5.1.1 数列的概念-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第五章　数列 5.1　数列基础 5.1.1　数列的概念 (教师独具内容) 课程标准：通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数． 教学重点：1.数列的有关概念.2.能由数列的前几项写出数列的一个通项公式． 教学难点：1.从函数的观点理解数列.2.数列单调性的判断与应用． 核心素养：1.通过学习数列的有关概念培养数学抽象素养.2.通过由数列的前几项写出数列的一个通项公式培养逻辑推理素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　数列及有关概念 1．按照_________排列的一列数称为数列． 2．数列中的_________都称为这个数列的项，各项依次称为这个数列的第1项(或______)，第2项…… 3．组成数列的_________称为数列的项数． 4．一般地，项数______的数列称为有穷数列，项数______的数列称为无穷数列．有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的_____． [注意]　数列中的数是有序的，而且可以重复出现，这与数集中的数的无序性、互异性是不同的，例如：1，3，5，7，9和9，7，5，3，1不是同一个数列． 一定次序 每一个数 首项 数的个数 有限 无限 末项 核心概念掌握 5 知识点二　数列的通项 1．数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中____表示数列的第n项(也称n为____的序号，其中n为正整数，即n∈N＋)，称为数列的通项，此时，一般将整个数列简记为_____，这里的小写字母a也可以换成其他小写英文字母． 2．一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用________来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式． an an {an} an＝f(n) 核心概念掌握 6 核心概念掌握 7 知识点三　数列与函数的关系 1．数列与函数的内在联系 数列{an}可以看成定义域为_______________的函数，数列中的数就是_______从小到大依次取正整数值时对应的_______，而数列的通项公式也就是相应函数的_________．这就提示我们，数列也可以用平面直角坐标系中的点来直观地表示． 2．数列的表示方法 (1)图象法； (2)列表法； (3)通项公式法． [说明]　数列的图象就是相应曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点． 正整数集的子集 自变量 函数值 解析式 核心概念掌握 8 类别 含义 递增数列 从第2项起，每一项_______它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项________它的前一项的数列 常数列 各项都_______的数列 都大于 都小于 相等 知识点四　数列的单调性 核心概念掌握 9 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，1，1，…是无穷数列．(　　) (2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一个数列．(　　) (3)如果一个数列不是递增数列，则一定是递减数列．(　　) √ × × 核心概念掌握 10 15 核心概念掌握 11 核心素养形成 解析　由数列的定义可知，数列4，7，3，4的首项是4，末项也是4，故A正确；{2，5，7，8}表示一个集合，不是数列，故B错误；同一个数在一个数列中可以重复出现，即数列的项可以相等，故C错误；数列是按照一定顺序排列的一列数，因此数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确．故选AD. (1)(多选)下列说法中正确的是(　　) A．数列4，7，3，4的首项是4，末项是4 B．数列2，5，7，8可表示为{2，5，7，8} C．数列{an}中，若a3＝3，则从第2项起，各项都不等于3 D．数列中的项不能是代数式 题型一　数列的概念及分类 核心素养形成 13 解析　①是有穷递增数列，②是无穷递增数列，③是无穷递减数列，④是无穷数列，⑤是无穷数列，也是常数列． ① ②③④⑤ ①② ③ ⑤ 核心素养形成 14 感悟提升　理解数列的概念应注意的几个方面 (1)判断一个数列是有穷数列还是无穷数列的关键是判断数列的项数是有限的还是无限的． (2)判断一个数列的单调性一般是根据数列中的an＋1与an的大小来判断，即 ①若数列{an}满足an＋1>an，则是递增数列； ②若数列{an}满足an＋1<an，则是递减数列； ③若数列{an}满足an＋1＝an，则是常数列． (3)有穷数列表示为a1，a2，a3，…，an或an＝f(n)(定义域为正整数集的有限子集：{1，2，3，…，n})；无穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，an，…或an＝f(n)(n＝1，2，3，…)，即对于有穷数列，要把末项(即有穷数列的最后一项)写出；对于无穷数列，无法写出末项，要用“…”结尾． 