6.1.4 第1课时 导数的四则运算法则-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

6.1.4　求导法则及其应用 第1课时　导数的四则运算法则 (教师独具内容) 课程标准：能利用导数的四则运算法则求简单函数的导数． 教学重点：导数的四则运算法则． 教学难点：导数的四则运算法则的证明过程及其应用． 核心素养：通过学习导数的四则运算法则提升数学运算素养． 知识点一　函数和与差的求导法则 (1)一般地，如果f(x)，g(x)都可导，则[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)．即两个函数之和的导数，等于这两个函数的导数之和． (2)类似地，如果f(x)，g(x)都可导，则[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．即两个函数之差的导数，等于这两个函数的导数之差． 上述法则可以推广到任意有限个函数，即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)． 知识点二　函数积的求导法则 当f(x)，g(x)都可导时，有[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．即两个函数之积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数． 特别地，当 g(x)是常数函数，即g(x)＝C时，有[Cf(x)]′＝Cf′(x)．即常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数． [拓展]　(1)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)，其中a，b为常数． (2)函数积的求导法则可以推广到任意有限个函数，即[f1(x)f2(x)·…·fn(x)]′＝f(x)f2(x)·…·fn(x)＋f1(x)f(x)·…·fn(x)＋…＋f1(x)f2(x)·…·f(x)． 知识点三　函数商的求导法则 当f(x)，g(x)都可导，且g(x)≠0时，有′＝． 其中g2(x)表示的是[g(x)]2.特别地，当f(x)＝1时，有′＝－． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)＝2x2＋x，则f′(x)＝4＋x.(　　) (2)若函数y＝x3－x2＋1，则y′＝3x2－2x.(　　) (3)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．(　　) (4)若y＝，则y′＝.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若函数f(x)＝2x＋sincos，则f′(x)＝________． (2)若f(x)＝x，g(x)＝log2x，则f′(x)－g′(x)＝________． (3)若y＝，则y′＝________． 答案：(1)2xln 2＋cosx　(2)1－ (3)－ 题型一　利用求导法则求函数的导数　 　求下列函数的导数． (1)y＝＋；(2)y＝(2x2－1)(3x＋1)； (3)y＝x3·10x；(4)y＝cosx·ln x； (5)y＝. [解]　(1)y＝＋＝2x－2＋3x－3， y′＝－4x－3－9x－4. (2)解法一：y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′ ＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′ ＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1) ＝12x2＋4x＋6x2－3 ＝18x2＋4x－3. 解法二：y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1， y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′ ＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－1′ ＝18x2＋4x－3. (3)y′＝(x3)′·10x＋x3·(10x)′＝3x2·10x＋x3·10x·ln 10. (4)y′＝(cosx)′·ln x＋cosx·(ln x)′＝－sinx·ln x＋. (5)y′＝ ＝. 感悟提升　 (1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要先分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导． (2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导． [跟踪训练1]　求下列函数的导数． (1)y＝x3－x2－x＋3；(2)y＝x2＋log3x； (3)y＝x3·ex；(4)y＝； (5)y＝＋. 解：(1)y′＝(x3－x2－x＋3)′＝(x3)′－(x2)′－x′＋3′＝3x2－2x－1. (2)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋. (3)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex＝x2ex(3＋x)． (4)y′＝′ ＝ ＝ ＝. (5)因为y＝＋ ＝＋ ＝＝－2， 所以y′＝′ ＝ ＝. 题型二　求导法则的应用　 　(1)曲线f(x)＝x3－4x2＋4在点(1，1)处的切线方程为(　　) A．y＝－x＋2 B．y＝5x－4 C．y＝－5x＋6 D．y＝x－1 [解析]　由f(x)＝x3－4x2＋4，得f′(x)＝3x2－8x，f′(1)＝3－8＝－5，所以曲线f(x)＝x3－4x2＋4在点(1，1)处的切线方程为y－1＝－5(x－1)，即y＝－5x＋6. [答案]　C (2)已知函数f(x)＝f′(1)x2＋ln x＋f(1)，则f′(2)＝(　　) A．2 B. C. D. [解析]　因为f(x)＝f′(1)x2＋ln x＋f(1)，所以f′(x)＝f′(1)x＋－f(1)，则f′(1)＝f′(1)＋1－f(1)，解得f(1)＝3.由f(1)＝f′(1)＋f(1)，解得f′(1)＝4，则f′(x)＝4x＋－，f′(2)＝. [答案]　D (3)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. ①求f(x)的解析式； ②证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． [解]　①由7x－4y－12＝0，得y＝x－3. 当x＝2时，y＝，∴f(2)＝2a－＝，(ⅰ) 又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝a＋＝.(ⅱ) 由(ⅰ)(ⅱ)得解得 故f(x)＝x－. ②设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)， 即y－＝(x－x0)． 