7.1.2 全概率公式-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

第七章　随机变量及其分布 7.1　条件概率与全概率公式 7.1.2　全概率公式 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 知识点一　全概率公式的应用 1．已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是(　　) A．0．54 B．0．32 C．0．84 D．0．86 解析　从某地市场上购买一个灯泡，设“买到的灯泡是甲厂产品”为事件A，“买到的灯泡是乙厂产品”为事件B，则P(A)＝0．6，P(B)＝0．4．记事件C表示“从该地市场上买到一个合格灯泡”，则P(C|A)＝0．9，P(C|B)＝0．8，所以P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝0．6×0．9＋0．4×0．8＝0．86．故选D． 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 4 2．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0．3，0．2，0．1，0．4，迟到的概率分别为0．25，0．3，0．1，0．则他迟到的概率为(　　) A．0．65 B．0．075 C．0．145 D．0 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 5 3．一个不透明的盒子中有a个红球，b个黑球，若随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从该盒子中第二次取出一球，求第二次取出的是黑球的概率． 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 6 4．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 7 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 8 知识点二　*贝叶斯公式的应用 5．已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为7%，女性色盲患者出现的概率为0．5%．今从男、女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是_____． 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 9 6．有3箱同种型号的零件，第1，2，3箱里面分别装有10件、9件、8件，且一等品分别有4件、3件、4件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件．如果先取出的零件是一等品，求它是从第1箱中取出的概率． 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 10 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 11 30分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 14 3．某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0．8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0．15，邻居浇水的概率为0．8，则该人回来盆栽没有枯萎的概率为(　　) A．0．785 B．0．72 C．0．765 D．0．67 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 15 4．某企业有智能餐厅A和人工餐厅B，员工甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0．7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0．8．则员工甲第二天去A餐厅用餐的概率为(　　) A．0．75 B．0．7 C．0．56 D．0．38 解析　设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，B1＝“第1天去B餐厅用餐”，A2＝“第2天去A餐厅用餐”，根据题意，得P(A1)＝P(B1)＝0．5，P(A2|A1)＝0．7，P(A2|B1)＝0．8，则P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0．5×0．7＋0．5×0．8＝0．75．故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 7．利率的变动会对股价产生一定的影响，根据分析得出，在利率下调的情况下，某股票的股价上涨的概率为0．7，在利率不变的情况下，该股票的股价上涨的概率为0．2，在利率上调的情况下，该股票的股价上涨的概率为0．1．假设利率下调的概率为0．6，利率不变的概率为0．3，则该股票的股价上涨的概率为________． 解析　记事件A为“利率下调”，事件B为“利率不变”，事件C为“利率上调”，事件D为“股价上涨”，则P(A)＝0．6，P(B)＝0．3，P(C)＝0．1，P(D|A)＝0．7，P(D|B)＝0．2，P(D|C)＝0．1，所以P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝0．49． 0．49 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 三、解答题 9．某次考试准备了A，B，C三份试题，开考前从中随机选择一份作为当场考试试题．试题A和试题B被选上的概率都是0．3，如果试题是A或C，考生甲通过考试的概率都是0．8．如果试题是B，考生甲通过考试的概率是0．6．则考生甲能通过考试的概率是多少？ 解　设“考生甲考试题A”为事件A，“考试题B”为事件B，“考试题C”为事件C，“能通过考试”为事件D，由题意知P(A)＝P(B)＝0．3，P(C)＝0．4，P(D|B)＝0．