核心素养形成 15 核心素养形成 16 解：(1)是无穷数列，也是递减数列． (2)是有穷数列，也是递增数列． (3)是无穷数列． (4)是有穷数列，也是递增数列． (5)是无穷数列． (6)是无穷数列，也是常数列． (7)是无穷数列． 核心素养形成 17 题型二　由数列的前几项写出数列的一个通项公式 核心素养形成 18 核心素养形成 19 核心素养形成 20 (2)第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，写出a9及an. 核心素养形成 21 感悟提升 由数列的前几项求通项公式的一般规律 此类问题虽无固定模式，但有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法如下： (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等，重点分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号． (4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 核心素养形成 22 核心素养形成 23 核心素养形成 24 核心素养形成 25 (2)如图所示的图案中，白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项，试写出这个数列的一个通项公式． 解：我们把图案按如下规律分解： 这三个图案中白色正六边形的个数依次为6， 6＋4，6＋4×2，所以这个数列的一个通项公式为 an＝6＋4(n－1)＝4n＋2. 核心素养形成 26 题型三　数列通项公式的简单应用 　 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出数列的第4项和第6项； (2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． 解　(1)∵an＝3n2－28n， ∴a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60. 核心素养形成 27 核心素养形成 28 感悟提升　判断某数是否为数列的项的一般步骤　 核心素养形成 29 核心素养形成 30 核心素养形成 31 核心素养形成 32 核心素养形成 33 核心素养形成 34 核心素养形成 35 核心素养形成 36 核心素养形成 37 核心素养形成 38 角度 　求数列中的最大(小)项 　 (1)数列{an}的通项公式为an＝n2－7n＋50，求数列{an}的最小项． 核心素养形成 39 核心素养形成 40 核心素养形成 41 [跟踪训练5]　(1)已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋9n＋3，求数列{an}的最大项． 核心素养形成 42 核心素养形成 43 (2)(2024·湖北襄阳第五中学高二月考)已知数列{an}的通项公式为an＝2n－20n，求数列{an}的最小项． 解：由题意，得an＝2n－20n， 故an＋1－an＝2n＋1－20(n＋1)－2n＋20n＝2n－20， 当n≤4时，an＋1－an<0，故an＋1<an， 当n≥5时，an＋1－an>0，故an＋1>an， 即a1>a2>a3>a4>a5<a6<…， 故数列{an}的最小项为a5＝25－100＝－68. 核心素养形成 44 随堂水平达标 1．下列四个结论中正确的是(　　) ①数列的通项公式是唯一的； ②数列可以看作是一个定义在正整数集或其子集上的函数； ③数列若用图象表示，它是一群孤立的点； ④每个数列都有通项公式． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 解析：数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确．故选B. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 46 随堂水平达标 1 2 3 4 5 47 3．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则(　　) A．该数列的第2项是－48 B．该数列的第4项是38 C．－8是该数列的一项 D．30是该数列的一项 解析：对于A，因为a2＝22－2－50＝－48，所以该数列的第2项是－48，故A正确；对于B，因为a4＝42－4－50＝－38，所以该数列的第4项是－38，故B错误；对于C，由n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，所以－8是该数列的第7项，故C正确；对于D，由n2－n－50＝30，得n2－n－80＝0，因为该方程无正整数解，故D错误．故选AC. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 48 4．下图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图有化学键________个． 解析：各图中的化学键个数依次是6，6＋5，6＋5＋5，….若把6看成是1＋5，则上述数列为1＋5，1＋5＋5，1＋5＋5＋5，…，于是第n个图有化学键5n＋1个． 5n＋1 随堂水平达标 1 2 3 4 5 49 5．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则数列{an}中有____项是负数；当n＝________时，an有最小值，最小值为________． 