6.2.2 排列数-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

第六章　计数原理 6.2　排列与组合 6.2.2　排列数 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 4 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 6 知识点二　无限制条件的排列问题 4．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(　　) A．36 B．120 C．720 D．240 解析　由于6人排两排，没有特殊要求的元素，故不同的排法种数为A＝720． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 7 5．某班有4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，每人参加一项且各不相同，则不同的报名方法有______种． 120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 8 6．将3名医生与3名护士分配到3个不同单位，每个单位分配1名医生和1名护士，共有多少种不同的分配方案？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 9 知识点三　有限制条件的排列问题 7．5人站成一排，若甲、乙彼此不相邻，则不同的排法共有(　　) A．144种 B．72种 C．36种 D．12种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 10 8．现有5位代表参加学校的表彰大会，并排坐在一起，其中甲、乙相邻，则不同的坐法有(　　) A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 11 9．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(　　) A．36种 B．42种 C．48种 D．54种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 知识点四　定序问题 10．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后才能进行．那么这6项工程的不同排法种数是______．(用数字作答) 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 13 11．一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单． (1)前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？ (2)3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？ (3)3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 15 30分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 18 3．某高校从5名男大学生志愿者和4名女大学生志愿者中选出3名派到3所学校支教(每所学校一名志愿者)，要求这3名志愿者中男、女大学生都有，则不同的选派方案共有(　　) A．210种 B．420种 C．630种 D．840种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 4．航天员在进行一项太空实验时，先后要实施6个程序，其中程序B和C都与程序D不相邻，则实验顺序的编排方法共有(　　) A．216种 B．288种 C．180种 D．144种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 二、填空题 6．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_____． 96 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 7．某公司在一场会议中，甲、乙、丙、丁四位员工轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则四位员工的不同发言顺序共有_____种． 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 8．现有2名学生代表、2名教师代表和3名家长代表合影，则同类代表互不相邻的排法共有______种． 912 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 27 10．某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100 m接力比赛，求分别满足下面条件的选派方法有多少种？ (1)A不能跑第一棒和第四棒； (2)其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 29 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　排列数公式的应用 1．若M＝Aeq \o\al(1,1)＋Aeq \o\al(2,2)＋Aeq \o\al(3,3)＋…＋Aeq \o\al(2025,2025)，则M的个位数字是(　　) A．3 B．8 C．0 D．5 解析　∵当n≥5时，Aeq \o\al(n,n)＝1×2×3×4×5×6×…×n＝120×6×…×n，∴当n≥5时，Aeq \o\al(n,n)的个位数字为0．