6.3.2 二项式系数的性质-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册创新导学案word（人教A版2019）

6.3.2　二项式系数的性质 (教师独具内容) 课程标准：1.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.2.理解二项式系数的性质并灵活运用． 教学重点：二项式系数的性质． 教学难点：二项式系数的性质，并应用其解决一些简单问题． 核心素养：通过学习二项式系数的性质，提升逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点　　二项式系数的性质 1．对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由C＝C得到．直线r＝将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴． 2．增减性与最大值 因为C＝＝C，即＝，所以，当>1，即k<时，C随k的增加而增大；由对称性知，二项式系数的后半部分，C随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项C取得最大值；当n是奇数时，中间的两项C与C相等，且同时取得最大值． 3．各二项式系数的和 已知(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn，令x＝1，得2n＝C＋C＋C＋…＋C．这就是说，(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n． [拓展]　在求二项式系数时常用赋值法．如－1，0，1等，赋值法体现了函数思想．如：f(x)＝(ax＋b)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋an.在解题时要注意审题，恰当赋值． 1．(二项展开式中的最大项问题)的展开式中二项式系数最大的项是第________项． 答案：6和7 2．(二项展开式的系数最大问题)若(a＋b)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n＝________． 答案：8 3．(二项展开式的系数和问题)已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝________． 答案：1 4．(二项式定理的应用)9192被100除所得的余数为________． 答案：81 题型一　二项展开式的系数和问题　 　在(2x－3y)10的展开式中，求： (1)各项的二项式系数的和； (2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和； (3)各项系数之和； (4)奇数项系数的和与偶数项系数的和． [解]　在(2x－3y)10的展开式中： (1)各项的二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210＝1024. (2)因为奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，所以奇数项的二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝29＝512， 偶数项的二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝29＝512. (3)设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*) 各项系数之和即为a0＋a1＋a2＋…＋a10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解． 令(*)中x＝y＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1. (4)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9. 由(3)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1.① 令(*)中x＝1，y＝－1，得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510.② 由①＋②，得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510， 故奇数项系数的和为(1＋510)． 由①－②，得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510， 故偶数项系数的和为(1－510)． 感悟提升 求展开式的各项系数之和常用赋值法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. [跟踪训练1]　设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值： (1)a0； (2)a1＋a2＋…＋a100； (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99； (4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2； (5)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|. 解：(1)令x＝0，得a0＝2100. (2)令x＝1， 可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，(*) 所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100. (3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100. 与(2)中(*)式联立相减，得 a1＋a3＋a5＋…＋a99＝. (4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－)(2＋)]100＝1100＝1. (5)因为Tk＋1＝(－1)kC2100－k()kxk， 所以a2i－1<0(i∈N*)． 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100| ＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100 ＝(2＋)100. 题型二　二项展开式中的最大项问题　 　已知在(x＋3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． [解]　令x＝1，则展开式中各项系数的和为(1＋3)n＝22n. 