7.5 正态分布-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册创新导学案word（人教A版2019）

(教师独具内容) 课程标准：1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征，了解正态分布的均值、方差及其含义． 教学重点：正态曲线的特点及其所表示的意义． 教学难点：了解在实际中什么样的随机变量服从正态分布，并掌握其正态曲线所表示的意义． 核心素养：通过学习正态分布的特征及应用正态分布解决实际问题，提升数学抽象素养和数据分析素养． 知识点一　连续型随机变量 取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量． 知识点二　正态分布 1．f(x)＝e－，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数．显然，对任意的x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．x轴和曲线之间的区域的面积为1．称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 2．正态曲线的特点 (1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (2)曲线在x＝μ处达到峰值； (3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (4)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移．当μ取定值时，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散． 知识点三　正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 知识点四　3σ原则 如果X～N(μ，σ2)，那么 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． [拓展]　正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1)熟记P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的值． (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1. ①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等； ②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)， 若b>0，则P(X<μ－b)＝. 1．(正态分布的均值与标准差)已知正态密度函数为f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，则该正态分布的均值为________，标准差为________． 答案：0　 2.(正态曲线)设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有μ1________μ2，σ1________σ2. 答案：＜　＜ 3．(利用正态分布求概率)在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若X在(0，1)内取值的概率为0.4，则X在(0，2)内取值的概率为________． 答案：0.8 题型一　正态曲线　 　(1)(多选)下面给出的关于正态曲线的四个叙述中，正确的是(　　) A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B．当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升 C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点 [解析]　只有C错误，因为当μ一定时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，正态曲线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，正态曲线越“矮胖”，总体分布越分散． [答案]　ABD (2)如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的正态密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差． [解]　从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20. 由＝，解得σ＝. 于是该正态分布的正态密度函数的解析式是 f(x)＝e－，x∈R. 总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2. 感悟提升 (1)正态分布的两个重要参数是μ与σ2，μ刻画了随机变量取值的平均水平，σ2是衡量随机变量总体波动大小的特征数，因此我们由正态曲线的形状与位置可比较参数的大小，反之利用参数之间的大小关系，也可以确定正态曲线的形状与位置． (2)利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象实质性的两点：一个是对称轴方程为x＝μ，另一个是最值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式． [跟踪训练1]　(1)(多选)已知三个正态密度函数fi(x)＝ (x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．σ1＝σ2＝σ3 B．σ1＝σ2<σ3 C．μ1＝μ2>μ3 D．μ1<μ2＝μ3 答案：BD 解析：∵正态密度曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大曲线越靠右边，σ越小曲线越“瘦高”，∴μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3.故选BD. (2)若一个正态分布的正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为.求该正态分布的正态密度函数的解析式． 