6.1.4 第2课时 简单复合函数的求导法则-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

第2课时　简单复合函数的求导法则 (教师独具内容) 课程标准：能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数． 教学重点：复合函数的求导法则． 教学难点：复合函数求导法则的运用． 核心素养：通过学习复合函数的求导法则提升数学运算素养． 知识点一　复合函数的概念 一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值．如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f(g(x))有意义，且称y＝h(x)＝f(g(x))为函数f(u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量． 知识点二　复合函数的求导法则 一般地，如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)g′(x)＝f′(g(x))g′(x)．这一结论也可以表示为y＝yu． [提醒]　复合函数的求导法则运用熟练后，中间步骤可省略不写． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝ln x＋ex＋x3＋是复合函数．(　　) (2)函数y＝sin23x可以看作函数y＝u2，u＝sint和t＝3x的复合函数．(　　) (3)函数y＝ln 的导数为y′＝x.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)下列结论中正确的是(　　) A．若y＝cos，则y′＝－sin B．若y＝sinx2，则y′＝2xcosx2 C．若y＝cos5x，则y′＝－sin5x D．若y＝e3xsin2x，则y′＝6e3xsin2x (2)函数y＝sin2xcos3x的导数是________． (3)若y＝f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________． 答案：(1)B　(2)2cos2xcos3x－3sin2xsin3x　(3)1 题型一　简单复合函数的求导　 　求下列函数的导数． (1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln (6x＋4)； (3)y＝sin(2x＋1)；(4)y＝. [解]　(1)∵y＝(3x－2)2由函数y＝u2和u＝3x－2复合而成，∴y＝yu＝(u2)′(3x－2)′＝6u＝18x－12. (2)∵y＝ln (6x＋4)由函数y＝ln u和u＝6x＋4复合而成， ∴y＝yu＝(ln u)′(6x＋4)′＝＝＝. (3)函数y＝sin(2x＋1)可以看作函数y＝sinu和u＝2x＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有y＝yu＝(sinu)′(2x＋1)′＝2cosu＝2cos(2x＋1)． (4)函数y＝可以看作函数y＝和u＝3x＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有y＝yu＝()′(3x＋5)′＝＝. 感悟提升 1．复合函数求导的步骤 2．求复合函数的导数需处理好的几个环节 (1)求导之前应先将函数化简，然后再求导，以减少运算量； (2)中间变量的选择应是基本初等函数结构； (3)关键是正确分析函数的复合层次； (4)一般是从最外围开始，由外及里，一层层地求导； (5)善于把一部分表达式作为一个整体； (6)最后要把中间变量换成自变量的函数． [跟踪训练1]　求下列函数的导数． (1)y＝cos；(2)y＝esinx； (3)y＝5log2(2x＋1)；(4)y＝. 解：(1)设y＝cosu，u＝3x＋，则y＝yu＝(cosu)′′＝－3sinu＝－3sin. (2)设y＝eu，u＝sinx，则y＝yu＝eucosx＝esinxcosx. (3)设y＝5log2u，u＝2x＋1，则y′x＝yu＝5(log2u)′(2x＋1)′＝＝. (4)设y＝u，u＝1－2x2，则y′x＝(u)′(1－2x2)′＝(－4x)＝(1－2x2)－·(－4x)＝. 题型二　较为复杂函数的求导　 　求下列函数的导数． (1)y＝xe5x＋2； (2)y＝xcossin. [解]　(1)y′＝x′e5x＋2＋x(e5x＋2)′＝e5x＋2＋xe5x＋2×5＝(5x＋1)e5x＋2. (2)∵y＝xcossin＝x(－sin2x)cos2x＝－xsin4x， ∴y′＝′＝－sin4x－cos4x×4＝－sin4x－2xcos4x. 