5.3.1 第1课时 等比数列的定义-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

5.3.1　等比数列 第1课时　等比数列的定义 (教师独具内容) 课程标准：1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.体会等比数列与指数函数的关系． 教学重点：1.等比数列的概念.2.等比数列的通项公式． 教学难点：等比数列通项公式的推导过程． 核心素养：1.通过学习等比数列的概念和等比数列的通项公式培养数学抽象素养和数学运算素养.2.通过学习等比数列通项公式的推导过程培养逻辑推理素养． 知识点一　等比数列的定义 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比． [注意]　(1)定义中“从第2项起”这一条件要求：必须从第2项起使数列中各项均与其前面一项作商． (2)定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求：①作商的顺序，即后面的项比前面的项；②这两项必须相邻． (3)定义中的“同一个常数”要求：①必须是同一个常数；②这个常数不能为0.否则这个数列不能称为等比数列． 知识点二　等比数列的通项公式 (1)通项公式：若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N＋)． (2)通项公式的推广：an＝amqn－m(n，m∈N＋)． [提醒]　若已知等比数列{an}中的任意两项an，am(n，m∈N＋)，由an＝am×qn－m可以求得 公比q＝ 知识点三　等比数列与函数的关系 因为an＝a1qn－1＝×qn，所以如果记f(x)＝×qx，则可以看出an＝f(n)，而且 (1)当公比q＝1时，f(x)是常数函数，此时数列{an}是常数列(因此，公比为1的等比数列是常数列)； (2)当公比q≠1时，f(x)是与y＝qx的乘积，此时，f(x)的增减性既与a1有关，也与q有关． [说明]　等比数列{an}的图象是函数f(x)＝×qx(x∈R)图象上的一群孤立的点，可以借助指数函数f(x)＝qx(q>0且q≠1)的性质来研究等比数列． 知识点四　两个结论 (1)数列{an}是等比数列的充要条件是an＝kqn，其中k，q都是不为0的常数． (2)等比数列中，所有序号为奇数的项的符号相同，所有序号为偶数的项的符号相同． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，－1，1，－1是等比数列．(　　) (2)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列．(　　) (3)若an＝则数列{an}是等比数列．(　　) (4)等比数列至少有3项．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)等比数列1，5，25，125，…的通项公式为________． (2)等比数列－，－，－，…的公比为________． (3)在等比数列{an}中，已知an＝4n－3，则a1＝________，公比q＝________． 答案：(1)an＝5n－1　(2)　(3)　4 题型一　等比数列的概念　 　观察下面几个数列： ①1，1，2，4，8，16，32，64； ②数列{an}中，已知＝2，＝2； ③常数列a，a，…，a，…； ④在数列{an}中，＝q，其中n∈N＋. 其中是等比数列的是________(只填序号)． [解析]　①不符合等比数列的定义，故不是等比数列；②不一定是等比数列，当数列{an}只有3项时，数列{an}是等比数列，当数列{an}超过3项时，不一定符合等比数列的定义；③不一定是等比数列，当常数列的各项都为0时，它不是等比数列，当常数列的各项不为0时，是等比数列；④是等比数列． [答案]　④ 感悟提升　判断一个数列是否为等比数列的常用方法是利用定义，即＝q(q是与n无关的常数，且不等于0)． [跟踪训练1]　设数列{an}为等比数列，q为公比，则下列四个数列： ①{a}；②{pan}(p为非零常数)；③{an×an＋1}；④{an＋an＋1}． 其中是等比数列的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 解析：对于①，因为＝＝q3(常数)，所以{a}是等比数列；对于②，因为＝＝q(常数)，所以{pan}是等比数列；对于③，因为＝＝q2(常数)，所以{an×an＋1}是等比数列；对于④，当q＝－1时，an＋an＋1＝0，此时{an＋an＋1}不是等比数列．故选C. 题型二　等比数列的通项公式及其应用　 　在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. [解]　(1)解法一：因为 所以 由②÷①，得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2. 解法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4. 所以an＝a4qn－4＝2×()n－4＝2. (2)解法一：由题意，知 由④÷③，得q＝，从而a1＝32. 又an＝1，所以32×＝1，即26－n＝20，所以n＝6. 解法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，知n＝6. 感悟提升　等比数列通项公式的求法 a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．关于a1和q的求解通常有以下两种方法： [跟踪训练2]　(1)已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an. 