解：由于该正态分布的正态密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0. 由＝，得σ＝4. 故该正态分布的正态密度函数的解析式是 f(x)＝e－，x∈R. 题型二　利用正态分布求概率　 　(1)若随机变量X服从正态分布N(0，1)，已知P(X<－1.96)＝0.025，则P(|X|<1.96)＝(　　) A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975 [解析]　∵随机变量X服从正态分布N(0，1)，∴μ＝0，∴其图象关于y轴对称，∴P(|X|<1.96)＝1－2P(X<－1.96)＝1－2×0.025＝0.950. [答案]　C (2)已知X～N(4，σ2)，且P(2<X<6)≈0.6827，则σ＝________，P(|X－2|<4)≈________． [解析]　∵X～N(4，σ2)且P(2<X<6)≈0.6827，∴μ＝4，且∴σ＝2.∴P(|X－2|<4)＝P(－2<X<6)＝P(－2<X≤2)＋P(2<X<6)＝[P(－2<X<10)－P(2<X<6)]＋P(2<X<6)＝P(－2<X<10)＋P(2<X<6)＝[P(μ－3σ<X＜μ＋3σ)＋P(μ－σ<X＜μ＋σ)]≈×(0.9973＋0.6827)＝0.84. [答案]　2　0.84 感悟提升 正态分布下两类常见的概率计算 (1)利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的区域的面积为1. (2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与μ，σ进行对比联系，确定它们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个． [跟踪训练2]　设X～N(2，1)，试求： (1)P(1≤X≤3)； (2)P(3<X≤4)； (3)P(X<0)． 解：∵X～N(2，1)，∴μ＝2，σ＝1. (1)P(1≤X≤3)＝P(2－1≤X≤2＋1)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827. (2)P(3<X≤4)＝P(0≤X<1) ＝ ＝[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)] ≈×(0.9545－0.6827)＝0.1359. (3)P(X<0)＝P(X>4) ＝[1－P(0≤X≤4)] ≈×(1－0.9545)＝0.02275. 题型三　正态分布的应用　 　某年级的一次数学测验成绩近似服从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分为不及格，那么 (1)成绩不及格的学生人数约占总人数的多少？ (2)成绩在区间(80，90]内的学生人数约占总人数的多少？ [解]　(1)设学生的得分为随机变量X， 则X～N(70，102)，其中μ＝70，σ＝10. ∴成绩在区间[60，80]内的学生人数的比例为P(70－10≤X≤70＋10)≈0.6827， ∴不及格的学生人数约占×(1－0.6827)＝0.15865. 即成绩不及格的学生人数约占总人数的15.865%. (2)∵P(70－20≤X≤70＋20)≈0.9545， ∴成绩在区间(80，90]内的学生人数约占 [P(50≤X≤90)－P(60≤X≤80)]≈×(0.9545－0.6827)＝0.1359. 即成绩在区间(80，90]内的学生人数约占总人数的13.59%. 感悟提升 解决正态分布应用题的方法 (1)将实际问题与正态分布“挂钩”． (2)掌握正态分布的性质，特别是正态曲线的对称性以及各个区间上概率之间的关系． [跟踪训练3]　某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4，0.52)(单位：cm)，质量检查人员从该厂生产的1000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为5.7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？ 解：由于X服从正态分布N(4，0.52)，由正态分布的性质可知，正态分布N(4，0.52)在[4－3×0.5，4＋3×0.5]内取值的概率约为0.9973，即[2.5，5.5]之外的取值的概率只有0.0027.而5.7∉[2.5，5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，因此可以认为该厂生产的这批零件是不合格的． 1．设随机变量X服从正态分布，且相应的密度函数f(x)＝e，则(　　) A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2 C．μ＝2，σ＝ D．μ＝3，σ＝ 答案：C 解析：由f(x)＝e－，得μ＝2，σ＝.故选C. 2．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(－1<X≤2)＝3P(X>5)，则P(－1<X≤5)＝(　　) A．0.5 B．0.625 C．0.75 D．0.875 答案：C 解析：因为X～N(2，σ2)，P(－1<X≤2)＝P(2≤X<5)，且P(X≥2)＝0.5，又因为P(－1<X≤2)＝3P(X>5)，所以P(X≥2)＝P(2≤X<5)＋P(X>5)＝4P(X>5)＝0.5，所以P(X>5)＝0.125，所以P(2≤X<5)＝0.5－0.125＝0.375，所以P(－1<X≤5)＝0.75.故选C. 3．(多选)某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩服从正态分布，相应的正态曲线如图所示，则下列说法中正确的是(　　) A．三科总体的标准差相同 B．三科总体的平均数相同 C．丙科总体的平均数最小 D．甲科总体的标准差最小 答案：BD 解析：由图象知甲、乙、丙三科总体的平均数相同，但标准差不同，σ甲<σ乙<σ丙．故选BD. 4．设随机变量X服从标准正态分布X～N(0，1)，那么对于任意a，记Φ(a)＝P(X<a)，已知Φ(a)＝0.7，则P(|X|<a)＝________． 答案：0.4 解析：P(|X|<a)＝P(－a<X<a)＝1－2P(X>a)＝1－2[1－Φ(a)]＝1－2×(1－0.7)＝0.4. 5．在某市组织的一次数学考试中，全体参加考试的学生的成绩近似服从正态分布N(60，100)，已知数学成绩在90分以上的学生有13人．