7.1.2 全概率公式-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册创新导学案word（人教A版2019）

7.1.2　全概率公式 (教师独具内容) 课程标准：1.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.2.*了解贝叶斯公式． 教学重点：全概率公式与贝叶斯公式． 教学难点：用全概率公式、贝叶斯公式解决实际问题． 核心素养：通过学习全概率公式及应用全概率公式解决问题，提升数学抽象素养和数学运算素养． 知识点一　全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)．称上面的公式为全概率公式． 知识点二　 *贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件， A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1，2，…，n. 1．(贝叶斯公式、全概率公式、条件概率公式)(多选)下列说法正确的是(　　) A．P(A|B)＝ B．若P(A)>0，P()>0，则P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()P(B|) C．若A1，A2，A3互斥且P(A1)>0，P(A2)>0，P(A3)>0，则P(B)＝P(Ai)P(B|Ai) D．若P(A)＝P()，且P(|A)＞P(B|)，则P(A)＞P(B) 答案：ABD 2．(全概率公式、贝叶斯公式)已知P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)＝________，P(A|B)＝________． 答案：　 3．(全概率公式)已知P(BA)＝0.35，P(B)＝0.72，则P(B)＝________． 答案：0.37 4．(全概率公式的应用)有两箱同一种产品，第一箱装50件，其中10件优质品，第二箱装30件，其中18件优质品，现在随意地打开一箱，然后从箱中随意取出一件，则取到的是优质品的概率是________． 答案： 题型一　全概率公式的应用　 　某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率． [解]　如果用事件A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，事件B表示该同学恰好是女生，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω. 由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝， 且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝. 由全概率公式可知，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝. 感悟提升 全概率公式的实际意义 在较复杂情况下直接计算P(B)不易，但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造一组互斥的Ai，用P(BAi)之和计算P(B)即可． [跟踪训练1]　市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为30%，20%，50%，且三家工厂的次品率分别为3%，3%，1%，试求市场上该品牌产品的次品率． 解：设A表示“买到一件次品”；B1，B2，B3分别表示买到一件甲厂、乙厂、丙厂的产品． 则P(A)＝P(AB1)＋P(AB2)＋P(AB3)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝30%×3%＋20%×3%＋50%×1%＝2%. 题型二　*贝叶斯公式的应用　 　某人下午5：00下班，他平时积累的数据如表所示． 到家时间 5：35～5：39 5：40～5：44 5：45～5：49 5：50～5：54 晚于5：54 乘地铁到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁回家还是乘汽车回家，结果他是5：47到家的，试求他是乘地铁回家的概率． [解]　以事件H表示“乘地铁回家”，则事件表示“乘汽车回家”． 以事件T表示“到家时间在5：45～5：49之间”，因为到家时间为5：47，在5：45～5：49之间，则所求概率为P(H|T)． 易知P(T|H)＝0.45，P(T|)＝0.20，因为他是由抛硬币决定乘地铁回家还是乘汽车回家， 所以P(H)＝P()＝0.5. 由贝叶斯公式得P(H|T)＝ ＝ ＝＝. 感悟提升 利用贝叶斯公式解题，即在观察到事件B已发生的条件下，计算导致事件B发生的每个原因Ai的概率． [跟踪训练2]　对以往的数据分析结果表明，当机器调整良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%.每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%.已知某天早上第一件产品是合格品，则机器调整良好的概率是多少？ 解：设A表示“产品合格”，B表示“机器调整良好”． 则P(B|A)＝ ＝＝90%. 题型三　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用　 　设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%，35%，20%，各厂的产品的次品率分别为4%，2%，5%，现从中任取一件． (1)求取到的是次品的概率； *(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率． [解]　记事件A1＝“该产品为甲厂生产的”，事件A2＝“该产品为乙厂生产的”，事件A3＝“该产品为丙厂生产的”，事件B＝“该产品是次品”．则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，由题设，知 P(A1)＝45%，P(A2)＝35%，P(A3)＝20%，P(B|A1)＝4%，P(B|A2)＝2%，P(B|A3)＝5%. (1)由全概率公式， 得P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝3.5%. (2)由贝叶斯公式(或条件概率的定义)，得P(A1|B)＝＝＝. 感悟提升 P(Ai)(i＝1，2，…，n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识，当有了新的信息(知道B发生)，人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化． [跟踪训练3]　设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射击手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4. (1)该射击手任取1支枪射击，中靶的概率是多少？ *(2)若任取1支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率． 解：记A表示“枪已校正”，B表示“射击中靶”，则P(A)＝0.6，P()＝0.4，P(B|A)＝0.9，P(|A)＝0.1，P(B|)＝0.4，P(|)＝0.6. (1)由全概率公式，得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.6×0.9＋0.4×0.4＝0.7. (2)由贝叶斯公式(或条件概率的定义)，得 P(|)＝ ＝＝0.8. 