又展开式中二项式系数的和为2n， ∴＝2n＝32，∴n＝5. (1)∵n＝5，展开式共6项， ∴二项式系数最大的项为第3，4两项， T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6， T4＝C(x)2(3x2)3＝270x. (2)设展开式中第k＋1项的系数最大， 则由Tk＋1＝C(x)5－k(3x2)k＝3kCx， 得∴≤k≤，∴k＝4， 即展开式中系数最大的项为T5＝34×Cx＝405x. 感悟提升 1．二项式系数最大的项的求法 求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论： (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大； (2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 2．展开式中系数最大的项的求法 求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b>0)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项的系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解得k，即得出系数最大的项． [跟踪训练2]　(1)在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为(　　) A．20 B．160 C．180 D．240 答案：B 解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C·x6－k·＝C·2k·x6－2k，k＝0，1，2，…，6，二项式的系数为C，k＝0，1，2，…，6，当k＝3时，二项式系数最大，则该项的系数为C×23＝160.故选B. (2)已知二项式的展开式中前3项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解：由题意，知C＋C＋C＝79， 解得n＝12或n＝－13(舍去)，∴n＝12. 设展开式中第k＋1项的系数最大， ∵＝×(1＋4x)12， ∴ ∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10， ∴展开式中系数最大的项为T11， 且T11＝×C×(4x)10＝16896x10. 题型三　二项式定理的应用　 　(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除． [证明]　∵1110－1＝(10＋1)10－1 ＝(1010＋C×109＋C×108＋…＋C×10＋1)－1 ＝1010＋C×109＋C×108＋…＋102 ＝100(108＋C×107＋C×106＋…＋1)， ∴1110－1能被100整除． (2)证明：(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝. [证明]　∵＝C， ∴要证(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝， 即证(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝C. 构造等式(1＋x)n(1＋x)n＝(1＋x)2n，则C表示二项式(1＋x)2n展开式中xn的系数． 又(1＋x)n(1＋x)n＝(C＋Cx＋…＋Cxn)·(C＋Cx＋…＋Cxn)，则等式右边整理后xn的系数为CC＋CC＋…＋CC＋…＋CC. 由组合数的性质C＝C(r＝0，1，2，…，n)， 得CC＋CC＋…＋CC＋…＋CC ＝(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＋…＋(C)2， 即在等式(1＋x)n(1＋x)n＝(1＋x)2n中， 左边xn的系数为(C)2＋(C)2＋…＋(C)2，右边xn的系数为C， ∴(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝C， 即(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝. (3)求1.00355精确到0.001的近似值． [解]　1.00355＝(1＋0.0035)5≈1＋5×0.0035＝1.0175≈1.018. 感悟提升 1．应用二项式定理不仅可以对多项式展开，还可应用于以下几个方面： (1)证明整除性问题或求解求余数问题． (2)证明等式与不等式． (3)进行近似运算． 2．各种问题的常用处理方法 (1)整除性问题或求余数问题的处理方法 ①解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式． ②用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了． (2)证明等式或不等式问题的处理方法 ①解决这类问题，常利用构造恒等式的方法，对恒等式中的数据进行分析、整理． ②在证明过程中常利用如下三种常见变形： ⅰ.(a－b)n＝Can＋(－1)1Can－1b＋…＋(－1)kCan－kbk＋…＋(－1)nCbn； ⅱ.(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn； ⅲ.(1－x)n＝C＋(－1)1Cx＋…＋(－1)kCxk＋…＋(－1)nCxn. (3)近似计算的处理方法 对于二项式(1＋a)n，当a的绝对值与0相差很小且n较大时，常用近似公式(1＋a)n≈1＋na，因为这时展开式后面部分Ca2＋Ca3＋…＋Can很小，可以忽略不计．类似地，有(1－a)n≈1－na.但使用这两个公式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求．要求选取展开式中保留的项，使最后一项小数位恰好符合要求即可，少了不符合要求，多了无用，且增加麻烦． [跟踪训练3]　(1)求230－3除以7的余数． 解：230－3＝(23)10－3＝810－3 ＝(7＋1)10－3＝C×710＋C×79＋…＋C×7＋C－3 ＝7×(C×79＋C×78＋…＋C)－2. ∵余数不能为负数，∴230－3除以7的余数为5. (2)证明：CC＋CC＋…＋CC＝C. 证明：(1＋x)2n的展开式中xn－1的系数为C. 又(1＋x)2n＝(1＋x)n(1＋x)n ＝(C＋Cx＋…＋Cxn)(C＋Cx＋…＋Cxn)， 则等式右边整理后xn－1的系数为CC＋CC＋…＋CC＝CC＋CC＋…＋CC. 由于两种形式下的展开式中xn－1的系数相等， 故CC＋CC＋…＋CC＝C. (3)求1.9975精确到0.001的近似值． 