6.3.1 二项式定理-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评word（人教A版2019）

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 6.3二项式定理 6.3.1二项式定理 15分钟对点练 知识点一二项式的展开问题 1,用二项式定理展开」 解解法-：=C(2x)+C(2x)+C(2x)3+C(2x+C(2x+C(2x°=32xr-120r2+·+-. 解法二：==(4x3-3)y°=[C(4x(-3)°+C(4x(-3)+C(4x)(-32+C(4x-33+ C(4x)(-3)/+C(4x)-3)]=32r5-120x2+-+-. 2.化简下列各式： (1)Cx+1y°-Cx+1y-+C(x+1)y-2-…+(-1)Cx+1y+…+(-1)yC: (2)2x+1)-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1. 解(I)原式=Cx+1)y+C(x+1)y1(-1)+C(x+1)y-(-1)+…+C(x+1(-1/+…+ C(-1y=[+1)+(-1)'=x". (2)原式=C(2x+1)5-C(2x+1)+C(2x+1>-C(2x+1)y+C(2x+1)-C(2x+1)°=[2x+1)-1]F =(2x)°=32r3. 知识点二求二项式的特定项 3.(a-2b)的展开式的第3项为( A.-1792ab B.-448cb C.1792ad2b D.112ab2 答案D 解析(a-2b)的展开式的第3项为T3=Ca·(-2b=112ab2.故选D. 4.在的展开式中，常数项为( A.15 B.-15 C.30 D.-30 答案A 解析的展开式的通项为T1=Cx-=(-1)Cx,令6-3k=0,得k=2,故常数项为 (-1)2℃=15. 5.(一)的展开式中的有理项有项. 答案2 解析(-)的展开式的通项为T1=C(x)(-x=(-1)Cx, 令∈Z,即3-∈Z, 1 夏学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 又k=0,1,2,…,6,所以k=0或k=6. 当k=0时，=3，T=(-1)Cx2=x3: 当k=6时，=2，T1=(-1)℃x2=x2. 所以展开式中的有理项为x,x2,故(-)的展开式中的有理项有2项. 6.若的展开式的常数项为60，则常数a的值为 答案4 解析的展开式的通项为T+1=Cx(-)x4=Cx-(-,令6-3k=0,得k=2,即当k =2时，T+:为常数项，即常数项是Ca.由已知条件，得Ca=60,解得a=4. 知识点三求二项式的特定项的系数 7.的展开式中2的系数为() A.- B. C. D. 答案C 解析的展开式的通项为T+1=C,*=C(-2)x3,当3-k=2时，k=1,故x的系数为 C××(-2)=-.故选C 8.x(1+x)的展开式中x的系数为( A.30 B.20 C.15 D.10 答案C 解析只需求(1+x)的展开式中x2的系数即可，而(1+x)的展开式中x的系数为C=15.故 选C. 9.已知多项式的展开式中x2的系数为160，则a的值为( A.-1 B.0 C.1 D.2 答案A 解析的展开式的通项为T+1=C(2x)×=(-1/×2~Cx~,故的展开式中含X2的项为 x×(-1)2×22Cx+×(-1)×25'Cx=80(1-ax2,令80(1-a)=160,得a=-1. 10.(1+x)(1一x)的展开式中x的系数是 答案5 解析解法一：(1+x)(1-x)=(1+2x+x2)1-5r+10x2-10x3+5x-x),故展开式中x的 系数为1×(-10)+2×10+1×(-5)=5. 解法二：(1+x)1-x)=(1-x(1-x=(1-2x2+x)1-3x+3x2-x),故展开式中x的系 数为1×(-1)+(-2)×(-3)=5. 2 夏学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解法三：(1+x}的通项为T+1=C(r=0,1,2),(1·x)的通项为T+t=(-1)Ck= 0,1,…,5),则(1+x)(1-x)的通项为(-1)CCx+.令k+r=3,则有或或故展开式中x 的系数为-CC+CC-CC=5. 知识点四多项式的展开问题 11.(2+x十y的展开式中xy2的系数为() A.10 B.30 C.50 D.60 答案B 解析解法一：易知(x2+x+y的展开式的通项为T+1=C(x2+x),令r=2,则T=C(x +x)y2.