令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为. 令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0)． ∴曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为××|2x0|＝6. 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 感悟提升　利用导数的几何意义求参数时，常根据以下关系列方程：(1)函数在切点处的导数等于切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上；(4)题目所给的其他条件．最后通过解方程(组)确定参数的值． [跟踪训练2]　(1)曲线f(x)＝－在点M处的切线的斜率为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：B 解析：f′(x)＝＝，故f′＝，所以曲线f(x)在点M处的切线的斜率为. (2)(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：f′(x)＝，则f′(0)＝＝3，故该切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝－，故该切线与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×1×＝.故选A. (3)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________． 答案：8 解析：解法一：由y＝x＋ln x，得y′＝1＋，∴切线斜率k＝y′|x＝1＝2，∴切线方程为y＝2x－1.由y＝2x－1与y＝ax2＋(a＋2)x＋1联立，得ax2＋ax＋2＝0，再由相切知Δ＝a2－8a＝0，解得a＝0或a＝8.∵当a＝0时，y＝ax2＋(a＋2)x＋1并非曲线而是直线，∴a＝0舍去，故a＝8. 解法二：由y＝x＋ln x得y′＝1＋，∴y′|x＝1＝2，∴曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.又切线y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，当a＝0时，y＝2x＋1与y＝2x－1平行，故a≠0.∵y′＝2ax＋a＋2，∴令2ax＋a＋2＝2，得x＝－，代入y＝2x－1，得y＝－2，∴点在曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1上，故－2＝a×＋(a＋2)×＋1，∴a＝8. (4)若函数f(x)＝在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，则c＝________． 答案： 解析：∵f(x)＝，∴f(c)＝，又f′(x)＝＝，∴f′(c)＝.依题意，知f(c)＋f′(c)＝0，∴＋＝0，∴2c－1＝0，解得c＝. 1．下列运算中正确的是(　　) A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′ B．(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2′(x2)′ C.′＝ D．(cosxsinx)′＝(sinx)′cosx＋(cosx)′cosx 答案：A 解析：对于A，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，A正确；对于B，(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2(x2)′，B错误；对于C，′＝，C错误；对于D，(cosxsinx)′＝(cosx)′sinx＋cosx(sinx)′，D错误．故选A. 2．(多选)若函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0可能等于(　　) A．a B．－a2 C．－a D．a2 答案：AC 解析：y′＝′＝＝，由x－a2＝0，得x0＝±a.故选AC. 3．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 答案：C 解析：设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)，因为y＝，所以y′＝＝，所以k＝y′|x＝1＝，所以y－＝(x－1)，所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋.故选C. 4．已知函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋2x＋5，则f′(1)＝________，f′(2)＝________． 答案：1　2 解析：由题得f′(x)＝x2－2f′(1)x＋2，所以f′(1)＝1－2f′(1)＋2，所以f′(1)＝1，所以f′(x)＝x2－2x＋2，所以f′(2)＝4－4＋2＝2. 5．(2024·山东青岛即墨区第一中学高二月考)已知函数f(x)＝ln x＋，直线y＝－x＋3与曲线y＝f(x)相切，则a＝________． 答案：2 解析：f′(x)＝－，设切点为(x0，y0)．因为直线y＝－x＋3与曲线y＝f(x)相切，故消去y0，得－x0＋3＝ln x0＋，即＝－x0＋3－ln x0，代入①式，得1－(－x0＋3－ln x0)＝－x0，即2x0＋ln x0－2＝0.易得x0＝1，代入－＝－1，解得a＝2. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 利用函数商的求导法则求函数在某点处的导数 利用函数积和差的求导法则求函数的导数并判断导函数的奇偶性 利用函数差的求导法则求函数的导数并解关于导函数的不等式 利用函数差的求导法则求函数在某点处的导数；利用导数的几何意义求点到直线距离的最小值 利用函数和与差的求导法则求物体运动的瞬时速度 利用函数积的求导法则求函数在某点处的导数 利用函数和、差、商的求导法则求函数在某点处的导数 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用函数积的求导法则求经过曲线外一点的切线方程 利用导数的四则运算法则求函数的导数 已知曲线在某点处的切线方程，利用函数差的求导法则求参数的值；已知曲线在某点处切线的斜率，利用函数差的求导法则求切点坐标及切线方程 利用函数和、差、积的求导法则求抽象函数在某点处的导数和 利用函数积的求导法则，由曲线过某点的切线的条数求参数的取值范围 利用函数差的求导法则，由两曲线在某点处切线的斜率相同求参数的值；由两曲线存在切线斜率相同的点求参数的取值范围 利用函数商的求导法则，由切点坐标、切线方程求函数解析式；利用商的求导法则求曲线切线斜率的取值范围 一、选择题 1．已知f(x)＝，则f′＝(　　) A．－2－ln 2 B．－2＋ln 2 C．2－ln 2 D．2＋ln 2 答案：D 解析：依题意，有f′(x)＝·′＝·＝，故f′＝2＋ln 2.故选D. 2．