6.4 数学建模活动：描述体重与脉搏率的关系-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第六章　导数及其应用 6.4　数学建模活动：描述体重与脉搏率的关系 问题　生物学中认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．研究表明，消耗的能量E与通过心脏的血流量Q成正比．根据生物学常识知道，动物的体重与体积成正比．表1给出了一些动物的体重与脉搏率对应的数据． 表1　一些动物的体重和脉搏率 动物名 体重/g 脉搏率/(心跳次数·min－1) 鼠 25 670 大鼠 200 420 豚鼠 300 300 兔 2000 205 小狗 5000 120 大狗 30000 85 羊 50000 70 马 450000 38 (1)根据生物学常识，给出血流量与体重之间关系的数学模型； (2)建立脉搏率与体重关系的数学模型； (3)根据表1，作出动物的体重和脉搏率的散点图，验证所建立的数学模型． 简化假设　为了建立数学模型，需要了解一些生物学概念，例如，血流量Q是单位时间流过的血量，脉搏率f是单位时间心跳的次数；还需要知道一些生物学假设，例如，心脏每次收缩挤压出来的血量q与心脏大小成正比，动物心脏的大小与这个动物体积的大小成正比． 建立模型　(1)因为动物体温通过身体表面散发热量，表面积越大，散发的热量越多，保持体温需要的能量也就越大，所以动物体内消耗的能量E与身体的表面积S成正比，即E＝p1S. 又因为动物体内消耗的能量E与通过心脏的血流量Q成正比，即E＝p2Q，由此可得Q＝pS，其中p1，p2和p均为正的比例系数． 另一方面，体积V与体重W成正比，即V＝r1W. (3)我们用Excel作出数据的散点图：在工作表中输入数据，选中数据区，按“插入/图表/散点图”的顺序作出散点图(图1)． 右击数据点，选择“添加趋势线”，在6种类型中分别选择指数、幂、二次多项式等趋势线，根据显示的“R平方值”，选择最大的一个．因此，采用幂函数模型，在“选项”中选定“显示公式”和“显示R平方值”复选框，得到图2. 可以看出，得到的拟合模型f＝1790.9W－0.298与(2)中建立的数学模型接近． (2)当所给的数据差异较大时，可以对已知数据取对数，从而使变换后的数据变得“均匀”，有利于发现趋势或规律．本例中将体重W与脉搏率分别取自然对数后作出的散点图如图3所示．直观地看出，变换后的数据点分布均匀，并近似地在一条直线上． (3)数据拟合是研究变量之间的关系，并给出近似数学表达式的一种方法．根据拟合模型，我们还可以对某变量进行预测或控制．在解决数据拟合问题时，首先应作出数据的散点图，然后通过观察散点的趋势选用相应的模型进行拟合．为使散点图更清晰，可将数据适当简化或变换． 　　　　　　　　　　　　　 R 又因为表面积S大约与体积V的eq \f(2,3)次方成正比，即S＝r2Veq \s\up7(\f(2,3)).由此可得S＝rWeq \s\up7(\f(2,3))，其中r1，r2，r为正的比例系数． 因此，血流量与体重关系的数学模型为Q＝k1Weq \s\up7(\f(2,3))，其中k1为正的比例系数． (2)根据脉搏率的定义f＝eq \f(Q,q)，再根据生物学假设q＝cW(c为正的比例系数)，可得f＝eq \f(Q,q)＝2,3))eq \f(k1W\s\up6(),cW) .因此，脉搏率与体重关系的数学模型为f＝kW－eq \s\up7(\f(1,3))，其中k为正的待定系数． 回顾与评价　(1)脉搏率与体重关系的数学模型说明，恒温动物体重越大，脉搏率越低；脉搏率与体重的eq \f(1,3)次方成反比．表1中的数据基本上反映了这个关系． $$