对于二项式(x2+x),其展开式的通项为T+1=C(x3x=Cx,令6-1=5，得1= 1,故xy2的系数为CC=30 解法二：(2+x+y)表示5个因式(2+x+y)的乘积，要得到x2项，只要先从5个因式中选 2个因式中的y,再在其余3个因式中的两个因式中选x2,另一个因式中选x即可，故xy的 系数为C×C×C=30. 12.求(a+b+c)°的展开式中所有的项数. (a+b+c)=[(a+b)+c]=C(a+b)+C(a+b)"c+.+C(a+b)c"+Cc, C(a+b)的展开式中有11项，C(a+b)'c的展开式中有10项，…，C(a+b)c的展开式有2 项，Cc有1项，并且所有项中都没有同类项. 所以(a+b+c)“的展开式中共有11+10+9+…+2+1=66项， 30分钟综合练 一、选择题 1.的展开式中常数项为( A. B C. D.105 答案B 解析二项展开式的通项为T+1=C0k=C‘,令4-k=0,解得k=4,所以T5=×C =,故选B 2.(十)2的展开式中含x的正整数次幂的项共有( A.4项 B.3项 C.2项 D.I项 答案B 解析(+)2的展开式的通项为T1=C02·0=Cxx=Cx6-,由题意，要使6-为正整数， 3 夏学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 又k=0,1,2,…,12,则k=0,6,12.故选B. 3.若(x≠0)的展开式中x的系数为10，则实数a等于() A.-1 B. C.1 D.2 答案D 解析的展开式的通项为T+1=Cxk=Cx,令5-2k=3,得k=1,∴Ca=10,∴.a= 2. 4.在(1+x)(1+y)的展开式中，记xy项的系数为m,m),则3,4)=() A.30 B.48 C.60 D.120 答案C 解析在(1+x)(1+y)的展开式中，(1+x)的通项为T,+1=Cx,(1+y)的通项为T+1= C,xy项的系数为CC=4×=60,即3,4)=60.故选C. 5.【多选]已知的展开式中的第2项系数比的展开式中的第2项系数小4，则下列说法正确的 是( A.n的值为4 B.展开式中的有理项有1项 C.展开式中无常数项 D.展开式中的第3项是 答案ABC 解析对于A,因为C-C=4,所以n=4,故A正确；对于B,的展开式的通项是T+1= C0,=Cx2-k,令2-k为整数，可得k=0,所以的展开式中的有理项有1项，故B正确： 对于C,令2-k=0,可得k=,又k为自然数，所以的展开式中无常数项，故C正确；对 于D,因为T=Cx2-×2=6,故D错误.故选ABC 二、填空题 6.已知的展开式中常数项为一40，则展开式中的系数为 答案一16 解析因为=x+,的通项为T1=Cx,=(-1)Cx“,所以的展开式中常数项为-C+ mC,则-10+10m=-40,解得m=-3,所以的展开式中的系数为-C-3C=-16. 7.若多项式x2+x0=a十a(+1)+…十ax+1)P+ao(x十1)"，则ao= 答案1一10 解析，x"的系数为ao,,'ao=1.x的系数为a+Cao,,a+10=0,,∴ag=-10. 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 8.若n∈N,(1-y=an十b(ae,bn∈Z),则a十b的值为 答案12 解析当n=5时，(1-)=C+C(-)+C(-)2+C(-+C(-)广+C(-=1-5+20-20+20 -4=41-29,又a5,bs∈Z,∴a5+bs=-29+41=12. 三、解答题 9.求(x2+3x+2)的展开式中x的系数. 解解法一：(x2+3x+2y=x+1)x+2)=(Cx+Cx+…+Cr+C)Cx+Cx4X2+…+ CrX2++CX2), 故展开式中含x的项为Cx×CX2°+C×Cx×2=240x,故展开式中x的系数为240. 解法二：(2+3x+2=[x2+2)+3x, 展开式的通项为T+1=C(x2+2)×(3x), 要使x的指数为1，只有k=1, 且7T32=C(x2+2)×3x=15.x(x+4×2x+6×4x+4×8r2+2, 故展开式中x的系数为15×2=240. 解法三：(？2+3x+2)表示5个因式(x2+3x+2)的乘积，要得到含x的项，只要从5个因式中 选一个因式中的3x,其余4个因式中的2即可.故展开式中x的系数为C×3×C×2= 240. 10.已知二项式(n≤10，neN). (1)若n=6,求展开式中的第4项： (2)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中的有理项. 解(1)因为n=6, 所以T+:=C0 =Cx, 所以展开式中的第4项为 T4=C3x-=-x-. (2)由C+C=2C-(n-7)n-14)=0→n=7, 的展开式的通项为T1=C0?=Cx, 展开式中的有理项即为∈Z时， 又0≤k≤7，且k∈N,所以当k=4时为有理项， 即T=CxI=r 5