5.5 数学归纳法-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

(教师独具内容) 课程标准：1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题． 教学重点：数学归纳法及其应用． 教学难点：对数学归纳法原理的理解． 核心素养：通过应用数学归纳法证明一些简单的数学命题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点　数学归纳法 一个与自然数有关的命题，如果 (ⅰ)当n＝n0时，命题成立； (ⅱ)在假设n＝k(其中k≥n0)时命题成立的前提下，能够推出n＝k＋1时命题也成立． 那么，这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立． [提醒]　在应用数学归纳法时应注意①第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n＝1，有时需验证n＝2，n＝3；②对n＝k＋1时式子的项数以及n＝k与n＝k＋1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的关键；③“假设n＝k时命题成立，利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，这一推导过程要完整、严谨、规范． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步就可以．(　　) (2)在用数学归纳法时，第二步必须利用归纳假设．(　　) (3)一个数列的通项公式是an＝(n2－5n＋5)2，容易验证：a1＝1，a2＝1，a3＝1，a4＝1，由此作出一般性结论：对于任意n∈N＋，an＝(n2－5n＋5)2＝1都成立，以上是数学归纳法．(　　) (4)用数学归纳法证明命题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确后，假设n＝k时命题正确，此时k的取值范围是(　　) A．k∈N B．k>1，k∈N＋ C．k≥1，k∈N＋ D．k>2，k∈N＋ (2)设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)＝(　　) A. B. C.＋ D.－ (3)用数学归纳法证明“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，n∈N＋”时，若n＝1，则左端应为________． 答案：(1)C　(2)D　(3)4 题型一　利用数学归纳法证明等式、不等式　 角度　证明等式 　证明：当n≥2，n∈N＋时，…＝. [证明]　①当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝. ∴当n＝2时，等式成立． ②假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，即…＝. 则当n＝k＋1时，…＝＝·＝＝. ∴当n＝k＋1时，等式也成立． 由①②知，对任意n≥2，n∈N＋等式都成立． 感悟提升　利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1的情况时，必须使用归纳假设． [跟踪训练1]　求证：1＋＋＋…＋＝(n∈N＋)． 证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，所以左边＝右边，等式成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立， 即1＋＋＋…＋＝. 则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＝＋＝＋＝＝. 故当n＝k＋1时，等式也成立． 由①②可知，对任意n∈N＋等式都成立． 角度　证明不等式 　证明：＋＋＋…＋>，n∈N＋. [证明]　①当n＝1时，左边＝>， ∴当n＝1时不等式成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立， 即＋＋＋…＋>， 那么当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋＝＋＋＋…＋＋＋－>＋－>. ∴当n＝k＋1时，不等式也成立． 根据①②可得，不等式对所有的n∈N＋都成立． 感悟提升 利用数学归纳法证明不等式的技巧 (1)证明不等式时，由n＝k到n＝k＋1的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n＝k时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一． (2)数学归纳法的应用，通常需要与数学的其他方法(如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等)联系在一起，才能完成证明过程． [跟踪训练2]　证明：1＋＋＋…＋>2(－1)，n∈N＋. 证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝2(－1)． 左边>右边，结论成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时结论成立，即1＋＋＋…＋>2(－1)． 则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋>2(－1)＋＝2＋－2. 下面证明2＋>2， 只需证2(k＋1)＋1＝2k＋3 >2， 只需证(2k＋3)2>4(k＋2)(k＋1)， 只需证4k2＋12k＋9>4k2＋12k＋8， 此式显然成立，所以当n＝k＋1时结论成立． 由①②可知，当n∈N＋时，原不等式成立． 题型二　利用数学归纳法证明整除问题　 　求证：二项式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除． [证明]　①当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)， ∴能被x＋y整除． ②假设当n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除， 则当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2＝x2x2k－x2y2k＋x2y2k－y2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)． ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除． 由①②可知，对任意的正整数n，命题均成立． 感悟提升　利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及到“添项”与“减项”等变形技巧，例如，在本例中，对x2k＋2－y2k＋2进行拼凑，即减去x2y2k再加上x2y2k，然后重新组合，目的是拼凑出n＝k时的归纳假设，剩余部分仍能被x＋y整除． [跟踪训练3]　利用数学归纳法证明(3n＋1)×7n－1(n∈N＋)能被9整除． 证明：①当n＝1时，(3×1＋1)×71－1＝27， 能被9整除，所以命题成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立， 即(3k＋1)×7k－1能被9整除． 那么当n＝k＋1时，[3(k＋1)＋1]×7k＋1－1＝(3k＋4)×7k＋1－1＝(3k＋1)×7k＋1－1＋3×7k＋1＝[(3k＋1)×7k－1]＋3×7k＋1＋6×(3k＋1)×7k＝[(3k＋1)×7k－1]＋7k×(21＋6×3k＋6)＝[(3k＋1)×7k－1]＋9×7k(2k＋3)． 由归纳假设知，(3k＋1)×7k－1能被9整除， 而9×7k(2k＋3)也能被9整除， 故[3(k＋1)＋1]×7k＋1－1能被9整除． 故当n＝k＋1时，命题也成立． 由①②知，对一切n∈N＋，(3n＋1)×7n－1能被9整除． 题型三　利用数学归纳法证明几何问题　 　n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，求证：这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧段数为f(n)＝n2(n≥2，n∈N＋)． [证明]　①如图，当n＝2时，两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f(2)＝4＝22，命题成立． ②假设当n＝k时，f(k)＝k2成立，则当n＝k＋1时，第k＋1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k＋1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段圆弧分成两段圆弧，这样就多出k段圆弧，另外原k个半圆把第k＋1个半圆分成k＋1段，这样又多出了k＋1段圆弧，所以f(k＋1)＝k2＋k＋(k＋1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.故当n＝k＋1时，命题成立． 由①②可知命题得证． 感悟提升　对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变化的过程，或者体会出是怎么变化的，然后再去证明，也可以采用递推的办法，利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律． [跟踪训练4]　证明：凸n边形的对角线的条数f(n)＝n(n－3)(n≥4，n∈N＋)． 证明：①当n＝4时，f(4)＝×4×(4－3)＝2，凸四边形有两条对角线，命题成立． ②假设当n＝k(k≥4，k∈N＋)时命题成立， 即凸k边形的对角线的条数f(k)＝k(k－3)(k≥4)． 当n＝k＋1时，凸k＋1边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点Ak＋1，增加的对角线条数是顶点Ak＋1与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边A1Ak，共增加的对角线条数为(k＋1－3)＋1＝k－1. 所以f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2)＝(k＋1)(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]． 故当n＝k＋1时，命题成立． 由①②可知，对任意n≥4，n∈N＋，命题成立． 题型四　归纳—猜想—证明　 　设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an－3n＋5. (1)求a2，a3，a4，并猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． [解]　(1)由a1＝1，an＋1＝2an－3n＋5，可得a2＝2a1－3×1＋5＝4，a3＝2a2－3×2＋5＝7，a4＝2a3－3×3＋5＝10， 由a1，a2，a3，a4可猜想an＝3n－2(n∈N＋)． (2)证明：①当n＝1时，a1＝3×1－2＝1，猜想成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，猜想成立，即ak＝3k－2. 则当n＝k＋1时，ak＋1＝2ak－3k＋5＝2×(3k－2)－3k＋5＝3k＋1＝3(k＋1)－2， 即当n＝k＋1时，猜想成立． 由①②可知，对于任意的n∈N＋，都有an＝3n－2成立． 综上所述，猜想得证． 感悟提升　观察、归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程，既需要探求和发现结论，又需要证明所得结论的正确性，是一种十分重要的思维方法．观察特殊事例时要细，要注意所研讨的特殊事例的特征及相互关系，关系不明时应适当变形，由观察、归纳、猜想得到的结论，可能是正确的，也可能是错误的，需要用数学归纳法证明． [跟踪训练5]　已知数列，，，，…，，…，记这个数列前n项和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明． 解：S1＝＝，S2＝＋＝， S3＝＋＝，S4＝＋＝. 