6.1.2 导数及其几何意义-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第六章　导数及其应用 6.1　导数 6.1.2　导数及其几何意义 (教师独具内容) 课程标准：1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.2.体会极限思想.3.通过函数图象直观理解导数的几何意义． 教学重点：1.导数的概念及其求法.2.导数的几何意义.3.求曲线的切线方程． 教学难点：通过函数图象理解导数的几何意义． 核心素养：1.通过学习导数的概念及其求法培养数学抽象素养和数学运算素养.2.通过学习导数的几何意义培养直观想象素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 瞬时变化率 k 导数 f′(x0)＝k 核心概念掌握 5 → 趋向于 Δx→0 核心概念掌握 6 核心概念掌握 7 f′(x0)Δx 核心概念掌握 8 知识点三　切线的定义 一般地，如图所示，设S是平面上的一条曲线，P0是曲线S上的一个定点，P是曲线S上P0附近的点，则称直线PP0为曲线S的割线，如果P无限接近于P0时，割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l，则称直线l为曲线S在点P0处的_____． 切线 核心概念掌握 9 知识点四　导数的几何意义 如果将函数y＝f(x)的图象看成曲线(称为曲线y＝f(x)，下同)，而且曲线在点A(x0，f(x0))处的切线为l，则|Δx|很小时，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))是A附近的一点， 割线AB的斜率是___________________________，则当Δx无限接近于0时，割线的斜率将无限趋近于______________． 这就是说，________就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处(也称在x＝x0处)的切线的斜率，过切点(x0，f(x0))的切线的方程是____________________． 切线l的斜率 f′(x0) y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 核心概念掌握 10 √ × √ 核心概念掌握 11 2．做一做 (1)函数在某一点的导数是(　　) A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B．一个函数 C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 核心概念掌握 12 －1 Δx＋2 2 y＝7x－8 核心概念掌握 13 核心素养形成 题型一　物体运动的瞬时速度　 　一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s(t)＝3t－t2. (1)求物体的初速度； (2)求物体在t＝2时的瞬时速度． 核心素养形成 15 核心素养形成 16 核心素养形成 17 核心素养形成 18 核心素养形成 19 核心素养形成 20 核心素养形成 21 核心素养形成 22 核心素养形成 23 (2)利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数． 核心素养形成 24 核心素养形成 25 2m 核心素养形成 26 核心素养形成 27 题型三　导数的实际意义　 　将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第x h时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)，求函数f(x)在x＝2和x＝6处的导数，并解释它们的实际意义． 核心素养形成 28 核心素养形成 29 感悟提升　一般地，函数在某点处的导数即在该点处的瞬时变化率，它反映了函数在该点处的变化状态．如以时间为自变量的位移函数的导数表示某时刻物体的运动速度，即v＝s′(t)；以时间为自变量的速度函数的导数表示某时刻物体的加速度，即a＝v′(t)． 核心素养形成 30 核心素养形成 31 核心素养形成 32 题型四　 导数的几何意义　 角度 　 求切线方程 　 (1)已知曲线方程f(x)＝x2，求点A(2，4)处与曲线相切的直线方程． 核心素养形成 33 核心素养形成 34 核心素养形成 35 感悟提升　 1．过曲线上一点求切线方程的一般步骤 核心素养形成 36 2．求过曲线y＝f(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的步骤 核心素养形成 37 核心素养形成 38 (2)已知曲线y＝2x2－7，求曲线过点P(3，9)的切线方程． 核心素养形成 39 核心素养形成 40 角度 　导数几何意义的应用 　 (1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f1(x)，f2(x)，f3(x)的图象如图所示，则(　　) A．f1′(a)>f2′(a)>f3′(a) B．f1′(a)>f3′(a)>f2′(a) C．f2′(a)>f1′(a)>f3′(a) D．f3′(a)>f1′(a)>f2′(a) 解析　根据导数的几何意义，结合图象可得f1′(a)>f2′(a)>f3′(a)． 核心素养形成 41 (2)已知f(x)＝x2＋1，利用f(1)＝2，f′(1)＝2，Δx＝0.04，则f(1.04)的近似值为________． 2.08 解析　由f(x0＋Δx)≈f(x0)＋f′(x0)Δx，得f(1.04)＝f(1＋0.04)≈f(1)＋f′(1)×0.04＝2＋2×0.04＝2.08. 核心素养形成 42 (3)已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标． 核心素养形成 43 核心素养形成 44 感悟提升　利用导数的几何意义可以用来比较导数的大小、求近似值、求参数的值等，但解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系、平行、垂直等． 核心素养形成 45 [跟踪训练5]　(1)已知f(x)＝2x2＋x，f′(2)＝9，Δx＝0.05，则f(2.05)的近似值为________． 10.45 解析：由题意可得，f(2)＝2×22＋2＝10.又f′(2)＝9，f(x0＋Δx)≈f(x0)＋f′(x0)Δx，所以f(2.05)＝f(2＋0.05)≈f(2)＋f′(2)×0.05＝10＋9×0.05＝10.45. 核心素养形成 46 (2)在曲线y＝x2上过哪一点的切线： ①平行于直线y＝4x－5? ②垂直于直线2x－6y＋5＝0? ③倾斜角为135°？ 核心素养形成 47 核心素养形成 48 随堂水平达标 1．函数f(x)＝2x2－1在x＝2处的导数值为(　　) A．8＋4Δx B．8＋2Δx C．4 D．