1．据美国的一份资料报导，在美国患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟者患肺癌的概率是(　　) A．0.25% B．0.04% C．0.4% D．0.025% 答案：D 解析：记事件C为“患肺癌”，事件A为“吸烟”，由题意，P(C)＝0.001，P(A)＝0.20，P(C|A)＝0.004，需求条件概率P(C|)，由全概率公式有P(C)＝P(A)P(C|A)＋P()P(C|)，将数据代入，得0.001＝0.20×0.004＋0.80P(C|)，P(C|)＝0.00025，则不吸烟者患肺癌的概率为0.025%. 2．(多选)已知有两副相同的扑克牌，分别有数字牌2，3，4，5，6，7，8，9，10的36张，有字母J，Q，K，A的16张，大、小王2张．现将两副扑克牌分别打乱，从其中一副扑克牌中随机取1张，A1，A2，A3分别表示从此副扑克牌中抽取的是数字、字母和大、小王，将抽取的牌放入另一副扑克牌中，将其打乱，然后随机取1张，B表示“最后抽取的为数字”，则下列结论正确的是(　　) A．P(B)＝ B．P(B|A1)＝ C．事件B与事件A1是互斥事件 D．A1，A2，A3是两两互斥的事件 答案：ABD 解析：由题意知，A1，A2，A3是两两互斥的事件，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，而P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝.事件B与事件A1不是互斥事件．故选ABD. *3.某公司销售10台洗衣机，其中有3台次品．现已售出1台洗衣机，在余下的洗衣机中任取2台，发现均为正品，则原先售出的1台为次品的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：设事件A为“售出的1台洗衣机为次品”，事件B为“余下的9台洗衣机中取出2台均为正品”． 显然P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝＝，P(B|)＝＝，由贝叶斯公式有 P(A|B)＝ ＝＝.故选D. 4．甲袋中有5只白球、7只红球，乙袋中有4只白球、2只红球，从两个袋子中任取一袋，然后从所取到的袋子中任取一球，则取到的球是白球的概率为________． 答案： 解析：设事件A表示“取到的是甲袋”，则事件表示“取到的是乙袋”．事件B表示“取到的是白球”．由题意得P(B|A)＝，P(B|)＝，P(A)＝，所以P(B)＝P(B|A)·P(A)＋P(B|)P()＝×＋×＝，即取到的球是白球的概率为. 5．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为，，.现从这三个地区任选一个地区抽取一人． (1)求此人感染此病的概率； *(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率． 解：设A1，A2，A3分别表示此人来自甲地区、乙地区、丙地区，B表示“此人感染此病”， 则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥， ∴P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝， ∴P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝. (1)由全概率公式，得 P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝. (2)由贝叶斯公式，得 P(A2|B)＝＝. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 全概率公式的计算 全概率公式的应用 全概率公式的应用 贝叶斯公式的应用 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 全概率公式的应用 题号 7 8 9 10 11 12 难度 ★★ ★★ ★ ★★ ★★★ ★★ 对点 全概率公式的应用 贝叶斯公式的应用 全概率公式的应用 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 全概率公式的应用 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 一、选择题 1．已知P(B|A)＝0.3，P(A)＝0.4，P(B|)＝0.2，则P(B)＝(　　) A．0.28 B．0.12 C．0.24 D．0.36 答案：C 解析：由P(A)＝0.4，得P()＝0.6，故P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.4×0.3＋0.6×0.2＝0.24.故选C. 2．某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产5 mm规格的芯片，现有25块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为5块、10块、10块，若甲、乙、丙生产该芯片的次品率分别为0.1，0.2，0.3，则从这25块芯片中任取一块芯片，是正品的概率为(　　) A．0.78 B．0.64 C．0.58 D．0.48 答案：A 解析：设B＝“任取一块芯片是正品”，Ai(i＝1，2，3)分别表示芯片由甲、乙、丙三条生产线生产，根据题意可得，P(A1)＝＝0.2，P(A2)＝＝0.4，P(A3)＝＝0.4，P(B|A1)＝1－0.1＝0.9，P(B|A2)＝1－0.2＝0.8，P(B|A3)＝1－0.3＝0.7，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝0.2×0.9＋0.4×0.8＋0.4×0.7＝0.78.故选A. 3．长白飞瀑、高句丽遗迹、鹤舞向海、一眼望三国、伪满皇宫、松江雾凇、净月风光、查干冬渔，是著名的吉林八景．某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是，夏季来的概率是，如果冬季来，则看不到长白飞瀑、鹤舞向海和净月风光；如果夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬渔，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：设事件A1＝“冬季去吉林旅游”，事件A2＝“夏季去吉林旅游”，事件B＝“去了一眼望三国”，则P(A1)＝，P(A2)＝，在冬季去了“一眼望三国”的概率为P(B|A1)＝＝，在夏季去了“一眼望三国”的概率为P(B|A2)＝＝，所以去了“一眼望三国”的概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝.故选C. *4.假设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车中途停车修理的概率为0.01，现有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为(　　) A．0.01 B．0.02 C．0.2 D．0.8 答案：D 解析：用A1表示“经过的是货车”，A2表示“经过的是客车”，B表示“中途停车修理”，则B＝A1B∪A2B.