感悟提升　对于复杂函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量，同时要注意复合函数的复合关系，选好中间变量． [跟踪训练2]　求下列函数的导数． (1)f(x)＝sin2x＋e2x； (2)f(x)＝xln (2x＋1)； (3)f(x)＝(a＞0，且a≠1)． 解：(1)因为f(x)＝sin2x＋e2x， 所以f′(x)＝2cos2x＋2e2x. (2)因为f(x)＝xln (2x＋1)，所以f′(x)＝ln (2x＋1)＋x·＝ln (2x＋1)＋. (3)因为f(x)＝(a＞0，且a≠1)， 所以f′(x)＝ ＝. 题型三　导数的综合应用　 　(1)已知e为自然对数的底数，曲线y＝ae2x＋x在点(1，ae2＋1)处的切线与直线2ex－y－1＝0平行，则实数a＝(　　) A．1 B．e C. D. [解析]　函数y＝ae2x＋x的导数为y′＝2ae2x＋1，可得曲线y＝ae2x＋x在点(1，ae2＋1)处的切线的斜率为y′＝2ae2＋1，所以2ae2＋1＝2e，解得a＝.故选C. [答案]　C (2)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是(　　) A．2x－y＝0 B．x－2y＋3＝0 C．2x＋y－4＝0 D．x＋2y－5＝0 [解析]　设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x.因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0. [答案]　A (3)已知曲线y＝cos在点处的切线斜率为k，若|k|<1，则ω的值为(　　) A. B. C. D. [解析]　∵曲线y＝cos过点，∴cos＝0，∴ω×＋＝nπ＋(n∈Z)，∴ω＝2n＋(n∈Z)，又y′＝－ωsin，∴k＝y′|x＝＝－sin＝－sin＝±.∵|k|<1，∴<1，则n只能取0，∴ω＝.故选B. [答案]　B (4)(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________． [解析]　设f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，f′(0)＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.设g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g′(x)＝，设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)，由两曲线有公切线，得＝2，解得x0＝－，则切点为，切线方程为y＝2＋a＋ln ＝2x＋1＋a－ln 2，因为两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2. [答案]　ln 2 (5)已知定义在R上的函数f(x)和g(x)的导函数分别为f′(x)和g′(x)，若f(x)＝g＋x，且f(x)为偶函数，g′(x＋1)为奇函数，则f′(1)＝________，g′＝________，g′＝________，g′(2)＝________． [解析]　因为g′(x＋1)为奇函数，所以g′(－x＋1)＋g′(x＋1)＝0　①，g′(x)的图象关于点(1，0)对称，则g′(1)＝0，而f′(x)＝g′＋1，则f′(1)＝g′(1)＋1＝1.因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，则－f′(－x)＝f′(x)，即f′(x)＋f′(－x)＝0，故f′(x)的图象关于原点对称，f′(0)＝0.因为f′(x)＝g′＋1，所以g′(x)＝2f′(2x－1)－2，g′＝2f′－2＝－2.因为g′(x)的图象关于点(1，0)对称，所以g′＝－g′＝2.又g′＋g′＝2[f′(－2x)＋f′(2x)]－4＝－4，故g′(x)的图象关于点对称，所以g′(x＋1)＋g′(－x)＝－4　②.由①②可得g′(－x)－g′(－x＋1)＝－4，即g′(x＋1)－g′(x)＝4，所以g′(2)＝4＋g′(1)＝4. [答案]　1　－2　2　4 感悟提升　高考中对导数的考查，往往与其他知识点相结合，如切线的斜率、不等式的证明、抽象函数、函数的性质等，解题的关键是能够熟练求出导数，把问题转化为相对应的知识求解． [跟踪训练3]　(1)曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为(　　) A．5x－y＋3＝0 B．5x＋y－3＝0 C．5x－y－3＝0 D．5x＋y＋3＝0 答案：B 解析：y′＝－5e－5x，曲线在点(0，3)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，即5x＋y－3＝0.故选B. (2)若曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线3x－y＋1＝0垂直，则实数a的值是(　　) A．