2025年中考数学专题复习一次函数与反比例函数综合部分重难点专项练习

2025年中考数学专题复习 一次函数与反比例函数综合部分重难点专项练习 1．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，B． (1)求k的值和点B的坐标． (2)不等式的解集是 ． (3)以为边作正方形，再以为直径作弧，以点B为圆心，长为半径作弧，求阴影部分的面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与x轴交于点B，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点C． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出x的取值范围． 4．如图，已知一次函数与反比例函数相交于，两点，其中点的坐标为． (1)求，的值； (2)求的坐标； (3)直接写出不等式的解． 5．一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于A，B两点，其中点， (1)求该反比例函数表达式． (2)若把一次函数的图象向下平移b个单位长度，使之与反比例函数的图象只有一个交点，求b的值． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，且． (1)求反比例函数的解析式． (2)求直线对应的函数解析式． 7．在平面直角坐标系中，反比例函数图象在第一象限内的两个动点（点在点左侧），直线交轴于点． 　　　　 (1)如图1，若，直线的解析式为，求的面积； (2)直线与反比例函数图象的另一个交点为，连接交轴于点． ①如图2，若，点的横坐标为1，求的长； ②如图3，点关于直线的对称点为，过点的直线与直线垂直，若，且直线与轴交于点，求点的横坐标． 8．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是，直线交轴于点． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出使成立的的值． 9．如图，已知是反比例函数图象上的一点． (1)求过点P且与双曲线只有一个公共点的一次函数解析式． (2)Q是第三象限内双曲线上一动点，过点Q的直线与双曲线只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于C，D两点，设（1）中求得的直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，求证：． (3)在（2）的条件下，试求四边形面积的最小值． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)连接，求的面积． 11．如图，中，，，，，反比例函数，）的图象与交于点，与交于点E． (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数，）图象上一动点（点P在D、E之间运动，不与D、E重合），过点P作，交y轴于点M，作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 12．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出 的x取值范围 (3)当时，求的面积． 13．如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，连接，． (1)求反比例函数的表达式． (2)请直接写出当时，的取值范围． (3)反比例函数的图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在．求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 14．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象相交于A，两点． (1)根据图中信息，求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求出点的坐标，并直接写出当时，自变量的取值范围． 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，其中点，点的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，是轴上的点，若，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学专题复习一次函数与反比例函数综合部分重难点专项练习》参考答案 1．(1)， (2)或 (3) 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象的性质，函数与不等式的关系，正方形的性质，坐标与图形的性质等知识，利用数形结合思想是解题的关键． （1）将点分别代入正比例函数和反比例函数，可得m和k的值，再利用反比例函数图象是中心对称图形可得点B的坐标； （2）根据图象直接可得答案； （3）先利用勾股定理求得的长，再由可得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ∴点A与B关于原点O对称， ∴； （2）解：，， 由图象知，不等式的解集为或； 故答案为：或； （3）解：∵，， 由勾股定理得， ∴， ∵为正方形， ∴， ∴ ． 即阴影部分的面积为． 2．(1) (2)或 【分析】（1）由直线与轴交于点，与轴交于点，求出直线表达式，再将代入即可得到答案； （2）当时，求的取值范围就是确定直线在反比例函数图象上方部分对应的的取值范围，求出直线与双曲线的交点是和，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， ，解得， 直线， 在直线上， ，则， 直线与反比例函数在第四象限内的图象交于点， ，则反比例函数的表达式为； （2）解：当时，求的取值范围就是确定直线在反比例函数图象上方部分对应的的取值范围，如图所示： 联立得，则， 解得或， 直线与双曲线的交点是和， 由图可知当时，的取值范围是或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定一次函数表达式、待定系数法确定反比例函数表达式、求直线与反比例函数交点、利用函数图象解不等式等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解决问题的关键． 3．(1) (2)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是数形结合． （1）先求出点A的坐标，然后代入反比例函数解析式，求出k的值即可； （2）先求出点C的坐标，再利用数形结合思想，根据图象法即可求解． 