8 随堂水平达标 1 2 3 4 5 50 随堂水平达标 1 2 3 4 5 51 随堂水平达标 1 2 3 4 5 52 3．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线 B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)不一定存在 C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在 D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线 随堂水平达标 1 2 3 4 5 53 解析：对于A，若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处可能有切线x＝x0，A错误；对于B，若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)不一定存在，B正确；对于C，由导数的几何意义可知，曲线在某点处的切线的斜率为该点处的导数，若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率一定不存在，C正确；对于D，若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处的切线为x＝x0，D错误．故选BC. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 54 4．人感冒服药后，血液中药物的质量浓度y是时间t的函数y＝f(t)(y单位：μg/mL，t单位：min)，假设函数y＝f(t)在t＝20时的导数f′(20)＝1.2，则其实际意义是_________________________________________________________________． 解析：函数在某点处的导数值反映的是函数在该点处的变化情况，在本题中反映的是血液中药物质量浓度上升或下降的速度． 表示服药后20 min时，血液中药物质量浓度上升的速度为1.2 μg/(mL·min) 随堂水平达标 1 2 3 4 5 55 5．已知曲线y＝x3－x＋3，则曲线在点(1，3)处的切线方程为____________． 2x－y＋1＝0 随堂水平达标 1 2 3 4 5 56 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 导数的几何意义 求物体运动的瞬时速度 导数定义的应用 求函数在某点处的导数 利用导数的几何意义求参数的值 由物体在某点处的瞬时速度求参数的值 由导数的几何意义求切线的方程及参数的值 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 由导数的几何意义求值 利用导数的几何意义求与切线平行的直线方程 求函数在某点处的导数；导数的实际意义 求函数在某点处的导数；由函数在某点处的导数求函数在某处的近似值 由函数在某点处的切线求参数的值 求函数的平均变化率；求函数在某点处的导数；导数的实际意义 导数的几何意义与三角形面积问题的综合 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 58 一、选择题 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是(　　) A．在点x＝x0处的函数值 B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值 C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率 D．点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率 解析：根据导数的几何意义可知C正确． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 59 2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3 s末的瞬时速度是(　　) A．5 m/s B．6 m/s C．7 m/s D．8 m/s 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 60 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 61 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 62 5．(多选)已知抛物线y＝x2＋bx＋c在点(1，2)处的切线与直线y＝x－2平行，则(　　) A．b＝－1 B．b＝1 C．c＝－2 D．c＝2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 63 二、填空题 6．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝_____． 1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 64 7．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为____． 解析：由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(1)＝4.又切线在y轴上的截距为－1，所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1，从而可得切点坐标为(1，3)，所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2. 2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 65 8．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)＝____． 解析：由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线l与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0，4)，则可知l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴f(2)＋f′(2)＝1. 1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 66 三、解答题 9．求过点P(－1，2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的切线平行的直线的方程． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 67 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 68 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 69 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 70 2 －1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 71 13．某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c(单位：元)与产量x(单位：台)之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7000x＋600. (1)求产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均变化率； (2)求c′(1000)与c′(1500)，并说明它们的实际意义． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 72 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 73 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 74 14．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程； (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 75 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 76 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 77 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　导数的概念 一般地，设函数y＝f(x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当 Δx无限接近于0时，若平均变化率eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x)在x＝x0处的_______________．此时，也称f(x)在x0处可导，并称______为f(x)在x＝x0处的______，记作__________．为了简单起见， “当Δx无限接近于0时，eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)无限接近于常数k”也常用符号 “____”(读作“__________”)表示为当______时，__________________________， 或者写成_________________________，即________________________________． eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)→k eq \o(lim,\s\do6(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝k f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx) [注意]　(1)函数在某处的导数即为函数在该处的瞬时变化率，有两层含义： ①eq \o(lim,\s\do6(Δx→0))eq \f(Δf,Δx)存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值； ②eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(Δf,Δx)不存在，则称f(x)在x＝x0处不可导． (2)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do6(x→x0)) eq \f(f（x）－f（x0）,x－x0)与定义中的f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)意义相同． 知识点二　瞬时变化率的实际意义 已知函数y＝f(x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，且f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)，则瞬时变化率f′(x0)的实际意义是：当自变量在x＝x0处改变量的绝对值|Δx|很小时，因变量对应的改变量的近似值为__________． [说明]　瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率． eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx) 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　　) (3)双曲线y＝－eq \f(1,x)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))处的切线的斜率大于在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(1,3)))处的切线的斜率．(　　) (2)设f(x)在定义域内的每一点处都存在导数，且满足eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（1）－f（1－Δx）,Δx)＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为______． (3)在曲线y＝x2的图象上取一点(1，1)及其附近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则eq \f(Δy,Δx)为________，瞬时变化率为______． (4)曲线y＝2x2－x在x＝2处的切线方程为________． 解　(1)t＝0时的速度为初速度． 在t＝0时刻取一时间段[0，0＋Δt]，即[0，Δt]， ∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2， eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(3Δt－（Δt）2,Δt)＝3－Δt， 当Δt无限接近于0时，3－Δt无限接近于3. ∴物体的初速度为3 m/s. (2)取一时间段[2，2＋Δt]， ∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2，eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(－Δt－（Δt）2,Δt)＝－1－Δt， 当Δt无限接近于0时，－1－Δt无限接近于－1. ∴物体在t＝2时的瞬时速度为－1 m/s. 