6.2.1 第1课时 导数与函数的单调性-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

6.2.1　导数与函数的单调性 第1课时　导数与函数的单调性 (教师独具内容) 课程标准：1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． 教学重点：1.利用导数求函数的单调区间.2.利用导数研究函数的单调性． 教学难点：讨论含参函数的单调性． 核心素养：通过利用导数研究函数的单调性，并结合函数的图象对其加以理解培养数学运算素养和直观想象素养． 知识点　函数的单调性与导数的关系 一般地， (1)如果在区间(a，b)内，f′(x)＞0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0，曲线呈上升状态，因此f(x)在(a，b)上是增函数，如图(1)所示； 　　 (2)如果在区间(a，b)内，f′(x)＜0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0，曲线呈下降状态，因此f(x)在(a，b)上是减函数，如图(2)所示． [拓展]　(1)函数的单调性与导数的关系 ①在利用导数来讨论函数的单调区间时，应先确定函数的定义域，解决问题时在定义域内通过导数的符号来得出函数的单调区间． ②一般利用使导数等于0的点来划分函数的单调区间． ③在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件．(例如f(x)＝x3) ④若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)在该区间仍为增函数． (2)函数变化快慢与其导数的关系 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　　) (2)在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立．(　　) (3)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　　) (4)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的． (2)函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是________． (3)函数f(x)＝4x2＋的单调递减区间是________． 答案：(1)上升　(2)，[1，＋∞)　(3)(－∞，0)， 题型一　求函数的单调区间　 　求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝－x3＋3x2. [解]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝2x－＝. 因为x>0，所以x＋1>0， 由f′(x)>0，解得x>， 所以函数f(x)的单调递增区间为； 由f′(x)<0，解得x<， 又x∈(0，＋∞)， 所以函数f(x)的单调递减区间为. (2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f′(x)＝＝. 因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0. 由f′(x)>0，解得x>3， 所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)； 由f′(x)<0，解得x<3， 又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3]． (3)f(x)＝－x3＋3x2的定义域为(－∞，＋∞)． f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)． 由f′(x)>0，解得0<x<2，因此函数f(x)的单调递增区间是[0，2]； 由f′(x)<0，解得x<0或x>2，因此函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0]和[2，＋∞)． 感悟提升 求函数单调区间的一般步骤 求函数的单调区间，就是解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，这些不等式的解集与函数定义域的交集就是所求的单调区间，其一般步骤如下： (1)求函数f(x)的定义域； (2)求出f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)可得函数的单调递增区间(或单调递减区间)． 注意：如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”“和”等连接或直接用逗号隔开，不能写成并集的形式． [跟踪训练1]　求下列函数的单调区间． (1)y＝(1－x)ex； (2)y＝x3－2x2＋x； (3)y＝x＋sinx，x∈(0，π)． 解：(1)因为y＝(1－x)ex，x∈R， 所以y′＝－xex，所以y′>0时，x<0，y′<0时，x>0，所以函数y＝(1－x)ex的单调递增区间为(－∞，0]，单调递减区间为[0，＋∞)． (2)因为y＝x3－2x2＋x， 所以y′＝3x2－4x＋1，x∈R， ①令3x2－4x＋1>0，得x>1或x<. ②令3x2－4x＋1<0，得<x<1. 所以函数y＝x3－2x2＋x的单调递增区间为和[1，＋∞)，单调递减区间为. (3)因为y＝x＋sinx，所以y′＝＋cosx， ①令y′>0，得cosx>－，又因为x∈(0，π)， 所以0<x<. ②令y′<0，得cosx<－， 又因为x∈(0，π)，所以<x<π. 所以函数y＝x＋sinx的单调递增区间为，单调递减区间为. 题型二　函数与其导函数图象之间的关系　 　(1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) [解析]　由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表： x (－1，b) (b，a) (a，1) f′(x) － ＋ － f(x) 单调递减 单调递增 单调递减 由表可知函数y＝f′(x)的图象，当x∈(－1，b)时，在x轴下方；当x∈(b，a)时，在x轴上方；当x∈(a，1)时，在x轴下方．