两 2或3 －2 随堂水平达标 1 2 3 4 5 50 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 数列的概念及通项公式 由数列的前几项写出数列的通项公式 写出数列的通项公式；由数列的通项公式写出数列的具体项 由数列的通项公式判断数列的单调性 数列的通项公式及其应用；数列的单调性 数列通项公式的应用 由数列的几项写出数列的具体项及通项公式　 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 52 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 由数列的单调性求数列的最小项 由数列的前几项写出数列的通项公式 由数列的通项公式写出数列的具体项；由数列的通项公式判断某数是否是数列的项；由数列的通项公式判断数列的单调性 数列的通项公式与数列单调性的综合 由图形的分布规律写出数列的通项公式 由数列的通项公式求数列的最大项 求数列的通项公式；判断数列的单调性 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 53 一、选择题 1．下列有关数列的说法中正确的是(　　) ①数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列； ②数列{an}与{a2n－1}表示同一数列； ③数列－1，1，－1，1，…的通项公式不唯一； ④数列－1，1，3，5，8，…的通项公式为an＝2n－3，n∈N＋. A．①④ B．②③ C．③ D．①② 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 54 解析：①错误，数列各项顺序不同，即表示不同的数列；②错误，数列{an}表示数列a1，a2，a3，a4，…，an，…，而数列{a2n－1}表示数列a1，a3，a5，…，a2n－1，…，不是同一数列；③正确，数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以是an＝(－1)n，an＝cosnπ等；④错误，显然当n＝5时，a5＝7，不是数列中的项．故选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 55 解析：将n＝1，2，3，4分别代入①②③④⑤的通项公式中，可知①③④符合；对于②，当n＝3时不符合；对于⑤，显然n＝1时就不符合，故可作为{an}的通项公式的有3个．故选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 56 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 57 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 58 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 59 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 60 7 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 61 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 62 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 63 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 64 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 65 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 66 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 67 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 68 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 69 12．(2024·湖南长沙一中高二月考)某 少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)(2) (3)(4)为四个简单的图案，这些图案都由小 正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮． 现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图案包含f(n)个小正方形，则f(n)＝_____________． 解析：由题图得，f(1)＝1，f(2)＝1＋3＋1＝2×1＋3＝2×(2－1)2＋2×2－1，f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×(1＋3)＋5＝2×(3－1)2＋2×3－1，f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×(1＋3＋5)＋7＝2×(4－1)2＋2×4－1，故f(n)＝2(n－1)2＋2n－1＝2n2－2n＋1. 