解：1.9975＝(2－0.003)5＝25＋C×24×(－0.003)＋C×23×(－0.003)2＋…＋C×(－0.003)5≈32－0.24＋0.00072≈31.761. 1．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则n的值为(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 答案：B 解析：根据题意，只有第7项为二项展开式的中间项，所以二项式的展开式的总项数为13，即n＋1＝13，解得n＝12. 2．设的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M－N＝240，则展开式中的有理项共有(　　) A．1项 B．2项 C．3项 D．4项 答案：C 解析：二项式系数和为N＝2n，在中，令x＝1，得M＝4n，由M－N＝240⇒4n－2n－240＝0⇒(2n＋15)(2n－16)＝0⇒2n＝16⇒n＝4，二项式的展开式的通项为Tk＋1＝C·(5x)4－k·＝C·54－k·(－1)k·x4－k，设第k＋1项为有理项，则4－k为整数，又0≤k≤4，k∈N，所以k可取0，2，4，所以展开式中的有理项共有3项．故选C. 3．(多选)若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为(　　) A．x＝4，n＝3 B．x＝5，n＝4 C．x＝6，n＝5 D．x＝4，n＝6 答案：BD 解析：由Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，分别将选项A，B，C，D代入检验知，仅有B，D符合题意．故选BD. 4．(2－)8的展开式中不含x4项的系数的和为________． 答案：0 解析：(2－)8的展开式的通项为Tk＋1＝C·28－k·(－)k＝C·28－k·(－1)k·x.由＝4，得k＝8，∴展开式中含x4项的系数为C＝1.又(2－)8的展开式中各项的系数和为(2－1)8＝1，∴展开式中不含x4项的系数的和为0. 5．已知(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)． (1)当n＝6时，求a0＋a2＋a4＋a6的值； (2)化简：C22k. 解：(1)当n＝6时，令x＝1， 则(1＋2)6＝36＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，① 令x＝－1，则(1－2)6＝1＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，② ①＋②，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝365. (2)(1＋2)2n＝32n＝C20＋C21＋C22＋…＋C22n，③ (1－2)2n＝1＝C(－2)0＋C(－2)1＋C(－2)2＋…＋C(－2)2n＝C20－C21＋C22－…＋C22n，④ ③＋④，得C20＋C22＋…＋C22n＝， 即C22k＝. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 二项展开式中的系数最大项问题 根据二项展开式的系数和求特定项 二项展开式的系数和问题 整除问题 二项展开式的综合应用 二项展开式中的二项式系数最大项问题 二项展开式的系数和问题 题号 8 9 10 11 12 13 难度 ★★ ★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ 对点 三项展开式的系数和问题 二项展开式的系数和问题 整除问题，近似数问题 二项展开式的系数和问题 利用二项式定理证明不等式 二项展开式的二项式系数与系数的问题 一、选择题 1．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是(　　) A．第6项 B．第5项 C．第5，6项 D．第6，7项 答案：A 解析：由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴C＝C，由组合数的性质，得n＝10，∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项． 2．若的展开式中各项系数的和为2，则展开式中的常数项为(　　) A．－720 B．－360 C．360 D．1080 答案：C 解析：令x＝1，则有(a＋1)(3－2)5＝2，解得a＝1，的展开式的通项为Tk＋1＝C(3x)5－k＝(－2)k·35－k·Cx5－2k(其中k＝0，1，2，3，4，5)，所以展开式中的常数项为x·(－2)3·32·Cx－1＋·(－2)2·33·Cx＝360，即展开式中的常数项为360.故选C. 3．若(x－1)2024－(x－2)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2024x2024，则2a1＋22a2＋23a3＋…＋22024a2024＝(　　) A．－22023 B．22023－2 C．22023＋1 D．22023－1 答案：A 解析：令x＝0，则有(－1)2024－(－2)2023＝a0，即a0＝1＋22023，再令x＝2，可得12024－0＝a0＋2a1＋22a2＋…＋22024a2024，所以2a1＋22a2＋23a3＋…＋22024a2024＝1－a0＝－22023.故选A. 4．设a∈Z，且0≤a<13，若512024＋a能被13整除，则a＝(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 答案：D 解析：512024＋a＝(52－1)2024＋a＝522024＋C×522023×(－1)＋…＋C×52×(－1)2023＋(－1)2024＋a能被13整除，只需(－1)2024＋a＝1＋a能被13整除．∵0≤a＜13，∴a＝12.故选D. 5．(多选)在(a>0)的展开式中，各项系数和与二项式系数和相等，均为64，则下列结论正确的是(　　) A．a＝3 B．二项式系数最大的项为第3项 C．有理项有3项 D．系数最小的项为第2项 答案：AD 解析：因为各项系数和与二项式系数和相等，均为64，所以2n＝64，且(a－1)n＝64，解得n＝6，a＝3或a＝－1(舍去)，所以A正确；因为n＝6，所以二项式系数中C最大，即二项式系数最大的项为第4项，所以B不正确；通项为Tk＋1＝C(3x)6－k＝(－1)k36－kCx6－k，其中k＝0，1，2，…，6.当k＝0，2，4，6时，Tk＋1为有理项，所以C不正确；由通项可知，当k＝1，3，5时，系数才可能最小，T2＝(－1)1×35×Cx＝－1458x，T4＝(－1)3×33×Cx＝－540x，T6＝(－1)5×3×Cx－＝－18x－，比较发现系数最小的项为第2项，所以D正确．故选AD. 二、填空题 6．