由题意可得P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01.由贝叶斯公式可得，P(A1|B)＝＝＝ ＝0.8.故选D. 5．(多选)在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，病人中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，病人中60%表现出症状S，经调查，每人最多只患有一种疾病，且其他疾病均不会出现症状S，则(　　) A．任意一人表现出症状S的概率为0.02 B．病人表现出症状S时患疾病D1的概率为0.4 C．病人表现出症状S时患疾病D2的概率为0.45 D．病人表现出症状S时患疾病D3的概率为0.25 答案：ABC 解析：设Ai表示“患疾病Di(i＝1，2，3)”，B表示“表现出症状S”，则A1，A2，A3两两互斥．根据题意得P(A1)＝0.02，P(A2)＝0.05，P(A3)＝0.005，P(B|A1)＝0.4，P(B|A2)＝0.18，P(B|A3)＝0.6.由全概率公式，得P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝0.02×0.4＋0.05×0.18＋0.005×0.6＝0.02.由贝叶斯公式，得P(A1|B)＝＝＝0.4，P(A2|B)＝＝＝0.45，P(A3|B)＝＝＝0.15.故选ABC. 二、填空题 6．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为________． 答案：0.4825 解析：设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4.设B＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.4825. 7．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为________． 答案：0.08 解析：以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，则P(A1)＝＝，P(A2)＝，P(A3)＝＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，由全概率公式得所求概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝0.08. *8.袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币(次品硬币的两面均为数字)，在袋中任取一枚，将它投掷r次，已知每次都得到数字，则这枚硬币是正品的概率为________． 答案： 解析：记T为“将硬币投掷r次每次都出现数字”，记A为“所取到的是正品”，由题设得P(A)＝，P()＝，P(T|A)＝，P(T|)＝1.需求P(A|T)，由贝叶斯公式可得P(A|T)＝＝＝＝. 三、解答题 9．轰炸机轰炸某目标，它能飞到距目标400，200，100(米)的概率分别是0.5，0.3，0.2，又设它在距目标400，200，100(米)时的命中率分别是0.01，0.02，0.1，则目标被命中的概率是多少？ 解：设事件A1表示“飞机能飞到距目标400米处”，事件A2表示“飞机能飞到距目标200米处”，事件A3表示“飞机能飞到距目标100米处”，用事件B表示“目标被击中”． 由题意得P(A1)＝0.5，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.2， 又P(B|A1)＝0.01，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.1. 由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.01＋0.3×0.02＋0.2×0.1＝0.031. 所以目标被命中的概率为0.031. 10．小明每天去学校有A，B两条路线可供选择，小明上学时随机地选择一条路线．如果小明上学时选择A路线，那么放学时选择A路线的概率为0.6；如果小明上学时选择B路线，那么放学时选择A路线的概率为0.8. (1)求小明放学时选择A路线的概率； *(2)已知小明放学时选择A路线，求小明上学时选择B路线的概率． 解：(1)设事件A1＝“上学时选择A路线”，事件B1＝“上学时选择B路线”，事件A2＝“放学时选择A路线”， 则Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥， 根据题意得P(A1)＝P(B1)＝0.5， P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8， 由全概率公式，得 P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1) ＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7， 所以小明放学时选择A路线的概率为0.7. (2)P(B1|A2)＝＝＝＝， 所以已知小明放学时选择A路线，则小明上学时选择B路线的概率为. 11．玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2个次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客购买一箱玻璃杯，在购买时售货员随机取出一箱，顾客开箱任意抽查5只，若无次品，则购买该箱玻璃杯，否则退回．则顾客买下该箱玻璃杯的概率为________． 答案： 解析：设Ai＝“该箱玻璃杯有i个次品(i＝0，1，2)”，B＝“顾客买下该箱玻璃杯”，则Ω＝A0∪A1∪A2，且A0，A1，A2两两互斥，由题意知，P(A0)＝0.8，P(A1)＝0.1，P(A2)＝0.1，P(B|A0)＝1，P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝＝.所以P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝0.8×1＋0.1×＋0.1×＝. 12．(2024·山东潍坊期末)如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件Ai(i＝1，2，3)表示“球取自i号箱”，事件B表示“取得黑球”． (1)分别求P(BA1)，P(BA2)，P(BA3)和P(B)的值； *(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由． 解：(1)由已知可得P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝， P(B|A1)＝，P(B|A2)＝＝，P(B|A3)＝1， ∴P(BA1)＝P(A1)P(B|A1)＝×＝， P(BA2)＝P(A2)P(B|A2)＝×＝， P(BA3)＝P(A3)P(B|A3)＝×1＝， ∴P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3) ＝＋＋＝. (2)P(A1|B)＝＝＝， P(A2|B)＝＝＝， P(A3|B)＝＝＝， P(A3|B)最大，即若小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱的概率最大． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$