2n2－2n＋1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 70 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 71 14．已知函数f(x)＝log2x－logx2(0<x<1)，数列{an}满足f(2an)＝2n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：数列{an}是递增数列． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 72 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 73 　　　　　　　　　　　　　 R [拓展]　(1)像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 如eq \r(2)的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…，所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…就没有通项公式． (2)有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的． 2．做一做 (1)若数列的前4项分别是eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，－eq \f(1,5)，则该数列的一个通项公式为an＝(　　) A.eq \f(（－1）n＋1,n＋1) 　　B.eq \f(（－1）n,n＋1) 　　　 C.eq \f(（－1）n,n) 　　 　 D.eq \f(（－1）n－1,n) (2)在数列－1，0，eq \f(1,9)，eq \f(1,8)，…，eq \f(n－2,n2)，…中，0.08是它的(　　) A．第100项 　　B．第12项　　　　C．第10项 　　　 D．第8项 (3)若数列{an}的通项满足eq \f(an,n)＝n－2，那么a5＝________． (2)已知下列数列： ①2，22，222，2222；②0，eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，…，eq \f(n－1,n)，…； ③1，eq \f(1,3)，eq \f(1,9)，…，eq \f(1,3n－1)，…；④－1，0，－1，0，…，eq \f(（－1）n－1,2)，…； ⑤eq \r(5)，eq \r(5)，eq \r(5)，eq \r(5)，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________．(将正确的序号填在横线上) [跟踪训练1]　下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ (1)1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，…，eq \f(1,n)，…； (2)1，2，22，…，263； (3)1，－0.1，0.12，…，(－0.1)n－1，…； (4)0，10，20，…，1000； (5)－1，1，－1，1，…； (6)6，6，6，…； (7)0，－1，0，…，coseq \f(nπ,2)，…. ①3，5，7，9，…； ②eq \f(1,2)，eq \f(3,4)，eq \f(7,8)，eq \f(15,16)，…； ③eq \f(1,1×2)，－eq \f(1,2×3)，eq \f(1,3×4)，－eq \f(1,4×5)，…； ④eq \r(3)，3，eq \r(15)，eq \r(21)，3eq \r(3)，…； ⑤0.9，0.99，0.999，0.9999，…； ⑥eq \f(3,2)，1，eq \f(7,10)，eq \f(9,17)，…； ⑦eq \f(1,2)，2，eq \f(9,2)，8，…. 解　①∵各项减去1后为正偶数，∴an＝2n＋1. ②∵每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，…，∴an＝eq \f(2n－1,2n). ③这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为正，偶数项为负，∴它的一个通项公式是an＝(－1)n＋1eq \f(1,n（n＋1）). ④原数列可化为eq \r(3)，eq \r(9)，eq \r(15)，eq \r(21)，eq \r(27)，…，即eq \r(3×1)，eq \r(3×3)，eq \r(3×5)，eq \r(3×7)，eq \r(3×9)，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的通项公式为an＝eq \r(3（2n－1）). ⑤将原数列变形为1－0.1，1－0.01，1－0.001，1－0.0001，…，故原数列的通项公式为an＝1－10－n＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10))) eq \s\up12(n). ⑥将原数列变形为eq \f(3,2)，eq \f(5,5)，eq \f(7,10)，eq \f(9,17)，….对于分子3，5，7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1；对于分母2，5，10，17，…，联想到数列1，4，9，16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，故原数列的通项公式为an＝eq \f(2n＋1,n2＋1). ⑦将数列变形为eq \f(1,2)，eq \f(4,2)，eq \f(9,2)，eq \f(16,2)，…，可知分子为n2，分母为2，∴an＝eq \f(n2,2). 