上面四个结果中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1，于是可以猜想Sn＝.其证明如下： ①当n＝1时，左边＝S1＝，右边＝＝， 猜想成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想成立， 即＋＋…＋＝成立， 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋ ＝ ＝ ＝， 所以当n＝k＋1时，猜想成立． 根据①②知，对任意n∈N＋，Sn＝都成立． 1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N＋，n>1)时，第一步应验证不等式(　　) A．1＋<2 B．1＋＋<2 C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3 答案：B 解析：由题意，得当n＝2时，不等式为1＋＋<2.故选B. 2．用数学归纳法证明：对任意正偶数n，均有1－＋－＋…＋－＝2，在验证n＝2正确后，归纳假设应写成(　　) A．假设当n＝k(k∈N＋)时命题成立 B．假设当n≥k(k∈N＋)时命题成立 C．假设当n＝2k(k∈N＋)时命题成立 D．假设当n＝2(k＋1)(k∈N＋)时命题成立 答案：C 解析：因为题目要求是对任意正偶数n，等式成立，故选C. 3．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为(　　) A．5(5k－2k)＋3×2k B．(5k－2k)＋4×5k－2k C．(5－2)(5k－2k) D．2(5k－2k)－3×5k 答案：A 解析：假设当n＝k时命题成立，即5k－2k能被3整除．当n＝k＋1时，5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k＝5(5k－2k)＋5×2k－2×2k＝5(5k－2k)＋3×2k.故选A. 4．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n＞4时，f(n)＝________(用n表示)． 答案：5　(n＋1)(n－2) 解析：f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝(n＋1)(n－2)． 5．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n，an>0(n∈N＋)，则猜想{an}的通项公式为an＝________． 答案：n 解析：分别令n＝1，2，3，4， 得 ∵an>0，∴a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，猜想an＝n. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 数学归纳法的第一步——计算当n＝1时，等式左边的式子 由待证命题的表达式f(n)确定f(n)的项数及当n取某具体值时f(n)的值 数学归纳法的第二步——判断n＝k＋1时，等式左边的式子与n＝k时，等式左边式子的关系 在利用数学归纳法证明整除问题时，判断n＝k＋1时需要展开的式子 数学归纳法证明不等式的两个步骤 数学归纳法的第一步——计算当n＝1时，不等式左边的值 数学归纳法的第二步——n＝k＋1与n＝k的关系 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 由递推公式写出数列具体项的值；由具体项的值猜想数列的通项公式 利用数学归纳法证明等式 利用数学归纳法证明不等式 数学归纳法的第一步——判断初始值n0的取值 数学归纳法的第二步——从n＝k到n＝k＋1式子左边的变化 利用数学归纳法证明整除问题 归纳、猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 答案：C 解析：当n＝1时，左边＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2.故选C. 2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　) A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 答案：D 解析：由f(n)可知，f(n)共有n2－n＋1项，且当n＝2时，f(2)＝＋＋.故选D. 3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　) A．k2＋1 B．(k＋1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 答案：D 解析：∵当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2. 4．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，要利用归纳假设证当n＝k＋1时的情况，只需展开(　　) A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3 答案：A 解析：假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，原式＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3，为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，得(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋9k2＋27k＋27＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)，即可证明． 5．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生运用数学归纳法的证明过程如下：①当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，即≤k＋1，则当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立．