6.1.3 基本初等函数的导数-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

6.1.3　基本初等函数的导数 (教师独具内容) 课程标准：1.能根据导数定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.3.会使用导数公式表． 教学重点：利用导数公式表求简单函数的导数． 教学难点：导数公式的推导过程． 核心素养：1.通过学习导数公式的推导过程提升逻辑推理素养.2.通过应用导数公式表求简单函数的导数提升数学运算素养． 知识点一　导函数的概念 一般地，如果函数y＝f(x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f(x)可导．此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是，在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数，记作f′(x)(或y′，y′x)，即f′(x)＝y′＝y′x＝． 导函数通常也简称为导数． 知识点二　几个常见函数的导数 函数 导函数 f(x)＝C，C为常数 f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝x3 f′(x)＝3x2 f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝(x＞0) f′(x)＝ 知识点三　导数公式表 函数 导函数 f(x)＝xα(α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝sinx f′(x)＝cosx f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y＝，则y′＝×2＝1.(　　) (2)若f′(x)＝sinx，则f(x)＝cosx.(　　) (3)若f(x)＝，则f′(x)＝.(　　) (4)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)′＝________． (2)(2x)′＝________． (3)曲线y＝在点M(3，3)处的切线方程是________． (4)已知函数f(x)＝logax，若f′(1)＝1，则a＝________． 答案：(1)－　(2)2xln 2　(3)x＋y－6＝0　(4)e 题型一　利用求导公式直接求导　 　求下列函数的导数． (1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝log5x. [解]　(1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－. (3)y′＝()′＝′＝x－＝. (4)y′＝(log5x)′＝. 感悟提升　求简单函数的导函数的方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂． (2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． [跟踪训练1]　求下列函数的导数． (1)y＝3x；(2)y＝x；(3)y＝2－x； (4)y＝cos2－sin2. 解：(1)y′＝(3x)′＝3xln 3. (2)y′＝(x)′＝(x)′＝x－1＝x. (3)y′＝(2－x)′＝′＝ln ＝－ln 2. (4)∵y＝cos2－sin2＝cosx， ∴y′＝(cosx)′＝－sinx. 题型二　利用导数公式求曲线的切线方程　 　(1)求过曲线y＝sinx上点P且与在这点的切线垂直的直线方程． [解]　∵y＝sinx，∴y′＝cosx， 曲线在点P处的切线斜率是y′|x＝＝cos＝. ∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－， 故所求的直线方程为y－＝－， 即2x＋y－－＝0. (2)已知曲线方程f(x)＝x2，求过点(3，5)且与曲线相切的直线方程． [解]　∵点(3，5)不在曲线f(x)＝x2上， ∴设切点坐标为(x0，x)． ∵f′(x)＝2x，∴f′(x0)＝2x0. ∴切线方程为y－x＝2x0(x－x0)． ∵点(3，5)在切线上， ∴5－x＝2x0(3－x0)， 即x－6x0＋5＝0.解得x0＝1或x0＝5， ∴切线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. (3)已知点P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y＝x3上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x3的切线方程． [解]　∵y′＝(x3)′＝3x2， 设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝3x， 又直线PQ的斜率为k＝＝1， 而切线平行于直线PQ， ∴k＝3x＝1，即x0＝±， ∴切点为M或. ∴所求的切线方程为y－＝x－或y＋＝x＋， 即x－y－＝0或x－y＋＝0. 感悟提升 利用导数的几何意义求切线方程的分类 (1)当已知的点在曲线上且切于该点时，直接利用导数求切线的斜率，写出直线方程． (2)当已知点不在曲线上时，设出切点，利用导数表示出切线斜率，写出切线方程，代入点的坐标，求出切点坐标，写出直线方程． 注意：求曲线的切线方程时，要看清题目是“求曲线在某点处的切线方程”，还是“求曲线过某点的切线方程”．前者的切线有且只有一条，而后者可能有一条或多条． [跟踪训练2]　(1)曲线y＝在点P处的切线的斜率为－4，则点P的坐标为(　　) A. B.或 C. D. 答案：B 解析：y′＝′＝－＝－4，x＝±.故B正确． (2)已知曲线C：f(x)＝ex，求过点(－2，－1)与曲线f(x)＝ex相切的直线方程． 解：∵点(－2，－1)不在曲线f(x)＝ex上， ∴设切点坐标为(x0，ex0)． ∵f′(x)＝ex，∴f′(x0)＝e x0. ∴切线方程为y－e x0＝e x0(x－x0)． ∵点(－2，－1)在切线上， ∴－1－e x0＝e x0(－2－x0)． 