(D|A)＝P(D|C)＝0．8，P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝0．3×0．8＋0．3×0．6＋0．4×0．8＝0．74． 10．已知一所中学中男生人数是女生人数的1．5倍，经调查，男生中爱好运动的占40%，女生中爱好运动的占20%，现随机从这所中学抽取一位学生． (1)求这位学生爱好运动的概率； (2)已知这位学生爱好运动，求该学生是男生的概率． 解　(1)设女生人数占学生中的比例为a，则男生人数占学生中的比例为1．5a，故a＋1．5a＝1，得a＝0．4． 设事件A＝“抽到男生”，事件＝“抽到女生”，事件B＝“爱好运动”， 故P(A)＝0．6，P()＝0．4， 因为男生中爱好运动的占40%，女生中爱好运动的占20%， 所以P(B|A)＝0．4，P(B|)＝0．2， 由全概率公式，得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0．6×0．4＋0．4×0．2＝0．32． (2)“如果这位学生爱好运动，该学生是男生的概率”即为在B发生的条件下，A发生的概率，即 P(A|B)＝＝ ＝＝0．75． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$