解　因为OA1＝1，OA2＝eq \r(2)，OA3＝eq \r(3)，…，OAn＝eq \r(n)，…，所以a1＝1，a2＝eq \r(2)，a3＝eq \r(3)，…，a9＝eq \r(9)＝3，an＝eq \r(n). [跟踪训练2]　(1)根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： ①eq \f(4,5)，eq \f(1,2)，eq \f(4,11)，eq \f(2,7)，…； ②eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，－eq \f(5,8)，eq \f(13,16)，－eq \f(29,32)，eq \f(61,64)，…； ③7，77，777，…； ④0，3，8，15，24，…； ⑤－1，7，－13，19，…； ⑥3，5，3，5，3，5，…. 解：①注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为eq \f(4,5)，eq \f(4,8)，eq \f(4,11)，eq \f(4,14)，…，于是它们的分母相差3，所以an＝eq \f(4,3n＋2). ②分母为2n，易看出第2，3，4，5，6项的分子均比分母少3，因此第1项为－eq \f(2－3,2)，因此原数列可以化为－eq \f(2－3,2)，eq \f(22－3,22)，－eq \f(23－3,23)，eq \f(24－3,24)，…，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n·eq \f(2n－3,2n). ③把各项除以7，得1，11，111，…，再乘以9，得9，99，999，…，所以an＝eq \f(7,9)(10n－1)． ④观察数列，递增速度较快，有点像平方的递增，不妨用平方数列对照看一看，即12，22，32，42，52，…，很快发现an＝n2－1. ⑤应解决两个问题：一是符号问题，可考虑用(－1)n表示，二是各项绝对值的排列规律，不难发现后面的数的绝对值总比它前面的数的绝对值大6.故通项公式an＝(－1)n(6n－5)． ⑥此数列奇数项为3，偶数项为5，故通项公式可写作an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3，n为奇数，,5，n为偶数.))此数列两项3与5的平均数为eq \f(3＋5,2)＝4，奇数项为4－1，偶数项为4＋1，故通项公式还可写作an＝4＋(－1)n. (2)令3n2－28n＝－49， 即3n2－28n＋49＝0， 解得n＝7或n＝eq \f(7,3)(舍去)． ∴－49是该数列的第7项，即a7＝－49. 令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0， 解得n＝－2或n＝eq \f(34,3). ∵－2∉N＋，eq \f(34,3)∉N＋， ∴68不是该数列的项． [跟踪训练3]　已知数列的通项公式为an＝eq \f(4,n2＋3n). (1)写出数列的第4项和第6项； (2)eq \f(1,10)和eq \f(16,27)是该数列的项吗？如果是，是第几项？ 解：(1)由题意可知a4＝eq \f(4,42＋3×4)＝eq \f(1,7)， a6＝eq \f(4,62＋3×6)＝eq \f(2,27). (2)令eq \f(4,n2＋3n)＝eq \f(1,10)，则n2＋3n－40＝0， 解得n＝5或n＝－8， 因为n∈N＋，故n＝－8舍去． 所以eq \f(1,10)是该数列的第5项． 令eq \f(4,n2＋3n)＝eq \f(16,27)，则4n2＋12n－27＝0， 解得n＝eq \f(3,2)或n＝－eq \f(9,2)， 因为n∈N＋，所以eq \f(16,27)不是该数列的项． 题型四　数列的单调性　 角度 　判断数列的单调性 (n,3n＋1) 　已知数列{an}的通项an＝，试判断数列{an}是递增数列还是递减数列？ 解　∵an＝eq \f(n,3n＋1)， ∴an＋1＝eq \f(n＋1,3（n＋1）＋1)＝eq \f(n＋1,3n＋4). 解法一：an＋1－an＝eq \f(n＋1,3n＋4)－eq \f(n,3n＋1) ＝eq \f(（n＋1）（3n＋1）－n（3n＋4）,（3n＋4）（3n＋1）) ＝eq \f(1,（3n＋4）（3n＋1）)， ∵n∈N＋，∴an＋1－an＞0，即an＋1＞an， ∴数列{an}为递增数列． 解法二：∵n∈N＋，∴an＞0. ∵eq \f(an＋1,an)＝eq \f(\f(n＋1,3n＋4),\f(n,3n＋1))＝eq \f(（n＋1）（3n＋1）,（3n＋4）n) ＝eq \f(3n2＋4n＋1,3n2＋4n)＝1＋eq \f(1,3n2＋4n)＞1， ∴an＋1＞an， ∴数列{an}为递增数列． 解法三：令f(x)＝eq \f(x,3x＋1)(x≥1)， 则f(x)＝eq \f(1,3)×eq \f(3x＋1－1,3x＋1)＝eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3x＋1)))， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴数列{an}为递增数列． 