试求此次参加数学考试的学生约有多少人？ 解：设学生的数学成绩为X，共有n人参加数学考试， ∵X～N(60，100)，∴μ＝60，σ＝10. ∴P(X>90)＝[1－P(30≤X≤90)]≈×(1－0.9973)＝0.00135. 又P(X>90)＝，∴≈0.00135， ∴n≈9630， 即此次参加数学考试的学生约有9630人． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 利用正态分布的对称性求参数的值 利用“3σ原则”求概率 正态分布的应用 由正态分布概率的范围求参数值 正态曲线 利用正态分布求概率 正态分布的应用 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 正态分布的应用　 正态分布的应用　 正态分布与超几何分布的综合应用 正态分布的应用　 正态分布与二项分布的综合应用 正态分布与二项分布的综合应用 正态分布的应用；全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 一、选择题 1．设随机变量X服从正态分布N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则c＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：解法一：由P(X>c＋1)＝P(X<c－1)可知2＝，解得c＝2. 解法二：∵P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，∴正态曲线关于直线x＝c对称，又X～N(2，9)，∴c＝2. 2．已知随机变量X～N(0，1)，则X在区间[－3，＋∞)内取值的概率约为(　　) A．0.88745 B．0.00265 C．0.00135 D．0.99865 答案：D 解析：P(X≥－3)＝P(－3≤X≤3)＋≈0.99865. 3．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(单位：kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态密度曲线如图所示．若体重大于等于58.5 kg且小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数约是(　　) A．997 B．955 C．819 D．683 答案：D 解析：由题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5≤X≤62.5)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，从而属于正常情况的人数是1000×0.6827≈683. 4．现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布．若某物理量做n次测量，最后结果的误差Xn～N，则为使|Xn|≥的概率控制在0.0455以下，至少要测量的次数为(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9973)(　　) A．32 B．64 C．128 D．256 答案：C 解析：P<0.0455⇒P＝P>1－0.0455＝0.9545，而μ＝0，则P(－2σ≤Xn≤2σ)≈0.9545，所以2σ≤⇒σ＝≤⇒n≥128.故选C. 5．(多选)已知两种不同型号的电子元件的使用寿命(分别记为X，Y)均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是(参考数据：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545)(　　) A．P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋σ1)≈0.8186 B．对于任意的正数t，有P(X≤t)>P(Y≤t) C．P(Y≥μ1)<P(Y≥μ2) D．P(X≤σ1)<P(X≤σ2) 答案：ABD 解析：对于A，P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋σ1)＝[P(μ1－σ1≤X≤μ1＋σ1)＋P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋2σ1)]≈(0.6827＋0.9545)×＝0.8186，故A正确；对于B，对于任意的正数t，由图象知P(X≤t)表示的面积始终大于P(Y≤t)表示的面积，所以P(X≤t)>P(Y≤t)，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线，可知μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故C错误；对于D，由正态分布密度曲线，可知σ1<σ2，所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故D正确．故选ABD. 二、填空题 6．若随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X>5)＝P(X<－1)＝0.2，则P(－1<X<5)＝________． 答案：0.6 解析：因为X～N(μ，σ2)，且P(X>5)＝P(X<－1)＝0.2，所以P(－1<X<5)＝1－P(X>5)－P(X<－1)＝0.6. 7．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高(单位：cm)服从正态分布N(100，102)，若测量10000株水稻，株高在(110，120)的约有________株．(若X～N(μ，σ2)，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545) 答案：1359 解析：因为株高服从正态分布N(100，102)，所以μ＝100，σ＝10，所以110＝μ＋σ，120＝μ＋2σ，P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)≈＝0.1359，株高在(110，120)的约有0.1359×10000＝1359株． 8．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值xi(i＝1，2，3，…，100)，经计算 i=7200，＝100×(722＋36)．