5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握等差数列前n项和的性质，并能够运用其来解决问题.2.体会等差数列前n项和公式与二次函数的联系，并能够运用二次函数的知识解决数列问题． 教学重点：等差数列前n项和的性质及其应用． 教学难点：运用二次函数的知识解决数列问题． 核心素养：1.通过学习等差数列前n项和的性质和等差数列奇(偶)项和的性质发展数学抽象素养和逻辑推理素养.2.通过利用等差数列前n项和解决实际问题发展数学建模素养和数学运算素养． 知识点一　等差数列前n项和的性质 如果等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N＋)是等差数列，其公差等于m2d. 知识点二　等差数列奇(偶)项和的性质 (1)若等差数列{an}的项数为2n(n∈N＋)，则S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，＝. (2)若等差数列{an}的项数为2n－1(n∈N＋)，则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，＝. [拓展]　(1)若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. (2)数列{an}为等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔数列为等差数列． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an不可能相等．(　　) (2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列Sm，S2m，S3m，…(m∈N＋)为等差数列．(　　) (3)若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，则一定有＝.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a13＋a14＋a15＋a16＝________． (2)已知某等差数列共有101项，各项之和为202，则奇数项之和S奇＝________，偶数项之和S偶＝________． 答案：(1)20　(2)102　100 题型一　等差数列前n项和性质的应用　 　等差数列{an}中，前m项和为30，前2m项和为100，试求前3m项和． [解]　解法一：记数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列前n项和的性质知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，则2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)，又Sm＝30，S2m＝100，所以S2m－Sm＝100－30＝70，所以S3m－S2m＝2(S2m－Sm)－Sm＝110，所以S3m＝110＋100＝210. 解法二：设等差数列{an}的公差为d. 由已知得 解得a1＝，d＝， 所以S3m＝3ma1＋d＝210. 感悟提升 等差数列前n项和性质的应用 涉及此类问题时，可利用方程的思想方法确定出系数，从而求出Sn；也可利用等差数列的等长片断和的性质，构造出新数列，从而使问题得到解决． [跟踪训练1]　设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3＝27，S6＝81，则S12＝(　　) A．270 B．108 C．162 D．150 答案：A 解析：∵S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，且该数列的公差d＝S6－S3－S3＝27，∴S9－S6＝S3＋2d＝81，S12－S9＝S3＋3d＝108，∴S9＝162，S12＝270. 题型二　等差数列的奇(偶)数项和问题　 　(1)一个等差数列的项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数． [解]　解法一：设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N＋)． 根据题意，得 即 ∴ 解得a1＝，d＝，k＝4， ∴此数列的首项为，公差为，项数为8. 解法二：设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N＋)． 根据题意，得∴ ∴∴ 代入S奇＝(a1＋a2k－1)＝24，可得a1＝. ∴此数列的首项为，公差为，项数为8. (2)(2023·新课标Ⅱ卷){an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16. ①求{an}的通项公式； ②证明：当n>5时，Tn>Sn. [解]　①设等差数列{an}的公差为d， 而bn＝ 则b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6， 于是解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋3， 所以{an}的通项公式是an＝2n＋3. ②证法一：由①知， Sn＝＝n2＋4n， bn＝ 当n为偶数时，bn－1＋bn＝2(n－1)－3＋4n＋6＝6n＋1， Tn＝·＝n2＋n， 当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝n(n－1)>0，因此Tn>Sn； 当n为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝(n＋1)2＋(n＋1)－[4(n＋1)＋6]＝n2＋n－5， 当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)>0，因此Tn>Sn. 所以当n>5时，Tn>Sn. 证法二：由①知，Sn＝＝n2＋4n， bn＝ 当n为偶数时，Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝·＋·＝n2＋n， 当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝n(n－1)>0，因此Tn>Sn； 当n为奇数时，若n≥3，则Tn＝(b1＋b3＋…＋bn)＋(b2＋b4＋…＋bn－1)＝·＋·＝n2＋n－5，显然T1＝b1＝－1满足上式，因此当n为奇数时，Tn＝n2＋n－5， 当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)>0，因此Tn>Sn. 所以当n>5时，Tn>Sn. 