解：由已知得解得 ∵an>0，∴ ∴an＝128×＝. (2)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n. 解：由an＝a1qn－1，得＝×， 即＝，解得n＝4. 题型三　等比数列的判定与证明　 　(1)在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2a5＝. ①求证数列{an}是等比数列，并求其通项公式； ②－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由． [解]　①∵2an＝3an＋1，∴＝. 又由题意可知a1≠0， 故数列{an}是公比为的等比数列． 又a2a5＝，则a1q×a1q4＝， 即a×＝， 由于数列各项均为负数，则a1＝－， ∴an＝－×＝－. ②设an＝－，由等比数列的通项公式得 －＝－，即＝. 由指数函数的性质，有4＝n－2，即n＝6. 因此－是这个等比数列中的第6项． (2)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，bn＝，求数列{bn}的通项公式． [解]　an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2， 即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋＝4. 又a1＝1，故b1＝＝－1， 所以是首项为－，公比为4的等比数列， 所以bn＋＝－×4n－1，bn＝－－. 感悟提升 1．等比数列的判定或证明 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N＋)或＝q(q为非零常数，且n≥2，n∈N＋)，则{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N＋)，则{an}是等比数列． 2．如果证明数列不是等比数列，可以选择通过具有三个连续项不成等比数列来证明． 3．对形如an＋1＝can＋b(n∈N＋，b，c为常数，b，c≠0，且c≠1)的递推公式，通常可以变形为an＋1＋＝c，从而构造一个等比数列，通过求该等比数列的通项公式可得an.证明一个数列为等比数列，要紧扣定义，这里采用了转化与化归的策略． [跟踪训练3]　(1)已知数列{an}满足a1＝3，an＋an－1＝anan－1(n≥2，且n∈N)．求证：数列是等比数列． 证明：∵an＋an－1＝anan－1，∴＋＝1， ∴＝－＋1， ∴－＝－(n≥2)， ∴是以－＝－为首项，－1为公比的等比数列． (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，S1＝2a1－3，且an＝2an－1－2(n≥2)． ①求数列{an}的通项公式； ②记bn＝log2(an＋1－2)，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：①由S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3. 因为an＝2an－1－2， 所以an－2＝2(an－1－2)(n≥2)． 又a1－2＝1， 所以数列{an－2}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以an－2＝1×2n－1＝2n－1， 所以an＝2n－1＋2. ②由①得an－2＝2n－1，所以an＋1－2＝2n， 所以bn＝log2(an＋1－2)＝n， 所以Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝＝. 题型四　等比数列的实际应用　 　从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，则第n次操作后酒精的浓度为________．当a＝2时，至少应操作________次后才能使酒精的浓度低于10%. [解析]　设开始的浓度为1，操作一次后酒精的浓度a1＝1－，设操作n次后酒精的浓度为an，则操作n＋1次后酒精的浓度为an＋1＝an，从而建立了递推关系．∴{an}是以a1＝1－为首项，q＝1－为公比的等比数列，∴an＝a1qn－1＝，即第n次操作后酒精的浓度是.当a＝2时，由an＝<，n∈N＋，得n≥4.故至少应操作4次后才能使酒精的浓度低于10%. [答案]　　4 感悟提升　本例是一道有关浓度的应用问题，首先弄清一次操作的含义，其次是列出第n次操作后与第n＋1次操作后溶液浓度间的递推关系，即an＋1＝an，然后利用数列的有关知识解决问题． [跟踪训练4]　某工厂2024年生产某种机器零件100万件，计划到2026年把产量提高到每年生产121万件．如果每一年比上一年增长的百分率相同，这个百分率为________，2025年生产这种零件________万件． 答案：10%　110 解析：设每一年比上一年增长的百分率为x，则从2024年起，连续3年的产量依次为a1＝100，a2＝a1(1＋x)，a3＝a2(1＋x)，即a1＝100，a2＝100(1＋x)，a3＝100(1＋x)2成等比数列．由100(1＋x)2＝121，得(1＋x)2＝1.21，∴1＋x＝1.1或1＋x＝－1.1，∴x＝0.1或x＝－2.1(舍去)，a2＝100(1＋x)＝110(万件)，∴每年增长的百分率为10%，2025年生产这种零件110万件． 1．下列各组数成等比数列的是(　　) ①1，－2，4，－8；②－，2，－2，4；③x，x2，x3，x4；④a－1，a－2，a－3，a－4. A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 答案：C 解析：由等比数列的定义，知①②④是等比数列；③中当x＝0时，不是等比数列． 2．