通过画函数图象可知该方程仅有一解，且x0＝0是该方程的解， ∴x0＝0. ∴切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0. 题型三　导数的应用　 　(1)已知某质点的运动方程为s＝t2(s的单位：m，t的单位：s)，求质点在t＝10时的：①瞬时速度；②加速度；③动能；④动量(设物体的质量为m kg)． [解]　①vt＝10＝s′(t)|t＝10＝(2t)|t＝10＝20(m/s)． ②a＝v′＝(2t)′＝2(m/s2)． ③E动＝mv2＝m×202＝200m(J)． ④动量＝mv＝20m(kg·m/s)． (2)已知直线l：2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试在弧上求一点P，使△ABP的面积最大． [解]　由于直线l：2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点， ∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只需点P到AB的距离最大，即只需点P是抛物线上平行于AB的切线的切点． 设P(x0，y0)，抛物线y＝x2在点P处与AB平行的切线斜率为k＝y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0＝1. 故点P(1，1)即为所求弧上的点，使△ABP的面积最大． 感悟提升　利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的最值问题．此外，导数不仅在数学中有着广泛的应用，在物理、化学等自然与社会科学中同样拥有广泛的应用．要学会通过导数概念的学习，更深刻全面地认识所学的所有内容． [跟踪训练3]　(1)若质点运动的方程是s＝(s单位：米，t单位：秒)，则质点在t＝2时的速度为________米/秒． 答案：－ 解析：因为s＝＝t－5，s′＝－5t－6，s′|t＝2＝－，所以质点在t＝2时的速度为－米/秒． (2)已知A，B，C三点在曲线f(x)＝上，其横坐标依次为1，m，4(1<m<4)，当△ABC的面积最大时，m的值为________． 答案： 解析：如图，在△ABC中，边AC是确定的，要使△ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当在点B处的切线平行于直线AC时，△ABC的面积最大．因为f′(m)＝，又A点坐标为(1，1)，C点坐标为(4，2)，所以kAC＝＝，所以＝，所以m＝. 1．下列求导正确的是(　　) A．(log2x)′＝ B．(cosx)′＝sinx C.′＝ D．(πx)′＝x·πx－1 答案：A 解析：对于A，(log2x)′＝，A正确；对于B，(cosx)′＝－sinx，B错误；对于C，′＝－，故C错误；对于D，(πx)′＝πxln π，D错误．故选A. 2．(2024·内蒙古赤峰高二期中)曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线斜率为(　　) A．1 B．2 C．e D. 答案：A 解析：由已知条件，得y′＝ex，根据导数的几何意义，可得k＝y′|x＝0＝e0＝1. 3．(多选)设P0为曲线f(x)＝x3上的点，且曲线在点P0处的切线平行于直线y＝3x－1，则点P0的坐标可以为(　　) A．(1，1) B．(2，8) C．(－1，－1) D．(1，4) 答案：AC 解析：f′(x)＝3x2，设P0(x0，y0)，因为曲线f(x)＝x3在点P0处的切线平行于直线y＝3x－1，所以f′(x0)＝3x＝3，解得x0＝±1，所以点P0的坐标为(1，1)或(－1，－1)．故选AC. 4．曲线y＝在x＝1处的切线的倾斜角的正切值为________． 答案：－ 解析：y′＝(x－)′＝－×x－，∴当x＝1时，y′＝－＝k，∴倾斜角的正切值为－. 5．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________． 答案：64 解析：∵y＝x－，∴y′＝－x－，∴曲线在点(a，a－)处的切线斜率k＝－a－，∴切线方程为y－a－＝－a－ (x－a)．令x＝0得y＝a－；令y＝0得x＝3a.∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝·3a·a－＝a＝18，∴a＝64. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 利用导数公式求幂函数在某点处的导数 利用导数公式求函数的导数 利用导数公式求正弦函数的导数；利用导数的几何意义求切线倾斜角的范围 利用导数公式求曲线在某点处的切线方程；求切线与两坐标轴围成的三角形的面积 与导数相关的新定义问题 利用导数公式求曲线在某点处切线的倾斜角 利用导数公式求函数的导数；利用导数的几何意义求参数的值 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用导数公式求指数函数在某点处的导数 利用导数公式求对数函数的导数；利用导数的几何意义求与曲线上某点处的切线垂直的直线方程 求过某点的切线的方程(该点是切点和该点不是切点两种情况) 利用导数公式求对数函数在某点处的导数 利用导数的几何意义求抛物线上的点到直线的最短距离 利用导数公式求曲线在某点处的切线方程；利用裂项相消法求和 利用导数公式求两条曲线交点处切线的斜率；利用三角函数的性质、倍角公式判断两条切线是否垂直 一、选择题 1．若函数f(x)＝x2026，则f′＝(　　) A．0 B．1 C．2025 D．2026 答案：B 解析：∵f(x)＝x2026，∴f′(x)＝2026x2025，∴f′＝2026×＝2026×＝1.故选B. 2．给出下列结论： ①若y＝，则y′＝－； ②若y＝，则y′＝； ③若y＝，则y′＝－2x－3； ④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3. 其中正确结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：①y＝＝x－3，则y′＝－3x－4＝－；②y＝＝x，则y′＝x≠；③y＝＝x－2，则y′＝－2x－3；④由f(x)＝3x，知f′(x)＝3，∴f′(1)＝3.