6.2.3 组合-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

第六章　计数原理 6.2　排列与组合 6.2.3　组合 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 知识点一　组合的概念 1．给出下列三个事件：①将10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种不同的分法；②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列构成一个三位数，这样的三位数共有多少个；③从7本不同的书中取出5本给某位同学．其中是组合问题的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析　①②③均与顺序无关，所以都是组合问题． 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 4 2．[多选]下列是组合问题的是(　　) A．设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ B．4名同学毕业时，两两互相赠送纪念品一件，一共赠送了多少件纪念品？ C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，每种工作至多由一人干，有多少种分工方法？ D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多分得1本，有几种分配方法？ 解析　A项与元素的顺序无关，故是组合问题；B项，4名同学毕业时，两两互相赠送纪念品一件，赠送者与受赠者是有顺序区别的，故是排列问题；C项，因为分工方法是从5种不同的工作中选出3种，按一定顺序分给3个人去干，故是排列问题；D项，因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题． 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 5 3．给出下列问题： (1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件相同的工作，有多少种不同的选法？ (2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)10个人相互写一封信，共写了多少封信？ (4)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？ (5)一周中有4天是晴天，且这4天晴天均为相邻2天是晴天，另外3天是阴天，不同的结果有多少种？ 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 6 (6)一周中有4天是晴天，且这4天晴天恰有相邻3天是晴天，另外3天是阴天，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？ 解　(1)2名学生完成的是同样的工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题． (3)10个人相互各写一封信，顺序不同，结果不同，是排列问题． (4)10个人相互通一次电话，与顺序无关，是组合问题． (5)4天晴天均为相邻2天是晴天，为相同的元素，是组合问题． (6)4天晴天恰有相邻3天是晴天，则另1天晴天的前一天和后一天都不是晴天，有顺序，是排列问题． 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 7 知识点二　简单的组合问题 4．某班要从5名同学中选出3名参加校运会的3000米长跑比赛，则不同的选择方法有(　　) A．8种 B．10种 C．12种 D．16种 解析　设这5名同学分别为A，B，C，D，E，则所有可能的组合如下： 所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种．故选B． 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 8 5．某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 9 6．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合． 解　要想列出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示： 由此可得所有的组合为ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de, 共10种． 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 10 30分钟综合练 一、选择题 1．下列四个问题属于组合问题的是(　　) A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学出席学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 解析　A，B，D均是排列问题，只有C是组合问题． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 12 2．[多选]下列问题是组合问题的是(　　) A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参加某个社区的人口普查，有多少种不同的选法？ B．平面上有2024个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．从0，1，2，…，9这10个数字中任取2个组成一个集合，这样的集合有多少个？ D．从高三(1)班的45名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 13 解析　组合问题与次序无关，排列问题与次序有关．D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两种不同的选法，因此不是组合问题；A，B，C均是组合问题． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 14 3．将2名女教师、4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有(　　) A．24种 B．10种 C．12种 D．9种 解析　第一步，为甲校选1名女教师，有2种选法；第二步，为甲校选2名男教师，有6种选法；第三步，剩下的3名教师安排到乙校．故不同的安排方案共有2×6×1＝12种． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 15 4．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　) A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 解析　完成这件事需分两类：第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有6种．根据分类加法计数原理，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10种． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 16 5．在1，2，3，4，5，6，7这七个数中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的所有取法种数为(　　) A．6 B．12 C．18 D．24 解析　根据题意，数字5是取出的五个不同数的中位数，则取出的数字中必须有5，6，7，且在1，2，3，4中有两个数字被取出，则不同的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 17 二、填空题 6．从2，3，5，7，11，17，23，29这八个数中任取两个，则下列问题中是组合问题的是_______． ①相加，可得到多少个不同的和？ ②相乘，可得到多少个不同的积？ ③相减，可得到多少个不同的差？ ④相除，可得到多少个不同的商？ 解析　由于减法与除法不满足交换律，与取出的两个数的排列顺序有关，因此③④不是组合问题．由于加法与乘法满足交换律，与取出的两个数的排列顺序无关，因此①②是组合问题． ①② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 18 7．某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门．若要求两类课程中各至少选1门，则共有_____种不同的选法． 解析　分两类，A类选修课选1门，B类选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门．因此共有3×10＋3×5＝45种不同的选法． 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 8．现有4名男志愿者和3名女志愿者，从中选派3人去某地担任服务工作，若被选派的人中至少有一名男志愿者，则不同的选派方法共有_____种．(用数字作答) 解析　依题意分三种情况讨论：①选2名女志愿者与1名男志愿者，女志愿者有3种选法，男志愿者有4种选法，则有4×3＝12种选派方法；②选1名女志愿者与2名男志愿者，女志愿者有3种选法，男志愿者有6种选法，则有3×6＝18种选派方法；③选3名男志愿者，则有4种选派方法．综上可得，共有12＋18＋4＝34种不同的选派方法． 34 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 三、解答题 9．现有8名青年，其中有4名只能胜任英语翻译工作，有3名只能胜任德语翻译工作，有1名两项工作都能胜任．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 解　完成这件事需分为三类： 第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有6×3＝18种选法； 第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有4×3＝12种选法； 第三类，让两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有4×3＝12种选法． 根据分类加法计数原理，共有18＋12＋12＝42种不同的选法． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 10．袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球． (1)取出的3个球中有2个白球、1个黑球的结果有多少种？ (2)取出的3个球中至少有2个白球的结果有多少种？ 解　(1)从4个白球中取2个，有6种方法，从5个黑球中取1个，有5种方法，故取出的3球中有2个白球、1个黑球的结果有6×5＝30种． (2)取出的3个球中至少有2个白球，有2白1黑及3白两种情况，故有6×5＋4＝34种不同的结果． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 　　　　　　　　　　　　　 R 解　因为“甲站到乙站”与“乙站到甲站”车票是不同的，故是排列问题，有Aeq \o\al(2,5)＝20种车票；但票价与顺序无关，“甲站到乙站”与“乙站到甲站”是同一种票价，故是组合问题，则票价的种数是车票种数的一半，即有eq \f(1,2)×20＝10种不同的票价． $$