(多选)(2024·山东青岛一中高二月考)已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则q的值可能为(　　) A. B．1 C．－ D．－2 答案：BC 解析：由题意，可知2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q.又a1≠0，∴2q2＝1＋q，∴q＝1或－.故选BC. 3．朱载堉(1536～1611)，中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为f1，第七个音的频率为f2，则＝(　　) A．4 B. C. D. 答案：D 解析：设第n个音的频率为an，相邻两个音之间的频率之比为q，那么an＝a1qn－1，根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得a13＝2a1＝a1q12，解得q＝2，所以＝＝q4＝.故选D. 4.是等比数列4，4，2的第________项． 答案：11 解析：∵公比q＝＝，由通项公式，得＝4×，∴＝＝＝，∴n－1＝10，n＝11. 5．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝，则数列{bn}的通项公式为bn＝________，数列{an}的通项公式为an＝________． 答案：2n－1　n×2n－1 解析：由nan＋1＝2(n＋1)an，得＝，即bn＋1＝2bn，又因为b1＝＝1，所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，故bn＝2n－1.又bn＝＝2n－1，所以an＝n×2n－1. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 等比数列的概念；等比数列的通项公式 等比数列、等比数列的通项公式、充分必要条件的综合 利用等比数列的通项公式求公比 利用等比数列的通项公式求式子的值 等比数列、等差数列的判定 利用等比数列的通项公式求具体项的值 等比数列的应用 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用等比数列的概念、等差中项的概念求数列的通项公式 等比数列中基本量的计算 等比数列的判定；利用等比数列解决实际问题 利用等比数列的概念、an与Sn的关系求参数的值 构造等比数列解决实际问题 由递推公式求数列的具体项；等比数列的判定；构造等比数列求数列的通项公式 根与系数的关系与等比数列的综合；等比数列的判定 一、选择题 1．已知数列{an}为1，－，，－，，…，则该数列的一个通项公式为(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝(－1)n D．an＝(－1)n＋1 答案：D 解析：由题意可知，该数列是一个以1为首项，－为公比的等比数列，所以该数列的一个通项公式为an＝1×＝(－1)2×(－1)n－1×＝(－1)n＋1×.故选D. 2．在等比数列{an}中，若a1>0，则“a1>a2”是“a2a5>a3a6”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：由a1>a2，得a1>a1q，又a1>0，所以q<1.由a2a5>a3a6，得aq5>aq7，即q5(1－q2)>0，则q<－1或0<q<1.故“a1>a2”是“a2a5>a3a6”的必要不充分条件．故选C. 3．一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面相邻两项之和，则公比q＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由题意有an＝an＋1＋an＋2＝anq＋anq2，∵an≠0，∴q2＋q－1＝0，∴q＝，又an>0，∴q>0，∴q＝. 4．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比q为2，则的值为(　　) A. B. C. D．1 答案：A 解析：∵a1，a2，a3，a4成等比数列，∴＝＝＝. 5．(多选)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋，则下列说法正确的是(　　) A．{an－n}是等比数列 B．an＝4n－1 C．{log2(an－n)}是等差数列 D．{log4an}是等比数列 答案：AC 解析：对于A，由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋.又a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4，所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列，故A正确；对于B，由A项分析可知，an－n＝4n－1，所以数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n，故B错误；对于C，log2(an－n)＝log24n－1＝log222(n－1)＝2n－2，所以{log2(an－n)}是等差数列，故C正确；对于D，log4an＝log4(4n－1＋n)，所以{log4an}不是等比数列，故D错误．故选AC. 二、填空题 6．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝________． 答案：64 解析：设等比数列{an}的公比为q，则＝q＝2.又a1＋a2＝3，∴a1＝1.∴a7＝1×26＝64. 7．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米． 答案：2048 解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N＋)，则第10个正方形的面积S＝a＝(2)2＝211＝2048. 