感悟提升　等差数列奇(偶)数项和的性质的应用 在涉及等差数列奇(偶)数项和的问题时，可以根据已知条件先求出首项a1，公差d，再求所求，这是基本解法，但有些题目，如果适当运用等差数列奇(偶)数项和的性质往往可以达到化繁为简的效果． [跟踪训练2]　(1)一个等差数列共2025项，求它的奇数项和与偶数项和之比． 解：等差数列{an}有1013个奇数项，1012个偶数项， ∴S奇＝，S偶＝. ∵a1＋a2025＝a2＋a2024，∴＝. (2)一个等差数列前20项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比为1∶2，求公差d. 解：等差数列前20项中，奇数项和S奇＝×75＝25，偶数项和S偶＝×75＝50， 又S偶－S奇＝10d，∴d＝＝. (3)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S4＝2a5，且an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N＋)． ①求数列{an}的通项公式； ②记bn＝(－1)n·a，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：①由an＋2－2an＋1＋an＝0， 可得an＋2＋an＝2an＋1， ∴数列{an}为等差数列． 设公差为d，则S4＝4a1＋d，a5＝a1＋4d. 又S4＝2a5，a1＝1，∴d＝1. 从而an＝a1＋(n－1)d＝n. ②由①可知an＝n，∴bn＝(－1)n·n2， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝－12＋22－32＋42－…＋(－1)n·n2， 当n为偶数时，Tn＝－12＋22－32＋42－…＋(－1)n·n2＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝； 当n为奇数时，Tn＝－12＋22－32＋42－…＋(－1)n·n2＝－12＋22－32＋42－…－n2 ＝－12＋(22－32)＋(42－52)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－. ∴数列{bn}的前n项和Tn＝(－1)n·. 题型三　等差数列前n项和的比例问题　 　(1)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn且＝，则＝________． [解析]　解法一：＝＝＝＝＝＝. 解法二：设Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt(t≠0)．则a5＝S5－S4＝65t，b5＝T5－T4＝12t.故＝＝. [答案]　 (2)(2024·辽宁沈阳重点高中郊联体高二月考)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________． [解析]　因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，所以＝·＝·＝·＝·＝×＝. [答案]　 感悟提升　解决两个等差数列项的比例问题的思路 涉及两个等差数列项的比，可以转化为两等差数列前n项和之比来处理． [跟踪训练3]　若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和An，Bn满足关系式＝(n∈N＋)，求. 解：因为＝＝ ＝＝， 又＝， 所以＝＝＝. 题型四　等差数列前n项和在实际中的应用　 　某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？ [解]　购房时付150万元，则欠款1000万元，依题意分20次付款， 设每次付款依次为an万元， 则a1＝50＋1000×1%＝60， a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5， a3＝50＋(1000－50×2)×1%＝59， a4＝50＋(1000－50×3)×1%＝58.5， 所以an＝50＋[1000－50(n－1)]×1%＝60－(n－1)(1≤n≤20，n∈N＋)． 所以{an}是以60为首项，－为公差的等差数列． 所以a10＝60－9×＝55.5， a20＝60－19×＝50.5. 所以S20＝×(a1＋a20)×20＝10×(60＋50.5)＝1105. 所以实际花了1105＋150＝1255万元． 感悟提升 (1)本例属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列． (2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题． [跟踪训练4]　某地在抗洪抢险中接到预报，24 h后有一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24 h内另筑起一道堤作为第二道防线．经计算，如果有20辆大型翻斗车同时工作25 h，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入工作外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20 min就可有一辆车到达并投入工作．问：指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证在24 h内完成第二道防线？请说明理由． 解：设从现有一辆车投入工作算起，各车的工作时间依次构成数列{an}，则an－an－1＝－. ∴数列{an}是首项为24，公差为－的等差数列，设还需组织(n－1)辆车， 由an＝24－(n－1)＞0，得n＜73，即n≤72， 则a1＋a2＋…＋an＝24n＋×≥20×25. ∴n2－145n＋3000≤0， 即(n－25)(n－120)≤0. 又n≤72，∴25≤n≤72，∴nmin＝25， ∴n－1＝24. 故指挥部至少还需组织24辆车这样陆续工作，才能保证在24 h内完成第二道防线． 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝12，S20＝17，则S30＝(　　) A．30 B．25 C．20 D．15 答案：D 解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，所以S10＋(S30－S20)＝2(S20－S10)，所以12＋(S30－17)＝2×(17－12)，解得S30＝15. 2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D. 答案：A 解析：＝＝＝＝×＝1. 3．(多选)(2024·内蒙古赤峰新城红旗中学高二期中)已知从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长减等寸(减等寸：以相等的尺寸减少)．