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布N(μ，σ2)，则估计该市高中生身体素质的合格率为________．(用百分数作答，精确到0.1%，参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973) 答案：97.7% 解析：因为100个数据x1，x2，x3，…，x100的平均值＝i＝72，方差s2＝(xi－)2＝(－1002)＝×[100×(722＋36)－100×722]＝36，所以μ的估计值为＝72，σ的估计值为s＝6.设该市高中生的身体素质指标值为X，由P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，得P(72－12≤X≤72＋12)＝P(60≤X≤84)≈0.9545，P(X>84)＝P(X>μ＋2σ)＝P(X<μ－2σ)＝≈，所以P(X≥60)＝P(60≤X≤84)＋P(X>84)≈0.9545＋×(1－0.9545)＝0.97725≈97.7%. 三、解答题 9．一建筑工地所需要的钢筋的长度X～N(8，22)，质检员在检查一大批钢筋的质量时，发现有的钢筋长度小于2米，这时，他是让钢筋工继续用切割机截钢筋，还是停下来检修切割机呢？ 解：由于X～N(8，22)，根据正态分布的性质可知，正态分布N(8，22)在[8－3×2，8＋3×2]之外的取值概率仅约为0.27%，长度小于2米的钢筋不在[2，14]内，据此质检员应让钢筋工马上停止切割，并对切割机进行检修． 10．某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩Y进行统计，发现Y服从正态分布N(69，49)． (1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩Y在[62，90]内的概率； (2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90.从这12个数据中随机选取4个，记X表示大于总体平均分的个数，求X的方差． 参考数据：若Y～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Y≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Y≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤Y≤μ＋3σ)≈0.9973. 解：(1)因为每名小学生的普通话测试成绩Y服从正态分布N(69，49)，所以μ＝69，σ＝7， 所以P(62≤Y≤90)＝P(μ－σ≤Y≤μ＋3σ) ≈＝0.84. (2)因为总体平均分为μ＝69， 所以这12个数据中大于总体平均分的有3个， 所以X的所有可能取值为0，1，2，3， 则P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1， D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(3－1)2×＝. 11．某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名职员，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．本次招聘考试的命题和组考非常科学，是一次成功的考试，考试成绩服从正态分布．考试后考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名． (1)求最低录取分数(结果精确到1)； (2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？请说明理由． 附：①当X～N(μ，σ2)时，令Y＝，则Y～N(0，1)； ②当Y～N(0，1)时，P(Y≤2.17)≈0.985，P(Y≤1.28)≈0.90，P(Y≤1.09)≈0.863，P(Y≤1.04)≈0.85. 解：(1)设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，即X～N(180，σ2)， 令Y＝，则Y～N(0，1)，由360分及以上高分考生30名可得P(X≥360)＝， 即P(X<360)＝1－＝0.985， 即有P＝0.985， 则≈2.17，可得σ≈83， 可得X～N(180，832)， 设最低录取分数为x0， 则P(X≥x0)＝P＝， 即有P＝1－＝0.85， 即有≈1.04， 可得x0≈266.32， 即最低录取分数为266. (2)考生甲的成绩286>266，所以能被录取， P(X<286)＝P＝P(Y<1.28)≈0.90， 表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的1－0.90＝0.10，又由2000×0.10＝200， 即考生甲大约排在第200名，排在前275名之内，所以能被录取为高薪职位． 12．某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度(单位：分米)，按数据分成[1.2，1.3]，(1.3，1.4]，(1.4，1.5]，(1.5，1.6]，(1.6，1.7]，(1.7，1.8]这6组，得到如下的频数分布表． 分组 [1.2，1.3] (1.3，1.4] (1.4，1.5] (1.5，1.6] (1.6，1.7] (1.7，1.8] 频数 3 15 42 42 15 3 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率． (1)若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在(1.4，1.6]的个数，求X的分布列和数学期望； (2)若变量S满足|P(μ－σ<S≤μ＋σ)－0.6827|≤0.05，且|P(μ－2σ<S≤μ＋2σ)－0.9545|≤0.05，则称变量S满足近似于正态分布N(μ，σ2)的概率分布，如果这批零件的长度Y(单位：分米)满足近似于正态分布N(1.5，0.01)的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？ 