6.3.2 二项式系数的性质-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评word（人教A版2019）

6．3．2　二项式系数的性质 知识点一　二项式系数的最值问题 1．已知(a＋b)n展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n＝(　　) A．11 B．14 C．7 D．12 答案　D 解析　∵只有第7项的二项式系数最大，∴n为偶数，＋1＝7．∴n＝12． 2．在的展开式中， (1)系数的绝对值最大的项是第几项？ (2)求二项式系数最大的项； (3)求系数最大的项； (4)求系数最小的项． 解　的展开式的通项为 Tk＋1＝C()8－k＝(－1)k2kCx． (1)设第k＋1项系数的绝对值最大， 则即 解得5≤k≤6，即k＝5或k＝6． 故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项． (2)二项式系数最大的项为中间项，即第5项， 且T5＝(－1)4×24×C×x1120x－6． (3)解法一：由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正，则系数最大的项为T7＝C×26×x－11＝1792x－11． 解法二：由于展开式中各项的系数正负相间，因此系数最大项必是奇数项． 设展开式中第k＋1(k为偶数)项的系数最大， 则 解得≤k≤， 则k＝6，故展开式中系数最大的项为T7＝C×26×x－11＝1792x－11． (4)解法一：由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正， 则系数最小的项为T6＝(－1)5×C×25x＝－1792 x． 解法二：由于展开式中各项的系数正负相间，因此系数最小项必是偶数项． 设展开式中第k＋1(k为奇数)项的系数最小， 则 解得≤k≤， 则k＝5，故展开式中系数最小的项为T6＝(－1)5×C×25x＝－1792x． 知识点二　二项式系数和与项的系数和问题 3．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　) A．10 B．20 C．30 D．120 答案　B 解析　由2n＝64，得n＝6，∴Tk＋1＝Cx6－k·＝Cx6－2k(0≤k≤6，k∈N)．由6－2k＝0，得k＝3．∴T4＝C＝20． 4．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64∶1，则x3的系数为(　　) A．15 B．45 C．135 D．405 答案　C 解析　令x＝1，得各项系数和为4n，则＝64，解得n＝6，所以展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－k·＝3kCx．令6－＝3，得k＝2，则x3的系数为32×C＝135．故选C． 5．[多选]若(1－2x)2025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2025x2025，则下列结果正确的是(　　) A．a0＋a1＋a2＋…＋a2025＝－1 B．a0＋a2＋a4＋…＋a2024＝ C．＋＋…＋＝0 D．a1＋2a2＋3a3＋…＋2025a2025＝－4050 答案　ABD 解析　令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a2025＝(－1)2025＝－1　①，故A正确；令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…－a2025＝32025　②，①＋②可得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2024)＝－1＋32025，故a0＋a2＋a4＋…＋a2024＝，故B正确；令x＝0，可得a0＝12025＝1　③，令x＝，可得a0＋＋＋…＋＝0　④，把③代入④，得＋＋…＋＝－1，故C错误；两边对x求导，得－4050(1－2x)2024＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2025a2025x2024．令x＝1，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋2025a2025＝－4050，故D正确．故选ABD． 知识点三　二项式定理的应用 6．1．056的计算结果精确到0．01的近似值是(　　) A．1．23 B．1．24 C．1．33 D．1．34 答案　D 解析　1．056＝(1＋0．05)6＝C＋C×0．05＋C×0．052＋C×0．053＋…＋C×0．056≈1＋0．3＋0．0375＋0．0025＝1．34．故选D． 7．8100－1除以7的余数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　A 解析　因为8100－1＝(1＋7)100－1，其中(1＋7)100＝C＋C×71＋C×72＋…＋C×7100，所以8100－1＝C＋C×71＋C×72＋…＋C×7100－1＝C×71＋C×72＋…＋C×7100＝7(C＋C×71＋…＋C×799)．故8100－1除以7的余数是0．故选A． 8．求证：C－＋＋…＋(－1)n＝(n∈N*)． 证明　∵(x－1)n＋1＝Cxn＋1＋Cxn·(－1)1＋…＋C·x0(－1)n＋1， ∴当x＝1时，0＝C－C＋…＋(－1)n＋1C， ∴C－C＋…＋(－1)nC＝1， ∵C＝· ＝· ＝C， ∴C－＋＋…＋(－1)n ＝[C－C＋…＋(－1)nC] ＝×1 ＝． 