又Aeq \o\al(1,1)＋Aeq \o\al(2,2)＋Aeq \o\al(3,3)＋Aeq \o\al(4,4)＝1＋2＋6＋24＝33，∴M的个位数字是3． 解析　原方程可化为n(n－1)＝7(n－4)(n－5)，解得n＝7eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＝\f(10,3)∉N*，舍去))． 2．已知Aeq \o\al(2,n)＝7Aeq \o\al(2,n－4)，则n＝_____． 3．解方程：3Aeq \o\al(3,x)＝2Aeq \o\al(2,x＋1)＋6Aeq \o\al(2,x)． 解　由3Aeq \o\al(3,x)＝2Aeq \o\al(2,x＋1)＋6Aeq \o\al(2,x)，得3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)． ∵x≥3，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)， 即3x2－17x＋10＝0，解得x＝5或x＝eq \f(2,3)(舍去)． ∴x＝5． 解析　由题意可知，不同的报名方法数为从5个不同元素中取出4个元素的排列数，所以不同的报名方法有Aeq \o\al(4,5)＝120种． 解　完成这件事可以分为两步： 第一步，把3名医生分配到3个不同的单位，等价于从3个不同元素中取出3个元素的排列问题，有Aeq \o\al(3,3)种方法； 第二步，把3名护士分配到3个不同的单位，也有Aeq \o\al(3,3)种方法． 根据分步乘法计数原理，共有Aeq \o\al(3,3)Aeq \o\al(3,3)＝36种不同的分配方案． 解析　先对除甲、乙两人外的其他3人排列，有Aeq \o\al(3,3)种排法，3个人排列后有4个空，然后甲、乙两人从这4个空中选2个空排列即可，所以共有Aeq \o\al(3,3)Aeq \o\al(2,4)＝3×2×1×4×3＝72种不同的排法．故选B． 解析　先安排甲、乙，有Aeq \o\al(2,2)种坐法，再把甲、乙看作一个元素与其余3个人全排列，有Aeq \o\al(4,4)种坐法，所以甲、乙相邻的坐法共有Aeq \o\al(2,2)Aeq \o\al(4,4)＝48种．故选C． 解析　因为丙必须排在最后一位，所以只需考虑其余五个节目在前五位上的排法．当甲排在第一位时，有Aeq \o\al(4,4)＝24种排法；当甲排在第二位时，有Aeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(3,3)＝18种排法．所以编排方案共有24＋18＝42种．故选B． 解析　解法一：依题意知，只需将剩余2项工程插入由甲、乙、丙、丁这4项工程形成的5个空中(插1个或2个)，可得有Aeq \o\al(2,5)＋Aeq \o\al(1,5)Aeq \o\al(2,2)＝30种不同排法． 解法二：符合题中要求的排法种数占全排列种数的4,4)eq \f(1,A) ，故有6,6)eq \f(A,Aeq \o\al(4,4)) ＝30种不同排法，即安排这6项工程的不同排法种数是30． 解　(1)∵8个节目全排列有Aeq \o\al(8,8)＝40320种排法， “前4个节目中要有舞蹈”的否定是“前4个节目全是唱歌”，有Aeq \o\al(4,5)Aeq \o\al(4,4)种排法， ∴前4个节目中要有舞蹈，有Aeq \o\al(8,8)－Aeq \o\al(4,5)Aeq \o\al(4,4)＝37440种排法． (2)∵3个舞蹈节目要排在一起， ∴可以把3个舞蹈节目看作一个元素和另外5个元素进行全排列， 3个舞蹈节目本身也有一个排列， ∴有Aeq \o\al(6,6)Aeq \o\al(3,3)＝4320种排法． (3)3个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解， 先把5个唱歌节目排列，形成6个位置，选3个位置把舞蹈节目排列， 有Aeq \o\al(5,5)Aeq \o\al(3,6)＝14400种排法． 一、选择题 1．已知Aeq \o\al(2,n)＝132，则n＝(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 解析　Aeq \o\al(2,n)＝n(n－1)＝132，即n2－n－132＝0，解得n＝12或n＝－11(舍去)． 2．一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放5列不同的火车，则不同的停放方法种数是(　　) A．Aeq \o\al(5,5) B．Aeq \o\al(3,8) C．Aeq \o\al(5,8) D．Aeq \o\al(8,8) 解析　因为5列火车不同，所以停放方法与顺序有关，共有Aeq \o\al(5,8)种不同的停放 方法． 解析　从这9名大学生志愿者中任选3名派到3所学校支教，则有Aeq \o\al(3,9)种选派方案，3名志愿者全是男生或全是女生的选派方案有Aeq \o\al(3,5)＋Aeq \o\al(3,4)种，故符合条件的选派方案共有Aeq \o\al(3,9)－(Aeq \o\al(3,5)＋Aeq \o\al(3,4))＝420种． 解析　当B，C相邻，且与D不相邻时，有Aeq \o\al(3,3)Aeq \o\al(2,4)Aeq \o\al(2,2)＝144种方法；当B，C不相邻，且都与D不相邻时，有Aeq \o\al(3,3)Aeq \o\al(3,4)＝144种方法．故共有288种编排方法． 5．[多选]由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成无重复数字的五位数，且1不能在个位，则关于这样的五位数的个数，下列表示正确的是(　　) A．(Aeq \o\al(1,9))2Aeq \o\al(3,8) B．Aeq \o\al(4,9)＋(Aeq \o\al(1,8))2Aeq \o\al(3,8) C．