感悟提升　要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt，求出相应的位移的改变量Δs，再求出平均速度eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(Δs,Δt)，最后计算当Δt趋向于0时，eq \f(Δs,Δt)趋向于的常数，就是物体在该时刻的瞬时速度． [跟踪训练1]　若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s) s＝f(t)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3t2＋2，t≥3，,29＋3（t－3）2，0≤t＜3.)) 求：(1)物体的初速度v0； (2)物体在t＝1时的瞬时速度． 解：(1)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度． ∵物体在t＝0附近位移的平均变化率为 eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(f（0＋Δt）－f（0）,Δt) ＝eq \f(29＋3[（0＋Δt）－3]2－29－3×（0－3）2,Δt) ＝3Δt－18， 当Δt无限接近于0时，3Δt－18无限接近于－18. ∴物体的初速度v0＝－18 m/s. (2)∵物体在t＝1附近位移的平均变化率为 eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(f（1＋Δt）－f（1）,Δt) ＝eq \f(29＋3[（1＋Δt）－3]2－29－3×（1－3）2,Δt) ＝3Δt－12， 当Δt无限接近于0时，3Δt－12无限接近于－12. ∴物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s. 题型二　求函数在某点处的导数　 (lim,\s\do6(Δx→0)) 　(1)设f(x)在x＝x0处可导，则 eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,2Δx)＝(　　) A.eq \f(1,2)f′(x0) B．2f′(－x0) C．f′(x0) D．2f′(x0) 解析　因为f(x)在x＝x0处可导，由导数的定义可得， eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝f′(x0)，所以eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,2Δx)＝ eq \f(1,2) eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq \f(1,2)f′(x0)．故选A. 解　由导数的定义知，函数f(x)在x＝2处的导数f′(2)＝ eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－2＝ －(Δx)2－Δx， 于是f′(2)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(－（Δx）2－Δx,Δx)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) (－Δx－1)＝－1. 感悟提升　由导数的定义，我们可以得到求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的方法： (1)求函数的增量Δf＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)； (3)取极限，得导数f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(Δf,Δx). [跟踪训练2]　(1)若函数f(x)在x＝a处的导数为m，则 eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（a＋Δx）－f（a－Δx）,Δx)＝_____． 解析：∵eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（a＋Δx）－f（a）,Δx)＝m，∴eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（a－Δx）－f（a）,－Δx)＝m. ∴eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（a＋Δx）－f（a－Δx）,Δx) ＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（a＋Δx）－f（a）＋f（a）－f（a－Δx）,Δx) ＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（a＋Δx）－f（a）,Δx)＋eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（a－Δx）－f（a）,－Δx)＝m＋m＝2m. (2)求函数y＝x－eq \f(1,x)在x＝1处的导数． 解：∵Δy＝(1＋Δx)－eq \f(1,1＋Δx)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋1－eq \f(1,1＋Δx)＝Δx＋eq \f(Δx,1＋Δx). ∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq \f(1,1＋Δx)， ∴eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝2. ∴f′(1)＝2. 解　∵Δf＝f(2＋Δx)－f(2)＝(Δx)2－3Δx， ∴eq \f(Δf,Δx)＝Δx－3，当Δx→0时，eq \f(Δf,Δx)→－3， 故f′(2)＝－3. 同理可得f′(6)＝5. f′(2)＝－3表示在第2 h时，原油温度以3 ℃/h的速度下降； f′(6)＝5表示在第6 h时，原油温度以5 ℃/h的速度上升． [跟踪训练3]　一只昆虫的爬行路程s(单位：米)是关于时间t(单位：分)的函数： s(t)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3t2，0≤t＜3，,15＋3（t－1）2，t≥3.)) 求s′(1)与s′(4)，并解释它们的实际意义． 解：当0≤t＜3时，s(t)＝3t2， eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(s（1＋Δt）－s（1）,Δt)＝eq \f(3（1＋Δt）2－3,Δt)＝6＋3Δt， 当Δt→0时，eq \f(Δs,Δt)→6，∴s′(1)＝6. 