故选C. [答案]　C (2)y＝f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) [解析]　由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0<x<x1时，f′(x)<0，即函数f(x)为减函数；当x>x1时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．故选C. [答案]　C (3)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　) [解析]　从f′(x)的图象可以看出，在区间内，导数递增；在区间内，导数递减．即函数f(x)的图象在内越来越陡峭，在内越来越平缓．故选D. [答案]　D 感悟提升　研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于所求函数，要注意其图象在哪个区间上单调递增，在哪个区间上单调递减；而对于其导函数，则应注意其函数值在哪个区间上大于零，在哪个区间上小于零，并分析这些区间与所求函数的单调区间是否一致． [跟踪训练2]　(1)已知函数f(x)＝x2＋2cosx，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)图象的大致形状是(　　) 答案：A 解析：设g(x)＝f′(x)＝2x－2sinx，则g′(x)＝2－2cosx≥0，所以函数f′(x)在R上单调递增．结合选项知，A正确． (2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) 答案：D 解析：由函数的图象可知，当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正．对照选项，应选D. (3)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是(　　) 答案：C 解析：由题图可得，当x<－1时，xf′(x)<0，∴f′(x)>0，∴x<－1时，函数y＝f(x)单调递增；当－1<x<0时，xf′(x)>0，∴f′(x)<0，∴－1<x<0时，函数y＝f(x)单调递减；当0<x<1时，xf′(x)<0，∴f′(x)<0，∴0<x<1时，函数y＝f(x)单调递减；当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，∴x>1时，y＝f(x)单调递增．故选C. 题型三　讨论含参函数的单调性　 　(2024·山东德州高二期末)已知函数f(x)＝x2＋aln x－(a＋1)x，讨论当a>0时，f(x)的单调性． [解]　由题意，得f′(x)＝x＋－(a＋1)＝，x∈(0，＋∞)． 令f′(x)＝0，得x＝a或x＝1. ①当0<a<1时，令f′(x)<0，得a<x<1；令f′(x)>0，得0<x<a或x>1. 所以f(x)在(a，1)上单调递减，在(0，a)和(1，＋∞)上单调递增． ②当a＝1时，f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ③当a>1时，令f′(x)<0，得1<x<a； 令f′(x)>0，得0<x<1或x>a， 所以f(x)在(1，a)上单调递减，在(0，1)和(a，＋∞)上单调递增． 综上所述，当0<a<1时，f(x)在(a，1)上单调递减，在(0，a)和(1，＋∞)上单调递增； 当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>1时，f(x)在(1，a)上单调递减，在(0，1)和(a，＋∞)上单调递增． 感悟提升 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． [跟踪训练3]　(2024·山东东营高二期末)已知函数f(x)＝me2x＋(m－2)ex－x，讨论f(x)的单调性． 解：由题意，得f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝2me2x＋(m－2)ex－1＝(mex－1)(2ex＋1)． ①若m≤0，则f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减； ②若m>0，则由f′(x)＝0，得x＝－ln m. 当x∈(－∞，－ln m)时，f′(x)<0；当x∈(－ln m，＋∞)时，f′(x)>0. 所以f(x)在(－∞，－ln m)上单调递减，在(－ln m，＋∞)上单调递增． 综上所述，当m≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 当m>0时，f(x)在(－∞，－ln m)上单调递减，在(－ln m，＋∞)上单调递增． 1．函数f(x)＝5x2－2x的单调递增区间为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：∵f′(x)＝10x－2，令f′(x)>0，可得x>，∴函数f(x)的单调递增区间为. 2．(2024·山东曲阜高二期中)函数f(x)＝x＋－ln x的单调递减区间是(　　) A．(－2，3) B．(－∞，－2)∪(3，＋∞) C．(3，＋∞) D．(0，3) 答案：D 解析：由题意，得函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1－－＝.令f′(x)<0，得0<x<3，所以函数f(x)＝x＋－ln x的单调递减区间是(0，3)．故选D. 3．(多选)将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是(　　) 答案：ABD 解析：对于A，由函数y＝f′(x)的图象可知f′(0)＝0，但函数y＝f(x)的图象在x＝0处的切线斜率不存在，不正确；对于B，由函数y＝f′(x)的图象可知函数y＝f(x)存在增区间，但图中函数y＝f(x)为减函数，不正确；对于C，由函数y＝f′(x)的图象可知函数y＝f(x)在R上为增函数，正确；对于D，由函数y＝f′(x)的图象可知函数y＝f(x)有两个单调区间，但图中函数y＝f(x)有三个单调区间，不正确．