感悟提升　判断数列单调性的方法 作差比较an＋1与an的大小，即判断an＋1－an与0的大小关系；或作商比较an＋1与an的大小，即判断eq \f(an＋1,an)与1的大小关系．作商时要注意an>0还是an<0. [跟踪训练4]　已知函数f(x)＝eq \f(x,x2＋1)(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N＋)． (1)求证：0<an≤eq \f(1,2)； (2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ 解：(1)证明：由已知，得an＝eq \f(n,n2＋1)(n∈N＋)， ∴an＝eq \f(1,n＋\f(1,n))≤eq \f(1,2\r(n·\f(1,n)))＝eq \f(1,2)， 当且仅当n＝1时取等号． 又an>0，∴0<an≤eq \f(1,2). (2)由an＝eq \f(n,n2＋1)，得an＋1＝eq \f(n＋1,（n＋1）2＋1)， ∴an＋1－an＝eq \f(－n2－n＋1,（n2＋2n＋2）（n2＋1）)<0， ∴an＋1<an， ∴数列{an}是递减数列． 解　解法一：∵an＝n2－7n＋50＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(7,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(151,4)，∴当n＝3或n＝4时，an取到最小值，即数列{an}的最小项为a3＝32－7×3＋50＝38，a4＝42－7×4＋50＝38. 解法二：设数列{an}的第n项最小， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n2－7n＋50≤（n－1）2－7（n－1）＋50，,n2－7n＋50≤（n＋1）2－7（n＋1）＋50.)) 解得3≤n≤4， ∴当n＝3或n＝4时，an取到最小值，即数列{an}的最小项为a3＝a4＝38. 解　设第n项为数列{an}的最大项， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（n＋2）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))\s\up12(n)≥（n＋1）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))\s\up12(n－1)，,（n＋2）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))\s\up12(n)≥（n＋3）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))\s\up12(n＋1)，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n≤5，,n≥4，)) 又n∈N＋，所以n＝4或n＝5， 故a4与a5均为数列{an}的最大项，且a4＝a5＝eq \f(65,74). (2)(2024·湖南平江颐华高级中学高二月考)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7))) eq \s\up12(n)，求数列{an}的最大项． 感悟提升 求数列中最大(小)项的方法 (1)通常利用eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))确定n的取值范围，进而确定{an}的最大项(或最小项)．此方法适用于先增后减或先减后增型数列求最值项，要注意不等式组中的“≥”与“≤”，不是“>”与“<”． (2)也可利用二次函数的性质求最值项，如本例(1)中可以利用二次函数y＝x2－7x＋50的图象关于直线x＝eq \f(7,2)对称这一性质求最值，但应注意an的最小项是当n＝3或4时取得，而不是当n＝eq \f(7,2)时取得，这是因为n∈N＋，不要因忽视n∈N＋而致误． 解：解法一：假设an是最大项，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2n2＋9n＋3≥－2（n－1）2＋9（n－1）＋3，,－2n2＋9n＋3≥－2（n＋1）2＋9（n＋1）＋3，)) 解得eq \f(7,4)≤n≤eq \f(11,4). 因为n是正整数，所以n＝2. 所以数列{an}的最大项为a2＝13. 解法二：由已知an＝－2n2＋9n＋3＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(9,4))) eq \s\up12(2)＋eq \f(105,8). 因为n为正整数， 故当n＝2时，an取到最大值． 所以数列{an}的最大项为a2＝13. 2．下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A.eq \f(1,3)，eq \f(1,6)，eq \f(1,9)，eq \f(1,12)，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，… D．1，eq \r(2)，eq \r(3)，…，eq \r(10) 解析：对于A，an＝eq \f(1,3n)，n∈N＋，它既是无穷数列又是递减数列；对于B，an＝－n，n∈N＋，它既是无穷数列又是递减数列；对于C，an＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(n－1)，它既是无穷数列又是递增数列；D是有穷数列．