6.2.2 排列数-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评word（人教A版2019）

6．2．2　排列数 知识点一　排列数公式的应用 1．若M＝A＋A＋A＋…＋A，则M的个位数字是(　　) A．3 B．8 C．0 D．5 答案　A 解析　∵当n≥5时，A＝1×2×3×4×5×6×…×n＝120×6×…×n，∴当n≥5时，A的个位数字为0．又A＋A＋A＋A＝1＋2＋6＋24＝33，∴M的个位数字是3． 2．已知A＝7A，则n＝________． 答案　7 解析　原方程可化为n(n－1)＝7(n－4)(n－5)，解得n＝7． 3．解方程：3A＝2A＋6A． 解　由3A＝2A＋6A，得3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)． ∵x≥3，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)， 即3x2－17x＋10＝0，解得x＝5或x＝(舍去)． ∴x＝5． 知识点二　无限制条件的排列问题 4．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(　　) A．36 B．120 C．720 D．240 答案　C 解析　由于6人排两排，没有特殊要求的元素，故不同的排法种数为A＝720． 5．某班有4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，每人参加一项且各不相同，则不同的报名方法有________种． 答案　120 解析　由题意可知，不同的报名方法数为从5个不同元素中取出4个元素的排列数，所以不同的报名方法有A＝120种． 6．将3名医生与3名护士分配到3个不同单位，每个单位分配1名医生和1名护士，共有多少种不同的分配方案？ 解　完成这件事可以分为两步： 第一步，把3名医生分配到3个不同的单位，等价于从3个不同元素中取出3个元素的排列问题，有A种方法； 第二步，把3名护士分配到3个不同的单位，也有A种方法． 根据分步乘法计数原理，共有AA＝36种不同的分配方案． 知识点三　有限制条件的排列问题 7．5人站成一排，若甲、乙彼此不相邻，则不同的排法共有(　　) A．144种 B．72种 C．36种 D．12种 答案　B 解析　先对除甲、乙两人外的其他3人排列，有A种排法，3个人排列后有4个空，然后甲、乙两人从这4个空中选2个空排列即可，所以共有AA＝3×2×1×4×3＝72种不同的排法．故选B． 8．现有5位代表参加学校的表彰大会，并排坐在一起，其中甲、乙相邻，则不同的坐法有(　　) A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 答案　C 解析　先安排甲、乙，有A种坐法，再把甲、乙看作一个元素与其余3个人全排列，有A种坐法，所以甲、乙相邻的坐法共有AA＝48种．故选C． 9．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(　　) A．36种 B．42种 C．48种 D．54种 答案　B 解析　因为丙必须排在最后一位，所以只需考虑其余五个节目在前五位上的排法．当甲排在第一位时，有A＝24种排法；当甲排在第二位时，有AA＝18种排法．所以编排方案共有24＋18＝42种．故选B． 知识点四　定序问题 10．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后才能进行．那么这6项工程的不同排法种数是________．(用数字作答) 答案　30 解析　解法一：依题意知，只需将剩余2项工程插入由甲、乙、丙、丁这4项工程形成的5个空中(插1个或2个)，可得有A＋AA＝30种不同排法． 解法二：符合题中要求的排法种数占全排列种数的，故有＝30种不同排法，即安排这6项工程的不同排法种数是30． 11．一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单． (1)前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？ (2)3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？ (3)3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？ 解　(1)∵8个节目全排列有A＝40320种排法， “前4个节目中要有舞蹈”的否定是“前4个节目全是唱歌”，有AA种排法， ∴前4个节目中要有舞蹈，有A－AA＝37440种排法． (2)∵3个舞蹈节目要排在一起， ∴可以把3个舞蹈节目看作一个元素和另外5个元素进行全排列， 3个舞蹈节目本身也有一个排列， ∴有AA＝4320种排法． (3)3个舞蹈节目彼此要隔开， 可以用插空法来解， 先把5个唱歌节目排列，形成6个位置，选3个位置把舞蹈节目排列， 有AA＝14400种排法． 一、选择题 1．