设m为正整数，(x＋y)2m的展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1的展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝________． 答案：6 解析：根据二项式系数的性质知，(x＋y)2m的展开式中二项式系数最大的有一项，即C＝a，(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数最大的有两项，即C＝C＝b.又13a＝7b，所以13C＝7C，解得m＝6，满足等式． 7．在的展开式中，所有奇数项系数之和为1024，则中间项的系数是________． 答案：462 解析：在这个展开式中，各项系数即为二项式系数．∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n－1＝1024，∴n＝11，∴展开式共12项，中间项为第6项、第7项，其系数为C＝C＝462. 8．在(x＋＋1)2n＋1(n∈N*)的展开式中，x的整数次幂项的系数和为________． 答案： 解析：令P＝(x＋＋1)2n＋1，Q＝(x－＋1)2n＋1，由二项式定理知，P和Q中的x的整数次幂项之和相同，记作S(x)，非整数次幂项之和互为相反数，故有2S(x)＝P＋Q＝(x＋＋1)2n＋1＋(x－＋1)2n＋1.令x＝1，则所求的系数和为. 三、解答题 9．已知(1－2x)100＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a100(x＋1)100，求值： (1)a1＋a2＋…＋a100； (2)a1＋a3＋a5＋…＋a99； (3)a1＋2a2＋3a3＋…＋100a100. 解：(1)因为(1－2x)100＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a100(x＋1)100， 令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝1，　① 令x＝－1，得a0＝3100，所以a1＋a2＋…＋a100＝1－3100. (2)令x＝－2，得a0－a1＋a2－…＋a100＝5100，　② 由(1)，知a0＋a1＋a2＋…＋a100＝1， ①－②可得a1＋a3＋a5＋…＋a99＝. (3)因为(1－2x)100＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a100(x＋1)100， 两边同时求导，得100(1－2x)99×(－2)＝a1＋2a2(x＋1)＋…＋100a100(x＋1)99， 令x＝0，得a1＋2a2＋3a3＋…＋100a100＝－200. 10．(1)求证：32n＋3－24n＋37能被64整除； (2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001. 解：(1)证明：32n＋3－24n＋37 ＝3×9n＋1－24n＋37 ＝3(8＋1)n＋1－24n＋37 ＝3(C8n＋1＋C8n＋…＋C8＋1)－24n＋37 ＝3×64(C8n－1＋C8n－2＋…＋C)＋24C－24n＋40＝64×3(C8n－1＋C8n－2＋…＋C)＋64， 显然上式是64的倍数，故原式能被64整除． (2)0.9986＝(1－0.002)6 ＝1＋C×(－0.002)＋C×(－0.002)2＋…＋C×(－0.002)6. 由题意知T3＝C×(－0.002)2＝15×0.0022＝0.00006<0.001， 且第3项(包括第3项)以后的项的绝对值都远小于0.001， ∴从第3项(包括第3项)起，以后的项都可以忽略不计， ∴0.9986＝(1－0.002)6≈1－6×0.002＝0.988. 11．(多选)已知(x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a8x8，则下列结论正确的是(　　) A．a0＝0 B．a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝0 C．a3＝－56 D.＋＋＋…＋＝－ 答案：BCD 解析：(x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a8x8，令x＝0，可得a0＝1，所以A不正确；两边求导，可得8(x－1)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7，令x＝1，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝0，所以B正确；二项式(x－1)8的展开式的通项为Tk＋1＝Cx8－k(－1)k，令k＝5，可得T6＝Cx3(－1)5＝－56x3，所以a3＝－56，所以C正确；令x＝，可得＝a0＋＋＋＋…＋，又因为a0＝1，所以＋＋＋…＋＝－1＝－，所以D正确．故选BCD. 12．利用二项式定理证明＜(n∈N，且n≥3)． 证明：欲证＜成立， 只需证＞成立． 而＝＝C＋C＋C＋…＋C ＝1＋＋C＋…＋＞. 所以原不等式成立． 13．已知在(＋a·)n的展开式中，所有项的二项式系数之和为256，第4项的系数是第3项的二项式系数的16倍． (1)求n和a； (2)求展开式中系数最大的项； (3)求(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)n的展开式中x3的系数． 解：(1)因为(＋a·)n的展开式中，所有项的二项式系数之和为256，所以2n＝256，解得n＝8， 所以(＋a·)n＝(＋a·)8， 二项式(＋a·)8的展开式的通项为Tk＋1＝C()8－k(a·)k＝Cakx4－，k∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8}， 所以(＋a·)8的展开式的第4项的系数为C·a3， 第3项的二项式系数为C， 由已知，得a3C＝16C，所以a＝2. (2)设第k＋1项的系数最大， 则 所以 解得5≤k≤6，又k∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8}， 所以k＝5或k＝6， 所以展开式中系数最大的项为第6项和第7项，所以系数最大的项为T6＝1792x和T7＝1792x3. (3)由二项式定理可得(1＋x)n(n∈N*，n≥3)的展开式中x3的系数为C， 所以(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)8的展开式中x3的系数为C＋C＋C＋C＋C＋C， 又C＋C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C＋C＝C＝126， 所以(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)8的展开式中x3的系数为126. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$