若雨水的日影长为95寸，冬至、小寒、大寒、立春的日影长之和为480寸，则(　　) A．冬至的日影长为135寸 B．芒种的日影长为25寸 C．冬至的日影长为125寸 D．芒种的日影长为15寸 答案：AB 解析：由题意知，十二个节气的日影长成等差数列，设该等差数列为{an}，公差为d，前n项和为Sn，则由已知，得a5＝95，S4＝480，则解得则a12＝a1＋11d＝25，所以冬至的日影长为135寸，芒种的日影长为25寸．故选AB. 4．在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10＝________． 答案：100 解析：因为数列{an}是等差数列，a1＝1，所以数列也是等差数列，且首项为＝1，又－＝2，所以数列的公差为1，所以＝1＋(10－1)×1＝10，所以S10＝100. 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－7，a2＝3，an＋2＝an＋2，则S100＝________． 答案：4700 解析：由a1＝－7，an＋2＝an＋2，可得an＋2－an＝2，∴a1，a3，a5，a7，…，a99是以－7为首项，2为公差的等差数列，共50项．∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝50×(－7)＋×2＝2100.同理，a2，a4，a6，…，a100是以3为首项，2为公差的等差数列，共50项．∴a2＋a4＋a6＋…＋a100＝50×3＋×2＝2600.∴S100＝2100＋2600＝4700. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 等差数列前n项和性质的应用 利用等差数列奇偶项和的性质求中间项 等差数列前n项和的比例问题——求式子的值 等差数列前n项和的实际应用 等差数列前n项和的性质、最值、范围问题的综合 利用等差数列奇偶项和的性质求首项和公差 利用等差数列前n项和的性质解决前n项和的比值问题 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 等差数列前n项和的实际应用与等差数列前n项和的最值问题的综合 利用等差数列、等差数列的前n项和公式解决实际问题 利用an与Sn的关系求数列的首项及通项公式；等差数列的奇(偶)数项和问题 利用等差数列的前n项和公式解决问题 等差数列前n项和的比例问题——求参数的值 等差数列的奇(偶)数项和问题 等差数列项的最值问题、前n项和的范围问题与实际问题的综合 一、选择题 1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18＝(　　) A．36 B．18 C．72 D．9 答案：A 解析：由S3，S6－S3，…，S18－S15成等差数列，可知S18＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋…＋(S18－S15)＝＝36. 2．已知等差数列{an}的前n项和为377，项数n为奇数，且前n项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7∶6，则中间项为(　　) A．28 B．29 C．30 D．31 答案：B 解析：因为n为奇数，所以＝＝，解得n＝13，所以S13＝13a7＝377，所以a7＝29.故选B. 3．(2024·山东淄博临淄中学高二阶段检测)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由等差数列的性质，得＝＝×，又＝＝，所以＝＝＝，即＝，所以＝×＝×＝.故选C. 4．(2024·山东德州齐河第一中学高二月考)生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动(积分可兑换礼品)，第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是(　　) A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日 C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日 答案：D 解析：若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列，且首项为1，公差为2，第n天所得积分为2n－1.假设他连续打卡n天，第n＋1天中断了，则他所得积分之和为(1＋3＋…＋2n－1)＋[1＋3＋…＋2(19－n)－1]＝＋＝193，化简得n2－19n＋84＝0，解得n＝7或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．故选D. 5．(多选)(2024·东北育才学校高二阶段检测)设数列{an}的前n项和为Sn，－＝－1，S1＝32，则下列说法正确的是(　　) A．an＝－2n＋34，n∈N＋ B．S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，公差为－8 C．当Sn取得最大值时，n＝16 D．当Sn≥0时，n的最大值为33 答案：ABD 解析：由题意，得－＝－1，S1＝32，则数列是以＝32为首项，d＝－1为公差的等差数列，所以＝32－(n－1)＝33－n，即Sn＝n(33－n)．所以a1＝S1＝32，Sn－1＝(n－1)·(34－n)(n≥2，n∈N＋)，所以an＝Sn－Sn－1＝n(33－n)－(n－1)(34－n)＝34－2n(n≥2，n∈N＋)，又a1＝S1＝32，适合上式，所以an＝34－2n(n∈N＋)，故A正确；由Sn＝n(33－n)，得S2＝62，S4－S2＝116－62＝54，S6－S4＝162－116＝46，所以S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，公差为－8，故B正确；二次函数y＝x(33－x)＝－x2＋33x的图象开口向下，对称轴为直线x＝，所以当n＝16或n＝17时，Sn取得最大值，故C错误；由Sn＝n(33－n)≥0，得0≤n≤33，故D正确．故选ABD. 二、填空题 6．已知等差数列{an}共有10项，其偶数项之和为15，奇数项之和为12.5，则首项a1＝________，公差d＝________． 答案：0.5　0.5 解析：由于等差数列{an}的项数为10，故S偶－S奇＝15－12.5＝5d，所以d＝0.5.由15＋12.5＝10a1＋×0.5，得a1＝0.5. 7．(2024·山东菏泽鄄城第一中学高二月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝7，则＝________． 