【详解】（1）解： 在一次函数的图象上， ， 解得， 点A的坐标为， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，得， 解得：，， ∴ ∴由图象可得， 当或时，直线的图象在反比例函数的图象的上面， 当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，或． 4．(1)， (2)点的坐标 (3)或 【分析】本题考查了用待定系数法求函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点，函数的图象，熟练掌握以上知识点并利用数形结合思想是解题的关键． （1）把点的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可； （2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，即可求出点坐标； （3）根据、的坐标结合图象即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数， 可得，， 的值为； 把点代入一次函数， 可得，， 解得， 的值为1； （2）解：由（1）可知，一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 根据题意，联立一次函数和反比例函数解析式，得 解得，；， 一次函数与反比例函数相交于，两点，其中点， （3）解：，， 根据图像可知，当或时一次函数值的图象在反比例函数图象的上方， 不等式的解集为或． 5．(1)反比例函数解析式为：； (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出一次函数解析式，再按照平移法则得到平移后的解析式，与反比例函数解析式联立得到一元二次方程，根据根的判别式求出b值即可． 【详解】（1）解：点，都在反比例函数图象上， ， 解得， ，， ， 反比例函数解析式为：； （2）解：，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为， 把一次函数的图象向下平移b个单位长度， 平移后的直线解析式为， 令，整理得：， 平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点， ， 解得或 6．(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得点的坐标是解题的关键． (1)先由，得，点，，得，，则点的坐标是，然后利用待定系数法可得反比例函数的解析式； (2)把点、的坐标代入直线的解析式为即可得直线的解析式为． 【详解】（1）解：， ， 点在第一象限内，， ， ， 点的坐标是， 反比例函数过点， 反比例函数解析式为； （2）解：把点、的坐标代入得， ，解得， 直线对应的函数解析式为． 7．(1) (2)①；② 【分析】（1）先由直线解析式求出点C坐标，进而得到的长度，再通过联立直线和反比例解析式求出点A坐标，最后由求出答案； （2）①通过作辅助线得到及，结合建立关于的方程求出即可；②先设A点坐标为，B点坐标为，然后根据题意求出直线及的解析式，得出，进而根据直角三角形的性质证得，得到到，再根据轴对称和直角三角形的性质得出．点和点D关于对称，过点作轴于点W，连接，设交y轴于点S，证明，再证明，得到，即，即可解答． 【详解】（1）解：对于直线，令，则， 解得：， ∴点C坐标为，则， 联立， 解得或． ∴， ∴； （2）解：①过点A、B、D向x轴作垂线，垂足分别为P、Q、H， 由题意得：点A和点D关于原点O对称， ∴． 根据作图可得． 由平行线分线段成比例得：，， ∵， ∴， ∴， 根据反比例函数的性质，，则． ∴， ∴． ②过点B作x轴的垂线，再过点A、D作直线的垂线，垂足分别为G、H，连接．直线和分别与y轴交于P，Q，直线l与x轴交于点K，设直线与直线交点为， 设点坐标为，B点坐标为，则点D坐标为， ∴点G坐标为，点H坐标为， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为：； 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为，则，解得：， 直线解析式为； ∴， ∴， ∴， 又∵O是的中点， ∴， ∴，即点T是的中点， ∵，则， ∴是直角三角形，且为斜边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 将代入，则， ∴， 将代入，则， ∴， ∵． ∴点B在线段的中垂线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵，，点关于直线的对称点为， ∴， ∴点和点D关于对称， 过点作轴于点W，连接，设交y轴于点S， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 把点及代入解析式得：， 整理得：，则． 故点A的横坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，轴对称图形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，求出两点横坐标的关系及直线和直线关于对称是解答本题的关键． 8．(1) (2)6 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确求出两交点坐标是解题的关键． （1）先求出A、B坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出点M的坐标，再根据进行求解即可； （3）利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点A的坐标为； 当，则，解得：， ∴点B的坐标为． ∵一次函数过A、B两点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设直线与x轴交于M， ∴点M的坐标为， ∴； （3）解：观察函数图象发现： 当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方， ∴当或时，． 9．(1) (2)见解析 (3)48 【分析】（1）求出直线解析式为，反比例函数为．联立直线与反比例解析式并整理得：，由题意得到方程有两个相等的实数根，由，即可求解； （2）设过点Q的直线为，联立上式和反比例函数的表达式并整理得：，由，即即可求解； （3）由，从而可得，则即可求解． 【详解】（1）解：设过点P的一次函数解析式为（）， 把点代入，得， ， ． 又点在上， ∴， 反比例函数为． 联立，得 由题意，得只有一个解， 即方程有两个相等的实数根， ， ， 一次函数解析式为． （2）证明：设过点Q的直线为， 点Q的直线与只有一个公共点， 将直线与双曲线联立，得， 消去y，得， ． ， ． 