解：(1)从这批零件中随机选取1件，长度在(1.4，1.6]的概率P＝＝0.7， 随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，则 P(X＝0)＝C×(1－0.7)3＝0.027， P(X＝1)＝C×(1－0.7)2×0.7＝0.189， P(X＝2)＝C×(1－0.7)×0.72＝0.441， P(X＝3)＝C×0.73＝0.343， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 所以E(X)＝0×0.027＋1×0.189＋2×0.441＋3×0.343＝2.1. (2)由题意知μ＝1.5，σ＝0.1，P(1.3<Y≤1.4)＝P(1.6<Y≤1.7)＝＝0.125， P(μ－σ<Y≤μ＋σ)＝P(1.4<Y≤1.6)＝＝0.7， P(μ－2σ<Y≤μ＋2σ)＝P(1.3<Y≤1.7)＝0.125＋0.7＋0.125＝0.95， 因为|0.7－0.6827|＝0.0173≤0.05，|0.95－0.9545|＝0.0045≤0.05， 所以这批零件的长度满足近似于正态分布N(1.5，0.01)的概率分布． 所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收． 13．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在[70，80)内的学生获三等奖，得分在[80，90)内的学生获二等奖，得分在[90，100]内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图． (1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率； (2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ≈15，μ为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生人数(结果四舍五入到整数)； ②若从所有参赛学生中(参赛学生人数大于10000)随机抽取4名学生进行访谈，求其中竞赛成绩在64分以上的学生人数的期望与方差． 附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973. 解：(1)由样本的频率分布直方图得，样本中获一等奖的有6人，获二等奖的有8人，获三等奖的有16人，共有30人获奖，70人没有获奖， 从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，样本点的总数为C， 设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A， 则事件A包含的样本点的个数为CC， 所以这两名学生中恰有一名学生获奖的概率为P(A)＝＝. (2)由样本频率分布直方图的平均数的估计值为μ＝(35×0.006＋45×0.012＋55×0.018＋65×0.034＋75×0.016＋85×0.008＋95×0.006)×10＝64， 则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(64，152)． ①因为μ＋σ＝79， 所以P(X>79)≈＝0.15865， 故参赛学生中成绩超过79分的学生人数约为0.15865×10000≈1587. ②由μ＝64，可得P(X>64)＝，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为，用Y表示抽取的4名学生中竞赛成绩在64分以上的学生人数，则随机变量Y服从二项分布B， 所以P(Y＝0)＝C×＝， P(Y＝1)＝C××＝， P(Y＝2)＝C××＝， P(Y＝3)＝C××＝， P(Y＝4)＝C×＝， 所以随机变量Y的分布列为 Y 0 1 2 3 4 P 所以期望为E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2，方差为D(Y)＝4××＝1. 14．(2024·福建莆田月考)某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：顾客投掷3枚质地均匀的骰子．若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮乐”；若3枚骰子的点数之和为6的倍数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”，其他情况不获得“刮刮乐”． (1)据往年统计，顾客消费额X(单位：元)服从正态分布N(130，252)．若某天该商场有20000位顾客，请估计该天消费额X在[105，180]内的人数； 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545. (2)已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品的概率为，刮出乙奖品的概率为. ①求顾客获得乙奖品的概率； ②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率． 解：(1)由题意，得P(105≤X≤180)＝P(105≤X≤130)＋P(130≤x≤180)＝P(μ－σ≤X≤μ)＋P(μ≤x≤μ＋2σ)≈×(0.6827＋0.9545)≈0.8186， 若某天该商场有20000位顾客，估计该天消费额X在[105，180]内的人数为0.8186×20000＝16372. (2)设事件A1＝“顾客中‘龙腾奖’”，事件A2＝“顾客中‘旺旺奖’”，事件B＝“顾客获得乙奖品”， 由题意知P(A1)＝＝，P(B|A1)＝1－＝，P(B|A2)＝， 事件A2包括的事件为“3枚骰子的点数之和为6”“3枚骰子的点数之和为12”“3枚骰子的点数之和为18”， 则(ⅰ)若“3枚骰子的点数之和为6”，则有“1点，1点，4点”“1点，2点，3点”“2点，2点，2点”三类情况，共有CC＋A＋1＝10种； (ⅱ)若“3枚骰子的点数之和为12”，则有“1点，5点，6点”“2点，4点，6点”“2点，5点，5点”“3点，4点，5点”“3点，3点，6点”“4点，4点，4点”六类情况，共有A＋A＋CC＋A＋CC＋1＝25种； (ⅲ)若“3枚骰子的点数之和为18”，则有“6点，6点，6点”一类情况，共有1种， 所以P(A2)＝＝， ①由全概率公式可得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝×＋×＝， 即顾客获得乙奖品的概率为. ②若顾客已获得乙奖品，其是中“龙腾奖”而获得的概率是P(A1|B)＝ ＝＝＝， 所以顾客已获得乙奖品，则其是中“龙腾奖”而获得的概率是. 16 学科网（北京）股份有限公司 $$