8．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，且对任意自然数n，3an＋1－an＝0，bn是an与an＋1的等差中项，则数列{bn}的通项公式为bn＝________． 答案：× 解析：由题意可得＝，又a1＝2，∴数列{an}是等比数列，公比为，∴an＝2×，∴bn＝(an＋an＋1)＝＝×. 三、解答题 9．在等比数列{an}中， (1)已知a3＝2，a5＝8，求a7； (2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求数列{an}的通项公式． 解：(1)设等比数列{an}的公比为q， 因为q2＝＝＝4， 所以a7＝a5q2＝8×4＝32. (2)设等比数列{an}的公比为q，a3＋a1＝a1(q2＋1)＝5，a5－a1＝a1(q4－1)＝15， 所以q2－1＝3，所以q2＝4，所以a1＝1，q＝±2， 当q＝2时，an＝a1qn－1＝2n－1； 当q＝－2时，an＝a1qn－1＝(－2)n－1. 10．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B菜，而这星期一选B菜的，下星期一会有30%改选A菜．用an，bn分别表示第n个星期一选A菜的人数和选B菜的人数． (1)试用an－1(n∈N＋且n≥2)表示an，判断数列{an－300}是否为等比数列，并说明理由； (2)若第1个星期一选A菜的有200名学生，那么第10个星期一选A菜的大约有多少名学生？ 解：(1)由题意，知对任意n∈N＋有bn＝500－an， 所以当n∈N＋且n≥2时，an＝an－1＋(500－an－1)， 所以an＝an－1＋150， 所以an－300＝(an－1－300)， 所以当a1＝300时，数列{an－300}不是等比数列； 当a1≠300时，数列{an－300}是以a1－300为首项，为公比的等比数列． (2)由(1)知，当a1＝200时，an－300＝(a1－300)＝－， 所以an＝300－， 所以a10＝300－≈300， 所以第10个星期一选A菜的大约有300名学生． 11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝λ·2n－2，若数列{an}是等比数列，则λ＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案：C 解析：当n＝1时，a1＝S1＝2λ－2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(λ·2n－2)－(λ·2n－1－2)＝λ·2n－1，故当n≥2时，an＋1＝λ·2n＝2·λ·2n－1＝2an，因为数列{an}为等比数列，易知该数列的公比为2，则a2＝2a1，即2λ＝2(2λ－2)，解得λ＝2.故选C. 12．(2024·辽宁沈阳联合体高二期中)某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛．若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列{cn}，c1＝1200，则c10大约为________．(参考数据：1.18≈2.1，1.19≈2.4，1.110≈2.6，1.111≈2.9) 答案：1480 解析：依题意，当n≥2时，cn＝(1＋10%)cn－1－100＝1.1cn－1－100，则cn－1000＝1.1·(cn－1－1000)，于是数列{cn－1000}是首项为c1－1000＝200，公比为1.1的等比数列，则cn－1000＝200×1.1n－1，即cn＝200×1.1n－1＋1000，所以c10＝200×1.19＋1000≈200×2.4＋1000＝1480. 13．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N＋)． (1)求a2，a3的值； (2)证明数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式． 解：(1)由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×－4＋2＝5，a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9. (2)∵an＋1＝3an－4n＋2，∴an＋1－2n－2＝3an－6n，即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n)． ∵a1－2＝－2＝，∴an－2n≠0，n∈N＋. ∴＝3， ∴数列{an－2n}是首项为，公比为3的等比数列． ∴an－2n＝×3n－1，∴an＝3n－2＋2n. 14．设关于x的二次方程anx2－an＋1x－1＝0(n＝1，2，3，…)有两个根α和β，且满足6α＋2αβ＋6β＝3. (1)试用an表示an＋1； (2)求证：当a1≠时，数列是等比数列； (3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式． 解：(1)根据根与系数的关系，得 代入题设条件6α＋2αβ＋6β＝6(α＋β)＋2αβ＝3， 得－＝3，所以an＋1＝an＋. (2)证明：因为an＋1＝an＋， 所以an＋1－＝. 因为a1≠，所以a1－≠0， 所以数列是以为公比的等比数列． (3)当a1＝时，a1－＝， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以an－＝×＝， 所以an＝＋，n∈N＋， 即数列{an}的通项公式为an＝＋，n∈N＋. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$