已知A＝132，则n＝(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 答案　B 解析　A＝n(n－1)＝132，即n2－n－132＝0，解得n＝12或n＝－11(舍去)． 2．一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放5列不同的火车，则不同的停放方法种数是(　　) A．A B．A C．A D．A 答案　C 解析　因为5列火车不同，所以停放方法与顺序有关，共有A种不同的停放方法． 3．某高校从5名男大学生志愿者和4名女大学生志愿者中选出3名派到3所学校支教(每所学校一名志愿者)，要求这3名志愿者中男、女大学生都有，则不同的选派方案共有(　　) A．210种 B．420种 C．630种 D．840种 答案　B 解析　从这9名大学生志愿者中任选3名派到3所学校支教，则有A种选派方案，3名志愿者全是男生或全是女生的选派方案有A＋A种，故符合条件的选派方案共有A－(A＋A)＝420种． 4．航天员在进行一项太空实验时，先后要实施6个程序，其中程序B和C都与程序D不相邻，则实验顺序的编排方法共有(　　) A．216种 B．288种 C．180种 D．144种 答案　B 解析　当B，C相邻，且与D不相邻时，有AAA＝144种方法；当B，C不相邻，且都与D不相邻时，有AA＝144种方法．故共有288种编排方法． 5．[多选]由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成无重复数字的五位数，且1不能在个位，则关于这样的五位数的个数，下列表示正确的是(　　) A．(A)2A B．A＋(A)2A C．A－2A＋A D．A＋AAA＋AA 答案　BCD 解析　0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成无重复数字的五位数，且1不能在个位，则求这样的五位数的个数可以用以下方法：(特殊位置优先法)①若1在第一位，共有A种；②若1不在第一位，则第一位有A种，再排个位，不能为1，有A种，剩下的有A种，故共有A＋AAA种．(排除法)从这十个数字中任意选五个无重复的数字全排列，共有A种排法，减去1在个位或0在第一位的2A种排法，加上0在第一位且1在个位的A种排法，共有A－2A＋A种．(特殊元素优先法)若有1，①若1在第一位，共有A种；②若1在第二、第三、第四位，共有AAA种．若没有1，第一位有A种，剩下的有A种，共有AA种，故共有A＋AAA＋AA种．故选BCD． 二、填空题 6．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________． 答案　96 解析　5张参观券全部分给4人，同一人分到的2张参观券连号，共有1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4×A＝96种分法． 7．某公司在一场会议中，甲、乙、丙、丁四位员工轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则四位员工的不同发言顺序共有________种． 答案　6 解析　当甲排在第一位时，有AA＝4种发言顺序；当甲排在第二位时，有A＝2种发言顺序．所以共有4＋2＝6种不同的发言顺序． 8．现有2名学生代表、2名教师代表和3名家长代表合影，则同类代表互不相邻的排法共有________种． 答案　912 解析　由题意，设AA表示两名学生位置，BB表示两名教师位置，CCC表示三名家长位置，第一步，先排学生有A种排法；第二步，再排两名教师，有①ABAB与BABA，②AABB与BBAA，③ABBA与BAAB三种情况，对于①，教师有2A种排法，然后再将三名家长排入五个空中，共有A种排法；对于②，教师有2A种排法，然后A与A之间和B与B之间的两个空各选一名家长排入，剩余一名家长排在剩余三个空中的一个，有AA种排法；对于③，教师有2A种排法，然后选一名家长排在最中间一个空中，再将剩余两名家长排在剩余的四个空中，有3A种排法．综上，共有A×2A×(A＋AA＋3A)＝912种排法． 三、解答题 9．(1)求值：； (2)求值：； (3)求值：． 解　(1)＝＝＝3． (2)＝＝＝． (3)＝ ＝ ＝ ＝＝1． 10．某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100 m接力比赛，求分别满足下面条件的选派方法有多少种？ (1)A不能跑第一棒和第四棒； (2)其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人． 解　(1)先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除A之外的5人中选2人，有A种选派方法； 其余两棒从剩余4人中选，有A种选派方法． 由分步乘法计数原理可知，A不能跑第一棒和第四棒，共有AA＝240种选派方法． (2)若第一棒选A，则第四棒只能是C，有A种选派方法； 若第一棒选B，则第四棒在A，C中选一人，有2A种选派方法． 由分类加法计数原理可知，共有A＋2A＝36种选派方法． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$