函数f(x)＝xcosx－sinx的导函数(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数 答案：B 解析：f′(x)＝(xcosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.令F(x)＝－xsinx，x∈R，则F(－x)＝xsin(－x)＝－xsinx＝F(x)，∴f′(x)是偶函数．故选B. 3．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为(　　) A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1，0) 答案：C 解析：∵f(x)＝x2－2x－4ln x，∴f′(x)＝2x－2－>0，整理，得>0，又x>0，∴x>2.故选C. 4．已知点P是曲线y＝x2－ln x上一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为(　　) A．1 B. C．3 D. 答案：B 解析：作一直线与直线y＝x－2平行，且与曲线y＝x2－ln x相切于点P，则切点P到直线y＝x－2的距离最小．设P(x0，x－ln x0)，f(x)＝y＝x2－ln x，∴f′(x)＝2x－，则切线斜率k＝f′(x0)＝2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－(舍去)，∴点P的坐标为(1，1)，∴dmin＝＝.故选B. 5．(多选)已知物体的运动方程是s＝t4－4t3＋16t2(t表示时间，单位：秒；s表示位移，单位：米)，则瞬时速度为0的时刻可以为(　　) A．0秒 B．2秒 C．4秒 D．8秒 答案：ACD 解析：s′＝t3－12t2＋32t，令s′＝0，即t3－12t2＋32t＝0，因式分解得t(t－4)(t－8)＝0，解得t＝0，4，8.故选ACD. 二、填空题 6．已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________． 答案：e 解析：由函数的解析式可得f′(x)＝ex·ln x＋ex·＝ex，则f′(1)＝e1×＝e，即f′(1)的值为e. 7．函数y＝在x＝2处的导数是________． 答案： 解析：y′＝′ ＝＝，设f(x)＝y，所以f′(2)＝. 8．(2024·山东济宁名校联盟高二期中)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________． 答案：x－y－1＝0 解析：设切点坐标为(x0，y0)．∵f′(x)＝1＋ln x(x＞0)，∴解得x0＝1，y0＝0.∴切点坐标为(1，0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0. 三、解答题 9．求下列函数的导数． (1)y＝－ln x； (2)y＝(x2＋1)(x－1)； (3)y＝； (4)y＝. 解：(1)y′＝(－ln x)′＝()′－(ln x)′＝－. (2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1. (3)y′＝ ＝. (4)y′＝ ＝. 10．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0. (1)求a，b的值； (2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线方程． 解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a， 由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16. (2)∵切线与直线y＝－x＋3垂直， ∴切线的斜率k＝4. 设切点坐标为(x0，y0)， 则f′(x0)＝3x＋1＝4， ∴x0＝±1. 由f(x)＝x3＋x－16， 可得y0＝1＋1－16＝－14或y0＝－1－1－16＝－18， ∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)． 则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18， 即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0. 11．(2024·山东威海高二月考)若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：当x＝1时，f(1)＋g(1)＝0，又f(1)＝1，得g(1)＝－1.原式两边求导，得f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，当x＝1时，f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，得f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2－(－1)＝3.故选C. 12．若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析：因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝(x0＋a＋1)ex0＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 13．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)． (1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线的斜率相同，求a的值； (2)若存在一点，使得曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在该点处的切线的斜率相同，求实数a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝1＋，g′(x)＝－， 所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线的斜率为g′(1)＝－a， 由已知，得f′(1)＝g′(1)，得a＝－3. (2)由题意，得1＋＝－(x>0)， 则a＝－x－≤－2，当且仅当x＝时，等号成立， 故实数a的取值范围为(－∞，－2]． 14．已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围． 解：(1)f′(x)＝ ＝. ∵f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切， ∴即 由ab－a＝0，得a(b－1)＝0，由题意知a≠0， ∴b＝1，∴a＝4，∴f(x)＝. (2)∵f′(x)＝， ∴直线l的斜率 k＝f′(x0)＝ ＝4. 令t＝，则t∈(0，1]， k＝4(2t2－t)＝8－， ∴k∈， 即直线l的斜率k的取值范围是. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$