Aeq \o\al(5,10)－2Aeq \o\al(4,9)＋Aeq \o\al(3,8) D．Aeq \o\al(4,9)＋Aeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(1,8)Aeq \o\al(3,8)＋Aeq \o\al(1,8)Aeq \o\al(4,8) 解析　0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成无重复数字的五位数，且1不能在个位，则求这样的五位数的个数可以用以下方法：(特殊位置优先法)①若1在第一位，共有Aeq \o\al(4,9)种；②若1不在第一位，则第一位有Aeq \o\al(1,8)种，再排个位，不能为1，有Aeq \o\al(1,8)种，剩下的有Aeq \o\al(3,8)种，故共有Aeq \o\al(4,9)＋Aeq \o\al(1,8)Aeq \o\al(1,8)Aeq \o\al(3,8)种．(排除法)从这十个数字中任意选五个无重复的数字全排列，共有Aeq \o\al(5,10)种排法，减去1在个位或0在第一位的2Aeq \o\al(4,9)种排法，加上0在第一位且1在个位的Aeq \o\al(3,8)种排法，共有Aeq \o\al(5,10)－2Aeq \o\al(4,9)＋Aeq \o\al(3,8)种．(特殊元素优先法)若有1，①若1在第一位，共有Aeq \o\al(4,9)种；②若1在第二、第三、第四位，共有Aeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(1,8)Aeq \o\al(3,8)种．若没有1，第一位有Aeq \o\al(1,8)种，剩下的有Aeq \o\al(4,8)种，共有Aeq \o\al(1,8)Aeq \o\al(4,8)种，故共有Aeq \o\al(4,9)＋Aeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(1,8)Aeq \o\al(3,8)＋Aeq \o\al(1,8)Aeq \o\al(4,8)种．故选BCD． 解析　5张参观券全部分给4人，同一人分到的2张参观券连号，共有1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4×Aeq \o\al(4,4)＝96种分法． 解析　当甲排在第一位时，有Aeq \o\al(2,2)Aeq \o\al(2,2)＝4种发言顺序；当甲排在第二位时，有Aeq \o\al(2,2)＝2种发言顺序．所以共有4＋2＝6种不同的发言顺序． 解析　由题意，设AA表示两名学生位置，BB表示两名教师位置，CCC表示三名家长位置，第一步，先排学生有Aeq \o\al(2,2)种排法；第二步，再排两名教师，有①ABAB与BABA，②AABB与BBAA，③ABBA与BAAB三种情况，对于①，教师有2Aeq \o\al(2,2)种排法，然后再将三名家长排入五个空中，共有Aeq \o\al(3,5)种排法；对于②，教师有2Aeq \o\al(2,2)种排法，然后A与A之间和B与B之间的两个空各选一名家长排入，剩余一名家长排在剩余三个空中的一个，有Aeq \o\al(2,3)Aeq \o\al(1,3)种排法；对于③，教师有2Aeq \o\al(2,2)种排法，然后选一名家长排在最中间一个空中，再将剩余两名家长排在剩余的四个空中，有3Aeq \o\al(2,4)种排法．综上，共有Aeq \o\al(2,2)×2Aeq \o\al(2,2)×(Aeq \o\al(3,5)＋Aeq \o\al(2,3)Aeq \o\al(1,3)＋3Aeq \o\al(2,4))＝912种排法． 三、解答题 9．(1)求值：2,7)eq \f(A－Aeq \o\al(2,6),Aeq \o\al(1,4)) ；(2)求值：8,8)eq \f(A－Aeq \o\al(5,9),2Aeq \o\al(5,8)＋4Aeq \o\al(4,8)) ；(3)求值：m,n)eq \f(A＋mAeq \o\al(m－1,n),Aeq \o\al(m,n＋1)) ． 解　(1)2,7)eq \f(A－Aeq \o\al(2,6),Aeq \o\al(1,4)) ＝eq \f(7×6－6×5,4)＝eq \f(12,4)＝3． (2)8,8)eq \f(A－Aeq \o\al(5,9),2Aeq \o\al(5,8)＋4Aeq \o\al(4,8)) ＝4,8)eq \f(4！×A－9Aeq \o\al(4,8),2×4Aeq \o\al(4,8)＋4Aeq \o\al(4,8)) ＝4,8)eq \f(15A,12Aeq \o\al(4,8)) ＝eq \f(5,4)． (3)m,n)eq \f(A＋mAeq \o\al(m－1,n),Aeq \o\al(m,n＋1)) ＝eq \f(\f(n！,(n－m)！)＋\f(m×n！,(n－m＋1)！),\f((n＋1)！,(n＋1－m)！)) ＝eq \f(\f((n－m＋1)×n！,(n－m＋1)！)＋\f(m×n！,(n－m＋1)！),\f((n＋1)！,(n－m＋1)！)) ＝eq \f((n－m＋1)×n！＋m×n！,(n＋1)！)＝eq \f((n＋1)！,(n＋1)！)＝1． 解　(1)先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除A之外的5人中选2人，有Aeq \o\al(2,5)种选派方法； 其余两棒从剩余4人中选，有Aeq \o\al(2,4)种选派方法． 由分步乘法计数原理可知，A不能跑第一棒和第四棒，共有Aeq \o\al(2,5)Aeq \o\al(2,4)＝240种选派方法． (2)若第一棒选A，则第四棒只能是C，有Aeq \o\al(2,4)种选派方法； 若第一棒选B，则第四棒在A，C中选一人，有2Aeq \o\al(2,4)种选派方法． 由分类加法计数原理可知，共有Aeq \o\al(2,4)＋2Aeq \o\al(2,4)＝36种选派方法． $$