6，P(D|A)＝P(D|C)＝0．8，P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝0．3×0．8＋0．3×0．6＋0．4×0．8＝0．74． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 10．已知一所中学中男生人数是女生人数的1．5倍，经调查，男生中爱好运动的占40%，女生中爱好运动的占20%，现随机从这所中学抽取一位学生． (1)求这位学生爱好运动的概率； (2)已知这位学生爱好运动，求该学生是男生的概率． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 25 　　　　　　　　　　　　　 R 解析　设事件A1表示“他乘火车来”，事件A2表示“他乘船来”，事件A3表示“他乘汽车来”，事件A4表示“他乘飞机来”，事件B表示“他迟到”．由全概率公式得P(B)＝eq \o(∑,\s\up12(4),\s\do10(i＝1))P(Ai)·P(B|Ai)＝0．3×0．25＋0．2×0．3＋0．1×0．1＋0．4×0＝0．145．故选C． 解　用A表示第一次取出的是黑球，B表示第二次取出的是黑球，则B＝AB＋eq \o(A,\s\up12(－))B. 由题意可得P(A)＝eq \f(b,a＋b)，P(B|A)＝eq \f(b＋c,a＋b＋c)，P(eq \o(A,\s\up12(－)))＝eq \f(a,a＋b)，P(B|eq \o(A,\s\up12(－)))＝eq \f(b,a＋b＋c)． 所以由全概率公式有P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \o(A,\s\up12(－)))P(B|eq \o(A,\s\up12(－)))＝eq \f(b,a＋b)·eq \f(b＋c,a＋b＋c)＋eq \f(a,a＋b)·eq \f(b,a＋b＋c)＝eq \f(b,a＋b)． 解　(1)从甲箱中任取2个产品的样本点数为Ceq \o\al(2,8)＝28，这2个产品都是次品的样本点数为Ceq \o\al(2,3)＝3． 所以从甲箱中任取2个产品，这2个产品都是次品的概率为eq \f(3,28)． (2)设事件A为“从乙箱中取1个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1，事件B2，事件B3彼此互斥． P(B1)＝2,5)eq \f(C,Ceq \o\al(2,8)) ＝eq \f(5,14)，P(B2)＝1,5)eq \f(CCeq \o\al(1,3),Ceq \o\al(2,8)) ＝eq \f(15,28)，P(B3)＝2,3)eq \f(C,Ceq \o\al(2,8)) ＝eq \f(3,28)， P(A|B1)＝eq \f(6,9)＝eq \f(2,3)，P(A|B2)＝eq \f(5,9)，P(A|B3)＝eq \f(4,9)， 所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝eq \f(5,14)×eq \f(2,3)＋eq \f(15,28)×eq \f(5,9)＋eq \f(3,28)×eq \f(4,9)＝eq \f(7,12)． 解析　以事件A表示“选出的是男性”，则事件eq \o(A,\s\up12(－))表示“选出的是女性”，以事件H表示“选出的人是色盲患者”．由题意，知P(A)＝P(eq \o(A,\s\up12(－)))＝eq \f(1,2)，P(H|A)＝7%，P(H|eq \o(A,\s\up12(－)))＝0．5%． 由贝叶斯公式可知，此色盲患者是男性的概率为P(A|H)＝eq \f(P(AH),P(H)) ＝eq \f(P(A)P(H|A),P(A)P(H|A)＋P(\o(A,\s\up12(－)))P(H|\o(A,\s\up12(－))))＝eq \f(\f(1,2)×7%,\f(1,2)×7%＋\f(1,2)×0.5%)＝eq \f(14,15)． eq \f(14,15) 解　根据题意，设Ai＝“抽取的零件为第i箱的零件”(i＝1，2，3)，B＝“先取出的零件是一等品”，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝eq \f(1,3)， P(B|A1)＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)，P(B|A2)＝eq \f(3,9)＝eq \f(1,3)， P(B|A3)＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2)， 由贝叶斯公式可知， P(A1|B)＝eq \f(P(A1B),P(B))＝eq \f(P(A1)P(B|A1),P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)) ＝eq \f(\f(1,3)×\f(2,5),\f(1,3)×\f(2,5)＋\f(1,3)×\f(1,3)＋\f(1,3)×\f(1,2))＝eq \f(12,37)， 即如果先取出的零件是一等品，那么它是从第1箱中取出的概率是eq \f(12,37)． 一、选择题 1．设A，B为两事件，已知P(B)＝0．4，P(A)＝0．5，P(B|A)＝0．3，则P(B|eq \o(A,\s\up12(－)))＝(　　) A．0．3 B．0．4 C．0．5 D．0．6 解析　由P(A)＝0．5，得P(eq \o(A,\s\up12(－)))＝0．5，由P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \o(A,\s\up12(－)))P(B|eq \o(A,\s\up12(－)))，即0．4＝0．5×0．3＋0．5P(B|eq \o(A,\s\up12(－)))，所以P(B|eq \o(A,\s\up12(－)))＝0．5．故选C． 2．袋中有a个白球和b个黑球，不放回摸球两次，则第二次摸出白球的概率为(　　) A．eq \f(b,a＋b) B．eq \f(a,(a＋b)2) C．eq \f(a2,(a＋b)2) D．