故选C. 解析：由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.∵n∈N＋，∴n＝2或3，∴数列{an}中有两项是负数．∵an＝n2－5n＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2))) eq \s\up12(2)－eq \f(9,4)，二次函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2))) eq \s\up12(2)－eq \f(9,4)图象的对称轴为直线x＝eq \f(5,2)＝2.5，又n∈N＋，∴当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2. 2．已知数列{an}的前4项为1，0，1，0，则下列可作为数列{an}的通项公式的有(　　) ①an＝eq \f(1,2)[1＋(－1)n＋1]；②an＝eq \f(1,2)[1＋(－1)n＋1]＋(n－1)(n－2)； ③an＝sin2eq \f(nπ,2)；④an＝eq \f(1－cosnπ,2)；⑤an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n为偶数，,0，n为奇数.)) A．1个 　　　　　B．2个 　　　　　C．3个 　　　　　 D．4个 3．数列－3，eq \f(5,4)，－eq \f(7,9)，eq \f(9,16)，…的第11项是(　　) A．－eq \f(23,121) B.eq \f(23,121) C．－eq \f(21,121) D.eq \f(21,121) 解析：数列{an}的一个通项公式可以是an＝(－1)neq \f(2n＋1,n2)，则a11＝(－1)11×eq \f(2×11＋1,112)＝－eq \f(23,121). 4．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－eq \f(5,3)，则此数列为(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．以上均不正确 解析：由an＝2n－eq \f(5,3)，可得an＋1－an＝2＞0，故此数列为递增数列． 5．(多选)下列命题中正确的是(　　) A．已知数列{an}，an＝eq \f(1,n（n＋2）)(n∈N＋)，那么eq \f(1,120)是这个数列的第10项，且最大项为第1项 B．数列eq \r(2)，－eq \r(5)，2eq \r(2)，－eq \r(11)，…的一个通项公式是an＝(－1)n＋1eq \r(3n－1) C．已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝31 D．已知an＋1＝an＋3，则数列{an}为递增数列 解析：对于A，由an＝eq \f(1,n（n＋2）)＝eq \f(1,120)⇒n＝10(负值舍去)，易知最大项为第1项，故A正确；对于B，联想数列eq \r(2)，eq \r(5)，eq \r(8)，eq \r(11)，…，则an＝(－1)n＋1eq \r(3n－1)，故B正确；对于C，由an＝kn－5，且a8＝11⇒k＝2⇒an＝2n－5⇒a17＝29，故C错误；对于D，由an＋1－an＝3>0，知数列{an}为递增数列，故D正确．故选ABD. 二、填空题 6．在数列0，eq \f(1,4)，…，eq \f(n－1,2n)，…中，第3项是________，eq \f(3,7)是它的第________项． 解析：令n＝3，则eq \f(n－1,2n)＝eq \f(3－1,2×3)＝eq \f(1,3)，所以第3项是eq \f(1,3)；令eq \f(n－1,2n)＝eq \f(3,7)，解得n＝7，所以eq \f(3,7)是它的第7项． eq \f(1,3) an＝eq \r(2n)(n∈N＋) 7．在数列eq \r(2)，2，x，2eq \r(2)，eq \r(10)，2eq \r(3)，…中，x＝__________，该数列的一个通项公式是________________． 解析：各项可依次写为eq \r(2)，eq \r(4)，eq \r(x2)，eq \r(8)，eq \r(10)，eq \r(12)，…，观察可知，根号下依次为偶数，故x2＝6，可得x＝eq \r(6)(负值舍去)，数列的通项公式为an＝eq \r(2n)(n∈N＋)． eq \r(6) 8．已知数列{an}的通项公式为an＝n－eq \r(n2＋2)，则an的最小值为________． 解析：因为an＝n－eq \r(n2＋2)＝eq \f(（n－\r(n2＋2)）（n＋\r(n2＋2)）,n＋\r(n2＋2))＝－eq \f(2,n＋\r(n2＋2))，易知数列{an}为递增数列，则数列{an}的最小项为a1，即最小值为1－eq \r(3). 1－eq \r(3) 三、解答题 9．根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式： (1)1，－2，3，－4，5，…；(2)5，55，555，5555，…； (3)1，3，6，10，15，…；(4)eq \f(1,2)，eq \f(4,5)，eq \f(9,10)，eq \f(16,17)，…； (5)1，－eq \f(1,3)，eq \f(1,7)，－eq \f(1,15)，eq \f(1,31)，…. 