答案： 解析：在等差数列{an}中，因为S7，S14－S7，S21－S14成等差数列，所以2(S14－S7)＝S7＋(S21－S14)，设S7＝m(m≠0)，则S14＝7m，于是有12m＝m＋(S21－7m)，解得S21＝18m，所以＝. 8．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________． 答案：2000 解析：假设开始时将树苗集中放置在第n棵树坑旁边(其中1≤n≤20且n∈N＋)，则20名同学往返所走的路程总和为S＝20＋40＋…＋20(n－1)＋20＋40＋…＋20(20－n)＝20[1＋2＋…＋(n－1)＋1＋…＋(20－n)]＝20＝20(n2－21n＋210)＝20.因为n∈N＋且1≤n≤20，所以当n＝10或11时，S取最小值，且最小值为2000. 三、解答题 9．假设某市2024年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2024年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？ 解：设从2024年起每年新建中低价房的面积依次为an万平方米，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，公差d＝50， 则an＝250＋(n－1)×50＝50n＋200，Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n， 令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，∴n≥10. ∴到2033年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米． 10．已知数列{an}的前n项和为Sn，an>0，且满足(an＋2)2＝4Sn＋4n＋1，n∈N＋. (1)求a1及数列{an}的通项公式； (2)若bn＝(－1)n·an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)对于(an＋2)2＝4Sn＋4n＋1，① 当n＝1时，(a1＋2)2＝4a1＋5，a＝1， 而an>0，则a1＝1. 又(an＋1＋2)2＝4Sn＋1＋4(n＋1)＋1，② 由②－①可得(an＋1＋2)2－(an＋2)2＝4an＋1＋4， a＝(an＋2)2，而an>0， ∴an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2. ∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1(n∈N＋)． (2)∵bn＝(－1)n×(2n－1)， ∴Tn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n×(2n－1)， 当n为偶数时，Tn＝＝n； 当n为奇数时，Tn＝－(2n－1)＝－n. 综上所述，Tn＝(－1)n·n(n∈N＋)． 11．(多选)(2024·江苏南通高二期中)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．则(　　) A．驽马第七日行九十四里 B．第七日良马先至齐 C．第八日两马相逢 D．两马相逢时良马行一千三百九十五里 答案：AD 解析：由题意可知，两马日行里数都成等差数列，记数列{an}为良马的日行里数，其前n项和为Sn，a1＝103，公差d1＝13，所以an＝13n＋90，n∈N＋.记数列{bn}为驽马的日行里数，b1＝97，公差d2＝－0.5，所以bn＝－0.5n＋97.5，n∈N＋.驽马第七日所行里数为b7＝－0.5×7＋97.5＝94，故A正确；前七日良马所行里数为S7＝(a1＋a7)＝994，因为994＜1125，所以第七日良马未至齐，故B错误；设第m日两马相逢，由题意可知两马所行的里数之和是齐和长安之间距离的两倍，即103m＋×13＋97m－×0.5＝2×1125，解得m＝9或m＝－40(舍去)，即第九日两马相逢，此时良马所行里数为S9＝(a1＋a9)＝1395，故C错误，D正确．故选AD. 12．设等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，若＝，则t＝________． 答案：5 解析：由＝，得＝，即＝，故＝＝＝＝＝，又＝，所以＝＝，所以＝，解得t＝5. 13．(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； (2)求{an}的前20项和． 解：(1)由已知，a1＝1，a2＝a1＋1＝2，a3＝a2＋2＝4，a4＝a3＋1＝5， 因为a2n＋1＝a2n＋2＝a2n－1＋1＋2＝a2n－1＋3， 即a2n＋1－a2n－1＝3， 所以数列{an}的奇数项构成以1为首项，3为公差的等差数列， 所以当n为奇数时，an＝1＋×3＝. 因为a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，即a2n＋2－a2n＝3，所以数列{an}的偶数项构成以2为首项，3为公差的等差数列， 所以当n为偶数时，an＝2＋×3＝， 而bn＝a2n， 所以b1＝a2＝2，b2＝a4＝5，bn＝a2n＝＝3n－1，所以bn＝3n－1. (2)由(1)，知{an}的前20项和S20＝a1＋a2＋…＋a20＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)＝10×1＋×3＋10×2＋×3＝300. 所以{an}的前20项和为300. 14．7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件． (1)问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？ (2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行．问该款服装在社会上流行几天？ 解：(1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N＋，1≤n≤31)，最多售出ak件． 由题意知解得 ∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件． (2)设Sn是数列{an}的前n项和， ∵an＝ ∴Sn＝，1≤n≤13， 又S13＝273， ∴Sn＝273＋(51－n)(n－13)，14≤n≤31. ∵S13＝273>200， ∴当1≤n≤13时， 由Sn>200，得12≤n≤13， 由14≤n≤31时，日销售量连续下降， 由an<20，得23≤n≤31， ∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日)． 16 学科网（北京）股份有限公司 $$