－ B. C．－3 D．3 答案：A 解析：因为y′＝aeax，所以y′|x＝0＝a＝－.故选A. (3)曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　) A. B. C．2 D. 答案：D 解析：设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．∵y′＝，∴y′|x＝x0＝＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln (2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)，∴切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.故选D. (4)(多选)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)，其导函数分别为f′(x)，g′(x)，若f(x)＝f(－x)，g(－2)＝0，f(x)＋g′(x－2)＝cosx，f′(x－2)＋g(x)＝x－2，则(　　) A．g′(x)的图象关于直线x＝－2对称 B．g(x)的图象关于点(－2，0)对称 C．g′(x)是周期函数 D．f′(4)＝0 答案：ABC 解析：因为f(x)＋g′(x－2)＝cosx，所以f(－x)＋g′(－x－2)＝cos(－x)＝cosx.因为f(x)＝f(－x)，所以g′(x－2)＝g′(－x－2)，所以g′(x)的图象关于直线x＝－2对称，A正确；设G(x)＝g(x－2)＋g(－x－2)，则G′(x)＝g′(x－2)－g′(－x－2)＝0，所以G(x)＝c(c为常数)．G(0)＝g(－2)＋g(－2)＝2g(－2)＝0，所以G(x)＝0，即g(x－2)＋g(－x－2)＝0　①，则g(x)的图象关于点(－2，0)对称，B正确；因为f(x)＝f(－x)，所以f′(x)＝－f′(－x)，则f′(x)为奇函数．函数y＝x－f′(x)仍然是奇函数，其图象关于原点对称．又g(x)＝(x－2)－f′(x－2)，所以g(x)的图象关于点(2，0)对称，有g(2－x)＋g(2＋x)＝0，即g(6－x)＋g(x－2)＝0　②.由①②可得g(6－x)＝g(－x－2)，故g(x)为周期函数，T＝8为g(x)的一个周期，也是g′(x)的一个周期，C正确；令x＝6，可得f′(6－2)＋g(6)＝6－2，即f′(4)＝4－g(6)＝4－g(－2)＝4，D错误． 1．(多选)下列函数是复合函数的是(　　) A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4 答案：BCD 解析：A中的函数是一个多项式函数；B中的函数可看作函数u＝x＋，y＝cosu的复合函数；C中的函数可看作函数u＝ln x，y＝的复合函数；D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数．故选BCD. 2．函数y＝cos(1＋x2)的导数是(　　) A．2xsin(1＋x2) B．－sin(1＋x2) C．－2xsin(1＋x2) D．2cos(1＋x2) 答案：C 解析：y′＝[cos(1＋x2)]′＝－sin(1＋x2)(1＋x2)′＝－2xsin(1＋x2)． 3．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)＝(　　) A．0 B．60 C．－1 D．－60 答案：B 解析：因为f′(x)＝10(1－2x3)9(－6x2)，所以f′(1)＝10×(1－2)9×(－6)＝60. 4．函数f(x)＝ln (x2＋1)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为________． 答案：y＝x＋ln 2－1 解析：因为f(x)＝ln (x2＋1)，得f′(x)＝，则f(1)＝ln 2，f′(1)＝1，所以切线的方程为y－ln 2＝1×(x－1)，即y＝x＋ln 2－1. 5．(2024·山东威海银滩高级中学高二月考)烧水时，水温随着时间的推移而变化．假设水的初始温度为20 ℃，加热后的温度函数T(t)＝100－ke－0.1t(k是常数，t表示加热的时间，单位：min)，那么加热到第10 min时，水温的瞬时变化率是________ ℃/min. 答案： 解析：因为水的初始温度为20 ℃，所以T(0)＝100－k＝20，解得k＝80.所以T(t)＝100－80e－0.1t，T′(t)＝8e－0.1t.则T′(10)＝，所以加热到第10 min时，水温的瞬时变化率是 ℃/min. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 直接利用复合函数的求导法则求导 复合函数的求导与三角函数的平移、伸缩变换的综合 利用复合函数的求导法则求函数在某点处的导数 由复合函数在某点处切线的斜率求切点坐标 复合函数的导函数的奇偶性、最值问题 求复合函数在某点处的导数 由复合函数在某点处的导数求参数的值 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 由复合函数和复合函数的导函数组成函数的奇偶性求参数的值 利用复合函数的求导法则求复合函数的导数 由复合函数的图象在某点处的切线方程和切点坐标求复合函数中参数的值 由复合函数的求导法则、导数的几何意义求曲线的切线的倾斜角的取值范围 抽象复合函数的求导与抽象函数的奇偶性、对称性、周期性的综合 求具体复合函数的导数及在某点处的导数；利用复合函数的求导法则及导数的四则运算法则求函数的解析式 利用复合函数的求导法则求曲线在某点处的切线方程；利用复合函数的求导法则及导数的四则运算法则求两曲线公切线的斜率 一、选择题 1．函数y＝(3x－4)2的导数是(　　) A．4(3x－2) B．6x C．6x(3x－4) D．6(3x－4) 答案：D 解析：y′＝[(3x－4)2]′＝2(3x－4)·3＝6(3x－4)． 2．要得到函数f(x)＝sin的导函数f′(x)的图象，只需将f(x)的图象(　　) A．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变) B．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变) C．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变) D．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变) 答案：D 解析：∵f(x)＝sin，∴f′(x)＝2cos＝2sin＝2sin，∴要得到f′(x)的图象只需将f(x)的图象向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)即可． 3．设f(x)＝ln ，则f′(2)＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：∵f(x)＝ln ，由复合函数的导数公式，得f′(x)＝·＝，∴f′(2)＝.故选B. 4．设a∈R，函数f(x)＝ex＋ae－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为(　　) A．ln 2 B．－ln 2 C. D．－ 答案：A 解析：对f(x)＝ex＋ae－x求导，得f′(x)＝ex－ae－x.又f′(x)是奇函数，故f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1，故有f′(x)＝ex－e－x.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0－e－x0＝，解得e x0＝2或e x0＝－(舍去)，得x0＝ln 2.故选A. 5．(多选)若函数f(x)＝sin2x＋sinx，则f′(x)(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．有最大值 D．有最小值 答案：BCD 解析：∵函数f(x)＝sin2x＋sinx，∴f′(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2－，当cosx＝－时，f′(x)取得最小值－；当cosx＝1时，f′(x)取得最大值2，且f′(－x)＝f′(x)．即f′(x)是既有最大值，又有最小值的偶函数． 二、填空题 6．函数y＝ln 在x＝0处的导数为________． 答案： 解析：y＝ln ＝ln ex－ln (1＋ex)＝x－ln (1＋ex)，则y′＝1－＝.当x＝0时，y′＝＝. 7．已知f(x)＝且f′(1)＝2，则a的值为________． 答案：2 解析：∵f(x)＝(ax2－1)，∴f′(x)＝(ax2－1)－·(ax2－1)′＝.又f′(1)＝2，∴＝2，∴a＝2. 8．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________． 答案： 解析：f′(x)＝－sin(x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2sin.若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即2sin＝0，∴φ＋＝kπ(k∈Z)．又φ∈(0，π)，∴φ＝. 三、解答题 9．求下列函数的导数． (1)y＝；(2)y＝e－2x＋1； (3)y＝log2(4x＋7)；(4)y＝102x＋3； (5)y＝. 