当t≥3时，s(t)＝15＋3(t－1)2， eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(s（4＋Δt）－s（4）,Δt) ＝eq \f(15＋3（4＋Δt－1）2－[15＋3×（4－1）2],Δt)＝18＋3Δt， 当Δt→0时，eq \f(Δs,Δt)→18，∴s′(4)＝18. s′(1)＝6表示在第1分钟时，该昆虫的爬行速度为6米/分； s′(4)＝18表示在第4分钟时，该昆虫的爬行速度为18米/分． 解　∵A(2，4)在曲线y＝f(x)上， 由f(x)＝x2，得f′(2)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝4. ∴f′(2)＝4. ∴所求切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0. (2)求抛物线f(x)＝eq \f(1,4)x2过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7,4)))的切线方程． 解　∵eq \f(1,4)×42＝4≠eq \f(7,4)，∴点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7,4)))不在抛物线上． 设切线在抛物线上的切点为2,0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,4)x)) ， ∵f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) 2,0)eq \f(\f(1,4)（x0＋Δx）2－\f(1,4)x,Δx) ＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x0＋\f(1,4)Δx))＝eq \f(1,2)x0， ∴2,0)eq \f(\f(1,4)x－\f(7,4),x0－4) ＝eq \f(1,2)x0， 即xeq \o\al(2,0)－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1， 即切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(49,4)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,4)))， 故切线方程为y－eq \f(49,4)＝eq \f(7,2)(x－7)或y－eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)(x－1)， 化简得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0， 即所求的切线方程为14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0. [跟踪训练4]　(1)曲线f(x)＝eq \f(1,2)x4在点(2，8)处的切线方程为(　　) A．16x－y－24＝0 B．16x－y＋24＝0 C．16x＋y＋24＝0 D．16x＋y－24＝0 解析：因为点(2，8)在曲线f(x)＝eq \f(1,2)x4上，由f(x)＝eq \f(1,2)x4，得f′(2)＝ eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(\f(1,2)（2＋Δx）4－8,Δx)＝16，所以f′(2)＝16，所以所求切线方程为y－8＝16(x－2)，即16x－y－24＝0.故选A. 解：y′＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(2（x＋Δx）2－7－（2x2－7）,Δx) ＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) (4x＋2Δx)＝4x. 因为2×32－7＝11≠9， 所以点P(3，9)不在曲线上． 设所求切线的切点为A(x0，2xeq \o\al(2,0)－7)， 则切线的斜率k＝4x0. 又因为点P(3，9)，A(x0，2xeq \o\al(2,0)－7)都是切线上的点， 所以k＝2,0)eq \f(2x－7－9,x0－3) ＝4x0， 解得x0＝2或x0＝4. 当x0＝2时，k＝8，切点为(2，1)， 切线方程为y－1＝8(x－2)，即8x－y－15＝0； 当x0＝4时，k＝16，切点为(4，25)， 切线方程为y－25＝16(x－4)，即16x－y－39＝0. 故所求的切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0. 解　设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)， ∵f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx) ＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) 3,0)eq \f(（x0＋Δx）3－2（x0＋Δx）2＋3－（x－2xeq \o\al(2,0)＋3）,Δx) ＝3xeq \o\al(2,0)－4x0. 由题意可知，切线的斜率k＝4，即3xeq \o\al(2,0)－4x0＝4， 解得x0＝－eq \f(2,3)或x0＝2，∴切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(49,27)))或(2，3)． 当切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(49,27)))时，有eq \f(49,27)＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＋a， 解得a＝eq \f(121,27). 当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a， 解得a＝－5. ∴当a＝eq \f(121,27)时，切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(49,27)))； 当a＝－5时，切点坐标为(2，3)． 