7.1.2全概率公式学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） 选择性必修第三册

全概率公式 课标要求　1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式. 2.理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率. 3.了解贝叶斯公式，并会简单应用. 【引入】 王先生从家到公司有两条路可以选择，其中第一条路拥堵的概率是0.3，第二条路拥堵的概率是0.4，王先生选择第一条路的概率是0.7，选择第二条路的概率是0.3，那么王先生上班拥堵的概率是多少？这个概率怎么计算呢？ 一、全概率公式 探究　从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【知识梳理】 全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有________________________. 温馨提示　(1)全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An). (2)全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即化整为零的思想方法. 例1 (链接教材P50例4)某商店新进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05， (1)求任取一箱，从中任取一个为废品的概率； (2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)； (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率； (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2). 训练1 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 二、多个事件的全概率问题 例2 (链接教材P50例5)甲、乙、丙三人同时对飞碟进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞碟被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞碟必定被击落，求飞碟被击落的概率. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　“化整为零”求多事件的全概率问题 如图，P(B)＝P(Ai)P(B|Ai). 已知事件B在事件Ai(i＝1，2，…，n)发生的情况下都有可能发生，则事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和. 训练2 某投篮小组共有20名投手，其中一级投手4人，二级投手8人，三级投手8人，一、二、三级投手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.7，0.4.求任选一名投手能通过选拔进入比赛的概率. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三、贝叶斯公式(*)(选学) 【知识梳理】 贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1，2，…，n. 温馨提示　贝叶斯公式的分子是乘法公式，分母是全概率公式. 例3 (链接教材P51例6)某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到. (1)求这个人迟到的概率； (2)如果这个人迟到了，求他乘轮船迟到的概率. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　1.公式P(A1|B)＝＝反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系. 2.P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事件A1发生的可能在各种可能原因中的比重. 训练3 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【课堂达标】 1.已知P(BA)＝0.4，P(B)＝0.2，则P(B)的值为(　　) A.0.08 B.0.8 C.0.6 D.0.5 2.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为(　　) A.0.21 B.0.06 C.0.94 D.0.95 3.人们为了解一只股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该只股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该只股票价格将上涨的概率为________. 4.(选学)市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%，若用事件A，分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品为合格品.若在市场上买一个灯泡为合格，则买到的合格灯泡是甲厂生产的概率为________.(精确到0.001) 全概率公式 探究　提示　因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是，但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.下面我们给出严格的推导. 用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i＝1，2.如图所示. 事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即R2＝R1R2∪B1R2，利用概率的加法公式和乘法公式， 得P(R2)＝P(R1R2∪B1R2) ＝P(R1R2)＋P(B1R2) ＝P(R1)P(R2|R1)＋P(B1)P(R2|B1) ＝×＋×＝. 知识梳理 P(B)＝P(Ai)P(B|Ai) 例1　解　记事件A，B分别为“任取一箱来自甲厂、乙厂”；A1，B1分别为“任取一个来自甲厂、乙厂”，事件C为“取到的是废品”，则A，B互斥，A1，B1互斥. (1)由题意，得P(A)＝＝，P(B)＝＝， P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05， 由全概率公式，得 P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝. (2)P(A1)＝＝， P(B1)＝＝， P(C|A1)＝0.06，P(C|B1)＝0.05， 由全概率公式，得 P(C)＝P(A1)P(C|A1)＋P(B1)P(C|B1) ＝×＋×＝. 训练1　解　设事件A1，A2分别表示“居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同学是女生”， 则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω， 由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝， 且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝. 由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2) ＝×＋×＝. 例2　解　设B＝“飞碟被击落”，Ai＝“飞碟被i人击中”，i＝1，2，3， 则B＝A1B＋A2B＋A3B， 依题意，得P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6， P(B|A3)＝1. 由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)， 设Hi＝“飞碟被第i人击中”，i＝1，2，3， 则P(A1)＝P(H123＋1H23＋12H3)， P(A2)＝P(H1H23＋H12H3＋1H2H3)， P(A3)＝P(H1H2H3)， 又P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7， 所以P(A1)＝0.36，P(A2)＝0.41，P(A3)＝0.14， 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458. 故飞碟被击落的概率为0.458. 训练2　解　设Ai＝“选出的是i级投手”，i＝1，2，3，B＝“选出的投手能通过选拔进入比赛”， 则A1∪A2∪A3＝Ω，且A1，A2，A3两两互斥. 由题意知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝， 且P(B|A1)＝0.9，P(B|A2)＝0.7， P(B|A3)＝0.4， 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝×0.9＋×0.7＋×0.4＝0.62. 故任选一名投手能通过选拔进入比赛的概率为0.62. 例3　解　(1)设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”， 则P(A)＝0.2，P(D|A)＝0.5，P(B)＝0.4，P(D|B)＝0.2，P(C)＝0.4，P(D|C)＝0. 由全概率公式，此人迟到的概率是 P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C) ＝0.2×0.5＋0.4×0.2＋0.4×0＝0.18. (2)如果这个人迟到了，由贝叶斯公式得他乘轮船迟到的概率为 P(B|D)＝＝ ＝＝. 训练3　解　设B＝“中途停车修理”，A1＝“经过的是货车”，A2＝“经过的是客车”，则B＝A1B∪A2B， 由贝叶斯公式，得 P(A1|B)＝ ＝＝0.8. 课堂达标 1.C　[P(B)＝P(BA)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6.] 2.D　[令B＝“取到的零件为合格品”，Ai＝“零件为第i台机床的产品”，i＝1，2，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥， 由全概率公式，得 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2) ＝×0.96＋×0.93＝0.95.] 3.64%　[设A＝“利率下调”，＝“利率不变”，B＝“股票价格上涨”. 依题意知P(A)＝60%，P()＝40%， P(B|A)＝80%，P(B|)＝40%， 则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝60%×80%＋40%×40%＝64%.] 4.0.735　[B＝AB＋B且AB与B互斥. P(B)＝P(AB＋B)＝P(AB)＋P(B) ＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) ＝0.7×0.95＋0.3×0.8＝0.905， 由贝叶斯公式，所求概率为P(A|B)＝＝ ＝≈0.735.] 学科网（北京）股份有限公司 $$