∴①③④正确．故选C. 3．设正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(　　) A.∪ B．[0，π) C. D.∪ 答案：A 解析：∵(sinx)′＝cosx，∴kl＝cosx，∴－1≤kl≤1，∴αl∈∪.故选A. 4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B．2e2 C．e2 D. 答案：D 解析：y′＝ex，设f(x)＝y＝ex，f′(2)＝e2.∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.令x＝0得y＝－e2；令y＝0得x＝1.∴S＝×1×e2＝.故选D. 5．(多选)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中不具有T性质的是(　　) A．y＝sinx B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x2 答案：BC 解析：设两切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．A中，y′＝cosx，cosx1cosx2＝－1，当x1＝0，x2＝π时满足，故A中的函数具有T性质；B，C中函数的导数均为正值，故两点处的导数之积不可能为－1；D中，y′＝2x，则2x1·2x2＝4x1x2＝－1，当x1＝，x2＝－时满足，故D中的函数具有T性质．故选BC. 二、填空题 6．曲线y＝在x＝1处的切线的倾斜角为________． 答案： 解析：y′＝′＝－，∴当x＝1时，导数值为－1，∴切线斜率为－1，∴倾斜角为. 7．已知曲线y＝x3在点(2，8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝________． 答案：28 解析：∵点(2，8)在切线上，∴2k＋b＝8　①，又y＝x3，∴y′＝(x3)′＝3x2，∴切线斜率k＝3×22＝12　②，由①②可得k＝12，b＝－16，∴k－b＝28. 8．已知f(x)＝2x，则f′＝________． 答案：eln 2 解析：∵f(x)＝2x，∴f′(x)＝2xln 2，∴f′＝f′(log2e)＝2log2eln 2＝eln 2. 三、解答题 9．已知点P(e，a)在曲线f(x)＝ln x上，直线l是以点P为切点的切线，求过点P且与直线l垂直的直线方程(e是自然对数的底数)． 解：∵f′(x)＝， ∴直线l的斜率k＝f′(e)＝. ∴所求直线的斜率为－e. ∵点P(e，a)在曲线f(x)＝ln x上， ∴a＝ln e＝1. 故所求直线方程为y－1＝－e(x－e)， 即ex＋y－e2－1＝0. 10．求过点P(2，8)且与曲线y＝x3相切的直线方程． 解：易知点P在曲线y＝x3上，y′＝3x2，当点P为切点时，切线斜率k＝12，切线方程为12x－y－16＝0. 当点P不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为k＝3x. ∵点A在曲线上，∴y0＝x， ∴＝3x，∴x－3x＋4＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2(舍去)， ∴y0＝－1，k＝3， 此时切线方程为y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P作曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0. 11．(2024·山东枣庄第八中学高二月考)已知函数f(x)满足2f(x)＋f＝ln x，则f′＝(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 答案：D 解析：将2f(x)＋f＝ln x中的x替换为，则有2f＋f(x)＝－ln x，消去f，得f(x)＝ln x，所以f′(x)＝，故f′＝2. 12．已知抛物线y＝x2，直线x＋y＋2＝0，则抛物线上的点到直线的最短距离为________． 答案： 解析：根据题意，可知与直线x＋y＋2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x＋y＋2＝0的距离最短．设切点坐标为(x0，x)，f(x)＝y＝x2，则f′(x)＝2x，则f′(x0)＝2x0＝－1，所以x0＝－，所以切点坐标为，切点到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝.所以抛物线y＝x2上的点到直线x＋y＋2＝0的最短距离为. 13．设曲线f(x)＝xn＋1(n∈N＋)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，求a1＋a2＋…＋a99的值． 解：导函数f′(x)＝(n＋1)xn，切线斜率f′(1)＝n＋1，所以切线方程为y＝(n＋1)x－n，可求得切线与x轴的交点为， 则an＝lg ＝lg n－lg (n＋1)， 所以a1＋a2＋…＋a99 ＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 99－lg 100) ＝lg 1－lg 100＝－2. 14．已知两条曲线y1＝sinx，y2＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． 解：不存在．理由如下： ∵y1＝sinx，y2＝cosx， ∴ycosx，y－sinx. 设这两条曲线的一个公共点为点P(x0，y0)， ∴这两条曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cosx0，k2＝－sinx0. 若两条切线互相垂直， 则cosx0·(－sinx0)＝－1， 即sinx0cosx0＝1，∴sin2x0＝2，显然不成立， ∴这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两条曲线的切线互相垂直． 12 学科网（北京）股份有限公司 $$