故选ABD. 4．已知奇函数f(x)的定义域为R，且>0，则f(x)的单调递减区间为________． 答案：(－1，1) 解析：由>0，可得或所以当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1<x<1时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为(－1，1)． 5．已知函数f(x)＝(－1<x<1，b≠0)，则当b>0时，函数f(x)在(－1，1)上单调________；当b<0时，函数f(x)在(－1，1)上单调________． 答案：递减　递增 解析：当0<x<1时，f′(x)＝－.若b>0，则f′(x)<0，函数f(x)在(0，1)上单调递减；若b<0，则f′(x)>0，函数f(x)在(0，1)上单调递增．又函数f(x)是奇函数，而奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性．所以当b>0时，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当b<0时，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 由导函数的图象判断原函数的图象 求函数的单调递增区间 求函数的单调递减区间 利用导数研究函数的单调性并判断函数的大致图象 利用导数讨论含参函数的单调性 求函数的单调递增区间 由曲线在某点处切线的特征求参数的值；求复合函数的单调递减区间 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 由原函数的图象判断其导函数的图象并解不等式 由函数在某点处的切线方程求参数的值；求函数的单调区间 由曲线的切线方程求参数的值；讨论含参函数的单调性 利用导数研究函数的单调性；利用函数的单调性、奇偶性判断函数的图象 求复合函数在给定区间上的单调递增区间 由函数在某点处的切线方程求参数的值及函数的解析式；求函数的单调区间 求曲线在某点处的切线方程；讨论含参函数的单调区间 一、选择题 1.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能是(　　) 答案：D 解析：根据导函数图象，y＝f(x)的单调递增区间为(－3，－1)，(0，1)，单调递减区间为(－1，0)，(1，3)，观察选项可得D符合．故选D. 2．(2024·山东淄博临淄中学高二阶段检测)函数f(x)＝2ln x－x的单调递增区间为(　　) A．(－∞，2) B．(－2，2) C．(0，2) D．(2，＋∞) 答案：C 解析：由题意，得f(x)＝2ln x－x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1＝.令f′(x)>0，得0<x<2.所以函数f(x)的单调递增区间为(0，2)．故选C. 3．函数y＝(3－x2)ex的单调递减区间是(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3，1) 答案：C 解析：y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令(－x2－2x＋3)ex＜0，由于ex>0，则－x2－2x＋3＜0，解得x＜－3或x＞1，所以函数的单调递减区间是(－∞，－3)和(1，＋∞)．故选C. 4．(2024·四川达州外国语学校高二期中)函数f(x)＝的大致图象为(　　) 答案：B 解析：易知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝.当x＜0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)单调递减；当x＞0时，令f′(x)＞0，得x＞1，令f′(x)＜0，得0＜x＜1，所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以只有B中图象符合．故选B. 5．(多选)(2024·山东日照高二期中)已知函数f(x)＝aln x－x2＋(a－2)x，则下列说法正确的是(　　) A．当a≤0时，f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增 B．当a≤0时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减 C．当a>0时，函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减 D．当a>0时，函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增 答案：BC 解析：由题意，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2x＋a－2＝，当a≤0时，f′(x)<0，此时函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．当a>0时，当x∈时，f′(x)>0，此时函数f(x)在区间上单调递增；当x∈时，f′(x)<0，此时函数f(x)在区间上单调递减．故选BC. 二、填空题 6．(2024·内蒙古师范大学锦山实验中学高二期中)函数f(x)＝的单调递增区间是________． 答案：(0，1] 解析：因为函数f(x)＝，x>0，所以f′(x)＝－，显然当0<x≤1时，f′(x)≥0，所以函数f(x)＝的单调递增区间是(0，1]． 7．已知函数f(x)＝kex－1－x＋x2(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，则f(x)的单调递减区间为________． 答案：(－∞，0) 解析：f′(x)＝kex－1－1＋x.因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，所以f′(0)＝ke－1－1＝0，解得k＝e，故f′(x)＝ex＋x－1.令f′(x)＜0，解得x＜0，故f(x)的单调递减区间为(－∞，0)． 8．在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf′(x)＜0的解集为________． 