解：设P(x0，y0)是满足条件的点， 则f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) 2,0)eq \f(（x0＋Δx）2－x,Δx) ＝2x0. ①因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4， 即P(2，4)是满足条件的点． ②因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直， 所以2x0·eq \f(1,3)＝－1，得x0＝－eq \f(3,2)，y0＝eq \f(9,4)， 即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(9,4)))是满足条件的点． ③因为切线的倾斜角为135°， 所以其斜率为－1，即2x0＝－1，得x0＝－eq \f(1,2)，y0＝eq \f(1,4)， 即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4)))是满足条件的点． 解析：由已知，得f′(2)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(2（2＋Δx）2－1－7,Δx)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(2（Δx）2＋8Δx,Δx)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) (2Δx＋8)＝8，所以f(x)＝2x2－1在x＝2处的导数值为8.故选D. 2.某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系：V(t)＝Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(1,10)t)) eq \s\up12(3)(H为常数)，其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为eq \o(v,\s\up6(－))(m3/h)，观察图象可知瞬时融化速度等于eq \o(v,\s\up6(－))的时刻是图中的(　　) A．t1 B．t2 C．t3 D．t4 解析：如图所示，平均融化速度实际上是点A与点B连线的斜率k；瞬时融化速度的几何意义就是曲线V(t)在某时刻的切线斜率，通过对比，t3时刻曲线的切线斜率与k相等，故瞬时融化速度等于eq \o(v,\s\up6(－))的时刻是t3. 解析：因为Δy＝[(1＋Δx)3－(1＋Δx)＋3]－3＝2Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，所以eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(2Δx＋3（Δx）2＋（Δx）3,Δx)＝2＋3Δx＋(Δx)2，所以曲线在点(1，3)处的切线斜率k＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0))[2＋3Δx＋(Δx)2]＝2，故所求切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0. 解析：∵eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(1－（3＋Δt）＋（3＋Δt）2－（1－3＋32）,Δt)＝5＋Δt，∴eq \o(lim,\s\do6(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \o(lim,\s\do6(Δt→0)) (5＋Δt)＝5(m/s)． 3．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝a，则eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（x0）－f（x0－3Δx）,4Δx)＝(　　) A.eq \f(4,3)a B．－eq \f(4,3)a C.eq \f(3,4)a D．－eq \f(3,4)a 解析：eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（x0）－f（x0－3Δx）,4Δx)＝eq \f(3,4) eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（x0－3Δx）－f（x0）,－3Δx)＝eq \f(3,4)f′(x0)＝eq \f(3,4)a. 4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x2＋1，0≤x<3，,2＋3（x－3）2，x≥3，))则函数f(x)在x＝1处的导数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：f(1)＝4，f′(1)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(3（1＋Δx）2＋1－4,Δx)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0))(6＋3Δx)＝6. 解析：∵点(1，2)在抛物线y＝x2＋bx＋c上，∴2＝1＋b＋c，即b＋c＝1　①.∵抛物线在点(1，2)处的切线与直线y＝x－2平行，∴f′(1)＝1，而f′(1)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(（1＋Δx）2＋b（1＋Δx）＋c－（1＋b＋c）,Δx)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) (Δx＋2＋b)＝2＋b，∴2＋b＝1　②.由①②可得b＝－1，c＝2. 解析：∵Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7teq \o\al(2,0)＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2，∴eq \o(lim,\s\do6(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \o(lim,\s\do6(Δt→0)) (14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1，∴t0＝1. 解：设f(x)＝y＝3x2－4x＋2且曲线y＝3x2－4x＋2在M(1，1)处的切线的斜率为k， 则k＝f′(1)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(3（1＋Δx）2－4（1＋Δx）＋2－3＋4－2,Δx) ＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) (3Δx＋2)＝2. 设过点P(－1，2)且斜率为2的直线为l， 则l的点斜式方程为y－2＝2(x＋1)， 化为一般式为2x－y＋4＝0， 所以所求直线的方程为2x－y＋4＝0. 10．建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是关于x的函数，y＝f(x)＝eq \f(x,10)＋eq \f(\r(x),10)＋0.3，求f′(100)的值，并解释它的实际意义． 