由直线， 令，则，令，则， ∴，， ∴， ， ． （3）解：． ， ， 当，即时，四边形的面积最小，最小值为48． 【点睛】本题综合考查了三角形的面积，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数的性质，根的判别式，方程组等知识点，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，本题综合性比较强，难度偏大，属一次函数与反比例函数、几何图形综合题目． 10．(1) (2)或 (3)16 【分析】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与一次函数综合．熟练掌握反比例函数与一次函数综合是解题的关键． （1）把点代入，解得，则点的坐标为，然后由反比例函数的图象过点，求反比例函数即可； （2）把点代入直线，解得，即，根据不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象的上方（包含交点）所对应的的取值范围，结合图象作答即可； （3）先求解一次函数与轴的交点坐标，再根据三角形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得，， 解得：， 点的坐标为：， 反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：把点代入直线得，， 解得， ∴， 由函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 不等式的解集为或． （3）解：连接，如图所示， ∵直线与轴相交于点， 当时， ∴ ∴ ∴． 11．(1)， (2)， 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数顶点式求最值是关键． （1）根据条件先求出点B坐标，再利用待定系数法求出直线解析式，将D坐标代入两个函数解析式得到m、k的值． （2）延长交y轴于点Q，交于点L．先设点P的坐标为，求出，再利用三角形面积列出函数解析式，利用最值求出t和面积最大值及点P坐标即可． 【详解】（1）解：，， , 又， ， ， ∴点, 设直线的函数表达式为， 将，代入， 得， 解之得：， ∴直线的函数表达式为， 将点代入中得：， ∴点D的坐标为, 将代入中得：． （2）解：延长交y轴于点Q，交于点L．   ，， ， 轴， ，, ， ， ， ∴ , 设点P的坐标为，则点N的坐标为, ，，, ∴， 当时，, ∴当时，的最大面积为2，此时点P的坐标． 12．(1)反比例函数为：，一次函数的解析式为：． (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式． （2）根据函数图象的交点和图象的位置关系进行解答即可； （3）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． （2）∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴由图象可知， 的x取值范围是 故答案为： （3）∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴， ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为， ∴， 把代入，得， ∴， ∴点， ∴， ∴ 13．(1) (2) (3)存在，点的坐标是 【分析】（）利用一次函数求出点坐标，再利用等腰三角形的性质得到点坐标，进而求出点坐标，最后代入反比例函数的表达式求出即可求解； （）当时，反比例函数图象位于一次函数图象上方，结合函数图象即可求解； （）存在点，使四边形为菱形．连接与交于点，由菱形的性质可得，即得点的横坐标，再把横坐标代入反比例函数的表达式即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点， ∵轴于点， ∴点的横坐标为, 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴； （2）解：当时，反比例函数图象位于一次函数图象上方， ∴由图象可得的取值范围为； （3）解：存在点，使四边形为菱形． 连接与交于点 ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 把代入反比例函数得， ， ∴点的坐标是， ∴反比例函数图象上存在点，使四边形为菱形，此时点的坐标是． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求反比例函数解析式，等腰三角形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，菱形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 14．(1)； (2)或 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式即可； （2）先求出点B的坐标，再根据两个函数图象及交点坐标，直接写出不等式解集即可． 【详解】（1）解：由图象可知，点的坐标为，点的坐标为， 由题意得： ， 解得：． 一次函数的解析式为． 反比例函数的图象过点， 则， 反比例函数的解析式为． （2）解：对于，当时，则， 即点的坐标为． 当时，自变量的取值范围是或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数与反比例函数解析式，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． 15．(1)， (2)或 (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法先求解，再求解，再求解一次函数的解析式即可； （2）直接利用函数图象求解即可； （3）如图，作，交轴于，过作轴于，作交于，则，作轴于，证明，进一步可得，结合一次函数的性质可得，过作轴于，同理可得：，，进一步求解即可． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数得，， ∴反比例函数的解析式为， ∵点的横坐标为． ∴ 将A、B的坐标代入得 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由图象可知：当或时，． （3）解：如图，作，交轴于，过作轴于，作交于，则，作轴于， ∴，， ∴， ∴，而， ∴，， ∴， ∵， 同理可得：的解析式为， 当时，， ∴， 过作轴于， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，利用图象解不等式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$