解：(1)这个数列的前4项1，－2，3，－4的绝对值都是序号，且奇数项为正，偶数项为负，∴数列的通项公式为an＝(－1)n＋1·n. (2)∵数列9，99，999，9999，…的第n项为10n－1，数列1，11，111，1111，…的第n项应为eq \f(1,9)(10n－1)，∴数列5，55，555，5555，…的通项公式为an＝eq \f(5,9)(10n－1)． (3)注意到6＝2×3，10＝2×5，15＝3×5，规律还不明显，再把各项分子、分母同乘以2，即eq \f(1×2,2)，eq \f(2×3,2)，eq \f(3×4,2)，eq \f(4×5,2)，eq \f(5×6,2)，…，∴数列的通项公式为an＝eq \f(n（n＋1）,2). (4)注意各项的分子分别是12，22，32，42，…，分母比分子大1，∴数列的通项公式为an＝eq \f(n2,n2＋1). (5)∵奇数项为正，偶数项为负，各项分母可看作21－1＝1，22－1＝3，23－1＝7，24－1＝15，25－1＝31，…，各项分子均为1，∴数列的通项公式为an＝(－1)n＋1·eq \f(1,2n－1). 10．已知数列{an}的通项公式是an＝eq \f(2n,n＋2). (1)求该数列的第10项； (2)eq \f(14,9)是不是该数列的项？ (3)判断此数列的单调性． 解：(1)a10＝eq \f(2×10,10＋2)＝eq \f(5,3). (2)令an＝eq \f(14,9)，即eq \f(2n,n＋2)＝eq \f(14,9)，解得n＝7. ∴eq \f(14,9)是该数列的第7项． (3)解法一(比较an＋1与an的大小)： ∵an＋1－an＝eq \f(2（n＋1）,n＋1＋2)－eq \f(2n,n＋2)＝eq \f(2n＋2,n＋3)－eq \f(2n,n＋2) ＝eq \f(4,（n＋2）（n＋3）)>0， ∴an＋1>an.∴此数列为递增数列． 解法二(从函数角度判断)： an＝eq \f(2n,n＋2)＝eq \f(2,1＋\f(2,n))， ∵f(n)＝1＋eq \f(2,n)为关于n的减函数且其值恒正， ∴an＝eq \f(2,f（n）)为关于n的增函数，故数列{an}为递增数列． 11．(多选)我国魏晋时期杰出的数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，利用圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率．设圆内接正n(n≥3)边形的周长为ln，圆的半径为r，数列{an}的通项公式为an＝eq \f(ln,2r)，则(　　) A．a6＝3 B．an＝coseq \f(π,2n)·a2n C．{an}是递增数列 D．存在m∈N＋，当n>m时，aeq \o\al(2,n)>12 解析：圆内接正n边形的周长ln＝2nrsineq \f(π,n)，所以an＝eq \f(ln,2r)＝nsineq \f(π,n).当n＝6时，a6＝6sineq \f(π,6)＝3，A正确；由以上分析可知a2n＝2nsineq \f(π,2n)，所以eq \f(an,a2n)＝eq \f(sin\f(π,n),2sin\f(π,2n))＝coseq \f(π,2n)，所以an＝coseq \f(π,2n)·a2n，B正确；当n越大，则ln的值越大，越接近外接圆的周长，所以an＝eq \f(ln,2r)越大，故{an}是递增数列，C正确；当0<θ<eq \f(π,2)时，sinθ<θ，所以f(x)＝xsineq \f(π,x)<x·eq \f(π,x)＝π<2eq \r(3)，即aeq \o\al(2,n)<12，D错误．故选ABC. 13．已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10))) eq \s\up12(n－1)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由． 解：因为an＋1－an＝(n＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10))) eq \s\up12(n)－(n＋1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10))) eq \s\up12(n－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10))) eq \s\up12(n－1)·eq \f(8－n,10)， 所以当n≤7时，an＋1>an；当n＝8时，an＋1＝an；当n≥9时，an＋1<an. 于是，数列{an}的第8项和第9项为最大项，且a8＝9×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10))) eq \s\up12(7)＝eq \f(98,107)，即最大项为eq \f(98,107). 解： (1)由已知，得log22 an－eq \f(1,log22 an)＝2n， 即an－eq \f(1,an)＝2n，所以aeq \o\al(2,n)－2nan－1＝0， 解得an＝n±eq \r(n2＋1)， 因为0<x<1，即0<2an<1，所以an<0， 所以an＝n－eq \r(n2＋1). (2)证明：因为eq \f(an＋1,an)＝eq \f(（n＋1）－\r(（n＋1）2＋1),n－\r(n2＋1)) ＝eq \f(n＋\r(n2＋1),（n＋1）＋\r(（n＋1）2＋1))<1， 而an<0(n＝1，2，3，…)，所以an＋1>an， 所以数列{an}是递增数列． $$