解：根据导数的定义，得 f′(100)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(Δf,Δx)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（100＋Δx）－f（100）,Δx) ＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(100＋Δx＋\r(100＋Δx)＋3－（100＋\r(100)＋3）,10Δx) ＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)＋\f(\r(100＋Δx)－10,10Δx))) ＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,10)＋\f(1,10×（\r(100＋Δx)＋10）))) ＝eq \f(1,10)＋eq \f(1,10×（10＋10）)＝0.105. f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1050元． 11．(多选)已知f(x)＝eq \f(x3,3)，则(　　) A．f(3)＝9 B．f′(3)＝12 C．f(3.02)≈9.18 D．f(3.05)≈9.45 解析：因为f(x)＝eq \f(x3,3)，所以f(3)＝9，f′(3)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(f（3＋Δx）－f（3）,Δx)＝ eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(\f(（3＋Δx）3,3)－9,Δx)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(9＋3Δx＋\f(（Δx）2,3)))＝9.则f(3.02)＝f(3＋0.02)≈f(3)＋f′(3)×0.02＝9＋9×0.02＝9.18，f(3.05)＝f(3＋0.05)≈f(3)＋f′(3)×0.05＝9＋9×0.05＝9.45.故选ACD. 12．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋eq \f(1,ax)＋b(a>0)．若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝eq \f(3,2)x，则a＝____，b＝____． 解析：因为eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝ eq \f(a（1＋Δx）＋\f(1,a（1＋Δx）)＋b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)＋b)), Δx)＝eq \f(a2（1＋Δx）－1,a（1＋Δx）)，所以 eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(a2（1＋Δx）－1,a（1＋Δx）)＝eq \f(a2－1,a)＝eq \f(3,2)，解得a＝2或a＝－eq \f(1,2)(不符合题意，舍去)．将a＝2代入f(1)＝a＋eq \f(1,a)＋b＝eq \f(3,2)，解得b＝－1.所以a＝2，b＝－1. 解：(1)当产量由1000台提高到1500台时， 总利润的平均变化率为 eq \f(c（1500）－c（1000）,1500－1000)＝eq \f(6000600－5000600,500)＝2000(元/台)． (2)设x＝1000时产量的改变量为Δx1， 则c′(1000)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx1→0))eq \f(Δc,Δx1) ＝eq \o(lim,\s\do6(Δx1→0)) eq \f(c（1000＋Δx1）－c（1000）,Δx1) ＝eq \o(lim,\s\do6(Δx1→0)) eq \f(－2（Δx1）2＋3000Δx1,Δx1) ＝eq \o(lim,\s\do6(Δx1→0)) (－2Δx1＋3000) ＝3000， 它表示当产量为1000台时，多生产1台旋切机可多获利3000元． 设x＝1500时产量的改变量为Δx2， 则c′(1500)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx2→0)) eq \f(Δc,Δx2) ＝eq \o(lim,\s\do6(Δx2→0)) eq \f(c（1500＋Δx2）－c（1500）,Δx 2) ＝eq \o(lim,\s\do6(Δx2→0)) eq \f(－2（Δx 2）2＋1000Δx 2,Δx 2) ＝eq \o(lim,\s\do6(Δx2→0)) (－2Δx 2＋1000) ＝1000， 它表示当产量为1500台时，多生产1台旋切机可多获利1000元． 解：(1)设f(x)＝y＝x2＋x－2， f′(1)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(（1＋Δx）2＋（1＋Δx）－2－（12＋1－2）, Δx)＝3， 所以l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3. 设曲线y＝x 2＋x－2在点B(b，b2＋b－2)处的切线为l2， f′(b)＝eq \o(lim,\s\do6(Δx→0)) eq \f(（b＋Δx）2＋（b＋Δx）－2－（b2＋b－2）,Δx)＝2b＋1， 所以l2的方程为y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)(x－b)， 即y＝(2b＋1)x－b 2－2. 因为l1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b＝－eq \f(2,3)， 所以l2的方程为y＝－eq \f(1,3)x－eq \f(22,9). (2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x－3，,y＝－\f(1,3)x－\f(22,9)，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,6)，,y＝－\f(5,2)，)) 即l1与l2的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，－\f(5,2)))，l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22,3)，0))， 所以所求三角形的面积 S＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1＋\f(22,3)))＝eq \f(125,12). $$