eq \f(a,a＋b) 解析　分别记A，B为第一次、第二次摸到白球，由全概率公式，得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \o(A,\s\up12(－)))P(B|eq \o(A,\s\up12(－)))＝eq \f(a,a＋b)·eq \f(a－1,a＋b－1)＋eq \f(b,a＋b)·eq \f(a,a＋b－1)＝eq \f(a,a＋b)． 解析　记事件A为“盆栽没有枯萎”，事件W为“邻居给盆栽浇水”，由题意可得P(W)＝0．8，P(eq \o(W,\s\up12(－)))＝0．2，P(eq \o(A,\s\up12(－))|eq \o(W,\s\up12(－)))＝0．8，P(eq \o(A,\s\up12(－))|W)＝0．15，由全概率公式可得P(eq \o(A,\s\up12(－)))＝P(W)P(eq \o(A,\s\up12(－))|W)＋P(eq \o(W,\s\up12(－)))P(eq \o(A,\s\up12(－))|eq \o(W,\s\up12(－)))＝0．8×0．15＋0．2×0．8＝0．28，由对立事件的概率公式可得P(A)＝1－P(eq \o(A,\s\up12(－)))＝1－0．28＝0．72．故选B． 5．[多选]甲罐中有5个红球，2个白球，3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2，A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一个球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是(　　) A．P(B|A1)＝eq \f(5,11) B．P(A3B)＝eq \f(6,55) C．P(B)＝eq \f(2,5) D．P(A1|B)＝eq \f(5,9) 解析　P(A1)＝eq \f(5,10)＝eq \f(1,2)，P(A2)＝eq \f(2,10)＝eq \f(1,5)，P(A3)＝eq \f(3,10)，P(B|A1)＝eq \f(5,11)，P(B|A2)＝eq \f(4,11)，P(B|A3)＝eq \f(4,11)，A正确；P(A3B)＝P(A3)·P(B|A3)＝eq \f(3,10)×eq \f(4,11)＝eq \f(6,55)，B正确；P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝eq \f(1,2)×eq \f(5,11)＋eq \f(1,5)×eq \f(4,11)＋eq \f(3,10)×eq \f(4,11)＝eq \f(9,22)，C错误；P(A1|B)＝eq \f(P(A1B),P(B))＝eq \f(P(A1)P(B|A1),P(B))＝eq \f(\f(1,2)×\f(5,11),\f(9,22))＝eq \f(5,9)，D正确．故选ABD． 二、填空题 6．已知P(eq \o(A,\s\up12(－)))＝eq \f(1,3)，P(eq \o(B,\s\up12(－))|A)＝eq \f(1,2)，P(B|eq \o(A,\s\up12(－)))＝eq \f(1,4)，则P(B)＝________． 解析　由题意知，P(A)＝1－P(eq \o(A,\s\up12(－)))＝eq \f(2,3)，P(eq \o(B,\s\up12(－))A)＝P(A)P(eq \o(B,\s\up12(－))|A)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,3)，P(BA)＝P(A)－P(eq \o(B,\s\up12(－))A)＝eq \f(2,3)－eq \f(1,3)＝eq \f(1,3)，P(Beq \o(A,\s\up12(－)))＝P(eq \o(A,\s\up12(－)))P(B|eq \o(A,\s\up12(－)))＝eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,12)，则P(B)＝P(BA)＋P(Beq \o(A,\s\up12(－)))＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,12)＝eq \f(5,12)． eq \f(5,12) 8．某家公司有三台机器A1，A2，A3生产同一种产品，生产量分别占总产量的eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,6)，且其产品的不良率分别各占其产品量的2%，1．2%，1%，任取公司的一件产品，则其为不良品的概率为______；若已知此产品为不良品，则此产品由A1所生产的概率为______． eq \f(47,3000) eq \f(30,47) 解析　记事件A1′为“该产品是A1生产的”，事件A2′为“该产品是A2生产的”，事件A3′为“该产品是A3生产的”，事件B为“该产品为不良品”，由全概率公式，得P(B)＝P(A1′)P(B|A1′)＋P(A2′)P(B|A2′)＋P(A3′)P(B|A3′)＝eq \f(1,2)×2%＋eq \f(1,3)×1．2%＋eq \f(1,6)×1%＝eq \f(47,3000)．若此产品为不良品，则由贝叶斯公式，得此产品由A1所生产的概率为P(A1′|B)＝eq \f(P(A1′B),P(B))＝eq \f(P(A1′)P(B|A1′),P(B))＝eq \f(\f(1,2)×2%,\f(47,3000))＝eq \f(30,47)． 解　(1)设女生人数占学生中的比例为a，则男生人数占学生中的比例为1．5a，故a＋1．5a＝1，得a＝0．4． 设事件A＝“抽到男生”，事件eq \o(A,\s\up12(－))＝“抽到女生”，事件B＝“爱好运动”， 故P(A)＝0．6，P(eq \o(A,\s\up12(－)))＝0．4， 因为男生中爱好运动的占40%，女生中爱好运动的占20%， 所以P(B|A)＝0．4，P(B|eq \o(A,\s\up12(－)))＝0．2， 由全概率公式，得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \o(A,\s\up12(－)))P(B|eq \o(A,\s\up12(－)))＝0．6×0．4＋0．4×0．2＝0．32． (2)“如果这位学生爱好运动，该学生是男生的概率”即为在B发生的条件下，A发生的概率，即 P(A|B)＝eq \f(P(AB),P(B))＝eq \f(P(A)P(B|A),P(B))＝eq \f(0.6×0.4,0.32)＝0．75． $$