解：(1)函数y＝＝(1＋3x)－4可以看作函数y＝t－4和t＝1＋3x的复合函数， 由复合函数的求导法则可得y＝yt＝(t－4)′(1＋3x)′＝(－4t－5)×3＝－12(1＋3x)－5＝－. (2)函数y＝e－2x＋1可以看作函数y＝eu和u＝－2x＋1的复合函数，由复合函数的求导法则可得y＝yu＝(eu)′(－2x＋1)′＝eu×(－2)＝－2eu＝－2e－2x＋1. (3)函数y＝log2(4x＋7)可以看作函数y＝log2u和u＝4x＋7的复合函数，根据复合函数求导法则有y＝yu＝(log2u)′(4x＋7)′＝×4＝. (4)函数可看作y＝10u，u＝2x＋3的复合函数， 则y＝yu＝10u×ln 10×2＝2×102x＋3×ln 10. (5)y′＝ ＝＝. 10．设f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在点(0，0)处相切．求a，b的值． 解：由曲线y＝f(x)过(0，0)点，可得ln 1＋1＋b＝0， 故b＝－1. 由f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b，得 f′(x)＝＋＋a， 则f′(0)＝1＋＋a＝＋a， 则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率为＋a. 由题意，得＋a＝，故a＝0. 所以a，b的值分别为0，－1. 11．(多选)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是(　　) A. B. C. D. 答案：CD 解析：因为y＝，所以y′＝＝＝.因为ex＞0，所以ex＋≥2(当且仅当x＝0时取等号)，所以y′∈[－1，0)．又因为α∈[0，π)，所以α∈.故选CD. 12．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，g(x)＝f′(x)，g(1)＝1，且f(x＋1)为奇函数，g(x－1)为偶函数，则f(1)＝________，g(－3)＝________，g(2025)＝________，g(21)＝________． 答案：0　1　1　1 解析：因为f(x＋1)为奇函数，g(x－1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，－f′(－x＋1)＝－f′(x＋1)，g(－x－1)＝g(x－1)，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，g(x)的图象关于直线x＝－1对称，f′(x)的图象关于直线x＝1对称，又g(x)＝f′(x)，则g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以g(x)＝g(2－x)＝g(－2－x)，g(x)是以4为周期的函数，令x＝0，则f(1)＝－f(1)，得f(1)＝0，令x＝2，则g(－3)＝g(1)＝1，因为2025＝4×506＋1，所以g(2025)＝g(1)＝1，因为21＝4×5＋1，所以g(21)＝g(1)＝1. 13．(1)已知f(x)＝eπxsinπx，求f′(x)及f′； (2)已知函数f(x)满足f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2，求f(x)的解析式． 解：(1)因为f(x)＝eπxsinπx， 所以f′(x)＝πeπxsinπx＋πeπxcosπx ＝πeπx(sinπx＋cosπx)， 所以f′＝πe＝πe. (2)由已知，得f′(x)＝f′(1)ex－1－f(0)＋x， 所以f′(1)＝f′(1)－f(0)＋1，即f(0)＝1. 又f(0)＝f′(1)e－1，所以f′(1)＝e. 从而f(x)＝ex－x＋x2. 14．(1)设函数f(x)＝，在曲线y＝f(x)上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程； (2)已知直线l与两条曲线y＝ex＋1和y＝ex＋1均相切，求直线l的斜率； (3)曲线y＝e2xcos3x在(0，1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程． 解：(1)设切点的坐标为P(x0，y0)， 由题意可知f′(x0)＝0. 又f′(x)＝， 所以f′(x0)＝＝0， 解得x0＝0，此时y0＝1， 即该点的坐标为(0，1)，切线方程为y－1＝0. (2)设两个切点分别为(x1，ex1＋1)，(x2，e x2＋1)，直线l的斜率k＝e x1＝e x2＋1， 故x1＝x2＋1. 因为x1≠x2，所以k＝＝1， 所以k＝1. (3)由曲线y＝e2xcos3x，得 y′＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′＝2e2xcos3x－3e2xsin3x， ∴当x＝0时，y′＝2. ∴曲线在点(0，1)处的切线方程为y－1＝2x，即y＝2x＋1. 设直线l的方程为y＝2x＋b， 由题意得＝， ∴b＝6或b＝－4. ∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$