答案：(－∞，－1)∪(0，1) 解析：由xf′(x)＜0，可得或由题图可知，当－1＜x＜1时，f(x)单调递减，f′(x)＜0，当x＜－1或x＞1时，f(x)单调递增，f′(x)＞0，则或解得0＜x＜1或x＜－1，所以xf′(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)． 三、解答题 9．(2024·江西赣州高二月考)已知函数f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切． (1)求实数a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间． 解：(1)f′(x)＝－2bx， 由题意得解得 (2)由(1)，知f(x)＝ln x－x2， 则f′(x)＝－x＝－， 又x＞0，所以当0＜x＜1时，f′(x)＞0，则f(x)在(0，1)上单调递增； 当x>1时，f′(x)＜0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递减． 故函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)． 10．(2024·山东威海高二期末)设函数f(x)＝x－aex. (1)若直线y＝－x－2是曲线y＝f(x)的切线，求实数a的值； (2)讨论f(x)的单调性． 解：(1)设切点为(x0，f(x0))，则f′(x)＝1－aex. 所以切线方程为y－x0＋aex0＝(1－ae x0)(x－x0)． 因为直线y＝－x－2是曲线y＝f(x)的切线， 所以1－ae x0＝－1，即ae x0＝2. 化简切线方程，得y＝－x＋2x0－2. 所以2x0－2＝－2，解得x0＝0. 所以a＝2. (2)因为f′(x)＝1－aex， 当a≤0时，f′(x)>0， 所以f(x)在R上单调递增． 当a>0时，令f′(x)>0，得x<－ln a， 所以f(x)在(－∞，－ln a)上单调递增； 令f′(x)<0，得x>－ln a， 所以f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递减． 综上可知，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；当a>0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递增，在(－ln a，＋∞)上单调递减． 11．(2024·山东济宁第一中学高二质量检测)函数y＝的图象大致是(　　) 答案：D 解析：因为函数y＝的定义域为{x|x≠0}，设f(x)＝y＝，则f(－x)＝＝f(x)，故y＝为偶函数，其图象关于y轴对称，则排除B.又当x>0时，f(x)＝xln x，f′(x)＝ln x＋1，由f′(x)>0，得x>；由f′(x)<0，得0<x<.故f(x)＝xln x在上单调递减，在上单调递增，则排除A，C，故选D. 12．(2024·山东青岛第五十八中学高二月考)函数f(x)＝sin2x＋2cosx在(0，π)上的单调递增区间为________． 答案：和 解析：由函数f(x)＝sin2x＋2cosx，得f′(x)＝2cos2x－2sinx＝2(1－2sin2x)－2sinx＝－2(2sinx－1)(sinx＋1)．当x∈(0，π)时，由f′(x)>0，得sinx<，解得0<x<或<x<π.故所求单调递增区间为和. 13．已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0. (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)的单调区间． 解：(1)因为f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0， 所以f′(－1)＝－，且－1＋2f(－1)＋5＝0， 即f(－1)＝－2，即＝－2，① 又f′(x)＝， 所以＝－.② 由①②得a＝2，b＝3. (因为b＋1≠0，所以b＝－1舍去) 所以所求函数的解析式是f(x)＝. (2)由(1)知f′(x)＝. 令－2x2＋12x＋6＝0， 解得x1＝3－2，x2＝3＋2， 则当x＜3－2或x＞3＋2时，f′(x)＜0； 当3－2＜x＜3＋2时，f′(x)＞0. 所以函数f(x)的单调递增区间是(3－2，3＋2)，单调递减区间是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞)． 14．已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2. (1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间． 解：(1)∵a＝1， ∴f(x)＝x3＋x2－x＋2， ∴f′(x)＝3x2＋2x－1， ∴f′(1)＝4. 又f(1)＝3，∴切点坐标为(1，3)， ∴所求切线方程为y－3＝4(x－1)， 即4x－y－1＝0. (2)f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝(x＋a)(3x－a)， 由f′(x)＝0得x＝－a或x＝. ①当a＞0时，由f′(x)＜0，得－a＜x＜， 由f′(x)＞0，得x＜－a或x＞， 故f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(－∞，－a)和. ②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0恒成立， 故f(x)在R上单调递增； ③当a＜0时，由f′(x)＜0，＜x＜－a， 由f′(x)＞0，得x＜或x＞－a， 故f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为和(－a，＋∞)． 综上，当a＞0时，函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(－∞，－a)和；当a＜0时，函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为和(－a，＋∞)；当a＝0时，函数f(x)在R上单调递增． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$