一、选择题 1．的展开式中二项式系数最大的项是(　　) A．第3项 B．第6项 C．第6，7项 D．第5，7项 答案　C 解析　的展开式中第项和第＋1项，即第6，7项的二项式系数相等，且最大． 2．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第10项的二项式系数相等，则所有项的二项式系数和为(　　) A．212 B．211 C．210 D．29 答案　A 解析　由题意，展开式中第4项与第10项的二项式系数相等，故C＝C，所以n＝12，因此所有项的二项式系数和为212．故选A． 3．若(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝(　　) A．1 B．513 C．512 D．511 答案　D 解析　由题意知偶数项的系数为负，奇数项的系数为正．令x＝0，得a0＝1，令x＝－1，得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511． 4．[多选]下列关于(a＋b)10的说法，正确的是(　　) A．展开式中的各二项式系数之和为1024 B．展开式中第6项的二项式系数最大 C．展开式中第5项与第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 答案　AB 解析　根据二项式系数的性质，知(a＋b)10的展开式中的各二项式系数之和为210＝1024，故A正确；(a＋b)10的展开式中，二项式系数最大的项是中间一项，即第6项的二项式系数最大，故B正确，C错误；(a＋b)10展开式中各项的系数等于二项式系数，故第6项的系数最大，故D错误．故选AB． 5．[多选]对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9，则(　　) A．a2＝－144 B．a0＝1 C．a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1 D．a0－a1＋a2－…－a9＝39 答案　AC 解析　对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9＝[－1＋2(x－1)]9，所以a2＝－C×22＝－144，故A正确；令x＝1，可得a0＝－1，故B错误；令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，故C正确；令x＝0，可得a0－a1＋a2－…－a9＝－39，故D错误．故选AC． 二、填空题 6．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C＝________． 答案　63 解析　逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63． 7．设a∈Z，且0≤a<7，若22025＋a能被7整除，则a＝________． 答案　6 解析　因为22025＋a＝8675＋a＝(7＋1)675＋a＝C7675＋C7674＋C7673＋…＋C71＋1＋a能被7整除，所以1＋a能被7整除，又0≤a<7，所以a＝6． 8．已知(1－x＋x2)3(1－2x2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a14x14，则a1＋a3＋a5＋…＋a13的值为________． 答案　－13 解析　设f(x)＝(1－x＋x2)3(1－2x2)4．令x＝1，则f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝1；令x＝－1，则f(－1)＝a0－a1＋a2－…－a13＋a14＝27．故a1＋a3＋a5＋…＋a13＝＝＝－13． 三、解答题 9．当n∈N，n>1时，求证：2<<3． 证明　＝1＋C＋C＋…＋C>1＋C＝2， ＝1＋C＋C＋…＋C ＝2＋·＋·＋…＋· <2＋＋＋…＋ <2＋＋＋…＋ ＝2＋ ＝3－<3． 故2<<3． 10．已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋5x)n(m，n∈N*)． (1)若m＝4，n＝5，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项； (2)若h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)的展开式中含x的项的系数为24，那么当m，n为何值时，h(x)的展开式中含x2的项的系数取得最小值？ 解　(1)当m＝4，n＝5时，f(x)＝(1＋x)4＝Cx0＋Cx1＋Cx2＋Cx3＋Cx4， g(x)＝(1＋5x)5＝C(5x)0＋C(5x)1＋…＋C(5x)5， 则f(x)g(x)的展开式中含x2的项为(C×50×C＋C×5C＋C×52×C)x2， 即f(x)g(x)的展开式中含x2的项为356x2． (2)因为h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)的展开式中含x的项的系数为24，所以C＋5C＝24，即m＝24－5n(其中1≤n≤4，n∈N*)． 又h(x)的展开式中含x2的项的系数为 C＋52C＝＋＝＋＝25n2－130n＋276＝25＋107(其中1≤n≤4，n∈N*)， 又＞， 所以当n＝3，m＝9时，h(x)的展开式中含x2的项的系数取得最小值111． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$