上述证法(　　) A．过程全部正确 B．n＝1验证不正确 C．过程全部不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 答案：D 解析：从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求． 二、填空题 6．用数学归纳法证明“Sn＝＋＋＋…＋＞1(n∈N＋)”时，S1＝________． 答案： 解析：∵当n＝1时，n＋1＝2，3n＋1＝4，∴S1＝＋＋＝. 7．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步假设当n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________． 答案：1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 解析：∵当n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，∴当n＝k＋1时为使用归纳假设，应写成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1. 8．已知a1＝，an＋1＝，则a2，a3，a4，a5的值分别为________，由此猜想an＝________． 答案：，，，　 解析：a2＝＝＝＝，同理，a3＝＝＝，a4＝＝＝，a5＝＝，猜想an＝. 三、解答题 9．用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝n(3n－1)(n∈N＋)． 证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝1， 所以当n＝1时等式成立． ②假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时等式成立， 即1＋4＋7＋…＋(3k－2)＝k(3k－1)， 则当n＝k＋1时，1＋4＋7＋…＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2]＝k(3k－1)＋(3k＋1)＝(3k2＋5k＋2)＝(k＋1)(3k＋2)＝(k＋1)[3(k＋1)－1]， 即当n＝k＋1时等式成立． 综合①②知，对于任意n∈N＋，等式1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝n(3n－1)成立． 10．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N＋)． 证明：①当n＝2时，左边＝＝，右边＝1－＝. 因为<，所以不等式成立． ②假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式成立， 即＋＋＋…＋<1－， 则当n＝k＋1时， ＋＋＋…＋＋<1－＋＝1－＝1－<1－＝1－， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 综上所述，对任意n≥2，n∈N＋，不等式＋＋＋…＋<1－成立． 11．(2024·辽宁大连第八中学高二期中)用数学归纳法证明“2n>n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：D 解析：显然当n＝1时，21>12，而当n＝2时，22＝22，故A不符合题意；当n＝3时，23<32，故B不符合题意；当n＝4时，24＝42，故C不符合题意；当n＝5时，25>52，故D符合题意．故选D. 12．(2024·辽宁沈阳第二十中学高二阶段测试)用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)×(2n＋1)(n∈N＋)时，从n＝k到n＝k＋1，等式的左边需要增乘的代数式是________． 答案：2(2k＋1) 解析：从n＝k到n＝k＋1，等式的左边需要增乘的代数式是 ＝2(2k＋1)． 13．求证：对任意正整数n，34n＋2＋52n＋1能被14整除． 证明：①当n＝1时，34n＋2＋52n＋1＝36＋53＝854＝14×61，能被14整除，命题成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即34k＋2＋52k＋1能被14整除，那么当n＝k＋1时， 34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝34k＋2×34＋52k＋1×52＝34k＋2×34＋52k＋1×34－52k＋1×34＋52k＋1×52＝34(34k＋2＋52k＋1)－52k＋1(34－52)＝34(34k＋2＋52k＋1)－56×52k＋1， 因为34k＋2＋52k＋1能被14整除，56也能被14整除， 所以34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1能被14整除，故命题成立． 由①②知，对任意正整数n，34n＋2＋52n＋1能被14整除． 14．在数列{an}中，已知an>0，Sn＝(n∈N＋)． (1)计算a1，a2，a3的值； (2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1)当n＝1时，由题意可得 a1＝S1＝， ∵an>0，∴a1＝1. 当n＝2时，由题意可得a1＋a2＝， ∵an>0，∴a2＝－1. 当n＝3时， 由题意可得a1＋a2＋a3＝， ∵an>0，∴a3＝－. 综上，a1＝1，a2＝－1，a3＝－. (2)猜想：an＝－(n∈N＋)． 证明：①当n＝1时，a1＝1，上式成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时， ak＝－成立， 则当n＝k＋1时， ak＋1＝Sk＋1－Sk ＝－， ∴ak＋1－＝－ ＝－＝－2， ∴a＋2·ak＋1－1＝0， ∴ak＋1＝＝－±. ∵ak＋1>0， ∴ak＋1＝－， ∴当n＝k＋1时，猜想成立． 由①②可知，对任意n∈N＋，an＝－ . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$